四种命题及其相互关系 课件
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四种命题、四种命题间的相互关系 课件
答案 B
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 ①逆命题：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是 真命题．
②∵原命题是假命题，∴其逆否命题是假命题． ③否命题：“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，例如x＝4>－ 3，则有x2＋x－6＝16＋4－6>0.∴为假命题． ④逆命题：“若a，b是无理数，则ab是无理数．”举反 例，取a＝( 2 ) 2 ，b＝ 2 ，则ab＝2是有理数，故为假命 题．
原命题：若p，则q(p⇒q)； 逆命题：若q，则p(q⇒p)； 否命题：若綈p，则綈q(綈p⇒綈q)； 逆否命题：若綈q，则綈p(綈q⇒綈p)．
2．四种命题间的关系
3．四种命题的真假关系 (1)一个命题总可以改写为“若p，则q”的形式．其中p 为命题的条件，q为命题的结论．如“正数的平方根不等于 0”．可改写为：“若a为正数，则a的平方根不等于0”．这 里增加了一个字母a，以便表达更清楚．
四种命题 四种命题间的相互关系
1.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命 题叫做________，其中一个叫________，另一个叫原命题的 ________．
2．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是 另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个 命题叫做________．如果把其中的一个叫做原命题，那么另 一个叫做原命题的________．
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 即逆否命题为真命题，故原命题为真命题．
题型三 判断命题的真假
例4 有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 ①逆命题：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是 真命题．
②∵原命题是假命题，∴其逆否命题是假命题． ③否命题：“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，例如x＝4>－ 3，则有x2＋x－6＝16＋4－6>0.∴为假命题． ④逆命题：“若a，b是无理数，则ab是无理数．”举反 例，取a＝( 2 ) 2 ，b＝ 2 ，则ab＝2是有理数，故为假命 题．
原命题：若p，则q(p⇒q)； 逆命题：若q，则p(q⇒p)； 否命题：若綈p，则綈q(綈p⇒綈q)； 逆否命题：若綈q，则綈p(綈q⇒綈p)．
2．四种命题间的关系
3．四种命题的真假关系 (1)一个命题总可以改写为“若p，则q”的形式．其中p 为命题的条件，q为命题的结论．如“正数的平方根不等于 0”．可改写为：“若a为正数，则a的平方根不等于0”．这 里增加了一个字母a，以便表达更清楚．
四种命题 四种命题间的相互关系
1.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命 题叫做________，其中一个叫________，另一个叫原命题的 ________．
2．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是 另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个 命题叫做________．如果把其中的一个叫做原命题，那么另 一个叫做原命题的________．
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 即逆否命题为真命题，故原命题为真命题．
题型三 判断命题的真假
例4 有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
四种命题及其相互关系-课件
• [答案] 逆命题 • [解析] 解法1：依据四种命题的关系图解．
• 由图示可知？处应为互逆关系．
• 解法2：用特殊命题探究
• p：若x>2，则x>1，r：若x>1，则x>2，s： 若x≤1，则x≤2，p的否命题：若x≤2，则x≤1， 故s是p的否命题的逆命题．
典例探究学案
•四种命题的概念
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)若 a>b，则 ac2>bc2.
若命题 p 的否命题为 q，命题 p 的逆否命题为 r，
则 q 与 r 的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
• [答案] A
• [分析] 研究命题之间的关系，将命题写成 “若p则q”形式，然后依据四种命题的定义解 答．
• [解析] 设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A， 则¬B”，r为“若¬B，则¬A”．由于q和r的条件 和结论互换，故q和r互为逆命题．
• [方法规律总结] 1.写出四种命题的方法
• (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题；
• (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是否命题；
• (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是逆否命题．
• 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命 题．
• (1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0； • (2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数． • [解析] (1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2
• [解析] 本题主要考查命题的四种形式．写逆 否命题时，将原命题的题设和结论分别否定 再交换．故选C.
