复变函数(西交大)第三讲

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1-5复变函数课件西安交通大学

消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)
14
4. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称为映射 w f ( z ) 的逆映射.
5
2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量z 的值, 而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的值, 那末函数 w f ( z ) 在几何上就可以看作是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
6
这个映射通常简称为由函数 w f ( z ) 所构成的映射.
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
17
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
放映结束，按Esc退出.
24
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o

x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.

《复变函数第3讲》课件

THANKS
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几何意义
复变函数的导数定义为函数在复平面上的切线的斜率。
STEP 03
计算方法
通过极限定义，利用实部和虚部的导数计算复变函数的导数。
导数表示函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。
复数函数的积分
定义
复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面积。
几何意义
积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个区间上的增量。
幂级数的性质
幂级数具有很多重要的性质，如收敛性、可导性、可积性等。这些性质使得幂级数在数学和物理中有广泛的应用。
幂级数的应用
幂级数在数学分析、微积分、复变函数等领域有广泛的应用。例如，它可以用来求解微分方程、积分方程，以及研究函数的性质等。
泰勒级数
泰勒级数的定义
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式。
复变函数的连续性
定义
如果对于任意给定的正数 ε，存在一个正数 δ，使得当 |z - z0| < δ 时，有 |f(z) - f(z0)| < ε，则称 f(z) 在 z0 处连续。
性质
连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复合性。
判定方法
利用连续性的定义和性质进行判定。
复数函数在无穷远点的极限
柯西积分公式
对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算其在任意点的值。
全纯函数的积分表示
积分公式
全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分。
柯西积分定理
对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零。
柯西积分公式与全纯函数的积分表示
全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到。

西安交大工程数学复变函数第四版1.3-1.5

于是 z1z2 z1 z2
Argz1z2 Argz1 Argz2 （两个数集相同）
指数形式：z1 r1e i1 z2 r2e i 2 则
1
几何意义：
从几何上看, 两复数对应的向量分别为
z1 ,
z2 ,
先把 z1 按逆时针方向旋转一个角 2 ，再把它的模扩大到 r2倍
• 当 z2 =1 时，乘法变成了旋转。
12
§5 复变函数
1.定义
设G是一个复数 z x iy 的集合. 如果有一个确定的法则
存在，对于集合G 中的每一个复数z ，就有一个或几个复数
w u iv与之对应，那么称 w是z的函数，记为 w f z
单值的多值的定义集合函数值集合
• 复变函数 w = f (z)可以看做一元函数来研究，也可以
10
简单曲线或若尔当（Jardan）曲线: 没有重点的连续曲线
简单闭曲线： za zb的简单曲线
重点
不简单、不闭
z a
zb
例
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
11
单连通域：复平面上的一个区域B，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B 。
多连通域：非单连通域。
多连通域
单连通域
多连通域
简单说，单连通域为无洞区域，多连通域为有洞区域
x x(t)
y
, y(t)
t
[a,
b]
则由
u v
u(x, y) v(x, y)
得 C的参数方程
u u[x(t), y(t)] u(t)
v
v[x(t),
y(t)]
v(t)
15
例函数 w 1 把z平面上的曲线 x 1, ( x 1)2 y2 1 z

西安交大工程数学复变函数第四版第三章复变函数的积分

显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
22
2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C（其中C为任意常数），称为 f z 的不定积分，即
f zdz Fz c （其中C为任意常数）
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
（换元积分法分部积分法）
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析，C是D内的一条简单闭曲线，
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互
不相交，且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D，
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析，则F z在B内是一解析函数，
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
24
定理三
设f z在单连通域B内解析，Gz为f z的一个原函数，
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f

工程数学复变函数西安交通大学出版社§3.5-3.6-new

故 f (z) 2i(6z 7), 而 1 i 在 C 内,
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12
例5 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
z 1 z
0
解根据柯西积分公式知,
ez dz 2i ez 2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
11
例４设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f (z)
C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
(2) 不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0
R ei )d .
7
三、典型例题
K z z0
K
R K
ds
2π .
f (z) f (z0 ) ds z z0
则
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
2
根据闭路变形原理知, 上式成立与 R 无关, 故有
f
( z0
)
1 2i
f (z) dz C z z0

