四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年度高二第二学期第二次月考试题 数学(理)【含解析】

四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年度高二第二学期第二次月考试题 数学（理）【含解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数23i -的虚部为（ ） A. 2B. 3i -C. 3iD. 3-【答案】D 【解析】 【分析】利用复数定义即可得到虚部. 【详解】复数23i -的虚部为3-. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是复数的定义，是基础题. 2.以下不等式在0x >时不成立．．．的是（ ） A .ln x x < B. e x x <C. ln 1x x e +>D. 1x e x >+【答案】C 【解析】 【分析】对,,A B D 分别构造函数，利用导数一一研究其单调性和最值，即可判断，对于C 取特值即可判断. 【详解】对于A ，令()ln f x x x =-，则()111xf x x x-'=-=，当()()0,1,0x f x '∈>，()f x 单调递增，当()()1,,0x f x '∈+∞<，()f x 单调递减，∴()()110f x f ≤=-<，即ln x x <，因此A 正确. 对于B ，令()(),1xxf x e x f x e '=-∴=-，当0x >时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+单调递增，()()010f x f >=>，即e x x <，因此B 正确.对于C ，令()ln 1xf x x e =+-，令1x =，则()110f e =-<，不满足ln 1x x e +>，因此C 不正确.对于D ，令()()1,1xxf x e x f x e '=--∴=-，当0x >时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+单调递增，()()00f x f >=，即1x x e +<，因此D 正确.故选：C .【点睛】本题主要考查的是利用导数研究其单调性和最值，考查学生构造函数的思想，考查计算能力，是中档题.3.已知()2f x x =，则()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A. 2xB. 2xC. ()2x ∆D. x ∆【答案】B 【解析】 【分析】根据导数定义，可得()()()0limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，求导，即可的结论.【详解】根据导数定义，可得()()()0limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，()2f x x =，()2f x x '∴=，()()lim2x f x x f x x x∆→+∆-∴=∆.故选：B .【点睛】本题主要考查的是导数的定义，考查学生的分析和计算能力，是基础题.4.双曲线22194x y -=-的渐近线方程是（ ）A. 32y x =± B. 94y x =±C. 23y x =±D. 49y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程求法，求得双曲线的渐近线.【详解】焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为22149y x-=，2,3a b ==，所以渐近线方程23y x =±. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5.“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-2， 当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =， 即122c d -+==12c +=，解得1c =或3c =，所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件. 故选B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.若在221x y +≤所围区域内随机取一点，则该点落在1x y +≤所围区域内的概率是（ ）A.1πB.2πC.12πD. 11π-【答案】B 【解析】 【分析】不等式221x y +≤表示的区域面积为π，1x y +≤表示的区域的面积为2，利用几何概型概率公式即可得出结论.【详解】不等式221x y +≤表示的区域是半径为1的圆，面积为π，1x y +≤且满足不等式221x y +≤2的正方形，面积为2，∴在221x y +≤所围区域内随机取一点，则该点落在1x y +≤所围区域内的慨率2π， 故选B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积. 7.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( ) A. 300 B. 216 C. 180 D. 162【答案】C 【解析】分两类:一、当偶数取2,4时，则有243472C A =；二、当偶数取0,2或0,4时，考虑首位，只有三个数可排，故有233323108C A ⨯⨯=，因此共有72108180+=.所以应选C.8.甲.乙两人约定在上午9:00到10:40之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去．若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会面的概率为（ ） A.125B.1625C.925D.15【答案】C 【解析】 分析】利用坐标的方式表示甲乙两人到达的时间点，构成正方形区域；根据20x y -≤得到能够会面的时间点构成的区域，根据几何概型面积型的公式求得结果. 