第八章 应力状态和强度理论

建 筑 力 学 刘国华 阚小妹主编电子工业出版社第八章应力状态和强度理论【知识目标】●了解平面及空间应力状态的概念●熟悉平面应力状态的分析方法●熟悉空间应力状态最大剪应力的大小及分布●掌握强度理论的概念及其适用范围【能力目标】●能熟练运用解析法和应力圆法求解一点处的应力状态●能求解空间应力状态下一点处的最大剪应力●能写出四个强度理论的相当应力及强度条件●能正确选择强度理论对构件危险点处进行强度校核第一节平面应力状态下的应力分析一、平面应力状态的概念由构件的应力分析可知，在受力构件的同一截面上不同点的应力是不同的，一般都既有正应力，又有切应力（如对称弯曲中，构件横截面上距中性轴为某一距离的任一点处）。

受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。

为了研究受力构件内某一点处的应力状态，可以围绕该点取出一个单元体。

例如，研究图8—1（a）所示矩形截面悬臂梁内A点处的应力状态，可用三对相互垂直的平面，围绕图8—1若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称为二向或平面应力状态。

如受扭圆轴除轴线以外各点处及横力弯曲梁上下边缘以外各点处均为平面应力状态。

平面应力状态的普遍形式如图8—2（a）所示，即在其它两对平面上分别有正应力和切应力（σσxx，ττxx和σσyy，ττyy）。

现研究在普遍形式的平面应力状态下，根据单元体各面上已知的应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量，并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位。

二、解析法（一）斜截面上的应力已知一平面应力状态单元体上的应力为σσxx，ττxx和σσyy，ττyy，如图8—2（a）所示。

如前所述，由于其前、后两平面上没有应力，可将该单元体用平面图形来表示（图8—2（b））。

为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力，可应用截面法。

设斜截面eeee的外法线nn与xx轴间的夹角（方位角）为α（图8—2（b）），简称为α截面，并规定从xx轴到外法线nn逆时针转向的方位角α为正值。

截面上的应力分量用σσαα和τταα表示。

图8—2利用截面法，沿斜截面eeee将单元体切成两部分，并取其左半部分eeeeee为研究对象。

设斜截面eeee的面积为dA，则截面eeee和eeee的面积分别为ddddddddddαα和ddddddss nnαα。

这样，微体eeeeee的受力如图8—2(c)所示，由该微体沿斜截面法向和切向的平衡方程，即∑FF nn=0和∑FF tt=0可得σσααdddd+(ττxx ddddddddddαα)ddss nnαα−(σσxx ddddddddddαα)ddddddαα+�ττyy ddddddss nnαα�ddddddαα−�σσyy ddddddss nnαα�ddss nnαα=0ττααdddd−(ττxx ddddddddddαα)ddddddαα−(σσxx ddddddddddαα)ddss nnαα+�ττyy ddddddss nnαα�ddss nnαα+�σσyy ddddddss nnαα�ddddddαα=0由切应力互等定理可知，ττxx和ττyy的数值相等(其指向已表示在图8—2（c）中)。

由此可得任一斜截面（α截面）上的应力分量为σσαα=σσxx+σσyy2+σσxx−σσyy2dddddd2αα−ττxx ddss nn2αα (8—1)τταα=σσxx−σσyy2ddss nn2αα+ττxx dddddd2αα (8—2) 以上两式就是平面应力状态下，任一α截面上应力σσαα和τταα的计算公式。

式中，正应力σσαα以拉应力为正，压应力为负；切应力τταα以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。

这与以前对正应力σσαα和切应力τταα的正负号规定是一致的。

（二）主应力和主方向式（8—1）和式（8—2）表明，任一斜截面的应力σσαα和τταα是随斜截面方位角α而变化的。

为求出σσαα的极值，令ddσσααddαα=−2�σσxx−σσyy2ddss nn2αα+ττxx ddss nn2αα�=0将上式与式（8—2）比较可知，正应力取极值的平面上的切应力为零，因此该平面就是主平面，正应力的极值就是主应力。

设主平面的方位角为αα0，由上式得tt tt nn2αα0=−2ττxxσσxx−σσyy (8—3) 由于tt tt nn2(αα0+90°)=tt tt nnαα0，所以式(8—3)可以给出两个相互垂直的主平面方位角αα0和αα0+90°。

将上述求得的两个方位角代入式（8—1），可求得两个主应力为σσmmttxx，mmss nn=�σσxx+σσyy2�±��σσxx−σσyy2�2+ττxx2 (8—4) 综上所述，σσαα的极值称为该点的主应力，σσαα取极值的微元面称为主平面，主平面的法线方向称为主方向，也称为应力的主轴，对应于两个不同主应力的主方向是相互垂直的。

