集合概念及表示方法(学生版)

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1.1集合的概念及表示方法
一、教学目标：
1、了解集合、元素的概念；掌握集合中元素的三大特征；
2、理解元素与集合的“属于”与“不属于”的关系；
3、了解集合的表示方法并能选择恰当的方法表示集合。

二、教学重难点：
教学重点：集合的基本概念与表示方法。

教学难点：集合的表示方法并选择恰当的表示方法。

三、新课引入
引入：接下来的课程要坐很久，老师建议我们整个小班同学集合起来，小小的运动一下，简单的头部运动、伸展运动； 提出问题：要求运动的对象是？
四、知识呈现
1、集合概念：一些研究对象的总体.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。

2、关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

3、元素与集合的关系
集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C …表示，集合的元素用
小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作：a ∈A
（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作：a ∉A 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4、集合分类
含有 个元素的集合叫做有限集 按集合元素个数分类 含有 个元素的集合叫做无限集
不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅。

5、常用数集及记法
数集 自然数集 正整数集
整数集 有理数集
实数集 复数集
符号 N
*N 或+N
Z Q
R C
2
6、集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内{}表示集合的方法.
特点：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺
序。

2．各个元素之间要用逗号隔开； 3．元素不能重复；
4．集合中的元素可以数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示
清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{}内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：{}()
x A p x ∈
数学里最常用的一类集合（数集）叫区间；假设两个实数a<b ，我们规定： ①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；
③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b].
这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：
定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示
{x|a ≤x ≤b} 闭区间 [a ，b]
{x|a<x<b} 开区间 (a ，b)
{x|a ≤x<b} 左闭右开区间 [a ，b)
{x|a<x ≤b} 左开右闭区间 (a ，b]
{ x | a≤x }
[a, +∞ ) { x | a<x }
( a,+ ∞ ) { x | x≤b } ( -∞, b ] { x | x<b }
( -∞, b )
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注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开.
描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2
+3x+2}是不同的两个集合；这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

如{实数集}，{R}的写法也是错误的，直接写R 或（+∞∞-,），这里∞读作“无穷大”或“无穷”。

（3）Venn 图 五、典型例题 考点一：集合的有关概念
例1 下列说法正确的是（ ） A ．某个村子里的年青人组成一个集合 B ．所有小正数组成的集合
C ．集合{1，2，3，4，5}与集合{5，4，3，2，1}表示同一个集合
D ．0.5，1，3，
21，23，4
6
这些数组成的集合有5个元素 变式练习：下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体
B.爱好足球的人
C.中国的富翁
D.某公司的全体员工
考点二：元素与集合的关系
例2 当x ∈R ，下列四个集合中是空集的是（ ） A. {x|x 2
-3x+2=0} B. {x|x 2
＜x} C. {x|x 2-2x+3=0} C. {x|sinx=
2
1} 例3 由2
2,25,12x x x -+三个实数构成一个集合，若3-是集合中元素，则x = .
变式练习：已知数集A=}
{
A a a ∈+16,7,3,2
且，求实数a 的值。

例4 在数集{2x,x 2
-x}中,实数x 的取值范围是。

4
变式练习：数集{3,x,x 2
-2x}中,实数x 满足什么条件?
例5 集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2
-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.
变式练习：方程ax 2
+5x+c=0的解集是{
21,3
1
},则a=________,c=_______.
考点三：集合的表示方法
例6 集合{5|<∈+
x N x }的另一种表示法是（ ） A ．{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4} C. {0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
例7 用列举法表示下列集合:
(1)方程x 2
=x 的所有实数根组成的集合; (2)由1～20以内的所有质数组成的集合. (3)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫∈-∈=N x N
x A 916
(4)()⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎭⎪
⎬⎫⎩⎨⎧=-=+=24,y x y x y x B
例8 用描述法表示下列集合
(1)二次函数y=x 2
图象上的点组成的集合; (2)坐标平面内数轴上的点集合; (3)不等式x-7<3的解集.
5
考点四：元素与集合关系的综合运用
例8：定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B 的所有元素之和为…( )
A.0
B.6
C.12
D.18
六、课后习题
1、用“∈”或“∉”符号填空：
（1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4）2 Q ；
2、下列四个集合中，是空集的是（ ）
A ．}33|{=+x x
B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=
C ．}0|{2
≤x x D ．}01|{2
=+-x x x
3、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2
A t t x x
B ∈==，用列举法表示B .
4、用列举法表示下列各个集合
（1）{}的对角线五边形ABCDE （2）{}
的正约数60
（3）方程组20;
20.x y x y +=⎧⎨
-=⎩
的解组成的集合。

5、用描述法写出下面这些区间的含义
[]7,2-； [)b a ,； ()+∞,123； (]9,∞-； ()5,2-； [)+∞-,4； ()1,∞-
6、集合A={x|x=a+2b,a∈Z ,b∈Z },判断下列元素x=0、
1
21-、
2
31
-与集合A 之
间的关系.
6。