【详解】9:0010:40-共100分钟设甲在100分钟当中第x 分钟到达；乙在100分钟当中第y 分钟到达 则0100x ≤≤，0100y ≤≤(),x y 构成如下图所示的正方形区域若甲乙能够会面，则满足20x y -≤，即图中阴影部分所示∴两人能会面的概率80809110010025P ⨯=-=⨯本题正确选项：C【点睛】本题考查几何概型中面积型问题的求解，关键是能够将问题转化为平面直角坐标系中的点所构成的区域的问题，属于常规题型.9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ,3过2F 的直线l 交C 于,A B 两点，若1AF B ∆的周长为43则b 的值为(). A. 4 B. 22D. 22【答案】C 【解析】 【分析】 由e 3c a ==，4a ＝3，b 2＝a 2﹣c 2＝3﹣1＝2，C 的短轴长2b ＝2． 【详解】解：由椭圆的离心率e 3c a ==， 若△ABF 1的周长为3，4a ＝3 ∴a 3=c ＝1， 由b 2＝a 2﹣c 2＝3﹣1＝2，b 2=故选C ．【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，离心率公式，考查计算能力，属于基础题．10.已知函数3()3f x x x =-，若过点(2,)M t 可作曲线()y f x =的三条切线，则实数t 的取值范围是( )A. (6,2)--B. (4,2)--C. (6,2)-D. (0,2)【答案】C 【解析】 设切点为00(,)x y ,则方程2320000000(33)(2),3(33)(2)y t x x x x t x x -=----=--,32003302t x x -++=有三解, 令3200332t y x x =-++,则2000036002y x x x x =-='⇒==或,因此30,812306222t tt +>-++<⇒-<<,选C.11.已知圆1C ：()()22111x y -+-=，圆2C ：()()22214x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动员.若动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上，记线段MN 的中点为P ，则PA PB +的最小值为（ ）A. 3B.522143133【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的几何性质，结合点关于直线的对称，得到1222PC PC PC PC CC +=+≥，即可求解. 【详解】由题意，点动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上， 线段MN 的中点为P ，可得点P 在直线0x y +=上， 又由1122123PA PB PC r PC r PC PC +≥-+-=+-， 点()11,1C 关于直线0x y +=对称的点()1,1C --， 则122213PC PC PC PC CC +=+≥=，所以PA PB +的最小值为133-.故选D【点睛】本题主要考查了圆的几何性质的应用，以及直线的对称最值问题的求解，其中解答中根据圆的几何性质，以及结合点关于直线的对称最值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()'2'4f x f x +=-，若()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [)4ln2,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)64ln3,++∞D. [)66ln6,++∞ 【答案】D 【解析】 【分析】求得()22f x x ax b '=++，由()()'2'4f x f x +=-即可求得3a =-，将()6ln 2f x x x ≥+恒成立转化成：min 216n 33l x x x b ⎛⎫-≥-⎪⎝⎭-恒成立.记()2316ln 3h x x x x =--，利用导数判断()h x 的单调性，从而求得()min 66ln6h x --=，问题得解．【详解】由题可得：()22f x x ax b '=++，由()()'2'4f x f x +=-所以函数()22f x x ax b '=++的图象关于直线3x =对称，即：232a-=，解得：3a =- 所以()6ln 2f x x x ≥+恒成立可整理成：()0,x ∀∈+∞，2316ln 3x x x b -≥--恒成立. 即：min216n 33l x x x b ⎛⎫-≥-⎪⎝⎭-恒成立. 记：()2316ln 3h x x x x =--，0x >()()()22362629183333x x x x h x x x x x+---'∴=--== 当()0,6x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减 当()6,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增 所以()()2min 63166ln666l 636n h x h ⨯-=--==-⨯. 所以66ln6b --≥-，即：66ln6b ≥+. 故选D【点睛】本题主要考查了函数对称性判断，还考查了转化思想及利用导数求函数的最值方法，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.定积分3112d x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰__________． 【答案】8ln3- 【解析】3112d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰231(ln )|x x =-22(3ln 3)(11)ln =---8ln3=-． 答案：8ln3-14.在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是1BB ，CD 的中点，则异面直线1D F 与DE 所成角的大小为___________. 【答案】90 【解析】 【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线1D F 和直线DE 的方向向量，计算出线线角的余弦值，由此求得线线角的大小.