线面垂直与面面垂直

第3讲线面垂直与面面垂直

考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求．

知识梳理

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()

(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()

2．给出下列命题：

①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；

②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；

③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；

④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.

其中错误的命题是________(填序号)．

3．(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论：

①m∥l；②m∥n；③n⊥l；④m⊥n.

其中正确的是________(填序号)．

4．(2017·盐城模拟)设α，β，γ为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：

①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；

②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；

③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；

④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

5．(必修2P42习题16)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，

(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．

(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．

考点一线面垂直的判定与性质

【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面

ABCD，

AB⊥AD，AC⊥CD，

∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：

①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α)．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

【训练1】(2017·泰州期末)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB

上一点，且AD＝1

3DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，

PD＝DB.

求证：P A⊥CD.

考点二面面垂直的判定与性质

【例2】(2015·山东卷)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

(1)求证：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．

(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

【训练2】如图，在三棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，

P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．

(1)求证：PB∥平面MNC；

(2)若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC.

考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)

命题角度一平行与垂直关系的证明

【例3－1】(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1

⊥A1B1.求证：

(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

规律方法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．

(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．命题角度二平行垂直中探索性问题

【例3－2】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．

(1)证明：AE∥平面BDF；

(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，

使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；

若不存在，请说明理由．

规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给

出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．

(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．

【训练3】(2017·南通调研)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.

(1)求证：AC⊥平面FBC；

(2)求四面体FBCD的体积；

(3)线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？若存在，

请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

[思想方法]