高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件理

考点二 椭圆的几何性质题点多变型考点——纵引横联 [典型母题]
(2016·苏州模拟)设F1，F2分别是椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段
PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率 为________．
[解析] 如图，设 PF1 的中点为 M，连结 PF2.
k的值为290或356. 答案：290或356
3．(教材习题改编)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的 标准方程为________________． 答案：2x52 ＋y92＝1或x92＋2y52 ＝1
1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其 轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．
第五节 椭 圆
1．椭圆的定义 平面内到两定点 F1，F2 的距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆．两定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点．集合 P ＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c 为常数．
(1)当 2a＞|F1F2| 时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P 点的轨迹是线段； (3)当 2a＜|F1F2| 时，P 点不存在．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方 程为xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆 xa22 ＋ yb22 ＝1(a＞b＞0)上点的坐标 为P(x，y)时，|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中 特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
[小题纠偏] 1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)
ya22＋xb22＝1(a＞b＞0)
图形
性 范围 质
对称性
－a ≤x≤ a －b ≤y≤ b
－b ≤x≤ b －a ≤y≤ a
对称轴：坐标轴 ；对称中心： 原点
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ya22＋bx22＝1(a＞b ＞0)
椭圆的标准方程为________________． 解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1， ∴a2＝5，所求椭圆标准方程为y52＋x42＝1. 答案：x52＋y2＝1或y52＋x42＝1
|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋
|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.
答案：4
2．若方程
x2 m－2
＋
y2 6－m
＝1表示一个椭圆，则实数m的取值
范围为________．
解析：由题意，得
m－2>0， 6－m>0， m－2≠6－m，
||PPFF21||＝17.
答案：17
[谨记通法] 1．椭圆方程的2个求法及1个注意点 (1)2个求法：定义法、待定系数法． (2)1个注意点：利用椭圆的定义定形状时，一定要注意 常数2a＞|F1F2|这一条件．
2．椭圆中焦点三角形的5个常用结论 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ；(θ＝∠F1PF2)． (3)当P为短轴端点时，θ最大． (4)S PF1F2 ＝12|PF1||PF2|sin θ ＝1＋sincoθs θ·b2＝b2tanθ2＝c·|y0|. 当y0＝±b，即P为短轴端点时，S PF1F2 有最大值为bc. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
顶点 A1(0，－a)，A2(0，a) A1(－a,0)，2(a,0)
性ห้องสมุดไป่ตู้
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，2(b,0)
质 离心率
c e＝ a ，且e∈ (0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[小题体验] 1．(教材习题改编)设 P 是椭圆2x52＋1y62 ＝1 上的点，若 F1，
解得m∈(2,4)∪(4,6)．
答案：(2,4)∪(4,6)
3．(2016·启东中学检测)设F1，F2为椭圆
x2 4
＋y2＝1的两个焦点，点
P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则||PPFF12||＝________. 解析：因为，线段PF1的中点在y轴上，所以，PF2⊥x 轴，|PF2|＝ba2＝12，|PF1|＝2a－|PF2|＝4－12＝72，因此
F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________． 解析：依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 答案：10
2．设e是椭圆x42＋yk2＝1的离心率，且e＝23，则实数k
的取值是________． 解析：当k＞4 时，有e＝
1－4k
＝ 23
，解得k＝
36 5
；
当0＜k＜4时，有e＝ 1－k4＝23，解得k＝290.故实数
考点一 椭圆的定义及标准方程基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A， B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2 的周长为________． 解析：因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.
根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为
2．已知椭圆x92＋4－y2 k＝1的离心率为45，则k的值为________． 解析：当9＞4－k＞0，即4＞k＞－5时， a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k， ∴ 53＋k＝45，解得k＝1295. 当9＜4－k，即k＜－5时，a＝ 4－k，c2＝－k－5， ∴ －4－k－k5＝45，解得k＝－21，所以k的值为1295或－21. 答案：1295或－21
因为 O 为 F1F2 的中点，所以 OM 为△PF1F2 的中位线．
所以 OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|＝ |PF1|2－|PF2|2＝ 3|PF2|， 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