工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大

⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1

C
f z dz
n
k 1 C

k
f z dz 0

C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz

C
4

ux t , yt xt vx t , yt yt dt

i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是连续函数而C 是光滑曲线时, ⑵
C C C

C
f z 第二型曲线积分 dz一定存在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。

复变函数西安交大版

解
1 因为 w 在复平面内除 z 0 处处可导, z dw 1 且 2, dz z
所以 w在复平面内除 z 0 外处处解析,
z 0 为它的奇点 .
利用求导法则易得下面解析函数的性质.
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的和、差、积、商除去分母为零的点在 D 内解析. ( )
u v i x x
若沿平行于虚轴的方式 z z(x 0) z
第二节解析函数的充要条件 ◇ 一主要定理 ◇ 二典型例题 ◇ 三本节小结
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。问题如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导公式.
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
特别地,
当 f ( z ) z 时,
dw dz f ( z0 ) z
dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中w g( z ) (6)
1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值函数, 且 ( w ) 0
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致. 定义设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,

2023大学_工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载

2023工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载工程数学《复变函数》内容简介第一章复数与复变函数第一节复数及其运算第二节复数的几何表示第三节复数的乘幂与方根第四节复平面上的点集第五节复变函数第六节复变函数的极限与连续性小结习题第二章解析函数第一节复变函数的导数第二节解析函数第三节初等函数小结习题第三章复变函数的积分第一节复变函数的积分第二节柯西积分定理第三节不定积分第四节柯西积分公式第五节调和函数小结习题第四章解析函数的级数表示第一节复数项级数第二节幂级数第三节泰勒级数第四节洛朗级数小结习题第五章留数定理及其应用第一节孤立奇点第二节留数定理第三节应用留数定理计算实积分第四节辐角原理小结习题第六章保形映射第一节复平面上的曲线及其简单性质第二节保形映射第三节几个初等函数构成的映射第四节分式线性映射第五节关于保形映射的例题第六节几个特殊的保形映射和一般性定理第七节保形映射的一个应用小结习题第七章傅立叶变换第一节傅立叶变换第二节傅立叶变换的性质小结习题第八章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换第二节拉普拉斯变换的性质第三节拉普拉斯逆变换小结习题习题解答工程数学《复变函数》图书目录本书是根据复变函数课程教学基本要求编写的，全书共八章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的'级数表示、留数定理及其应用、保形映射、傅立叶变换、拉普拉斯变换，每章末有小结，以帮助学生掌握要点;书后附有习题答案，供学生参考。

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复变函数(西交大)第三讲共48页PPT资料

| x| 1 , z
| y z| 1 x z(1 i3 ) 0
f(z) lim f(z z)f(z) u i v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
z
x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程
f'(z)lim f(zz)f(z)
z 0
z
设 ( z)f(z z)f(z)f'(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
lim(z)0
z0
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)i v(xx, y)][u(x, y)i v(x, y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
x0
x
x0
x
u i v x x
若沿平行于虚轴 z的 z 方z(式 x0)
f(z)limf(zz) f(z)
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。

西安交通大学复数与复变函数教学PPT

a 2 b2 1 ab x x 2 1
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，

《复变函数》(西安交大第四版)第三讲

(3)
2i
2
称为z的正弦与余弦函数
正弦与余弦函数的性质
1)sin z及cos z是T 2 周期函数
[cos(z 2 ) ei(z2 ) ei(z2 )
eize2i eize2i
2
2
eiz eiz