主平面上切应力为零，反之，当某个微元面上的切应力为零时，该微元面上的正应力就是主应力，即切应力为零的微元面必定是主平面。

（三）最大切应力将式（8—2）对角α求导并令其为零，即ddττααddαα=�σσxx−σσyy�dddddd2αα−2ττxx ddss nn2αα=0设极值切应力所在平面的方位角为α1，由上式可得tt tt nn2αα1=σσxx−σσyy2ττxx（8—5）式（8—5）给出两个方位角α1和α1+90°，将这两个方位角代入式（8—2），可得两个极值切应力为ττmmttxx，mmss nn=±��σσxx−σσyy2�2+ττxx2 (8—6) 式（8—6）与式（8—4）比较，可得τmax=σmax−σmin2 (8—7) 即最大切应力等于两个主应力之差的一半，比较式（8—3）和（8—5），可得tt tt nn2αα1=−dddddd2αα0=tt tt nn2(αα0+45°)即有αα1=αα0+45°上式表明，切应力极值所在平面与主平面的夹角为45°。

二、几何法－应力圆法由公式（8—1）和（8—2）可知，平面应力状态下单元体α斜截面上的应力σσαα和τταα都是α的函数，这两个公式是α的参数方程。

为消去α可将上述公式改写为σσαα−σσxx+σσyy2=σσxx−σσyy2dddddd2αα−ττxx ddss nn2αατταα−0=σσxx−σσyy2ddss nn2αα+ττxx dddddd2αα将上述两公式各自平方后相加消去参数α，可得�σσαα−σσxx+σσyy2�2+(τταα−0)2=�σσxx−σσyy2�2+ττxx2 (8—8)从式8—8可见，在σσ−ττ直角坐标系内，随着斜截面方位角的变化其应力�σσαα，τταα�的轨迹是个圆，其圆心位于横坐标轴（σ轴）上，其横坐标为σσxx+σσyy2，半径RR=��σσxx+σσyy2�2+ττxx2，如图8—3所示。

该圆习惯上称为应力圆，或称为莫尔（O.Mohr）应力圆。

图8—3应力圆的做法是（如图8—4）：1、建立以σσ为横轴、ττ为纵轴的坐标系。

在该坐标系中，找到点A�σσxx，ττxx�。

2、找到点A´�σσyy，ττyy�，由于ττyy=−ττxx，即A´�σσyy，−ττxx�。

AAˊ的连线与横轴的交点就是应力圆的圆心Oˊ。

3、以Oˊ为圆心，以O′A为半径作圆。

这个圆便是所求的应力圆。

应力圆周上的任意一点都代表了一个截面。

图8—4【例8—1】如图8—5所示，各单元体各面上的应力已知αα=30°，ββ=−30°。

请用应力圆的方法求解ab和ac两斜截面上的应力。

(c)图8—5解：根据单元体各面上的应力在σσσσττ坐标系中画应力圆，如图8—5（c）所示，图中应力单位为MPa。

几何计算可得圆心坐标为C(10,0)，半径RR=50√2MMMMtt，φφ0=−135°。

ab截面（αα=30°）上的应力对应EE点坐标，其值为σα=σσOO����+RRdddddd�2α+φ0�=10+50√2dddddd(−85°)=28.3MMMMttτα=RRddss nn(2α+φ0)=50√2ddss nn(−85°)=−68.3MMMMttac截面（β=30°）上的应力对应EE’点坐标，其值为σβ=σσOO����+RRdddddd(2α+φ0)=10+50√2dddddd(−195°)=−58.3MMMMttτβ=RRddss nn(2α+φ0)=50√2ddss nn(−195°)=18.3MMMMtt主方向为αα0‘=−φφ02=67.5°（对应σσmmttxx）,αα0"=ππ2−φφ02=−22.5°（对应σσmmss nn）第二节空间应力状态下的应力分析一、空间应力状态的概念对于受力物体内一点处的应力状态，最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力，其中切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量，这种应力状态即为一般的空间应力状态。

一般的空间应力状态有9个分量，根据切应力互等定理“在相互垂直的平面上，切应力成对存在且数值相等”可知，独立的应力分量有6个，分别用σσ1，σσ2，σσ3，ττxxyy，ττyyyy，ττxxyy表示。

二、任意截面上的应力空间应力状态是一点处应力状态中最为一般的情况，上节所讨论的平面应力状态可看作是空间应力状态的特例，即有一个主应力等于零。

仅一个主应力不等于零的应力状态，称为单轴应力状态。

空间应力状态所得的某些结论，也同样适用于平面或单轴应力状态。

图8—6 图8—7可以证明，在受力物体内的任一点处一定可以找到一个单元体，其3对相互垂直的平面均为主平面，三对主平面上的主应力分别为σσ1，σσ2，σσ3。

而且，与主应力σσ2（或σσ1）平行的各斜截面上的应力，可以由σσ1，σσ3（或σσ2，σσ3）确定的应力圆上的点表示，如图8—6所示。

进一步的研究证明，表示与三个主平面斜交的任意截面ABC上点D（图8—7所示）的应力σσ，ττ，必位于上述三个应力圆所围成的阴影范围以内。

其正应力和切应力分别为σσnn=σσ1dddddd2αα+σσ2dddddd2ββ+σσ3dddddd2γγ (8—9)ττnn=�σσ12dddddd2αα+σσ22dddddd2ββ+σσ3dddddd2γγ−σσnn2(8—10) 式中：αα、ββ、γγ分别是斜截面ABC的外法线和xx、yy、yy轴的夹角。