• 由图示可知？处应为互逆关系．
• 解法2：用特殊命题探究
• p：若x>2，则x>1，r：若x>1，则x>2，s： 若x≤1，则x≤2，p的否命题：若x≤2，则x≤1， 故s是p的否命题的逆命题．
典例探究学案
•四种命题的概念
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)若 a>b，则 ac2>bc2.
若命题 p 的否命题为 q，命题 p 的逆否命题为 r，
则 q 与 r 的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
• [答案] A
• [分析] 研究命题之间的关系，将命题写成 “若p则q”形式，然后依据四种命题的定义解 答．
• [解析] 设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A， 则¬B”，r为“若¬B，则¬A”．由于q和r的条件 和结论互换，故q和r互为逆命题．
• [方法规律总结] 1.写出四种命题的方法
• (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题；
• (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是否命题；
• (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是逆否命题．
• 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命 题．
• (1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0； • (2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数． • [解析] (1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2
• [解析] 本题主要考查命题的四种形式．写逆 否命题时，将原命题的题设和结论分别否定 再交换．故选C.
高中数学《四种命题 四种命题间的相互关系》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案 (1)若 ab＝0，则 a＝0 (2)“若 p，则綈 q” (3)若|a|≠|b|，则 a≠b (4)若 a≤－4，则 a≤－3 真命题
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答案
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探究 1 四种命题的定义 例 1 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否 命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)垂直于同一平面的两直线平行； (4)当 mn<0 时，方程 mx2－x＋n＝0 有实数根．
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答案
(3)原命题：若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行． 逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面． 否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则这两条直线不平行． 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一平面． (4)原命题：若 mn<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实数根． 逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 mn<0. 否命题：若 mn≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 mn≥0.
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【跟踪训练 3】 证明：若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.
证明 “若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若 a＝2b ＋1，则 a2－4b2－2a＋1＝0”．
四种命题间的相互关系 课件
它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
2.对四种命题真假关系的两点说明 (1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中 有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶 数,即真命题可能有4个、2个或0个. (2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆 否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为 证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也 是反证法的一种变通形式.
【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√
四种命题的关系 PPT课件
四种命题的相互关系： 回顾
四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真 假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的 真假性没有关系．
回顾：
• 交__题__。_
• 同否时命否题定。原命题的条件和结论，所得的命 题是________
• 交换原命逆题否的命条题件。和结论，并且同时否定， • 所原得命的题命: 题若是p,__则__q______ 逆命题:若q,则
p
四种命题之间的相互关系
原命题 若p 则q
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题 凡质数都是奇数 假
逆命题 凡奇数都是质数 假
否命题 不是质数就不是奇数 假
逆否命题 不是奇数就不是质数 假
几条结论:
1、真假个数一定是偶数，即0个，2个，4个。 2、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。 3、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
离不相等.
真
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题 两个三角形全等,则它们的面积相等. 真 逆命题 两个三角形的面积相等,则它们全等. 假 否命题 两个三角形不全等,则它们的面积不相等.
假 逆否命题 两个三角形的面积不相等,则它们不全等.