【详解】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体边长为2，故()()()12,2,1,0,0,2,0,1,0E D F ，所以()10,1,2D F =-，设直线1D F 和直线DE 所成角为θ，则11cos0D F DED F DEθ⋅==⋅，所以90θ=.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角，考查空间向量的运算，属于基础题. 15.函数3()sin,11)f x x x x=+<<（-，若2()()0f x f x+->，则实数x的取值范围是___【答案】()1,0-【解析】【分析】先研究函数()3sinf x x x=+在(1,1)x∈-上的奇偶性与单调性，然后运用函数的性质求解不等式()()20f x f x+->.【详解】解：因为()y f x=的定义域为(1,1)-，且()33()sin()sin()f x x x x x f x-=-+-=--=-，所以函数()y f x=为奇函数，因为当(1,1)x∈-时，()23cos0f x x x'=+≥恒成立，所以函数()y f x=在(1,1)-为增函数，故()()20f x f x+->等价于()()2f x f x>--，即()()2f x f x>，根据函数的定义域及单调性可得221111xxx x⎧-<<⎪-<<⎨⎪>⎩，解得11111,0x x x x -<<⎧⎪-<<⎨⎪><⎩，故x 的取值范围是()1,0-.【点睛】本题考查了函数性质的运用，判断函数的奇偶性一定要注意定义域的分析，函数单调性的判断往往可以借助导数、图像等方法进行研究.16.已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得2218PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是_________.【答案】(1,3] 【解析】 【分析】依题意，双曲线左支上存在一点P 使得221||PF PF =8a ，|PF 1|﹣|PF 2|＝﹣2a ，可求得，|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ，再利用|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围． 【详解】解：∵P 为双曲线左支上一点， ∴|PF 1|﹣|PF 2|＝﹣2a ， ∴|PF 2|＝|PF 1|+2a ，①又221||PF PF =8a ，② ∴由①②可得，|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ． ∴|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|，即2a +4a ≥2c ， ∴ca≤3，③ 又|PF 1|+|F 1F 2|＞|PF 2|， ∴2a +2c ＞4a ， ∴ca＞1．④ 由③④可得1ca≤＜3． 故答案为（1，3]．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a 是基础，利用|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|之间的三角关系得到关于a ，c 的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 2.5PM 是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解A 市空气质量情况，从2018年每天的 2.5PM 值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示.将 2.5PM 值划分成区间[)0,100、[)100,150、[)150,200、[]200,250，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率 .（1）根据2018年的数据估计该市在2019年中空气质量为一级的天数；（2）如果A 市对环境进行治理，经治理后，每天 2.5PM 值X 近似满足正态分布()115,752X N ，求经过治理后的 2.5PM 值的均值下降率. 【答案】（1）91.(2) 12.38%. 【解析】 【分析】(1)由频率近似概率，计算空气质量为一级的天数即可；(2)先由频率分布直方图求解未治理前的均值，再由正态分布得到治理后的均值，从而可得均值下降率. 【详解】（1）由样本空气质量 2.5PM 的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：2.5PM 值[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[)200,250频率 0.1250.1250.3750.250.125由上表可知，如果A 市维持现状不变，那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为0.25，因此在365天中空气质量为一级的天数约有3650.2591⨯≈（天）.（2）如果A 市维持不变，那么该市的 2.5PM 值的均值约为()250.125750.125+1250.375E Y =⨯+⨯⨯ +1750.252250.125131.25⨯+⨯=由于该市的环境进行治理，治理后每天 2.5PM 值X 近似满足()115,752XN ，所以治理后的 2.5PM 值X 的均值为()115E X =，因此A 市治理后的 2.5PM 值的均值下降率为131.2511512.38%131.25-=【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查了均值的运算及正态分布的知识，考查计算求解能力，属于中档题. 18.