四种命题及其相互关系 课件
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否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根， 假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0， 真命题．
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(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等，假 命题．
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等， 假命题．
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(2)该命题为假． 逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点， 则b2－4ac<0，为假． 否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数图 象与x轴无公共点，为假． 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共 点，则b2－4ac≥0，为假．
[方法规律总结] 1.命题的四种形式中，哪个是原命题是 相对的，不是绝对的；
2．研究命题及其关系时，首先要将命题写成“若p，则q” 形式，再依据相关概念作出判断．
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有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
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[解析] (1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0； 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数； 否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0； 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数； (2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0； 逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2. 否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0； 逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.
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写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0； (2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数． [解析] (1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0. (2)逆命题：若来自百度文库、b都是偶数，则a＋b是偶数； 否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数； 逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
若 原 命 题 为 “ 若 p ， 则 q” ， 则 其 逆 否 命 题 为 “__________若¬q，则¬p”．
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四种命题的关系及真假判断 新知导学 4．四种命题的相互关系
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写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题 的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根； (2)相等的两个角的正弦值相等．
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[解析] (1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则 m·n<0，假命题．
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；
④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] B
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[解析] ①逆命题，“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0” 是真命题；
②∵原命题为假，∴其逆否命题为假． ③∵原命题的否命题为“若 x>－3，则 x2＋x－6≤0”，如 x＝4>－3，但 x2＋x－6＝14>0，∴是假命题． ④∵原命题的逆命题为“若 a，b 是无理数，则 ab 也是无 理数”，如 a＝( 2) 2，b＝ 2，则 ab＝2 是有理数，∴是假命 题．
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四种命题真假的判断
判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形； (2)若在二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，b2－4ac<0，则该函数 图象与 x 轴有交点．
5．(1)原命题为真，它的逆命题__不__一_定_____为真． (2)原命题为真，它的否命题__不_一__定_____为真． (3)原命题为真，它的逆否命题__一__定______为真． 即互为逆否的命题是等价命题，它们同_真_____同_假_____， 同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆__否______的命题， 它们同真______同假______．
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新知导学 1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的__________结论和__________条件，那 么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做 __________原命题，另一个命题叫做原命题的__________逆 命题． 若原命题是“若p，则q”，则其逆命题为“__________ 若q，则p”．
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[证明] 原命题的逆否命题为“已知 a，b，c∈R，若 a，b， c 都大于或等于13，则 a＋b＋c≥1”．
由条件 a≥13，b≥13，c≥13， 三式相加得 a＋b＋c≥1， 显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知 a，b，c∈R，若 a＋b＋c<1，则 a，b，c 中至少有一个小于13.
审结论，明确解题方向：待证结论为a＋b≥0.
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第二步，建联系，明确解题步骤． 已知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大 小关系相互转化，本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转 化为证明其逆否命题．解答本题应先写出其逆否命题，再利用 函数的单调性给予证明．
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等， 真命题．
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四种命题间的相互关系
若命题 p 的否命题为 q，命题 p 的逆否命题为 r，
则 q 与 r 的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
[答案] A
若原命题为“若p，则q”，则其否命题为“__________ 若¬p，则¬q”．
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3．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另 一个命题的__________结论的否定和__________条件的否定， 我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命 题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的__________逆 否命题．
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第三步，规范解答． 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增 函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．” 证明如下： 若a＋b<0，则a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)， 即逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．
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正难则反，等价转化思想
证明：已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， a、b∈R，若 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则 a＋b≥0.
