泰勒公式及应用论文
泰勒公式及其在在计算方法中的应用
泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。
通过本文的论述，可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便。
关键词：泰勒公式;误差分析；近似计算；数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数，进行函数值的计算；而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段，从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用。
§2泰勒（Taylor)公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1）其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ (2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式，()n R x 的表达式(2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3）公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式，形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项.特别地：在泰勒公式（1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =，则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5）§3 泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。
泰勒公式及其应用 毕业论文
泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足 上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)p a dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）. 例 1. 研究广义积分4(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()332f x x x x =++--112233(1)(1)2x x x=++--22223191131911(1())(1())22828x o o x x x x x x=+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4(332)x x x dx +∞++--⎰.例2． 讨论级数111(ln )n n n n∞=+-∑的敛散性.注意到11lnln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛易进行. 解： 因为2341111111lnln(1)234n n n n n n nn+=+=-+-+<, 所以11ln1n n<+, 所以11ln 0n n u n n+=->，故该级数是正项级数. 又因为332332322111111111111ln()()23422n o n n n n n n n n n nn n +=-++>-+=-=-, 所以3322111111ln ()22n n u n n n nn n +=-<--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的. 12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
泰勒公式的应用范文
泰勒公式的应用范文泰勒公式是一种在微积分中用来近似计算函数值的方法。
它将一个函数表示为一个无穷级数的形式，使得我们可以通过计算级数中的有限项来近似计算函数的值。
泰勒公式广泛应用于数学、物理学、工程学和计算机科学等领域，并对数值计算和数学建模等重要任务具有重要意义。
以下将介绍泰勒公式在这些领域的一些应用。
一、在数学领域的应用：1.函数近似：泰勒公式可用于近似计算一个函数在其中一点的函数值，特别是在点附近的小区间内。
这对于无法直接计算的复杂函数或含有未知变量的函数是非常有用的。
2.导数和高阶导数的计算：泰勒公式可以通过计算级数中的有限项来近似计算一个函数在其中一点的导数。
这对于无法直接计算导数或高阶导数的函数是非常有用的。
3.极限计算：泰勒公式提供了一种计算函数在一个点的极限的方法，特别是对于无法直接计算的函数或复杂函数而言。
二、在物理学领域的应用：1.运动学和动力学：泰勒公式可用于近似计算运动学和动力学中各种物理量的变化率，如速度、加速度和力。
2.波动学：泰勒公式可以近似计算波函数随时间和位置的变化，从而帮助解决波动学相关的问题，如声波、光波和电磁波等。
3.热力学：泰勒公式可用于计算物体在热力学过程中的温度、能量和熵等的变化。
三、在工程学领域的应用：1.信号处理：泰勒公式可以用于近似表示信号在时间域和频域中的变化，从而帮助处理和分析各种类型的信号。
2.控制理论：泰勒公式可用于近似表示控制系统中各种变量的变化，从而帮助设计和优化控制器，以实现稳定和可靠的系统性能。
3.电路分析：泰勒公式可用于近似计算电路中各种元件的电压、电流和功率等的变化，特别是在非线性电路和非稳态电路的分析中。
四、在计算机科学领域的应用：1.数值计算：泰勒公式可用于近似计算各种数学函数的值，从而帮助实现高效和准确的数值计算方法，如数值积分、数值微分和数值优化等。
2.图像处理：泰勒公式可以用于近似表示图像中各个像素值的变化，从而帮助实现图像增强、图像压缩和图像恢复等处理算法。
泰勒公式的应用论文
泰勒公式的应用论文泰勒公式是一个非常重要的数学工具，在物理、工程和其他科学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一篇关于泰勒公式应用的论文，通过该论文的介绍，读者可以了解泰勒公式的具体应用以及其在该领域的重要性。
题目：《利用泰勒公式对非线性方程进行求解的数值方法研究》摘要：本文研究了一种利用泰勒公式对非线性方程进行求解的数值方法。
通过将非线性方程展开成泰勒级数的形式，可以近似地求解非线性方程，并得到更加精确的解。
本文通过对该数值方法进行理论推导和实验证明，证明了该方法的有效性和准确性。
引言：非线性方程是很多科学问题中常见的数学模型，然而求解非线性方程通常比线性方程复杂得多。
泰勒公式是一种在求解非线性方程时常用的近似方法。
通过将非线性方程进行泰勒级数展开，可以将非线性方程转化为线性方程或更简单的形式，从而得到近似的解。
方法：本文首先对泰勒公式进行了简要的介绍和推导。
然后，根据泰勒公式的展开形式，将非线性方程的各阶导数代入泰勒级数中，得到更简单的形式。
接下来，研究了如何选取适当的展开点和截断误差来提高近似解的精确性。
最后，利用MATLAB编写了求解非线性方程的数值算法，并通过多个实例进行了验证。
结果与讨论：通过对多个不同类型的非线性方程进行求解，得到了较好的结果。
与传统的数值方法相比，利用泰勒公式进行求解的方法具有更高的精确性和更快的收敛速度。
此外，通过调整展开点和增加泰勒级数的项数，还可以进一步提高解的精确度。
结论：本文研究了一种利用泰勒公式求解非线性方程的数值方法，并通过理论推导和实验证明了该方法的有效性和准确性。
该方法可以准确地求解非线性方程，并且具有更高的精确性和更快的收敛速度。
因此，该方法在实际应用中具有很大的潜力，可以应用于物理、工程和其他科学领域中。
展望：虽然本文对利用泰勒公式求解非线性方程的数值方法进行了研究和验证，但仍然有一些问题需要进一步探讨。
例如，如何选择展开点和确定截断误差的更准确方法，以及将该方法应用于更复杂的非线性方程等。
Taylor公式的发展及其应用论文文档
Taylor 公式的发展及其应用摘要：数学中Taylor 公式是分析和探究相关数学问题的有力工具。
本文将简要介绍Taylor 公式的概念，发展，基本内容式及其简单的应用。
关键词：Taylor 公式发展余项应用一、基本概念在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数f(x)在0x 可导，则有)())((')()(0000x x o x x x f x f x f -+-+=即在点0x 附近，用一次多项式))((')()(000x x x f x f x f -+=逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x -的高阶无穷小量。
然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n x x o )(0-，其中n 为多项式的次数。
为此，我们考察任一n 次多项式n n n x x a x x a x x a a x p )(.......)()()(02020100-++-+-+=逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到00)(a x p n =,10)('a x p n =,20!2)(''a x p n =,……()n n n a n x p !)(0=由此可见，多项式)(0x p n 的各项系数都由其在0x 的各阶到数值唯一确定。
对于一般函数f(x)，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，有这些导数构造一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f T )(!)(........)(!2)('')(!1)(')(00)(200000-++-+-+=称为函数f （x ）在点0x 处的Taylor 多项式,)(n x T 的各项系数!)(0)(k x fk （k=1,2……n ）称为Taylor 系数。
泰勒公式的作用范文
泰勒公式的作用范文泰勒公式是一种用于求解函数在一些点的近似值的方法。
它的作用范围非常广泛，可以应用在数学、物理、工程等许多领域中。
下面将详细介绍泰勒公式的作用范围。
首先，泰勒公式在数学中起到了非常重要的作用。
数学中的许多函数无法精确地表示成有限次幂级数表达式，而泰勒公式可以将这些函数近似为无穷级数。
通过泰勒公式，我们可以用有限次幂级数来近似表示复杂函数，这对于研究函数的性质和求解方程都非常有帮助。
例如，在微积分中，我们可以利用泰勒公式来求解复杂函数的导数，从而简化计算过程。
其次，泰勒公式在物理中也有广泛的应用。
物理学中的很多现象可以通过数学函数进行描述，而泰勒公式可以帮助我们近似求解这些函数。
例如，在运动学中，我们可以利用泰勒公式来确定时刻速度和位移的近似值。
在力学中，我们可以应用泰勒公式来计算物体在受力下的运动轨迹。
这些应用使得泰勒公式成为解决物理问题的有力工具。
此外，泰勒公式在工程领域也得到了广泛应用。
在工程设计中，我们常常需要对复杂的函数进行近似计算。
泰勒公式可以帮助工程师们通过有限次幂级数来逼近原函数，从而简化计算过程。
例如，在电路设计中，我们可以通过泰勒公式来近似求解电流和电压的关系。
在机械工程中，我们可以利用泰勒公式来计算物体在力的作用下的变形。
这些应用使得泰勒公式成为工程实践中的重要工具。
此外，在金融领域，泰勒公式也有着广泛的应用。
金融学中的许多模型可以通过数学函数进行描述，而泰勒公式可以帮助金融学家们近似求解这些函数。
例如，在期权定价模型中，我们可以利用泰勒公式来近似计算期权价格。
在风险管理中，我们可以应用泰勒公式来估计资产的价值变动。
这些应用使得泰勒公式成为金融学研究和实践中的重要工具。
总之，泰勒公式在数学、物理、工程和金融等领域都有着广泛的应用。
它可以帮助我们近似求解复杂函数，从而简化计算过程和问题求解。
无论是在理论研究还是在实践应用中，泰勒公式都起到了重要的作用。
对于研究者和工程师们来说，了解和掌握泰勒公式的方法和技巧是非常重要的。
泰勒公式及其应用论文)
泰勒公式及其应用论文)泰勒公式及其应用摘 要文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1.求极限sin 2limsin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x ,x e 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)pa dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）.例 1.研究广义积分4dx +∞⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()f x =112233)(1)2x x=++--22223191131911())(1())22828o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+- 3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x→+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4dx +∞⎰.例2．讨论级数1n∞=∑的敛散性.注意到11ln ln(1)nn n+=+,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛易进行.解：因为2341111111ln ln(1)234nn nn n n n n+=+=-+-+<,所以所以nu=>，故该级数是正项级数.又因为3212n=>==-,所以332211)22nun n=<-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的.12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
泰勒公式及其应用论文
学士学位论文泰勒公式及其应用2012年5月18日毕业论文成绩评定表院（系）：数学与信息学院学号：独创声明本人在此声明：本篇论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议．尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明．此声明的法律后果由本人承担．作者签名:二〇一二年五月十八日毕业论文使用授权声明本人完全了解鲁东大学关于收集、保存、使用毕业论文的规定．本人愿意按照学校要求提交论文的印刷本和电子版，同意学校保存论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存论文；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布论文的部分或全部内容，允许他人依法合理使用．（保密论文在解密后遵守此规定）论文作者（签名）：二〇一二年五月十八日目录1.引言 (1)2. 泰勒公式及其应用 (1)2.1预备知识 (1)3 泰勒公式的应用 (3)3.1利用泰勒公式求极限 (3)3.2利用泰勒公式求不等式 (3)3.3利用泰勒级数判断级数的敛散性 (4)3.4利用泰勒公式证明根的唯一性 (5)3.5利用泰勒公式判断函数的极值 (5)3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式 (6)3.7利用泰勒公式进行近似计算 (6)3.8利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点 (7)3.9利用泰勒公式求高阶导数在某点的数 (8)参考文献 (8)致谢 (8)泰勒公式及其应用（数学与信息学院 数学与应用数学 2008级数本2班20082112010）摘要：在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义，内容 ，并介绍了泰勒公式的9个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒函数的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日余项 应用Taylor formula and it ’s application(20082112010 Class 2 Grade 2008 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information)Abstract:In the mathematical analysis Taylor formula is a important content. This paperdiscusses the definition of Taylor formula, content, and introduces the Taylor formula nine application and give an example. Use Taylor formula for inequality, please limit, folding proof scattered sex, theuniqueness of root, a series of Taylor function of application, make us more clearly know the importance of Taylor formula.Keywords: Taylor ’s formula The emaining of the Piano The remaining of the LagrangianApplication1.