生活中的数学校本课程

《生活中的数学》校本课程

目录

第一讲：生活中的趣味数学

第二讲：数学中的悖论

第三讲：对称——自然美的基础

第四讲：斐波那契数列

第五讲：龟背上的学问

第六讲：巧用数学看现实

第七讲：运用数学函数方程解决生活中的问题

第八讲：生活中的优化问题举例

第一讲：生活中的趣味数学

1．“荡秋千”问题：

我国明朝数学家程大位（1533～1606年）写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：

平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？

词写得很优美，翻译成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（每5尺为一步），秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？

下面我们用勾股定理知识求出答案：

如图，设绳索AC=AD=x（尺），则AB=（x+1）-5（尺），BD=10（尺）

在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即（x-4）2+102=x2，

解得x=14.5，即绳索长为14.5尺．

2．方程的应用：

小青去植物园春游，回来以后爸爸问他春游花掉多少钱。小青并不直接回答，却调皮地说：“我带出去的钱正好花了一半，剩下的元数是带出去角数的一半，剩下的角数与带出去元数相同。”爸爸踌躇一下，有些为难。

你能否帮助他把钱数算出来，小青到底带了多少钱？花了多少钱？还剩多少钱？

方法一：设带出去x元,y角.根据"剩下的元数是带出去角数的一半"知道y是偶数

花了的钱分x为奇数与偶数情况

（1）x是奇数时候,花一半就是花了=剩下=(x-1)/2元,(y/2+5)角

根据后面两句话知道,剩下=y/2元,x角

有二元一次方程组:(x-1)/2=y/2,y/2+5=x 解得x=9,y=8

（2）x是偶数时候,花一半就是花了=剩下=x/2元,(y/2+5)角

剩下的同上面情况

有二元一次方程组:x/2=y/2,y/2+5=x 解得x=y=10 但是没有10角钱说法不符合实际（舍）

∴答案是9元8角

方法二：设带出去X元Y角，还剩a元b角

按照用掉一半还剩一半的等式：

10a + b = ( 10x + y)/ 2

又因为： a = y / 2

b = x

带入等式化简即可得：x / y = 9 / 8

因为 y 只能是小于10的整数

所以，小青带了9元8角！用了4元9角，还剩4元9角！

3．工资的选择：

假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：

（A）工资以年薪计，第一年为4000美元以后每年加800美元；

（B）工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元。

你选择哪一种方案？为什么？

答案：第二种方案要比第一种方案好得多

4．我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。

经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。

问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？

答案：日租金360元。

虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润160*80-40*80=9600元。当然，所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担。

第二讲数学中的悖论

“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。

悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。

悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。

悖论一览

1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？

如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。

2．芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。

3．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”

如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。

所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。

公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是真的。”同上，这又是难以自圆其说！

4．跟无限相关的悖论：

{1，2，3，4，5，…}是自然数集：

{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。

这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？

5．伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB 上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？

6．谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；

如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；

如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；……

如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；

7、“意外绞刑”悖论：“一名囚犯被法官告知将于周一到周五间的某一天被绞死。法官并且声明说：绞刑的具体日期将是完全出人意料的。这个囚犯非常聪明 (也许以前是逻辑学教授)，他由此推断出他根本不会被绞死，为什么？

他由此推断出绞刑一定不会安排在周五，因为否则的话，前四天一过他就知道绞刑的具体日期了，但法官说过具体日期会是完全出人意料的。法官是不会撒谎的，因此绞刑不可能在周五。排除了周五，就只剩下四天了。但是依据同样的推理，周四也可以被排除掉，...，以此类推，最终每一天都可以排除掉。于是他得出令人欣慰的结论：他根本不会被绞死。可是到了周二法官却突然宣布执行绞刑，大大出乎了他的意料！而这，恰恰证明法官的确没有撒谎。”

1、小丁和小明、小红三个小朋友并排在有灰尘的楼梯上同时从顶上向下走。小明一步下2阶，小红一步下3阶，小丁一步下4阶，如果楼顶和楼底均有所有三个人的脚印，那么仅有一个人脚印的楼梯最少有几级？

2、偶数的难题

在很久以前，一个年迈的国王要为自己的独生公主选女婿，一时应者如云。国王于是想出了比武招亲的办法。经过文试、武试，三个英俊的小伙子成为最后的人选。要从这三个难分高下的小伙子中选出一个女婿来，可真难为了国王。他绞尽脑汁想出了一个方法。国王命人拿出一个4*4的方格，将16枚棋子依次放在16个方格中。国王对三个小伙子说：“现在你们从这１６枚棋子中随便拿去６个，但要保证纵、横行列中留下的都是偶数枚棋子。这三个小伙子犯难了，最后，其中一个小伙子终于解开了这道难题，迎娶了公主。请问这个小伙子是怎样解开这道难题的？

第三讲：对称——自然美的基础

在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