[解题思路探究] 第一步，审题，审条件，挖掘解题信息： ①f(x) 是 R 上 的 增 函 数 ； ② 满 足 关 系 式 f(a) ＋ f(b)≥f( － a) ＋ f( － b)．
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[解析] (1)该命题为真． 逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互 补，为真． 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内 接四边形，为真． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对 角不互补，为真．
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2．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另 一 个 命 题 的 __________ 条 件 的 否 定 和 __________ 结 论 的 否 定．我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命 题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的__________否 命题．
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四种命题的概念
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)若 a>b，则 ac2>bc2. [分析] 本题中第(1)(2)小题不是“若p，则q”的形式，首 先应化为这种形式，再写其他命题，第(3)小题具备“若p，则 q”的形式，可直接写其他三种命题．
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(3)原命题：若a>b，则ac2>bc2； 逆命题：若ac2>bc2，则a>b； 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2； 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.
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[方法规律总结] 1.写出四种命题的方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题 是逆否命题．
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四种命题及其相互关系
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命题的逆命题、否命题、逆否命题 思维导航 1．观察下列四个命题： (1)若两个角是对顶角，则它们相等； (2)若两个角相等，则它们是对顶角； (3)若两个角不是对顶角，则它们不相等； (4)若两个角不相等，则它们不是对顶角． 请想一想：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？它们的真假之间有无联系？
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分清命题的条件与结论 写出命题“已知 a、b、c、d 是实数，如果 a＝b，
c＝d，则 a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并判断它们的真假． [错解] 逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，
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[方法规律总结] 四种命题的关系及真假判断 原命题与它的逆否命题互为逆否命题，同真同假；原命题 的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题，同真同假；互逆的 两个命题真假没有关系，互否的两个命题真假也没有关系，所 以，判断四种命题的真假时，只需判断出原命题与其逆命题的 真假，即可得其他命题的真假．
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[方法规律总结] 我们在直接证明某一个命题为真命题有 困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明 原命题为真命题．
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已知 a，b，c∈R，证明：若 a＋b＋c<1，则 a，b，c 中至 少有一个小于13.
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[分析] 研究命题之间的关系，将命题写成“若p则q”形 式，然后依据四种命题的定义解答．
[解析] 设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A，则¬B”， r为“若¬B，则¬A”．由于q和r的条件和结论互换，故q和r互 为逆命题．
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逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0， 真命题．
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(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等，假 命题．
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等， 假命题．
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(2)该命题为假． 逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点， 则b2－4ac<0，为假． 否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数图 象与x轴无公共点，为假． 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共 点，则b2－4ac≥0，为假．
[方法规律总结] 1.命题的四种形式中，哪个是原命题是 相对的，不是绝对的；
2．研究命题及其关系时，首先要将命题写成“若p，则q” 形式，再依据相关概念作出判断．
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有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
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[解析] (1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0； 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数； 否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0； 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数； (2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0； 逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2. 否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0； 逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.
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写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0； (2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数． [解析] (1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0. (2)逆命题：若来自百度文库、b都是偶数，则a＋b是偶数； 否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数； 逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
若 原 命 题 为 “ 若 p ， 则 q” ， 则 其 逆 否 命 题 为 “__________若¬q，则¬p”．
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四种命题的关系及真假判断 新知导学 4．四种命题的相互关系
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写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题 的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根； (2)相等的两个角的正弦值相等．
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[解析] (1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则 m·n<0，假命题．
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；
④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] B
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[解析] ①逆命题，“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0” 是真命题；
②∵原命题为假，∴其逆否命题为假． ③∵原命题的否命题为“若 x>－3，则 x2＋x－6≤0”，如 x＝4>－3，但 x2＋x－6＝14>0，∴是假命题． ④∵原命题的逆命题为“若 a，b 是无理数，则 ab 也是无 理数”，如 a＝( 2) 2，b＝ 2，则 ab＝2 是有理数，∴是假命 题．
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四种命题真假的判断
判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形； (2)若在二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，b2－4ac<0，则该函数 图象与 x 轴有交点．
5．(1)原命题为真，它的逆命题__不__一_定_____为真． (2)原命题为真，它的否命题__不_一__定_____为真． (3)原命题为真，它的逆否命题__一__定______为真． 即互为逆否的命题是等价命题，它们同_真_____同_假_____， 同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆__否______的命题， 它们同真______同假______．
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新知导学 1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的__________结论和__________条件，那 么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做 __________原命题，另一个命题叫做原命题的__________逆 命题． 若原命题是“若p，则q”，则其逆命题为“__________ 若q，则p”．
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[证明] 原命题的逆否命题为“已知 a，b，c∈R，若 a，b， c 都大于或等于13，则 a＋b＋c≥1”．
由条件 a≥13，b≥13，c≥13， 三式相加得 a＋b＋c≥1， 显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知 a，b，c∈R，若 a＋b＋c<1，则 a，b，c 中至少有一个小于13.