引言泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,是高等数学中重要部分.作者通过查阅一些参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真计算，其中部分难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳总结.由于本文的主要内容是介绍泰勒公式的应用,所以,本文以例题为主进行讲解说明.2. 泰勒公式及其应用2.1 预备知识定义[]12.1 若函数f 在0t 存在n 阶导数,则有()()()()()()()()()()20000001!2!!n n nn n f t f t f t f t f t t t t t t t o t t n '''=+-+-++-+-（1）这里()()0no t t -为皮亚诺余项,称（1）f 在点0t 的泰勒公式.当0t =0时,（1）式变成()()()()()()200001!2!!n nn f f f f t f t t t o t n '''=+++++称此式称为（带皮亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2 若函数f 在0t 某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则()()()()()()()()200000()1!2!!n nn n n f t f t f t f t f t t t t t t t R t n '''=+-+-++-+（2）这里R （n ）为拉格朗日余项()()()110()()1!n n f R n t t n α++=++,其中α在t 与0t 之间,称（2）为f 在0t 的泰勒公示.当0t =0时,（2）式变成()()()()()20000()1!2!!n nn f f f f t f t t t R t n '''=+++++称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.其中,常见函数的展开式:()()()()21135212224222311212!!(1)!sin (1)()3!5!21!cos (1)()2!4!2!ln 1(1)()231111n n a n n nn nnn n n n n n a a e e a a n n t t t t t o t n t t t t t o t n t t t x t o t n t t t t t++++++=++++++=-+++-++=-+-+-++=-+-+-++=+++++-定理[]12.1 （介值定理）设函数g 在闭区间],[21x x 上连续。
《泰勒公式的应用综述2800字》
泰勒公式的应用综述首先, 给出常见的泰勒公式.设函数f(x)在区间(a,b)内有n+1阶导数,x0∈(a,b),则对任意x∈(a,b), 有:f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+R n(x).其中Rn(x)为余项, 常见的余项有:(1)佩亚诺型余项: R n(x)=o((x−x0)n);(2)拉格朗日型余项: R n(x)=f(n+1)(x0)(n+1)!(x−x0)n+1;(3)柯西型余项: R n(x)=f(n+1)(ϑ)n!(x−x0)(x−ϑ)n, 其中ϑ在x与x0之间.根据实际的学习情况, 我们知道遇到的大多数有关泰勒公式的问题是, 泰勒公式在x0=0时的特殊形式( 见文献[15]), 即:f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+∙∙∙+f(n)(0)n!x n+o(x n) (1)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(x0)(n+1)!(x−x0)n+1(2)(1)式及(2) 式就是分别带佩亚诺型及拉格朗日型余项的麦克劳林公式. 类似的常见函数的余项不同的麦克劳林公式有:e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n);sin x=x−x33!+x55!+∙∙∙+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+o(x2m);cos x=1−x22!+x44!+∙∙∙+(−1)m x2m(2m)!+o(x2m+1);ln(1+x)=x−x22+x33+∙∙∙+(−1)n−1x nno(x n);(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+∙∙∙+α(α−1)∙∙∙(α−n+1)n!x n+o(x n);111−x=1+x+x2+∙∙∙+x n+o(x n).e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1,0<θ<1,x∈(−∞,+∞);sin x=x−x33!+x55!+∙∙∙+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+(−1)m cosθx(2m+1)!x2m+1;cos x=1−x22!+x44!+∙∙∙+(−1)m x2m(2m)!+(−1)m cosθx(2m+1)!x2m+1,0<θ<1,x∈(−∞,+∞);ln(1+x)=x−x22+x33+∙∙∙+(−1)n−1x nn+(−1)n x n+1(n+1)(1+θx)n+1,0<θ<1,x>1;(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+∙∙∙+α(α−1)∙∙∙(α−n+1)n!x n+α(α−1)∙∙∙(α−n)(n+1)!(1+θx)α−n−1x n+1,0<θ<1,x>1;1 1−x =1+x+x2+∙∙∙+x n+x n+1(1−θx)n+2,0<θ<1,|x|<1.1.1泰勒公式在数学分析中的应用1.1.1泰勒公式在求极限上的应用求极限limx→0cos x−e−x22x4讨论:观察发现针对于此题, 我们当然可以采用之前学习过的方法进行解答，但是我们发现由于题中出现指数幂的形式, 求解过程较繁琐, 在上面泰勒公式的证明中, 我们知道带有佩亚诺型余项的泰勒公式可以在极限求解中使用, 因此我们不妨一试(见文献[14]).根据前面我们可以写出余弦函数和底数为e的幂指数麦克劳林公式, 并做差有:cos x=1−x22+x224+o(x5);e−x 22=1−x22+x48+o(x5);cos x−e−x 22=−x412+o(x5);故而求得:lim x→0cos x−e−x22x4=limx→0−x412+o(x5)x4=−112.1.1.2泰勒公式在近似计算上的应用2例1: 计算e的值, 使其误差不超过10−6;解一开始我们不妨写出函数f(x)=e x的麦克劳林公式形式, 这个可以由泰勒公式写出, 即: e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n), 紧接着对于把麦克劳林公式, 我们可以直接换写为, 带有拉格朗日型余项的形式. 故由f(n+1)=e x, 得到e x=1+x+x2 2!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1,其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞). 故R n(1)=eθ(n+1)!<3(n+1)!, 又n取值为9时, 可得R9(1)<310!=33628800<e−6. 则e的近似值为:e=1+1+12!+13!+∙∙∙+19!≈2.718285.例2:证明e 为无理数.证明常见函数f(x)=e x它的麦克劳林公式, 就是: e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n).写成拉格朗日型余项的时候就有:e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞). 当x=1时有:e=1+1+12!+13!+∙∙∙+1n!+eθ(n+1)!(0<θ<1).即由上式得: n!e−(n!+n!+3∙4∙ ∙∙∙ ∙n+ ∙∙∙ +n+1)=e θ(n+1). 倘若e=pq(p,q为正整数), 则当n>q时, n!e为正整数, 从而式子n!e−(n!+n!+3∙4∙ ∙∙∙ ∙n+ ∙∙∙ +n+1)=eθ(n+1)左边是正整数. 且我们可知:一方面e θ(n+1)<e(n+1)<1(n+1), 另一方面n大于等于2时右边不是整数, 故而e是无理数.1.2泰勒公式在数值分析中的应用(见文献[4])1.2.1泰勒公式在数值微分上的应用设步长ℎ>0, 把函数f(x+ℎ), 以及函数f(x+ℎ)在x点泰勒展开, 即:f(x+ℎ)=f(x)+ℎf′(x)+ ∙∙∙+ℎkk!f(k)(x)+ℎk+1(k+1)!f(k+1)(ϑ1)3(1)f(x−ℎ)=f(x)−ℎf′(x)+ ∙∙∙+(−ℎ)kk!f(k)(x)+(−ℎ)k+1(k+1)!f(k+1)(ϑ2)(2)其中x−ℎ<ϑ2<x<ϑ1<x+ℎ.当k=1时, 由(1) 式可得:f′(x)=f(x+ℎ)−f(x)ℎ−ℎ2f′′(ϑ1),所以,一阶导数的向前差分公式近似为: f′(x)≈f(x+ℎ)−f(x)ℎ, 同时−ℎ2f′′(ϑ1)是产生的误差. 即k取值为2时,(1) 式和(2) 式作差可得f′(x)=f(x+ℎ)−f(x−ℎ)2ℎ−ℎ26f′′′(ϑ3).其中ϑ2<ϑ3<ϑ1. 则: f′(x)≈f(x+ℎ)−f(x−ℎ)2ℎ是一阶中心差分公式, 其中−ℎ26f′′′(ϑ3)是误差. 又k取值为3时,(1) 式和(2) 作和可得:f′′(x)=f(x+ℎ)−2f(x)+f(x−ℎ)ℎ−ℎ212f′′′′(ϑ4).其中ϑ2<ϑ3<ϑ1. 则: f′′(x)≈f(x+ℎ)−2f(x)+f(x−ℎ)ℎ是二阶中心差分公式, 其中−ℎ212f′′′′(ϑ4)是误差.除了上述之外, 我们进行近似求导时, 不妨使用积分来实现, 即有:Dℎf(x)=32ℎ3∫f(x−t)dt ℎ−ℎ.对函数f(x+t),t∈[−ℎ,ℎ]. 在x点进行泰勒展开可得:f(x+t)=f(x)+tf′(x)+t22f′′(x)+t36f′′′(ϑ5),并由上式可知: x−ℎ<ϑ5<x+ℎ, 且把(4) 式代入(3) 式有:Dℎf(x)=f′(x)+ℎ210f′′′((ϑ5),即:f′(x)≈32ℎ3∫tf(x+t)dt ℎ−ℎ,且其误差为−ℎ210f′′′((ϑ5).1.2.2泰勒公式在常微分方程数值解上的应用(见文献(4))4考虑一阶常微分方程初值问题:{p′=f(x,p),x∈[a,b],p(a)=p0,的数值解.解首先我们要知道, 数值解就是将一般函数p(x), 在离散的节点上的近似值p n≈p(x n)求解出来.其次考虑在[s,t]上, 建立等距的且离散的节点: s=x0< x1< ∙∙∙ <x N=t, 步长为r,即x n=x0+nr,n=0,1,∙∙∙,N.将p(x)在x n点泰勒展开, 可得(8) 式:p(x n+1)=p(x n)+ℎp′(x n)+ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)=p(x n)+ℎf(x n,p(x n))+ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)即得求解上述问题的欧拉法:p n+1=p n+ℎf(x n,p n),n=0,1,∙∙∙,N−1.假设p n是正确的, 即p n=p(x n), 则(8) 式减(9) 式, 可得局部截断误差(10) 式:p(x n+1)−p n+1=ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)对泰勒公式截断误差, 我们还可以在局部进行分析. 下面, 以辛普森(Simpson) 方法:p n+1=p nℎ3[f(x n,p n)+4f(x n+1,p n+1)+f(x n+2,p n+2)](11)为例, 且当它的近似值是准确值时展开分析, 即:p n+2=p(x n)+ℎ3[p′(x n)+4p′(x n+1)+p′(x n+2)](12)分别将p(x)和p′(x)在x n点泰勒展开, 可得:p(x)=p(x n)+(x−x n)p′(x)+∙∙∙+(x−x n)kk!p(k)(x)+o[(x−x n)k+1]5(13)p′(x)=p′(x n)+(x−x n)p′′(x)+∙∙∙+(x−x n)k−1p(k)(x)+o[(x−x n)k](k−1)!(14)又k取值为5时, 在(13) 式中取x=x n+2, 在(14) 式中分别取x=x n+1和x=x n+2, 代入(12) 式得, 辛普森(Simpson) 公式的局部截断误差:p(x n+2)−p n+2=ℎ5p(5)(x n)+o(ℎ6).906参考文献[1]徐会林, 刘智广, 肖中永. 从多项式逼近函数引出泰勒公式[J]. 高师理科学刊, 2018, 38(02): 57-60.[2]张笛. 罗尔中值定理及其应用[J]. 数学学习与研究, 2014(01): 122-123.[3]李晟威. 泰勒公式的证明及应用[J]. 课程教育研究, 2018(42): 129-130.[4]徐会林. 泰勒公式在数值分析中的应用[J]. 韶关学院学报, 2019, 40(12): 5-8.[5]阙凤珍, 温少挺. 柯西中值定理的应用[J]. 数学学习与研究, 2016(21): 19+21.[6]王建云, 全宏波, 赵育林. 浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法[J]. 数学学习与研究, 2021(07): 150-151.[7]陈天戈. 泰勒的著作与成就[J]. 语数外学习(高中版下旬), 2021(04): 63-64.[8]胡有婧. 向量函数的泰勒公式的不同形式及其证明[J]. 数学学习与研究,2021(29): 140-141.[9]韩树新, 何军, 王钥, 王炜卿. 浅谈拉格朗日对数学的贡献[J]. 教育教学论坛,2020(32): 322-323.[10]何锐, 春光. 数学“ 诗人” ——柯西[J]. 课堂内外(小学智慧数学), 2021(12):24-27.[11]Ian Tweddle. The prickly genius – Colin MacLaurin (1698–1746)[J]. TheMathematical Gazette,1998,82(495).[12]迟炳荣, 王秀红. 用数学归纳法证明泰勒公式[J]. 中学数学杂志, 2008(09):13-14.[13]姚海燕. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明[J]. 教育教学论坛, 2014(20):120.[14]胡汉章. 泰勒公式在数学分析解题中的应用探讨[J]. 教育教学论坛, 2020(52):281-282.7[15]何小芳. 浅谈泰勒(Taylor) 公式的应用[J]. 企业家天地(理论版), 2011(07):192-194.8。
泰勒公式及其应用论