真
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题“若m ≤ 0,或n ≤ 0,则m+n ≤ 0”假
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假
反设
设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理
归谬
论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，
《四种命题的关系》课件
范畴命题
根据主语对它的属性或成员进行判断。范畴命 题分为 A、E、I、O 四种类型。
陈述命题
对客观事实或事件进行陈述。
定义命题
用于说明一个概念或对象的定义。
命题函数
包含变量的命题，可为真或假，取决于变量的 赋值。
命题的关系
1 等价命题
具有相同真值的命题，它们的真值表完全一 致。
2 逆命题
若 p → q，则 q → p 为逆命题。
《四种命题的关系》PPT 课件
探索四种命题之间的关系，了解命题的定义、类型和逻辑关系图等。让我们 一起深入了解命题逻辑。
命题的定义
陈述性语句
命题是可以为真或假的陈述性语句，由主语和谓语组成。
语法结构
命题是一种特定的语法结构，通常由主语和谓语组成。
符号表示
命题可以用符号表示，如 p真，则 ¬p 为假。
4 逆否命题
若 p → q，则 ¬q → ¬p 为逆否命题。
关系图
逻辑关系图
用图形表示命题的相互关系，包 括等价、逆、否、逆否关系。
圆形图示
用圆形、箭头等图形形式展示命 题之间的关系。
线段图示
利用线段将命题相关性表示出来， 形成直观的逻辑关系图。
根据主语对它的属性或成员进行判断。范畴命 题分为 A、E、I、O 四种类型。
陈述命题
对客观事实或事件进行陈述。
定义命题
用于说明一个概念或对象的定义。
命题函数
包含变量的命题，可为真或假，取决于变量的 赋值。
命题的关系
1 等价命题
具有相同真值的命题，它们的真值表完全一 致。
2 逆命题
若 p → q，则 q → p 为逆命题。
《四种命题的关系》PPT 课件
探索四种命题之间的关系，了解命题的定义、类型和逻辑关系图等。让我们 一起深入了解命题逻辑。
命题的定义
陈述性语句
命题是可以为真或假的陈述性语句，由主语和谓语组成。
语法结构
命题是一种特定的语法结构，通常由主语和谓语组成。
符号表示
命题可以用符号表示，如 p真，则 ¬p 为假。
4 逆否命题
若 p → q，则 ¬q → ¬p 为逆否命题。
关系图
逻辑关系图
用图形表示命题的相互关系，包 括等价、逆、否、逆否关系。
圆形图示
用圆形、箭头等图形形式展示命 题之间的关系。
线段图示
利用线段将命题相关性表示出来， 形成直观的逻辑关系图。
四种命题间的相互关系课件PPT
2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l (B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l (C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一 (D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一
【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？ 提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支 进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进 行排除.
互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】
命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分 类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆 否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种 策略.
互 否
逆否命题 若﹁ q,则﹁p
2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _没__有__关__系__. (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假 性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_真__假__性__.
1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q” 是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若q，则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.
《1.1.3四种命题间的相互关系》ppt课件
若a+b<0,
则a<-b,b<-a,
又因为f(x)在(-≦,+≦)上是增函数,
所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).
所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),
即逆否命题为真命题.
所以原命题为真命题.
【补偿训练】已知全集U的两个子集A,B,命题“若x∉A,则x∉B” 是真命题,则下列结论正确的是( A.B C.( A
【解析】(1)由于否命题是“若x2=1,则x=1”,是假命题.
答案:假
(2)由于原命题与其逆否命题等价,故命题p是真命题.
答案:真
(3)逆否命题为:若a2≤b2,则a≤b,由于原命题是假命题,故其 逆否命题也是假命题. 答案:若a2≤b2则a≤b 假命题
【要点探究】 知识点 四种命题间的关系
对四种命题相互关系的三点认识 (1)四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其 逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互 否”“互为逆否”具有对称性.
【审题】抓信息,找思路
【解题】明步骤,得高分
【点题】警误区,促提升
失分点1:解题时若在①处对原命题的等价命题写错 ,则会导致 本例不得分. 失分点2:本例若对不等式考虑不全面,即忽略②处对参数a的讨 论,漏掉一解,则本例最多得8分. 失分点3:若解题步骤不规范,漏掉③处最后的归纳,则本例最多 得10分
【方法技巧】“正难则反”的处理原则 (1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时, 可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. (2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命 题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
四种命题的相互关系课件PPT
（2）若f(x)是周期函数，p 则f(x)是正弦函数；q
q
p
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命
题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题.
原 命 题：其中一个命题叫做原命题.
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题.
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题 是“两直线平行，同位角相等”.
探究点2 观察命题(1)与命题(3)的条件和结论
之间分别有什么关系？
(1)若f(x)是正弦函数， 则f(x)是周期函数；
(3)若f(x)不是正弦函数p，
q
则f(x)不是周期函数.