已知函数()()32111132f x x ax a x =-+-+，a 为实数. （1）当2a ≥时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间[]1,4上是减函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）5a ≥ 【解析】 【分析】（1）求出函数()f x 的导函数()f x '，对1a -和1进行比较即可得到()f x 的单调性；（2）根据x 的取值范围，分1x =和14x <≤进行求解，当14x <≤时分离出a ，根据1y x =+的单调性，即可得出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()2111f x x ax a x x a '=-+-=---⎡⎤⎣⎦，当11a -=即2a =时，()()210f x x '=-≥，()f x 在R 上单调递增；当11a ->即2a >时，由()0f x '>得1x <或1x a >-，由()0f x '<得11x a <<-.()f x ∴分别在(),1-∞与()1,a -+∞单调递增，在()1,1-a 单调递减.综上所述，当2a =时，()f x 在R 上单调递增；当2a >时，()f x 分别在(),1-∞与()1,a -+∞单调递增，在()1,1-a 单调递减.（2）由已知得()210f x x ax a '=-+-≤在区间[]1,4上恒成立.()211a x x ∴-≥-在区间[]1,4上恒成立.当1x =时，a R ∈. 当14x <≤时，1a x ≥+.而1y x =+在(]1,4x ∈上单调递增，∴4x =时，max 5y =，则5a ≥. 综上5a ≥.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将a 分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，是基础题.19.三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=，12AB BC BB ===，,M N 分别是1,AB AC 的中点．（1）求证：MN ⊥平面11A B C ； （2）求二面角11M B C A --的余弦值．【答案】（1）见证明；（23【解析】 【分析】（1）以B 1为原点建立空间直角坐标系，求出面平面A 1B 1C 1的法向量,由n NM =即可证得； （2）求得平面MB 1C 的法向量为m ，利用法向量夹角的余弦值可求二面角的余弦值. 【详解】（1）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系1B xyz -则()()()()()110,0,0,0,2,2,,2,0,0,1,0,2,1,1,1,B C A M N --- ()()()1110,2,2,2,0,0,0,1,1B C A B NM ∴===-.设平面A 1B 1C 1的法向量为(),,n x y z =111000x n B C y z n A B ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎪⎩⎩. 令1z =，则()0,1,0,1,1x y n ==-∴=- .n NM ∴=，MN ∴⊥平面A 1B 1C（2）平面MB 1C 的法向量为()000,,m x y z =001001200x z m B C y z m B M ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎪⎩⎩. 令01,z =则 ()002,1,2,1,1x y m ==-∴=-，3cos ,26n m m n n m ===⨯ 所求二面角M —B 1C —A 13【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直和求二面角，属于基础题.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点P 到左右两个焦点12,F F 的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）6 【解析】分析：（1）根据题意，结合椭圆的定义可得a 的值，由离心率公式可得c 的值，计算可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）以及AB 的方程，将AB 的方程与椭圆联立，分析可得3（my+1）2+4y 2=12，借助根与系数的关系可以将四边形AMBF 1面积用k 表示出来，由基本不等式的性质分析可得答案． 详解：（1）依题意，24,2a a ==，因为12e =，所以2221,3c b a c ==-=，所以椭圆C 方程为22143x y +=；（2）设()()1122,,,,:1A x y B x y AB x my =+ ，则由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2231412my y ++=，即，()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>， 又因为111F M F A F B =+，所以四边形1AMBF 是平行四边形， 设平面四边形1AMBF 的面积为S ，则12121211222242ABFm S S F F y y ∆∆+==⨯⨯⨯-==设21t m =+，则()2211m t t =-≥，所以2124241313t S t t t=⨯=⨯++，因为1t ≥， 所以134t t+≥，所以(]0,6S ∈，所以四边形1AMBF 面积的最大值为6.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 21.已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）求得()22'a x f x x+=，对a 的范围分类讨论即可求得()f x 的单调性．（2）将()21f x x x ≤+-转化成ln 10x x -+≤，证明()g ln 10x x x =-+≤恒成立，利用导数求得()()10g x g ≤=，问题得证．