本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：指导教师：完成日期：2012年 5月20日泰勒公式及其应用内容摘要本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用.通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础.关键词：泰勒公式Lagrange余项Peano余项应用The Taylor Formula and The Application Of Taylor FormulaAbstractThis paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula.By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference.Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application目录一、泰勒公式 (1)（一）带Lagrange余项的泰勒公式 (1)（二）带Peano余项的泰勒公式 (2)二、公式的应用 (3)（一）、泰勒公式在近似运算上的应用 (3)（二）、泰勒公式在求极限中的应用 (5)（三）、泰勒公式在方程中的应用 (6)（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用 (8)（五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用 (9)（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用 (10)（七）、泰勒公式在级数中的应用 (11)（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用 (13)三、结论 (14)参考文献 (15)序 言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.[]1因为泰勒公式在解决一些数学问题时的确有着不可替代的作用，故有关它的理论在教材中一般都有比较详细的介绍，而关于它的应用则介绍甚少或不全面.本文比较详细地介绍了泰勒公式在近似计算、求极值、方程、证明中值公式、关于界的估计、证明不等式、级数、高阶导数值等方面的应用.作者在阅读了大量参考文献的基础上，通过例题给出了泰勒公式的许多应用，使我们能更直接的看到泰勒公式在各方面的运用.一、泰勒公式对于函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数.由这些导数构造一个n 次多项式()20000000'()''()()()()()()...()1!2!!n n f x f x f x Tn x f x x x x x x x n =+-+-++-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式.[2]泰勒公式根据所带的余项的不同有不同的定义.泰勒公式的余项分为两类，一类是定量的，一类是定性的，它们的本质相同，但性质各异.下面我们来介绍一下：（一）带Lagrange 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Lagrange 余项是一种定量形式. 定理1[]3 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在直到+1n 阶导函数，则对任意给定的0[,]x x a b ∈、，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()(1)2100000000''()()()()()'()()()...()()2!!(1)!n n nn f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++=+-+-++-+-+，该式称为（带有Lagrange 余项的）泰勒公式.证明 作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G ，所以要证明的式子即为)!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或. 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且 0))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F ， 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ， 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ. 所以定理1成立.（二）带Peano 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Peano 余项是一种定性形式. 定理2[]3 若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有0()()(())nf x Tn x o x x =+-，即()200000000''()()()()'()()()...()(())2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+-，称为函数f 在点0x 处的（带有Peano 余项的）泰勒公式，该公式定性的说明当x 趋于0x 时，逼近误差是较0()nx x -高阶的无穷小量.证明 设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只需证0)()(lim0=-x Q x R nn x x .由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知，0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n n n .并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====- ，因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)(x f .于是，当o0x U x ∈（）且0x x →时，允许接连使用洛必达（L'Hospital ）法则1-n 次，得到)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理2成立.当00x =时，得到泰勒公式)10(,)!1()(!)0(...!2)0('')0(')0()(1)1()(2<<++++++=++θθn n n n x n x f x n f x f x f f x f ，该式称为（带有Lagrange 余项的）麦克劳林公式. 当上式中00x =时有()2''(0)(0)()(0)'(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，它称为（带有Peano 余项的）麦克劳林公式.二、公式的应用（一）、泰勒公式在近似运算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x xn ≈++++[]4，其误差是余项()n R x . 例1[]5：计算e 的值，使其误差不超过610-.解 应用泰勒公式有11111...2!3!!(1)!e e n n θ=+++++++，(01)θ<<，估3(1)!(1)!n e R n n θ=<++，当=9n 时，便有6331010!3628800n R -<=<， 从而略去9R 而求得e 的近似值为718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e . 例2[]5: 求21x edx -⎰的近似值，精确到510-.解 因为21x e dx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达），现用泰勒公式的方法求21x e dx -⎰的近似值.在xe 的展开式中以2x -代替x 得24221(1)2!!nx nx x e x n -=-+++-+，逐项积分，得2421111121(1)2!!nx nx x edx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰111111(1)32!5!2n 1n n =-+-+-++11111111310422161329936075600=-+-+-+-+，上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤<，所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰.由于泰勒公式可以将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，所以当选定函数中的自变量时，就可以进行近似计算.在这个应用中主要注意选择适当的函数，然后运用麦克劳林展开式，带入数值.（二）、泰勒公式在求极限中的应用为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简洁的求出.接下来我们用两个例子来说明： 例3[]6：求极限2240cos limx x x ex -→-.解 考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取=4n ）245cos 1()224x x x o x =-++ ，)(82154222x o x x ex ++-=-，)(12cos 5422x o x ex x +-=--，因而求得，245244001()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→→-+-==-. 例4[]7: 求极限 )3(211ln 3)76(sin 6lim 2202x x xx x x x e x x +--+---→.解 )(!51!31sin 653x o x x x x ++-=， )(402767sin e 5532x o x x x x x ++-=-)(51413121)1ln(55432x o x x x x x x ++-+-=+ )(51413121)1ln(55432x o x x x x x x +-----=-)(52322)1ln()1ln(11ln 553x o x x x x x x x +++=+-+=-+，原式=5505527()40lim 6()5x x o x x o x →++=169.由上边两个例子可见，因为通常情况下对于函数多项式和有理分式的极限问题的计算是十分简单的，所以对于一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来的复杂的问题转化为类似多项式和有理分式的极限问题.综上所述，在式子满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限：(1)用洛必达法则时，次数比较多、求导过程和化简过程比较复杂的情况. (2)分子或分母中有无穷小的差， 且此差不容易转化为等价无穷小替代形式. (3)函数可以很容易的展开成泰勒公式.（三）、泰勒公式在方程中的应用泰勒公式在函数方程中应用比较广泛，题型也比较多，主要有判断根，方程次数等等一些证明类问题，做此类题，要注意观察题目中导数阶数，以便用泰勒公式展开到相应阶数.我们用三个例子来说明： 例5[]8: 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且()0f a >，'()0f a <，对(,)x a ∈+∞，''0f ≤证明 ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析： 这里()f x 是抽象函数，直接讨论()0f x =的根有困难，由题设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且()0f a >，'()0f a <，可考虑将()f x 在a 点展开一阶泰勒公式，然后设法应用介值定理证明.证明 因为''()0f x ≤，所以'()f x 单调减少，又'()0f a <，因此>x a 时，''()()0f x f a <<， 故()f x 在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<.由题设'()0f a <，'()0f ξ≤，于是有lim ()x f x →∞=-∞，从而必存在b a >，使得()0f b <，又因为()0f a >，在[,]a b 上应用连续函数的介值定理，存在0(,)x a b ∈，使0()0f x =，由()f x 的严格单调性知0x 唯一，因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.例6[]8： 设()f x 在(,)-∞+∞内有连续三阶导数，且满足方程，()()'(),01f x h f x hf x h θθ+=++<<. （1）试证：()f x 是一次或二次函数.证明 问题在于证明：''()0f x ≡或'''()0f x ≡.为此将（1）式对h 求导，注意θ与h 无 关.我们有'()'()''()f x h f x h hf x h θθθ+=+++， （2） 从而'()'()'()'()''()f x h f x f x f x h f x h hθθθ+-+-+=+.令0→h 取极限，得''()''()''()f x f x f x θθ-=，''()2''()f x f x θ=. 若21≠θ，由此知)(,0)(''x f x f ≡为一次函数；若21=θ，（2）式给出 111'()'()''()222f x h f x h hf x h +=+++，此式两端同时对h 求导，减去''()f x ，除以h ，然后令0→h 取极限，即得'''()0f x ≡，()f x 为 二次函数. 例7[]9： 已知函数)(x f 在区间(-1,1)内有二阶导数，且(0)'(0)0f f ==，''()()'()f x f x f x ≤+试证：0δ∃>，使得δδ-（，）内()0f x ≡. 证明 为了证明)(x f 在0=x 处的邻域内恒为零.我们将（3）式右端的)(x f ，)('x f 在0=x 处按公式展开.注意到(0)'(0)0f f ==.我们有22''()1()(0)'(0)''()22f f x f f x x f x ξξ=++=， '()'(0)''()''()f x f f x f x ηη=+=.从而21()|'()|''()''()2f x f x f x f x ξη+=+， 今限制11[,]44x ∈-，则()'()f x f x +在11[,]44-上连续有界，011[,]44x ∃∈-，使得 001144()'()max ()'().x f x f x f x f x M -≤≤+=+≡我们只要证明0M =即可.事实上20000001()'()''()''()2M f x f x f x f x ξη=+=+， ))('')(''(4100ηξf f +≤， ))()(')()('(410000ηηξξf f f f +++≤， 11242M M ≤⋅=. 即102M M ≤≤.所以0M =，在11[]44-，上()0f x ≡.由以上例题可见，在函数方程方面，泰勒公式对于求二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作合适的处理.（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用由于泰勒公式将函数和它的高阶导数结合了起来，所以遇到这类有高阶导数的证明时，首先应考虑用泰勒公式来求解.接下来我们用一个例子来说明： 例8[]9： 设)(x f 在],[b a 上三次可导，试证：(,)c a b ∃∈，使得31()()'()()'''()()224a b f b f a f b a f c b a +=+-+-. 证明 设k 为使下式成立的实数：31()()'()()()0224a b f b f a f b a k b a +-----=， 这时，我们的问题归为证明：(,)c a b ∃∈，使得'''()k f c =.令31()()()'()()()0224a x g x f x f a f x a k x a +=-----=. 则0)()(==b g a g ，根据Rolle 定理，(,)a b ξ∃∈，使得,0)('=ξg 即：1'()'()''()()202228a a a f f f k a ξξξξξ++-----=. 这是关于k 的方程，注意到)('ξf 在点2ξ+a 处的泰勒公式： 21'()'()''()'''()()022222a a a a f f f f c ξξξξξ++--=++=. （五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用我们知道有些函数是有界的，有的有上界，而有的有下界，结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们将探讨泰勒公式关于界的估计，下面通过例题来分析. 例9[]9： 设)(x f 在[0，1]上有二阶导数，10≤≤x 时|()|1f x ≤，''()2f x <.试证：当10≤≤x时，|'()|3f x ≤.证明 21(1)()'()(1)''()(1)2f f x f x x f x ξ=+-+-， 21(0)()'()()''()()2f f x f x x f x η=+-+-， 所以2211(1)(0)'()''()(1)''()22f f f x f x f x ξη-=+--， 22)1(|)(''|21)(''21|)0(||)1(||)('|x f x f f f x f -+++≤ξη，222(1)213x x ≤+-+≤+=.例10[]10： 设)(x f 二次可微，(0)(1)0f f ==，01max ()2x f x ≤≤=，试证01max ''()16x f x ≤≤≤-.证明 因)(x f 在[0,1]上连续，有最大、最小值.又因01max ()2x f x ≤≤=，(0)(1)0f f ==，最大值在(0,1)内部达到.所以)1,0(0∈∃x 使得001()max ()x f x f x ≤≤=.于是)(0x f 为最大值.由Fermat 定理，有0'()0f x =，在0x x =处按泰勒公式展开，)1,0(,∈∃ηξ使得：22000110(0)()''()(0)2''()22f f x f x f x ξξ==+-=+， 22000110(1)()''()(1)2''()(1)22f f x f x f x ηη==+-=+-.因此22010044max ''()min{''(),''()}min{,}(1)x f x f f x x ξη≤≤≤=---. 而 01[,1]2x ∈时，222000444min{,}16(1)1x x x --=-≤---（）， 01[0,]2x ∈时，222000444min{,}16(1)x x x --=-≤--， 所以 01max ''()16x f x ≤≤≤-.由上边例题可以总结出一些经验，比如当遇到求有关于界的问题，且涉及高阶导数时，通常考虑用泰勒公式来解题.在解题时可以应用这个经验尝试解题.（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.[]7例11[]11： 设)(x f 在],[b a 上二次可微，''()0f x <.试证：12...0,n i a x x x b k ∀≤<<<≤≥，11nii k==∑，有)()(11i ni i i ni i x f k x k f ∑∑==>.证明 取01ni ii x k x==∑，将)(i x f 在0x x =处按泰勒公式展开有：20000))((''21))((')()(x x f x x x f x f x f i i i i -+-+=ξ， ))((')(000x x x f x f i -+<， (1,2,3...,)i n = 以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11nii k==∑，11()0nniii ii i k x x k x x==-=-=∑∑，得)()()(101∑∑===<ni i i i ni ix k f x f x f k.