高考数学复习第5讲函数的单调性与最值学案理新人教A版 377

第5讲 函数的单调性与最值

1.单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地,设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2 当x 1

有 ,那

么就说函数f (x )

在区间D 上是增

函数

当x 1

有 ,那么就说

函数f (x )在区间D 上

是减函数

图像 描述

自左向右看图像

是

自左向右看图像是

2.单调区间的定义

如果函数y=f (x )在区间D 上是 ,那么就说函数y=f (x )在这一区间具有(严格的)单调性, 叫作函数y=f (x )的单调区间. 3.函数的最值

前提 设函数y=f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足

条件

(1)对于任意x ∈I ,

都有f (x )≤M ;

(2)存在x 0∈I ,使得

f (x 0)=M

(1)对于任意x ∈I ,都

有 ; (2)存在x 0∈I ,使得

结论M为最大值M为最小值

常用结论

1.函数的单调性

(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.

(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.

(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.

(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.

(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.

2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.

(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;

(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.

3.函数最值的两条结论:

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.

题组一常识题

1.[教材改编]函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是.

2.[教材改编]函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是;单调递减区间是.

3.[教材改编]函数f(x)=(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于.

4.[教材改编]函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围

是.

题组二常错题

◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.

5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.

6.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为.

7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)

是.

8.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围

是.

(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为.

探究点一函数单调性的判断与证明

例1 判断函数f(x)=a x+(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.

[总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1

f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

变式题 (1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是()

A.y=-x2+1

B.y=|x-1|

C.y=1-

D.y=ln x+x

(2)[2018·茂名二联]设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是()

A.y=[f(x)]2在R上为增函数

B.y=|f(x)|在R上为增函数

C.y=2-f(x)在R上为减函数

D.y=-[f(x)]3在R上为增函数

探究点二求函数的单调区间

例2 (1)[2018·石嘴山一模]函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是()

A.(-1,1]

B.[1,3)

C.(-∞,1]

D.[1,+∞)

(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.

[总结反思] (1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②图像法;③导数法.

(2)求复合函数单调区间的一般步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.

(3)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接.

变式题 (1)[2019·成都七中一诊]函数f(x)=的单调递增区间是()

A.(-∞,-2]

B.(-∞,1]

C.[1,+∞)

D.[4,+∞)

(2)已知函数f(x)=-x|x|+2x,则下列结论正确的是()

A.f(x)的单调递增区间是(0,+∞)

B.f(x)的单调递减区间是(-∞,0)

C.f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)

D.f(x)的单调递增区间是(-1,1)