第11讲-2 4.4 机械手动力学方程 机器人教学课件

d dt
(T3 3rp
)
d( dt
3 j1
T3 qj
qj )3rp
3
(
T3
j1 qj
d dt
qj )3rp
3
(
k1
3 2T3 j1 qjqk
qkqj )3rp
3
(
j1
T3 qj
qj )3rp
3
(
k1
3 j1
2T3 q j qk
qkqj )3rp
4.4.1 速度的计算
速度的平方：
对于任一机械手上一点的速度平方为
4.4 机械手动力学方程
• 在分析了二连杆机械手的基础上，我们分析由一组 A变换描述的任何机械手，求其动力学方程。分以 下5步进行推导：
• （1） 计算任一连杆上任一点的速度； • （2） 计算各连杆的动能和机械手的总动能； • （3） 计算各连杆的位能和机械手的总位能； • （4） 建立机械手系统的拉格朗日函数； • （5） 对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程。
（4.17)
式中，Ii为伪惯量矩阵，其表达式为：
4.4.2 动能和位能的计算
式中，Ii为伪惯量矩阵，其表达式为：
4.4.2 动能和位能的计算
物体的转动惯量、矢量积以及一阶矩量为：
如果令
4.4.2 动能和位4.2 动能和位能的计算
具有n个连杆的机械手总的动能为：
其中，mi为连杆I的质量， 为连杆I相对于其前端关节坐标系的重 心位置，由于传动装置的重力作用Pai一般是很小的，一般忽略不 计，这时，机械手的总位能为
4.4.3 动力学方程的推导
拉格朗日算子：
4.4.3 动力学方程的推导
对上式求导
拉格朗日算子：
4.4.3 动力学方程的推导
4.4.3 动力学方程的推导
4.4.3 动力学方程的推导
4.4.3 动力学方程的推导
4.4.3 动力学方程的推导
（4.14）
0vpd d(0 trp)d d(T t33rp)T 33rp
T3
dT3 dt
3 j1
qT3j qj
0vp
3
(
j1
T3 qj
qj )3rp
4.4.1 速度的计算
对于连杆i上任一点的速度为：
vdr( i T3
dt j1qj
qj)ir
（4.15）
P点的加速度
0ap
ddt(0vp )
连杆i的传动装置动能为
（4.19)
式中，Iai为传动装置的等效转动惯量，对于平动关节， Iai为等效质量；
传动关节的传动装置总动能为
4.4.2 动能和位能的计算
下面计算机械手的位能，一个高度为h，质量为m的物体其位能为： P＝mgh
r 连杆i上位置 i 处的质点dm，其位能为：
4.4.2 动能和位能的计算
(4.16)
4.4.2 动能和位能的计算
令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能为：
任一机械手连杆i上位置矢量i r 的质点，其动能为
4.4.2 动能和位能的计算
对连杆3积分dK3，得连杆3的动能为：
式中，
积分称为连杆的伪惯量矩阵，并记为：
4.4.2 动能和位能的计算
任何机械手上任一连杆i的动能为：
4.4.1 速度的计算
• 图4.4 中连杆3上点P的位置为：
0rp T33rp
式中，0 r p 为基坐标系中的位置矢量； 3 r p 为局部（相对关节O3）坐标系中的位置矢量；
T3为变换矩阵，包括旋转和平移变换。 对于任一连杆i上的一点，其位置为：
4.4.1 速度的计算
点P的速度为
0r Ti ir