┐p
┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”
互否命题 原命题 (原命题的)否命题 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
的真假.
逆否命题：若x是无理数，则x- 2是有理数. “假命题”
通过这节课的学习，你学到了哪些知识呢？ 四种命题的概念及其形式：
原命题： 若p,则q. 逆命题：若q,则p. 否命题：若¬p,则¬q. 逆否命题：若¬q,则¬p.
看书和学习是思想的经常营养， 是思想的无穷发展.
1.1.2 四种命题
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题 是“两直线不平行，同位角不相等”.
三个概念 1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题 叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的 一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命 题.
q
p
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命
题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题.
原 命 题：其中一个命题叫做原命题.
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题.
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题 是“两直线平行，同位角相等”.
探究点2 观察命题(1)与命题(3)的条件和结论
之间分别有什么关系？
(1)若f(x)是正弦函数， 则f(x)是周期函数；
(3)若f(x)不是正弦函数p，
q
则f(x)不是周期函数.
┐p
┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”
互否命题 原命题 (原命题的)否命题 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
的真假.
逆否命题：若x是无理数，则x- 2是有理数. “假命题”
通过这节课的学习，你学到了哪些知识呢？ 四种命题的概念及其形式：
原命题： 若p,则q. 逆命题：若q,则p. 否命题：若¬p,则¬q. 逆否命题：若¬q,则¬p.
看书和学习是思想的经常营养， 是思想的无穷发展.
1.1.2 四种命题
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题 是“两直线不平行，同位角不相等”.
三个概念 1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题 叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的 一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命 题.
四种命题、 四种命题间的相互关系 课件
例 3 证明：已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、 b∈R，若 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则 a＋b≥0.
方法二 假设 a＋b<0，则 a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)． 这与已知条件 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾． 因此假设不成立，故 a＋b≥0. 小结 在解答命题的过程中很容易把逆否命题的证法与反 证法混淆，导致错误的原因是忽视了这两种证法的本质区 别．
小结 (1)在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一 是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判 断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行 判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同 真同假． (2)不论用哪种方法判断命题的真假，都要和相关的数学知 识结合，因此要熟练掌握相关的数学知识．
答案 命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是 命题(2)的条件． 对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论的否定和条件的否定．
(1)若两个角是对顶角，则它们相等； (2)若两个角相等，则它们是对顶角； (3)若两个角不是对顶角，则它们不相等； (4)若两个角不相等，则它们不是对顶角．
解 (1)原命题：“如果 a 是正数，则 a 的平方根不等于 0”． 逆命题：“如果 a 的平方根不等于 0，则 a 是正数”． 否命题：“如果 a 不是正数，则 a 的平方根等于 0”． 逆否命题：“如果 a 的平方根等于 0，则 a 不是正数”． (2)原命题：“如果 x＝2，则 x2＋x－6＝0”． 逆命题：“如果 x2＋x－6＝0，则 x＝2”． 否命题：“如果 x≠2，则 x2＋x－6≠0”． 逆否命题：“如果 x2＋x－6≠0，则 x≠2”．
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[分析] 研究命题之间的关系，将命题写成“若p则q”形 式，然后依据四种命题的定义解答．
[解析] 设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A，则¬B”， r为“若¬B，则¬A”．由于q和r的条件和结论互换，故q和r互 为逆命题．
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(2)该命题为假． 逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点， 则b2－4ac<0，为假． 否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数图 象与x轴无公共点，为假． 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共 点，则b2－4ac≥0，为假．
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(3)原命题：若a>b，则ac2>bc2； 逆命题：若ac2>bc2，则a>b； 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2； 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.