（3）由（2）可得：ln 1x x ≤-，整理得：11lnx x x ≤-，所以22211lnn n n <-，整理2222222323ln ln lnn n++⋯+得：22222222223111n 12323ln ln lnn n n ⎛⎫++⋯+<--++⋯+ ⎪⎝⎭利用()2111111n n n n n <=-++即可得：()()()222121111n 12321n n n n -+⎛⎫--++⋯+< ⎪+⎝⎭，问题得解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为：()0,∞+，()'f x = 222a a x x x x++=①当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x ()0,∞+上单调递增②当0a <时，令()'0f x =，解得x =2a-当02a x <<-220a x +<，所以()'0f x <， 所以()f x 在2a ⎛- ⎝上单调递减； 当2a x >-220a x +>，所以()'0f x >，所以()f x 在,2a ⎫-+∞⎪⎪⎭上单调递增． 综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x 在2a ⎛- ⎝上单调递减，在,2a⎫-+∞⎪⎪⎭上单调递增.（2）当a 1=时，()2ln f x x x =+，要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即证：ln 10x x -+≤. 设()g ln 1x x x =-+，则()g'x =1xx-，令()0g x '=得，1x =. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<. 所以1x =为极大值点，且()g x 在1x =处取得最大值． 所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤．故()21f x x x ≤+-.（3）证明：ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），即11lnx x x≤-, 则有2222ln +22222222223111111111n 132323ln lnn n n n ⎛⎫+⋯+<-+-+⋯+-=--++⋯+ ⎪⎝⎭()111n 123341n n ⎛⎫<--++⋯+ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭()()()12111111111n 1n 1233412121n n n n n n -+⎛⎫⎛⎫=---+-+⋯+-=---=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭,故：2222ln +()()()22221213321n n ln lnn n n -++⋯+<+ 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及转化思想，考查放缩法证明不等式，还考查了裂项求和方法，考查计算能力，属于难题．22.平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为12cos 32sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线()0:0OM θαρ=≥平分曲线1C ，且与曲线2C 交于点A ，曲线2C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .【答案】（1）1C ：2cos 3ρθθ=+，2C ：24x y =；（2167【解析】 【分析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求解；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(3，所以方程是()03πθρ=≥，将()03πθρ=≥代入2C 的极坐标方程求出83A ρ=，进而求出83B ρ=即可求解. 【详解】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是()(22134x y -+=，即22230x x y y -+-=化成极坐标方程为：2cos 23ρθθ=+ 曲线2C 的直角坐标方程是24x y =；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(3，所以方程是()03πθρ=≥代入2cos 4sin ρθθ=，得83A ρ= 又2AOB π∠=，将56πθ=，代入2cos 4sin ρθθ=，得83B ρ= 因此221673A B AB ρρ=+=【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题. 23.已知函数()|21|f x x =- （1）解不等式()||3f x x <+； （2）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：(67)f x ≤. 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）分0x ≤，102x <<，12x ≥三种情况讨论；（2）()|21||2(31)3(21)|f x x x y y =-=-++-，再利用绝对值三角不等式即可证明. 【详解】（1）由()||3f x x <+，得|21|||3x x -<+，则12213x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩，或102123x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩，或012 3.x x x ≤⎧⎨-<-+⎩，解得142x ≤<，或102x <<，或20x -<≤， 即24x -<<，所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<. （2）证明：由1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤， 所以217()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326f x x x y y x y y =-=-++-≤-++-≤+=. 【点睛】本题考查解绝对值不等式以及证明不等式，考查学生的运算能力，是一道容易题.。