审结论，明确解题方向：待证结论为a＋b≥0.
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第二步，建联系，明确解题步骤． 已知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大 小关系相互转化，本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转 化为证明其逆否命题．解答本题应先写出其逆否命题，再利用 函数的单调性给予证明．
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等， 真命题．
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四种命题间的相互关系
若命题 p 的否命题为 q，命题 p 的逆否命题为 r，
则 q 与 r 的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
[答案] A
若原命题为“若p，则q”，则其否命题为“__________ 若¬p，则¬q”．
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3．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另 一个命题的__________结论的否定和__________条件的否定， 我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命 题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的__________逆 否命题．
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第三步，规范解答． 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增 函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．” 证明如下： 若a＋b<0，则a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)， 即逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．
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正难则反，等价转化思想
证明：已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， a、b∈R，若 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则 a＋b≥0.
[解题思路探究] 第一步，审题，审条件，挖掘解题信息： ①f(x) 是 R 上 的 增 函 数 ； ② 满 足 关 系 式 f(a) ＋ f(b)≥f( － a) ＋ f( － b)．
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[解析] (1)该命题为真． 逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互 补，为真． 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内 接四边形，为真． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对 角不互补，为真．
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2．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另 一 个 命 题 的 __________ 条 件 的 否 定 和 __________ 结 论 的 否 定．我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命 题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的__________否 命题．
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四种命题的概念
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)若 a>b，则 ac2>bc2. [分析] 本题中第(1)(2)小题不是“若p，则q”的形式，首 先应化为这种形式，再写其他命题，第(3)小题具备“若p，则 q”的形式，可直接写其他三种命题．
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(3)原命题：若a>b，则ac2>bc2； 逆命题：若ac2>bc2，则a>b； 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2； 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.
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[方法规律总结] 1.写出四种命题的方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题 是逆否命题．
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四种命题及其相互关系
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命题的逆命题、否命题、逆否命题 思维导航 1．观察下列四个命题： (1)若两个角是对顶角，则它们相等； (2)若两个角相等，则它们是对顶角； (3)若两个角不是对顶角，则它们不相等； (4)若两个角不相等，则它们不是对顶角． 请想一想：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？它们的真假之间有无联系？
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分清命题的条件与结论 写出命题“已知 a、b、c、d 是实数，如果 a＝b，
c＝d，则 a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并判断它们的真假． [错解] 逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，
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[方法规律总结] 四种命题的关系及真假判断 原命题与它的逆否命题互为逆否命题，同真同假；原命题 的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题，同真同假；互逆的 两个命题真假没有关系，互否的两个命题真假也没有关系，所 以，判断四种命题的真假时，只需判断出原命题与其逆命题的 真假，即可得其他命题的真假．
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[方法规律总结] 我们在直接证明某一个命题为真命题有 困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明 原命题为真命题．
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已知 a，b，c∈R，证明：若 a＋b＋c<1，则 a，b，c 中至 少有一个小于13.
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[分析] 研究命题之间的关系，将命题写成“若p则q”形 式，然后依据四种命题的定义解答．
[解析] 设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A，则¬B”， r为“若¬B，则¬A”．由于q和r的条件和结论互换，故q和r互 为逆命题．
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