例12[]11: 当0x ≥时，证明31sin 6x x x ≥-. 证明 取31()sin 6f x x x x =-+，00x =，则 '''''''''(0)0(0)0(0)0()1cos (0)0f f f f x x f ====-≥，，，，.带入泰勒公式，其中=3n ，得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时，31sin 6x x x ≥-. 由此可见，关于不等式的证明，有多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.但归结起来都可以看做是泰勒公式的特殊情形，所以证明不等式时，注意应用泰勒公式这个重要方法.（七）、泰勒公式在级数中的应用在级数敛散性的理论中，要判断一个正项级数∑=nn na1是否收敛，通常找一个简单的函数，)0(111>=∑∑==p n b nn p nn n ，在用比较判定法来判定，但是在实际应用中比较困难的问题是如何选取适当的∑=nn pn11（0>p 中的p 值）.如 当2=p ，此时∑∞=121n n收敛，但是+∞=∞→21lim n a n n ， 当1=p 时，此时∑∞=11n n发散，但是01lim =∞→na n n . 在这种情况下我们就无法判定∑=nn n a 1的敛散性，为了更好的选取∑=nn pn11中p 的值，使得lim 1n n p a t n→∞=且0t <<+∞，在用比较判别法，我们就可以判定∑=nn n a 1的敛散性. 例13[]11:讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到11lnln(1)n n n +=+，若将其泰勒展开为1n 的幂的形式，相呼应，会使判敛容易进行.解 因为2341111111lnln(1)234n n nn n n nn+=+=-+-+<， 所以<从而0n u=>，故该级数是正项级数.又因为3212n =>==-， 所以332211)22nun n=-<-=.因为31212n n∞=∑收敛，所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例14[]12:求211x x++的幂级数展开式.解利用泰勒公式231111xx x x-=++-36934679103467910(1)(1)1()222222222(1)[sin]3nnx x x x x x x x x x xx x x x x x xnxπ∞=-++++=-+-+-+-+=-+-+-+-++=由例题可见，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用如果()f x泰勒公式已知，其通项中的加项nxx)(-的系数正是)(!1)(xfnn，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例15[]12: 求函数x exxf2)(=在1x=处的高阶导数(100)(1)f.解设=+1x u，则eeueuugxf uu⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(nn gf=，ue在=0u的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998uouuuue u++++++= ，从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ，而()g u 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ，从()g u 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++，因此 100(0)121()100!98!99!100!g e =++，100(0)10101g e =⋅,e gf 10101)0()1(100100==.通过泰勒公式求高阶导数，这是泰勒公式比较简单的一种应用，重点就在于掌握，其通项中的加项nx x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n .在求导数时只需在系数上乘以!n 即可. 三、结 论泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具.它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用.本文介绍了泰勒公式以及它在八个方面应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解，对怎样应用泰勒公式解答具体问题有了更深一层的认识，只要在解题过程中注意分析，研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]华东师范大学数学系，《数学分析》（上），高等数学出版社，2008，134-141[2]裴礼文，《数学分析中的典型问题及方法》，高等教育出版社，2009，150-157[3]同济大学数学教研室主编，《高等数学》，人民教育出版社，2007，139-145[4]刘玉琏，《数学分析讲义》，人民教育出版社，2000，120-138[5]张利凯，《高等数学学习辅导》，科学技术文献出版社，2002，138-156[6]M.克莱因，《古今数学思想》，上海科学技术出版社，1988，165-168[7]W.盖勒特、H.奎斯特纳等，《简明数学全书Ⅱ.高等数学与现代数学》，上海科学技术出版社，1985，295-297[8]H.J.巴茨，《数学公式书册》，科学出版社，1987，439-440[9]闵祥伟，《高等数学学习指导与例题分析》，北京邮电大学出版社，2004，520-521，539-540[10]吴炯圻，陈跃辉等，《高等数学及其思想方法与实验》（上），厦门大学出版社，2008，122-127[11]上海财经大学应用数学系，《高等数学》，上海财经大学出版社，2004，66-71[12]蔡子华，《新编高等数学导学》，科学出版社，2002，336-337，369-376（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
泰勒公式的几种证明法及其应用-毕业论文
泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤-毕业论⽂泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤ -毕业论⽂【标题】泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤【作者】张廷兵【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应⽤【指导⽼师】陈波涛【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1引⾔泰勒公式在分析和研究数学问题⽅⾯有着重要的应⽤。
但是它的证明⼤多数是重复运⽤柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有⼀定的困难。
为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供⽅便。
本⽂研究不同的证明⽅法，给学习者提供了选择的余地。
归根结底，使学习者更好运⽤泰勒公式，为此就对泰勒公式的应⽤及技巧的总结。
2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明⽅法在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很⽅便。
如果将⼀类复杂的函数⽤多项式来近似表⽰出来，其误差⼜能满⾜⼀定的要求。
那么，我们就可以表⽰出此函数。
若函数是n次多项式令 .于是对任意⼀个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出⼀个相应的多项式称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a的邻域上有什么联系呢,下⾯的定理回答了这个问题(定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项.2.1⽅法⼀证明:将上式改为，有分⼦是函数 ,分母是函数 .应⽤n-1次柯西中值定理[2]其中其中其中 (⾄此已应⽤了n-1次柯西定理)当根据右导数定义,有同法可证:于是 , 表⽰余项是佩亚诺型. 证毕.2.2⽅法⼆证明在的⼀个邻域内有⼀阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与⽆穷⼩量的关系有:( 是⽆穷⼩量),⼜则 (2—1) 从(2—1)式推出:⽐较⽆穷⼩量与== (因为⼆阶可导) ⼜由极限与⽆穷⼩量的关系有:将上边代⼊(2—1)式:设 .则在处有阶导数,且设当时仍有:+ (2—2)从(2—2)中推出⽐较与 :=则: 即将上述代⼊(2—2)得:即当时, 仍可表⽰的阶多项式与之和，故对⼀切⾃然数n均有:2.3⽅法三证:设 [3]现在只要证显然可知,并易知因为存在,所以在点a的某领域内存在n=1阶导函数 . 于是，当且时,允许接连使⽤洛⽐达法则n-1次,得到=0证毕 .3带拉格朗⽇型余项的泰勒公式的证明⽅法定理1只是给出余项的定性描述,还不能进⾏定量的估计,下⾯定理解决了定性的估计.定理2[1] 若函数在闭区间[ a , b ] 上有连续的n 阶导数,在开区间( a , b) 内存在n + 1 阶导数则对任何x ?( a , b) ,则存在 ,使得3.1⽅法四在《⾼等数学》中，泰勒公式⼀般都是⽤柯西定理证明的，然⽽拉格朗⽇定理作为泰勒公式的特殊情况，担当对泰勒公式的证明，似乎更在情理之中。
(整理)毕业论文泰勒展开式及其应用伟
泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)pa dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）.例 1. 研究广义积分4(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()332f x x x x =++--112233(1)(1)2x x x=++--22223191131911(1())(1())22828x o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4(332)x x x dx +∞++--⎰.例2． 讨论级数111(ln )n n n n∞=+-∑的敛散性.注意到11lnln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛易进行. 解： 因为2341111111lnln(1)234n n n n n n nn+=+=-+-+<, 所以11ln1n n<+, 所以11ln 0n n u n n+=->，故该级数是正项级数. 又因为332332322111111111111ln()()23422n o n n n n n n n n n nn n +=-++>-+=-=-, 所以3322111111ln ()22n n u n n n nn n +=-<--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的.12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式：2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
泰勒公式和运用范文
泰勒公式和运用范文泰勒公式（Taylor series）是数学中一个非常重要的工具，它被用于在给定函数的其中一点附近近似展开这个函数。
泰勒公式的运用广泛，既用于数学推导，还用于物理、工程等领域中的问题求解。
本文将介绍泰勒公式的原理，并给出一些常见的应用例子。
一、泰勒公式的原理泰勒公式可以用来近似表示一些函数在其中一点附近的值。
公式的具体形式如下所示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)代表原函数在点x处的值，f(a)代表原函数在点a处的值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别代表原函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数的值。
x-a表示x相对于点a的偏移量。
泰勒公式可以通过不断添加高阶导数项来提高近似的精度。
当阶数无限逼近时，就得到了原函数的精确表达。
大多数情况下，我们只需要保留前几项就能够得到足够精确的近似结果。
二、泰勒公式的应用举例1.正弦函数的泰勒展开正弦函数是一个周期为2π的函数，我们可以将其在其中一点进行泰勒展开。
假设我们要在点a附近展开正弦函数，那么泰勒公式的表达式为：sin(x) = sin(a) + cos(a)(x-a) - sin(a)(x-a)²/2! - cos(a)(x-a)³/3! + ...当a=0时，泰勒展开简化为：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...这个公式可以用来计算比较小角度范围内的正弦值，由于幂函数和阶乘函数的增长速度很快，展开后的结果准确度相对较高。
2.自然指数函数的泰勒展开自然指数函数e^x是一个在整个实数域上定义的函数，我们可以将其在点0附近进行泰勒展开。
泰勒公式的表达式为：e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...这个公式可以用来计算自然指数函数的近似值，只需要保留前几项即可得到足够精确的结果。
论文---泰勒公式的应用
泰勒公式的应用摘要：泰勒公式是我们大学数学分析中一个很重要的公式，也是必资必学的一个公式，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这使得我们在解题的时候更加方便快捷，它不仅在近似计算上有独特的优势，利用它可以将非线性问题转化为线性问题，并能满足很高的精确要求。
如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在 1712 年的一封信里首次叙述了这个公式。
泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
除此之外，泰勒公式在应用于求极限， 判断级数的敛散性和多种不等式的证明中，这对深刻体会泰勒公式的重要作用， 拓宽我们的解题思维，提高分析与解决问题的能力以及综合运用知识的能力有着巨大的指导作用。
关键词：泰勒公式；近似计算；函数；敛散性；极限一、 引言1715 年，泰勒在其著作《正的和反的增量方法》中首先提出了著名的泰勒 f （x ）=f （x ）+f ′(x )(x − x ) + f ′′(x 0) (x − x )2 + ⋯ + f (n )(x 0)(x − x )n 当 x = 0 时2!n !O便称作麦克劳林公式。
1772 年，拉格朗日强调了这条公式的重要性，而且称之为微分学基本定理，但是泰勒在 证明中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，直到十九世纪二十年代才由柯西完成。
在初等函数中，多项式是最简单的函数。
因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。
如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差 又能满足要求，显然， 这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。
那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢?这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢?用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢? 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函 . 数值估测及近似计算，用多项式逼近函数， 求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是非常有用的工具。
泰勒公式及其在极限运算中的运用(论文)