cos z]
sin( z 2 ) sin z
当x 0时, eiy cos y i sin y , 从而得到: eiy cos y i sin y
e iy e iy
eiy eiy
sin y
cos y
2i
2
推广到复变数情形
y R (2)
定义
e zi ezi sinz
e zi ezi cos z
若沿平行于实轴的方式z z z(y 0)
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
[u( x x, y) iv( x x, y)] [u( x, y) iv( x, y)]
lim
x0
x
u( x x, y) u( x, y)
u x

v y

y2 x2 ( x2 y2 )2
,
u y

v x

2xy ( x2 y2 )2
故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为
dw u i v dz x x
y2 x2
2 xy
( x2 y2 )2 i ( x2 y2 )2
ii) 验证C-R条件.
iii) 求导数：
f '(z) u i v 1 u v x x i y y

2-1复变函数课件西安交通大学

解
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可与 z0可是价 . 导在微等的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？是否可导？解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续可导与连续: 可导与连续处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续但处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导证

大学复变函数西安交通大学出版社

2π (cos n i sin n )d
0
0;
所以
z z0
r
(z

1 z0
)n1
dz

2i, 0,
n 0, n 0.
结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
20
三、积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f (z)dz f (z)dz;

{u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt

i {v[x(t), y(t)]x(t) u[x(t), y(t)]y(t)}dt

{u[
x(t
),
y(t
)]

iv[
x(t
),
y(t
)]}{x(t
)

iy(t )}dt

由f (z) ux ivx vy iuy在 D 内连续,可知
ux，vx，vy，uy在 D 内连续由f (z) 在 D 内解析，可知 uy vx，vy ux
f (z)dz 0 c
G (vx uy )dxdy 0 G (ux vy )dxdy 0
k 1
10
由于f (z)在C上连续，从而 u, v 在C上连续,
且
0 时,
有max 1k n
xk
0, max 1k n
yk
0
于是下式右端极限存在,且有
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
3) C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy.

2-3复变函数课件西安交通大学

( 2) 幂函数 z 是多值函数 , 具有n个分支 .
1 n
它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的, 内是解析的, ′ 1 1 1 ′ 1 Lnz Lnz n 1 = 1 zn−1. ′ n = en ⋅ z = (n z ) = e nz n
24
e +e , 我们定义余弦函数为 cos z = 2 e iz − e − iz . 正弦函数为 sinz = 2i
b bLna
a b 也是多值的 . (1) 当 b 为整数时 ,
a b = e bLna = e b[ln a + i ( arga + 2 kπ )] b (ln a + iarga )+ 2 kbπi = e b ln a , a b具有单一的值 . =e
16
p ( 2) 当 b = ( p与q为互质的整数 , q > 0)时, q
x
Arge z = y + 2kπ ( k为整数 )
其辐角主值 arg e z 为区间(-π, π]内的一个辐角.
求出下列复数的辐角主值: 例2 求出下列复数的辐角主值
(1)e 2+ i ; ( 2)e 2− 3 i ; ( 3)e 3+ 4 i ; (4)e − 3−4 i ; (5)e iα − e iβ (0 ≤ β < α ≤ 2 π ).
a =e
1 n
1 Lna n
=e
1 ln a n
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ + n n
18
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ n =a + = a, n n

西安交大复变函数课件31复变函数积分的概念

),
y(t
)]}{x(t
)
iy(t )}dt
f [z(t)]z(t)dt.
12
C
f (z)dz
f [z(t)]z(t)dt
如果 C 是由C1, C2 , , Cn 等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线, 则
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz.
C
C1
9
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论对 C 的分法任何, 点 (k , k )的取法如何,
下式两端极限存在,
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
19
三、积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(2) C kf (z)dz k C f (z)dz; (k为常数)
(3) C[ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz; 估
值 (4) 设曲线C 的长度为L,函数 f (z) 在 C 上满足不
24
思考题
复函数 f (z)的积分定义式 f (z)dz 与一元
C
函数定积分是否一致?
25
思考题答案
若C
是实轴上区间[ , ], 则
f
( z)dz
f
( x)dx,
C
如果 f ( x) 是实值的, 即为一元实函数的定积分.