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[方法规律总结] 1.写出四种命题的方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题 是逆否命题．
若原命题为“若p，则q”，则其否命题为“__________ 若¬p，则¬q”．
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3．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另 一个命题的__________结论的否定和__________条件的否定， 我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命 题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的__________逆 否命题．
[方法规律总结] 1.命题的四种形式中，哪个是原命题是 相对的，不是绝对的；
2．研究命题及其关系时，首先要将命题写成“若p，则q” 形式，再依据相关概念作出判断．
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有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
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四种命题的概念
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)若 a>b，则 ac2>bc2. [分析] 本题中第(1)(2)小题不是“若p，则q”的形式，首 先应化为这种形式，再写其他命题，第(3)小题具备“若p，则 q”的形式，可直接写其他三种命题．
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ห้องสมุดไป่ตู้四种命题真假的判断
判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形； (2)若在二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，b2－4ac<0，则该函数 图象与 x 轴有交点．
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[方法规律总结] 四种命题的关系及真假判断 原命题与它的逆否命题互为逆否命题，同真同假；原命题 的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题，同真同假；互逆的 两个命题真假没有关系，互否的两个命题真假也没有关系，所 以，判断四种命题的真假时，只需判断出原命题与其逆命题的 真假，即可得其他命题的真假．
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[解析] (1)该命题为真． 逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互 补，为真． 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内 接四边形，为真． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对 角不互补，为真．
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[方法规律总结] 我们在直接证明某一个命题为真命题有 困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明 原命题为真命题．
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已知 a，b，c∈R，证明：若 a＋b＋c<1，则 a，b，c 中至 少有一个小于13.
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分清命题的条件与结论 写出命题“已知 a、b、c、d 是实数，如果 a＝b，
c＝d，则 a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并判断它们的真假． [错解] 逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根， 假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0， 真命题．
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(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等，假 命题．
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等， 假命题．
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2．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另 一 个 命 题 的 __________ 条 件 的 否 定 和 __________ 结 论 的 否 定．我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命 题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的__________否 命题．
审结论，明确解题方向：待证结论为a＋b≥0.
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第二步，建联系，明确解题步骤． 已知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大 小关系相互转化，本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转 化为证明其逆否命题．解答本题应先写出其逆否命题，再利用 函数的单调性给予证明．
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正难则反，等价转化思想
证明：已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， a、b∈R，若 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则 a＋b≥0.
[解题思路探究] 第一步，审题，审条件，挖掘解题信息： ①f(x) 是 R 上 的 增 函 数 ； ② 满 足 关 系 式 f(a) ＋ f(b)≥f( － a) ＋ f( － b)．
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写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题 的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根； (2)相等的两个角的正弦值相等．
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[解析] (1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则 m·n<0，假命题．
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；
④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] B
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[解析] ①逆命题，“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0” 是真命题；
②∵原命题为假，∴其逆否命题为假． ③∵原命题的否命题为“若 x>－3，则 x2＋x－6≤0”，如 x＝4>－3，但 x2＋x－6＝14>0，∴是假命题． ④∵原命题的逆命题为“若 a，b 是无理数，则 ab 也是无 理数”，如 a＝( 2) 2，b＝ 2，则 ab＝2 是有理数，∴是假命 题．
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写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0； (2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数． [解析] (1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0. (2)逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数； 否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数； 逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
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新知导学 1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的__________结论和__________条件，那 么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做 __________原命题，另一个命题叫做原命题的__________逆 命题． 若原命题是“若p，则q”，则其逆命题为“__________ 若q，则p”．
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四种命题及其相互关系
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命题的逆命题、否命题、逆否命题 思维导航 1．观察下列四个命题： (1)若两个角是对顶角，则它们相等； (2)若两个角相等，则它们是对顶角； (3)若两个角不是对顶角，则它们不相等； (4)若两个角不相等，则它们不是对顶角． 请想一想：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？它们的真假之间有无联系？
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等， 真命题．
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四种命题间的相互关系
若命题 p 的否命题为 q，命题 p 的逆否命题为 r，
则 q 与 r 的关系是( )
A．互逆命题