摘要 (2)1 引言 (4)2 泰勒公式 (5)2.1 n次泰勒多项式 (5)2.2 泰勒公式 (6)2.3 泰勒公式的种类 (6)2.31 含有佩亚诺余项的泰勒公式 (6)2.32 含有拉格朗日余项的泰勒公式 (7)2.33 特殊的泰勒公式 (7)3 利用泰勒公式求极限及其应用 (8)3.1 一些常见的麦克劳林公式 (8)3.2 一些实例分析 (9)4 结论 (17)参考文献 (18)在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算.如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而又满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义.而泰勒公式就起了很好的桥梁作用，本文将系统地阐述对一个函数具有什么条件才能用此多项式近似代替；这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么样的关系；用多项式函数近似代替这个函数的误差又怎样；重点是怎样利用泰勒公式计算极限以及其在极限计算中的应用，对比分析出泰勒公式的优越性.关键词：泰勒公式；近似代替；极限运算AbstractPolynomial in elementary function is the most simple function, because the polynomial function is used only three kinds of add, subtract, multiply computing. If can the rational fractional function, especially the irrational function and elementary transcendental function approximation using polynomial function, and meet the requirements, obviously, the study of functional state and function value approximate calculation has important significance. And there was a very good role of bridge and Taylor formula, this article will systematically expounded is what condition for a function to substitute the polynomial approximation; The polynomial function coefficient and the function of what kind of relationship; Using polynomial function approximation instead of what the function of the error; Focuses on how to use Taylor formula calculation, the application limit and the limit analysis of the superiority of the Taylor formula.Key words：Taylor formula;and approximate replace;limit operation1 引言在数学中，泰勒公式是在级数基础上发展起来的，它是用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用.泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位.通过泰勒公式和极限运算的学习，已经掌握初等函数在某一点的泰勒展式，对于一些高阶的极限运算，直接求极限不好求，利用泰勒公式能很快地求出.所以对泰勒公式的进一步研究是非常重要的.泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果.例如，[1]刘玉琏、傅沛仁、林玎等人重点谈了无理函数和初等函数用多项式函数近似代替，而这时误差又能满足要求，也即是把函数写成n次泰勒多项式.[3]张筑生体统地谈了用n次多项式来研究可导n次的函数，也就是带小o余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.[4]沈燮昌、邵品琮等人主要是从逼近角度对它进行介绍，并说明泰勒公式的一些应用.其中用泰勒公式来求极限就是一个应用.对于一些高阶的极限运算，要求得其极限是非常困难的.对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的.通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中最重要的内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面.除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解.下面主要针对泰勒公式在极限中的应用，在一些题目当中，为解题带来了很多的便捷，这同时也为求极限提供了一种很好的方法.2 泰勒公式泰勒公式是微积分学中的一个重要内容，它用n 次多项式来研究可导n 次函数，这种带o 余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.因此，泰勒公式是求极限的重要方法.对泰勒公式及其种类的认识是很有必要的.2.1 n 错误!未找到引用源。
浅谈泰勒公式及其应用
论文提要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛，本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。
即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值。
浅谈泰勒公式及其应用摘 要： 本文介绍了泰勒公式及几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了八个问题.即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值.关键词：泰勒公式泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.1 预备知识定义 1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()n n f x T x T x ==+()0no x x +,即()()()()()()()()()().!!2000200000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+⋯+-''+-'+=为⑴式.⑴式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如()nx x o 0-的余项称为佩亚诺型余项.所以⑴式又称为带有佩亚诺余项的泰勒公式.当00=x 时，得到泰勒公式：()()()()()()()n n x o n f x f x f f x f ++⋯+''+'+=!0!20002.它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.定义1.2 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[]b a x ,0∈,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()()()()()()()()()()()()()100100200000!1!!2++-++-+⋯+-''+-'+=n n n n x x n x fx x n x f x x x f x x x f x f x f 为⑵式.⑵式同样称为泰勒公式，它的余项为()()()()()()()()1001!1++-+=-=n n n n x x n x f x T x f x R ， ()00x x x -+=θξ ()10<<θ，称为拉格朗日型余项.所以⑵式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.当00=x 时，得到泰勒公式()()()()()()()()()112!1!0!2000+++++⋯+''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ.它也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式. 常见函数的展开式：⑴()n xx xx o n n x e ++⋯+++=!!221； ⑵()()m m m x o m x x x x x 212153)!12(1!5!3sin +--+⋯++-=--；⑶()()12242)!2(1!4!21cos ++-+⋯++-=m m m x o m xx x x ；⑷()()()n nn x o nx x x x x +-+⋯++-=+-1321321ln ; ⑸()()()n nax o x n n a a a a a axx ++-⋯-+⋯+++=+!)1()1(!2111； ⑹()n n x o x x x x++⋯+++=-2111.2.泰勒公式的应用2.1利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷地求出.例2.1 求 0lim→x xx x x 3sin )cos (sin -. 证 设()()x x f sin =, ()x x g cos =用泰勒公式在0=x 处展开 它们的导数是有规律的分别按x cos ,x sin -,x cos -,x sin 和x sin -,x cos -,x sin , x cos 循环.f 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；g 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；()()⋯⋯-+-+=-+=∑∞=!5!3!10!0)0(0sin 530x x x i f x f x i i i()()⋯⋯-+-=-+=∑∞=!4!21!0)0(0cos 420x x i g x g x i i ii f ,i g , f ,g 为i 的阶导数代入所求式中原式0lim x →= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯+---32353!31!11)!51!41()!31!21(）（x x x x 20231111()()2!3!4!5!lim 111!3!x x x →⎡⎤---+⋯⋯⎢⎥⎣⎦=⎡⎤-+⋯⋯⎢⎥⎣⎦（）112!3!=- 13=2.2 利用泰勒公式证明中值公式例2.2 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证：∃(,)c a b ∈使得3)())((241)(2)()(a b c f a b b a f a f b f n -+-⎪⎭⎫⎝⎛+'+= ①证（待定常数法）设k 为使下式成立的实数0)(241)(2)()(3=---⎪⎭⎫⎝⎛+'--a b k a b b a f a f b f ② 这时，我们的问题回归为证明：),(b a c ∈∃使得)(c f k '''= ③令 3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--= ④ 则0)()(==b g a g根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得,0)(='ξg 有④式，即：()028222)(2=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'-'ξξξξξk a a f a f f ⑤这是关于k 的方程，注意到()ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式； ()2221222⎪⎭⎫⎝⎛-'''-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''+⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='a f a a f a f f ξξξξξ ⑥其中()b a c ,∈，比较⑤，⑥可得③式证毕2.3利用泰勒公式判断函数敛散性当要求判断极限的敛散性且条件出现有二阶和二阶以上导数时，考虑用泰勒公式展开判断极限敛散性.例2.3设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数，且()0lim=→xx f x .证明：级数)1(1∑∞=n nf 绝对收敛. 分析：可以先用泰勒公式求出)(x f 在点0=x 处的二阶导数，利用二阶导数判断0→x 时)(x f 的趋势.证 由()0lim=→xx f x ，又)(x f 在0=x 的邻域内具有二阶连续导数，可以推出0)0(=f ，0)0(='f .将)(x f 在0=x 的邻域内展开成一阶泰勒公式：=)(x f ()()2221!21)0()0(x f x f f f ξξ''=''+'+，其中ξ在0与x 之间. 由于题设，()x f ''在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续，因此，0>∃M 使得M x f ≤'')(，于是：222)(21)(x M x f x f ≤''=ξ. 令n x 1=，则212)(n M x f ⋅≤.因为∑∞=121n n 收敛，所以∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.2.4 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.例2.4 当0≥x 时，证明≥x sin -x 361x . 证 取()x f 361sin x x x +-=, 00=x ，则 ()00=f ，()00='f , ()00=''f , ()='''0f x cos 1-, ()0)(n f ≥0.带入泰勒公式，其中3=n ,得()3!3cos 1000x x x f θ-+++=,其中10<<θ. 故 当0≥x 时，≥x sin 361x x -.2.5利用泰勒公式判断函数的极值例2.5（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域()δ;0x U 内一阶可导，在=x 0x 处二阶可导，且()00='x f ， ()00≠''x f . （ⅰ）若()00<''x f ,则f 在0x 取得极大值. （ⅱ）若()00>''x f ,则f 在0x 取得极小值.证 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式()()()()()()()22002000!2o x x o x x x fx x x f x f x f -+-+-'+= .由于()00='x f ，因此()()=-0x f x f ()()()20012x x o x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+''. ① 又因()00≠''x f ,故存在正数δδ≤'，当x ()δ'∈;0x U 时，()021x f ''与 ()()1210o x f +'' 同号.所以，当()00<''x f 时，①式取负值，从而对任意()δ'∈;0o x U x 有 ()()00<-x f x f ， 即 f 在0x 取极大值.同样对()00>''x f ，可得f 在0x 取极小值. 2.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些比较复杂的初等函数的幂级数展开式.例2.6 求函数x e x -1在0=x 处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间.解 由于()=++⋯+++=n xx xx o n n x e !!221∑∞=0!n nn x ()+∞∞-∈,x 而=-x11∑∞=0n nx()1,1-∈x ,则=-xe x1=∑∞=0nn!x n n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+++0!1!21!111 ()1,1-∈x , 2.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用()x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为()()()()()()nn x n f x f x f f x f !0!20002+⋯+''+'+≈,其误差是余项()x R n .例2.7 计算8.1ln 2.1ln +， 误差小于001.0.8.1ln 2.1ln +()()2.012.01ln -+= ()04.01ln -=()--=04.0()()⋯--+-304.0204.032由于第二项已经001.0<，所以只取前两项即可 结果是0408.00008.004.0-=--.2.8利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果)(x f 泰勒公式已知，其通项中的加项n x x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n ，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例2.8求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f .解 设1+=u x ，则e e u e u u g xf u u ⋅+++==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(n ug f =， 0=u e u 在的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++⋯++=， 从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g ++++⋯++++=， 而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为()100100!100)0(u g ，从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++，因此 ())!1001!992!981(!100)0(100++=e g ，()10101)0(100⋅=e g ，()().10101)0()1(100100e g f ==本文主要介绍了泰勒公式以及它的八个应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解.怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识，只要在解题训练中注意分析，研究题设条件及其形式特点并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]华东师范大学数学系，数学分析（第三版）[M]高等教育出版社1981.[2]陈传章金福林：《数学分析》（下）北京：高等教育出版社，1986.[3]张子兰崔福菊：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社，1985.[4]王向东：《数学分析的概念和方法》上海：上海科学技术出版社，1989[5]同济大学数学教研室主编：高等数学[M].北京：人民教育出版社，1999.[6]刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义[M].北京：人民教育出版社，2000.。
泰勒公式及其应用论文.doc
泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要知识,在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的.本文主要阐述了利用泰勒公式进行近似计算和误差分析、求极限、求函数在某点处的高阶导数、求定积分、求某些微分方程的解、巧解行列式、判断函数极值与拐点、判断级数与广义积分的敛散性、证明不等式、证明根的唯一性等方面的应用及技巧.关键字：泰勒公式；应用；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值.一.引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.本文主要探索的是泰勒公式的一些重要应用,并对不同的应用进行相应的分析,并且通过例题分析说明泰勒公式的应用及注意事项和应用技巧.二.泰勒公式及其余项1.泰勒公式的基本概述若函数)(x f 在0x 处存在n 阶导数,则对)(0x U x ∈∀,有)()(!)()(!2)())(()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f n n +-++-''+-'+ , (1)])[()(0n n x x x R -=ο,)(0x x →,即)(x R n 是比n x x )(0-的高阶无穷小. (1)式称为)(x f 在0x 处的泰勒展开式.2.泰勒公式的重要形式泰勒定理中给出的余项])[()(0nn x x x R -=ο称为佩亚诺余项.佩亚诺余项])[(0n x x -ο只是给出来余项的定性描述,它不能估算余项)(x R n 的数值,还需要进一步的进行定量描述.（1）拉格朗日余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)()()(00)(2000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-+= , (2) 1)1()()!1()()(0++-+=n n n x x n f x R ξ称为拉格朗日余项,其中ξ在x 与0x 之间,称(2)式为)(x f 在0x 的带拉格朗日余项的泰勒公式.当00=x 时, (2)式变成)(!)0(!2)0()0(')0()()(2x R x n f x f f f x f n nn ++++= ,1)!1()()()1(++=+n n x n f x R n ξ,其中ξ在0与x 之间,称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.（2）柯西余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (3))()(!)()(0)1(x x x n f x R n n n --=+ξξ,其中ξ在x 与0x 之间,称(3)式为)(x f 在0x 带柯西余项的泰勒公式.当00=x 时, (3)式变成)(!)0(!2)0()0()0()()0(2x R x n f x f x f f x f n n+++''+'+= ,1)1()1(!)()(++-=n n n n x n x f x R θθ,其中10<<θ,称此式为带柯西余项的麦克劳林公式.（3）积分余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (4)⎰-=+x x n n n dt t x t f n x R 0))((!1)()1(,称(4)式为)(x f 在0x 带积分余项的泰勒公式.3.常见函数的展开式12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ；)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nx o n x x x x x ；24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+；)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x ； )(1112n n x o x x x x+++++=- ；+-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m .三.泰勒公式的应用1.利用泰勒公式近似计算和误差估计在研究学习过程中,我们经常因为一些数据是无理数而无法得出具体的数值,但是通过泰勒公式就可以将这些数表示成容易计算并且可以计算的形式,进而得出具体的数值来近似该数.另外绝大多数的数值计算结果都会有误差,但是通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差,同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在近似计算和误差估计中应用就显得十分突出.下面在具体例子展示泰勒公式计算的方便与精确.例1 计算e 的值,使其误差不超过610-.解 x e x f =)(,由x n e x f=+)()1(,得到12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ,10,<<θ)(∞+-∞∈，x .有: )!1(!1!2111++++++=n e n e θ,故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ,当9=n 时,便有691036288003!103)1(-<=<R , 从而略去)1(9R 而求得的近似值为.718285.2!91!31!2111≈+++++≈ e例2 2128x x ≈+-,[0,1]x ∈的绝对误差.解 设()f x =则因为1)0(=f ,21)1(21)('-+=x x f , 21)0('=f ,23)1(41)(''-+-=x x f , 41)0(''-=f ,.)1(83)('''25-+=x x f所以x x f +=1)(带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：2532)1(168211-++-+=+x x x x x θ,)10(<<θ.从而：161)1(16)(2532≤+=-x x x R θ ,]1,0[∈x . 2.利用泰勒公式求极限正如我们所知的一样,有一些特殊的极限通过一些常规的方法是没有办法直接计算得出来的,比如常见的00、∞∞型等,而通过利用泰勒公式将其中的一些项用泰勒展式替换将函数的极限化为类似于多项式有理式的极限,就可以解决这些问题的极限计算.例3 求30)1(sin lim x x x x e x x --→的极限. 解 因为分母为3x ,故分子的泰勒展开式中取3=n .)(!3!21332x o x x x e x++++= , )(!3sin 43x o x x x +-=.30)1(sin lim x x x x e xx --→3433320)1()](!3)][(!3!21[lim x x x x o x x x o x x x x --+-++++=→324320)(!3lim x x x x o x x x x --+++=→3430)(!3limx x o xx +=→ 31=. 例4 设函数)(x ϕ在],0[+∞上二次连续可微,如果)(lim x x ϕ+∞→存在,且)(''x ϕ在],0[+∞上有界.求证：0)('lim =+∞→x x ϕ.证明 要证明0)('lim =+∞→x x ϕ,即要证明:0>∀ε,0>∆∃ ,当∆>x 时, εϕ<)('x .利用泰勒公式,2)(''21)(')()(,0h h x x h x h ξϕϕϕϕ++=+>∀, 即 2)(''21)]()([1)('h x h x h x ξϕϕϕϕ--+=, (5)记)(lim x A x ϕ+∞→=,因''ϕ有界,所以0>∃M ,使得)()(''a x M x ≥∀≤，ϕ,故由(5)知221))()((1)('Mh x A A h x h x +-+-+≤ϕϕϕ, (6) 对0>∀ε,首先可取0>h ,充分小,使得2212ε<Mh ,然后将h 固定. 因A x x =+∞→)(lim ϕ,所以0>∆∃,当∆>x 时2))()((1εϕϕ<-+-+x A A h x h , 从而由(6)式即得.22)('εεεϕ=+<x3.利用泰勒公式判断函数极值拐点例5 设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)('0=x f ,0)(''0≠x f .证明(i)若0)(''0<x f ,则f 在0x 取得极大值； (ii) 若0)(''0>x f ,则f 在0x 取得极小值. 证明 由条件,可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)('')(!1)(')()(20200000x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=. 由于0)('0=x f ,因此2000))](1(2)(''[)()(x x o x f x f x f -+=-. (7) 又因0)(''0≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(''210x f 与)1()(''210o x f +同号. 所以,当0)(''0<x f 时, (7)式取负值,从而对任意)';(0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(''0>x f ,可得f 在0x 取得极小值.例6 判定)4,0(是否是x e e x f x x cos 2)(++=-的拐点？解 x e e x f x x sin 2)('--=-,0)0('=f ；''()2cos x x f x e e x -=+-,0)0(''=f ； '''()2sin x x f x e e x -=-+,0)0('''=f ； (4)()2cos x x fx e e x -=+-,(4)(0)40f =≠.因为4n =,所以)4,0(不是)(x f 的拐点.注： 用泰勒公式可证明：若)(x f 在某个),(0δx u 内n 阶可导,且满足0)()('')('0)1(00=+==-x f x f x f n ,且，0)(0)(≠x f n )2(>n ,若：（1）n 为奇数,则))(,(00x f x 为拐点； （2）n 为偶数,则))(,(00x f x 不是拐点.4.利用泰勒公式判断级数的敛散性当我们所要判断的级数的表达式是由不同类型的函数构成的较为复杂的形式的时候,我们直接是很难判断该级数的敛散性的,但是如果利用泰勒公式将其形式化简成统一的形式,就可以利用相应的收敛准则快速地判断级数的收敛性了.下面通过例题说明如何利用泰勒公式判断级数的收敛性.例7 讨论级数)1111(22nn n a n n n ---=∑∑∞-∞-的敛散性. 解 由比较判别法可知：若11lim =∞→pnn n a ,+∞<<p 0,则正项级数∑∞-2n na和正项级数∑∞-21n pn同是收敛和发散.为了选取∑∞-21n pn中的p 的值,可以用泰勒公式研究通项0→n a ,)(∞→n 的阶.n n n a n 1111---=nnn n 1)1(11--⋅=n n n o n n n 11))1(()1(11[122--+++=n n n o n n n 11)1(1112/32/3--+++=)1(12/32/3n o n +=.因为当23=p 时11lim 23=∞→n a nn , 所以正项级数∑∞-21n pn收敛.故∑∞-2n na收敛.即证.5.利用泰勒公式判断广义积分的敛散性.)(x f 为正值函数,要判定dx x f a)(⎰+∞的收敛性.若能找到恰当的p xx g 1)(=,0>p 使l x g x f x =+∞→)()(lim ,又比较判别法的极限形式可判别出无穷积分dx x f a)(⎰+∞的收敛性.这里的问题也是如何选取0>p ,才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究)(x f 的阶,就可以解决这类问题.例8 研究广义积分dx xx xx ⎰-1sin sin 的敛散性.解 因为sin sin x xx x =∞-,所以0=x 是瑕点.由比较判别法可以知道,)(l dx x f x q =+∞<<l 0,则1q <时,()1f x dx ⎰收敛；当1q ≥时,()1f x dx ⎰发散. 因为 )(!3)](!3[sin sin 4343x o x x x x o x x x x x x x +--+-=- )](1[6)](611[32x o xx o x ++-=.所以 0sin lim 6sin x x xx x x+→⋅=-.因为1q =,所以广义积分dx xx xx ⎰-10sin sin 发散. 6.利用泰勒公式求函数在某点处的高阶导数如果)(x f 泰勒公式已知,其通项中的加项)()(n a x -的系数是)(!10)(x f n n ,从而可求高阶导数数值)(0)(x f n ,而不必依次求导.例9 写出22()x f x e-=的麦克劳林公式,并求)0()98(f与)0()99(f .解 因)(!2122n nxx o n x x x e +++++= ， (8)用)2(2x -替换(8)中的x ,得)(!2)1(!22212224222n n nn x x o n x x x e+⋅-++⋅+-=- , 由泰勒公式系数的定义,在上述)(x f 的麦克劳林公式中,98x 与99x 的系数分别为!4921)1()0(!9814949)98(⋅⋅-=f ,0)0(!991)99(=f . 由此得到!492!98)1()0(4949)98(⋅⋅-=f ,0)0()99(=f . 例10 求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f .解 设1+=u x ,则e e u e u u g xf u u ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n ng f =,u e 在0=u 的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++++= ,从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ,而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ,从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++, 因此)!1001!992!981(!100)0(100++=e g ,10101)0(100⋅=e g , e g f 10101)0()1(100100==.7.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式主要是因为当我们证明的不等式中含有初等函数和多项式的混合物时,我们可利用泰勒公式将其化为统一的形式,方便我们的证明.例11 当0≥x 时,证明361sin x x x -≥.证明 取361sin )(x x x x f +-=,00=x ,则 0)0(=f ,0)0('=f ,0)0(''=f ,x x f cos 1)(''-=,0)0(''≥f .带入泰勒公式,其中3=n ,得3!3cos 1000)(x x x f θ-+++=,其中10<<θ. 故当0≥x 时,361sin x x x -≥. 例12 设)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,且0)(''≥x f ,则nn n nnn p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤++++2122121221)()()()(11，其中n p p p ,,21 均为正数；),(,,21b a x x x n ∈ .证明 记nnn p p p x p x p x p x ++++=2122101,则),(0b a x ∈.由于)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,故)(x f 在点0x 处一阶泰勒公式成立.20000)(!2)(''))((')()(x x f x x x f x f x f -+-+=ξ,ξ在x 与0x 之间. 因为 0)(''≥x f ,),(b a x ∈,所以 0)(''≥ξf ，))((')()(000x x x f x f x f -+≥.分别取n x x x x ,,21 =,则有))((')()(0001x x x f x f x f -+≥； ))((')()(0002x x x f x f x f -+≥；).)((')()(000x x x f x f x f n -+≥以上各式分别乘以12,,,n p p p ,得))((')()(000111x x x f x f p x f p -+≥； ))((')()(000222x x x f x f p x f p -+≥；))((')()(000x x x f x f p x f p n n n -+≥.将上面n 个不等式相加得].)()[(')()()()()()(02122110002012211x p p p x p x p x p x f x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n n n n ++-+++++++≥+++因为nnn p p p x p x p x p x +++++=2122110,所以)()()()()()(002012211x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n +++≥+++ .即nn n p p p x f p x f p x f p x f +++++≤2122110)()()()(，从而nn n n n n p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤+++++212211212211)()()()(.即证.注： 利用泰勒公式证明函数不等式,主要有两步：(1)构造一个函数)(x f ,选一个展开点0x ,然后写出)(x f 在0x 处带有拉格朗日余项的泰勒公式； (2)根据所给的最高阶导数的大小,函数的界或者三角不等式对),(b a ∈ξ进行放缩. 设函数)(x f 在点0x 附近二阶可导,由泰勒展式显然有结论： （a ）若0)(''≥x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≥； （b ）若0)(''≤x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≤.8.利用泰勒公式证明根的唯一存在性例13 设)(x f 在),[+∞a 上二阶可导,且0)(>a f ,0)('<a f ,对),(+∞∈a x ,0)('<x f ,证明：0)(=x f 在),(+∞a 内存在唯一实根.分析：这里)(x f 是抽象函数,直接讨论)(x f =0的根有困难,由题设)(x f 在[,)a +∞上二阶可导且()0,'()0f a f a ><,可考虑将)(x f 在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明.证明 因为0)('≤x f ,所以)('x f 单调减少,又0)('<a f ,因此a x >时,0)(')('<<a f x f ,故)(x f 在),(+∞a 上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有)()(2)('))((')()(2x a a x f a x a f a f x f <<-+-+=ξξ.由题设0)('<a f ,0)('≤ξf ,于是有-∞=+∞→)(lim x f x ,从而必存在a b >,使得0)(<b f ,又因为0)(>a f ,在],[b a 上应用连续函数的介值定理,存在),(0b a x ∈,使0)(0=x f ,由)(x f 的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在),(+∞a 内存在唯一实根.9.利用泰勒公式巧解行列式若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作)(x f ,按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例14 求n 阶行列式D =xz z z y xzzyy x zyy y x. (9)解 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：n n n n n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)('')(!1)(')()()(2--+-+-+= , (10)易知1)(0000000000--=-----=k ky z z y z y yz y y z y y z y y z D(11)由(11)得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-. 根据行列式求导的规则,有)()('1x nf x f n n -=,)()1()('2x f n x f n n --=,… ,)(2)('12x f x f =,1)('=x f n (因为x x f =)(1).于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为21)()(|)(')('--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f , 31)()1()('|)('')(''--=--===n n z x n y z z n n z nf z fn z f ,… … … …z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--,12)1()()(⋅-= n n z f n n .把以上各导数代入(10)式中,有nn n n n n z x n n n z x z n n n z x y z z n n z x y z z n y z z x f )(!12)1()()!1()21()()(!2)1()()(!1)()(12321-⋅-+---++-⋅--+--+-=----若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.10.利用带积分型余项的泰勒公式求定积分例15 计算⎰<<∈-++b a n n b a N n dx x b x)0(),(,)(12.解 设xx f 1)(=，则21)1()!1()1()(++++-=n n n x n x f ， dx x b x n dx xx b nn b a n ba n n )()1()!1()1()()1(12-+-=-+++⎰⎰ ])()1()(1)(111[!)!1()1(112321n n n n a b a a b a a b a a b n n --++---+-⋅+-=++ ba bn n n 11)1(1)1(++-⋅+-=. 注: 由带积分余项的泰勒公式可得以下引理.引理： 若函数)(x U ,)(x V 在闭区间],[b a 上存在连续的1+n 阶导数，则有b a ban n n n n x V x U x V x U x V x U dx x V x U ⎰-++-=-+)]()()1()()(')()([)()()()1()()1(⎰++-+ban n dx x V x U )()()1()1(1，)3,2,1( =n .11.利用泰勒公式求某些微分方程的解泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用.解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定x 和y 初值的联立方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx给出初值),,(000t y x . 我们用如下形式表示一个x 和y 的联立方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx(12) 求方程组(12)通过点),,(000t y x 的特解,其中已知).,,(000t y x 我们设想用一种逼近计算求出在下列各点kh t t h t t h t t h t t k +=+=+=+=0030201,,3,2, 处y x ,的近似值,其中h 为t 轴上选取的恰当步长.现在,设在k t t =处,已求出y x ,的近似值,且表示为).(),(k k k k t y y t x x == 由泰勒公式可知：,!3)('''!2)('')(')()(32 ++++=+h t x h t x h t x t x h t x++++=+!3)('''!2)('')(')()(32h t y h t y h t y t y h t y . (13) 令k t t =,即可得出计算11++k k y x 值的公式 3,2,1,0=k,!3)('''!2)('')(')()(321++++=+=+h t x h t x h t x t x h t x x k k k k k k++++=+=+!3)('''!2)('')(')()(321h t y h t y h t y t y h t y y k k k k k k . (14)其中),,('t y x F dtdxx ==, ),,('k k t y x F x k k =, ),,('t y x G dtdy y == , ),,('k k t y x G y k k =,,''t F dt dy y G dt dx x F x ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,''t G dt dy y G dt dx x G y ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x F y y t y x F x x t y x F x k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x G y yt y x G x xt y x G y k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=……,),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n t t y x F x x t F xk k.),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n tt y x G y y t G yk k 当给定了初值条件),,(000t y x 时,由方程(14),令0=k ,则得出：,!3'''!2'''3020001 ++++=h x h x h x x x .!3'''!2'''3020001 ++++=h y h y h y y y其中1x ,1y 在取近似值时的保留项数,取决于步长h 及所需的精确度.当求出1x ,1y 后,再令1k =,可求出2x ,2y ,后面依次类推.取近似值时所要保留的项数,也可由上同样处理.为了说明以上方法,下面举个简单例子.例16 求：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dtdx的解,其初始条件为,0=t 处, 2=x ,0=y .解 首先,我们可选定步长1.0=h ,并依次计算 ,2.0,1.0=t 等处的近似值,由逐次求导得出)3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n x x x x x x t x x n n , )3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n y y y y y t y y n n .因此在0=t 处,有1,1,,1''',1''',0',2',0,200000000========nn y x y x y x y x ,令0=k ,则方程组(14)给出++++=6223012h h h x x=2052.20002.00050.02000.02=++++ .++++=6223012h h h y y2052.20002.00050.02000.02=++++= .接着在1.0=t 处,有2052.2,2052.211==y x ； 1052.2',1052.2'11==y x ；1052.1'',1052.1''11==y x ； 1052.1''',1052.1'''11==y x ；……令1=k ,由方程(14)：++++=!3'''!2'''3111122h x h x h x x x4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .++++=!3'''!2'''3111122h y h y h y y y4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .这个过程可以根据需要不断地重复进行.四.总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的多个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,对怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]刘玉琏,傅沛仁编.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社,2003：233-234. [2]丁晓庆.工科数学分析[M].北京：科学出版社，2001：191-192.[3]孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法(上)[M].武汉：华中科技大学出版社，2009：140-147. [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2005：173-179. [5]邵剑，陈维新.大学数学考研专题复习[M].北京：科学出版社，2005:62-62. [6]丁凡.浅析泰勒公式的应用[J].数学通讯,2003(13):56-58.[7]斯瑜.泰勒公式在计算中的应用[J].兰州理工大学学报,2005(10):13-16. [8]郑玉仙.泰勒定理的妙用[J].陕西省:高等数学研究，2006(01):46-47.[9]齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2003（04）：24-25. [10]王三宝.泰勒公式的应用举例[J].高等函授学报，2005:14-15.Application of Taylor formulaName:Zhao Zaibiao Student ID:2009010287 Tutor:Cui Shuli(Shihezi University College of Science Department of mathematics Zip code:832000)Abstract: Taylor formula is one of the most important knowledge in mathematical analysis,which will achieve the goal to solve some of the math problems quickly.This paper mainly expounds the elaborated using the Taylor formula for approximate calculation and error analysis,limit and function at some point in some higher order derivative,definite integral and differential equation solution,smart solution determinant, judgment of function extreme value and a inflection point, judging progression and improper integral of divergence, the inequality proof and prove the uniqueness of the root of the application and skill.Keywords: Taylor formula；application；limit；inequality；convergence；the existence and uniqueness of the maximum root.。
泰勒公式及其在解题中的应用毕业设计论文
毕业设计（论文）题目：泰勒公式及其在解题中的应用Title: Taylor formula and its application in solving problems学院：理学院专业：信息与计算科学姓名：罗书云学号：08102209指导教师：蔡奇嵘二零一二年六月摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。
它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。
泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很大的作用。
文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地，对泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题的应用上做了详细系统的介绍，并且本文讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，进一步将泰勒公式推广到更一般的形式。
关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；拉格朗日型余项；应用ABSTRACTTaylor's formula is an important part of mathematical analysis, the theory has become an indispensable tool of the research function limits and estimation error, which embodies the essence of calculus "approximation method", It have an unique advantage in the approximate calculation, it also can make complex issues into simplistic, non-linear problem into a linear problem, and can meet the very high accuracy requirements. It is the promotion of the mean value theorem in calculus, is also an important tool for the application of higher order derivatives of the functional state. Taylor formula in the calculus of the various fields have important applications, and the Taylor formula for complex simple "function in the mathematical field of research has played a significant role. This article in addition introdution Peano remainder and Lagrange remainder term of Taylor formula commonly used in approximate calculation, the limit inequality proof to determine the function extremum for solving prove, in particular, A detailed introduction of the Taylor formula in the application of the function bump and the inflection point judgment, the judgment of convergence and divergence of series and generalized integral, determinant calculation, and the article discusses a new method to prove that the Taylor formula, further Taylor formula to the more general form.Keywords: Taylor formula; Peano more than; Lagrange remainder; application东华理工大学毕业设计（论文）目录目录1. 绪论 (1)1.1综述 (1)1.2泰勒公式的研究背景 (2)1.3泰勒公式的研究意义 (2)1.4泰勒公式的研究目的 (2)1.5本论文所做的工作 (3)1.6本论文的基本思路与采用的方法 (3)2. 泰勒公式 (4)2.1泰勒公式的建立 (4)2.2泰勒公式的定义 (6)2.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式 (6)2.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 (7)3. 泰勒公式的新证明及其推广 (8)3.1罗尔中值定理的两种推广形式 (8)3.2泰勒公式的新证明 (10)3.3泰勒公式的推广 (11)4. 泰勒公式在解题中的应用 (15)4.1利用泰勒公式求近似值 (15)4.2利用泰勒公式求极限 (16)4.3泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用 (17)4.3.1 判断级数的敛散性 (17)4.3.2 判断广义积分的敛散性 (18)4.4泰勒公式在判别函数的极值中的应用 (19)4.5泰勒公式在不等式证明中的应用 (20)4.6泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用 (22)4.6.1 判断函数凹凸性 (23)4.6.2 判别函数拐点 (24)4.7泰勒公式在行列式计算方面的应用 (25)结论及展望 (27)致谢 (28)参考文献 (29)东华理工大学毕业设计（论文） 绪论11. 绪 论1.1 综述十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。
泰勒公式及应用论文
毕业论文题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣学生学号： 0805010325 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届指导教师：向伟目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言： (1)1泰勒公式 (2)1.1带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2)1.2带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2)1.3带有积分型余项的泰勒公式 (2)1.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3)2 泰勒公式的应用 (3)2.1利用泰勒公式求极限 (3)2.2利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5)2.3 利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8)2.4利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11)2.5研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12)结语 (12)致谢 (13)参考文献 (13)泰勒公式及应用学生：陆连荣指导教师：向伟淮南师范学院数学与计算科学系摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。
关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性Taylor formula and its applicationStudent: Lu LiangrongInstructor : Xiang WeiDepartment of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal UniversityAbstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence前言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泰勒公式及应用论文 Prepared on 22 November 2020毕业论文题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣学生学号： 05 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届指导教师：向伟目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言： (1)1泰勒公式 (2)带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2)带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2)带有积分型余项的泰勒公式 (2)带有柯西型余项的泰勒公式 (3)2 泰勒公式的应用 (3)利用泰勒公式求极限 (3)利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5)利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8)利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11)研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12)结语 (12)致谢 (13)参考文献 (13)泰勒公式及应用学生：陆连荣指导教师：向伟淮南师范学院数学与计算科学系摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。
关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性Taylor formula and its applicationStudent: Lu LiangrongInstructor : Xiang WeiDepartment of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal University Abstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence前言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 判断级数及积分的敛散性, 求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个不等式及中值公式与求解导数这几个方面的具体应用方法。
1 泰勒公式带有拉格朗日余项的泰勒公式如果函数)(x f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的∈0,x x ],[b a ，至少存在一点∈ξ),(b a ，使得:它的余项为)10)((,)()!1()()(0010)1(<<-+=-+=++θθξξx x x x x n f x R n n n ,称为拉格朗日余项。
当=0x 0时，得到泰勒公式：称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。
带有佩亚诺型余项的泰勒公式如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内存在直至n 阶导数,则对此邻域内的点x 有： 当=0x 0时，上式称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式。
带有积分型余项的泰勒公式如果函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有1+n 阶导数,令∈x )(0x U ,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 和x 之间至少存在一个t 使得：dtt x t f n x x n x f x x x f x x x f x f x f n xx n n n ))((!1)(!)(...)(!2)())(()()(0)1(00)(200''00'0-+-++-+-+=⎰+其中dt t x t f n nxxn ))((!10)1(-⎰+就是泰勒公式的积分型余项。
带有柯西型余项的泰勒公式如果函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内具有1+n 阶导数,令∈x )(0x U ,则对该邻域内异于0x 的任意点有： 当=0x 0时，又有10,)1)((!1)(11≤≤-=++θθθn n n n x x f n x R )2(其中)1(,)2(都称为泰勒公式的柯西型余项。
2 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限应用泰勒公式求极限时,常用到的展开式有：)1()(!...!212n nxx o n x x x e +++++=； )2()()!12()1(...!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-=--； )3()()!2()1(...!4!21cos 12242++-+++-=n n n x o n x x x x ； )4()()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-+++-=+-； )5()(!)1)...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα；)6()( (111)2n n x o x x x x+++++=-；上述展开式中的符号)(nxo 表示当0→x 时,它是一个较n x 高阶的无穷小,亦即有:0)(lim 0=→nn x x x o ;根据这个定义容易验证:当0→x 时有: )1()()()(n n n x o x o x o =+)0(>n ；)2()()()(nnmx o x o x o =±)0(>>n m ；)3()()()(n m n m x o x o x o +=⋅)0,(>n m ； )4()()(n m n m x o x o x +=⋅)0,(>n m ； )5()()(n n x o x o C =⋅)0,0(>≠n C 。
例1 求4202cos limx e x x x -→的极限。
分析：此为0型极限，若用罗比塔法则很麻烦。
这时可将x cos 和22x e分别用其泰勒展开式代替，则可简化此比式。
解:利用展开式:)(2421cos 542x o xx x ++-=，)(82154222x o x x e x ++-=-,由此可得:)(12cos 5422x o x e x x +-=--，所以:121)(121lim cos lim45404202-=+-=-→-→x x o x x e x x x x 。
例2 求极限20211lim xx x x --++→。
分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。
若使用泰勒公式可以将问题大大简化。
解：将x +1、x -1在=x 0点的麦克劳林公式展开到2x 项得：)(821122x o x x x +-+=+， )(821122x o xx x +--=-， 则原式=20)11()11(lim x x x x --+-+→=222220)](8121[)](8121[lim xx o x x x o x x x +--++-→ =41)(8181lim 22220-=+--→x x o x x x 。
例3 求极限xxx 4sin tan lim0→。
解：由于)0(4~4sin ),0(~tan →→x x x x x x ，从而有414lim 4sin tan lim 00==→→x x x x x x 。
总结：用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。
我们知道，当0→x 时，x x x x →→tan ,sin 等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。
利用泰勒公式证明不等式及中值问题如果函数)(x f 的二阶及二阶以上导数存在且有界则用泰勒公式去证明这些不等式。
例1 设1>α，证明当1->x 时成立x x αα+>+1)1(,且等号仅当=x 0时成立。
证明：α)1()(x x f +=在),1(∞-上二阶可导，且有ααα=+==-)0(,)1()(;1)0('1'f x x f f ；以及 2'')1)(1()(-+-=αααx x f ；于是，对)(x f 应用在=x 0处的带拉格朗日余项的泰勒公式得：1,)1(!2)1(1)1(22->+-++=+-x x x x x ααθααα，注意到上式最后一项是非负的且仅当=x 0时为0.所以1,1)1(->+≥+x x x αα，且等号仅当=x 0时成立。
例2 设函数)(x f 在]1,0[上二次可微，且0)1()0(==f f ，1)(min 100-=≤≤x f ，试证：存在一点)1,0(∈ξ，使8)(''≥ξf 。
分析：)(x f 在]1,0[上二次可微，且最小值01≠-，所以在)1,0(内一定有极值点，该点的导数为0，题中可知)(x f 二次可微，从这点我们可以想到使用泰勒公式，而要证明的结论中右边是一个常数，故选在最小值点0x 处泰勒展开。