题型四规律探索题

类型1数与式的规律探索

1.[2019安徽中考]下面两个多位数1248624…、6248624…,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位;若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第一位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是

A.495

B.497

C.501

D.503

2.[2019合肥蜀山区二模]观察下列等式:

① 1=12;

② 2+3+4=32;

③ 3+4+5+6+7=52;

④ 4+5+6+7+8+9+10=72;

请根据上述规律判断下列等式正确的是()

A.1 008+1 009+…+3 025=2 0162

B.1 009+1 010+…+3 026=2 0172

C.1 009+1 010+…+3 027=2 0182

D.1 010+1 011+…+3 028=2 0192

3.[2019安徽中考]观察下列关于自然数的等式:

32-4×12=5;①

52-4×22=9;②

72-4×32=13;③

根据上述规律解决下列问题:

(1)完成第四个等式:92-4×()2=();

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.

4.[2019合肥包河区二模]观察下列式子:

①2×0+1=12;

②4×2+1=32;

③8×6+1=72;

④16×14+1=152;

(1)请按规律写出第⑤个式子: ;

(2)根据你发现的规律写出第个式子(n为正整数),并验证其正确性.

5.[2019芜湖二模]观察下列各个等式的规律:

第1个等式:=1;

第2个等式:=2;

第3个等式:=3;

请用上述等式反映出的规律解决下列问题:

(1)直接写出第4个等式;

(2)猜想第n个等式(用含n的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.

6.[2019合肥45中三模]已知一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形,古希腊科学家把数1,3,6,10,15,21,…称为“三角形数”,把1,4,9,16,25,…称为“正方形数”.同样,可以把数

1,5,12,22,…称为“五边形数”.

将“三角形数”、“正方形数”、“五边形数”按从小到大的顺序依次填在下面表格里:

三角形数136101521a…

正方形数1491625b49…

五边形数151222c5170…

(1)按照规律,表格中a=,b=,c=;

(2)观察表中规律,第n(n为正整数)个“五边形数”是.

7.[2019安庆模拟]特殊两位数乘法的速算——如果两个两位数的十位数字相同,个位数字相加为10,那就能立即说出这两个两位数的乘积.如果这两个两位数分别写作AB和AC(即十位数字为A,个位数字分别为B,C,且B+C=10,A>3),那么它们的乘积是一个四位数,前两位数字是A和(A+1)的乘积,后两位数字是B和C的乘积.

如47×43=2 021,61×69=4 209.

(1)请你直接写出83×87的值;

(2)设这两个两位数的十位数字为x(x>3),个位数字分别为y和z(y+z=10),通过计算验证这两个两

位数的乘积为100x(x+1)+yz;

99 999=.

(3)99 991×

8.[2019宣城模拟]阅读下列材料,并解决相关的问题.

按照一定顺序排列着的一列数称为数列,排在第一位的数称为第1项,记为a1,依此类推,排在第n 位的数称为第n项,记为a n.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比

数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),如:数列1,3,9,27,…为等比数列,其中a1=1,公比q=3.

(1)等比数列3,6,12…的公比q为,第4项是;

(2)如果一个数列a1,a2,a3,a4,…是等比数列,且公比为q,那么根据定义可得到

=q,=q,=q,…,=q,所以a2=a1q,a3=a2q=a1q·q=a1q2,a4=a3q=a1q2·q=a1q3,由此可得a n=

(用含a1,n和q的代数式表示);

(3)若一个等比数列的公比q=,第2项a2=,求它的第1项与第4项.

9.[2019合肥高新区模拟]我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.

观察:3,4,5;

5,12,13;

7,24,25;

9,40,41;

发现:这些勾股数的勾都是奇数,从3起就没有间断过,而且股和弦是两个连续整数.

(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:;

(2)若第一个数用字母n(n为奇数,且n≥3)表示,写出后两个数(用含n的代数式表示),并用所学知识说明它们是一组勾股数.

类型2图形中的规律探索

10.[2019六安地区二模]观察下列n×n的点阵与等式的关系,并填空:

(1)根据你发现的规律,在(n×n)图的后面的横线上填上所对应的等式,并证明等式成立.

(2)根据等式的性质,将上图所对应的前4个已知等式的左侧和右侧式子分别相加,等式依然成立,即(22-12)+(32-22)+(42-32)+(52-42)=(1+2×1)+(1+2×2)+(1+2×3)+(1+2×4).经化简,变形后得到

52-12=4+2×(1+2+3+4),即1+2+3+4=,这种方法叫等式叠加法.如果将上图(2×2)到(n×n)

所对应的(n-1)个等式进行叠加,经化简,变形后可以得到

1+2+3+…+(n-1)=.

11.[2019合肥瑶海区二模]

(1)观察下面的图案与等式的关系,并填空.

(2)通过猜想,写出第n个图案相对应的等式.

12.[2019安徽中考]【阅读理解】

我们知道1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2的结果等于多少呢?

在图(1)所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22……第n行n个圆圈中数的和为,即n2.这样,该三角形数阵中共有个圆圈,

所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2.

图(1)

【规律探究】

将三角形数阵经两次旋转可得如图(2)所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位

置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的

和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为

3(12+22+32+…+n2)=.因此,12+22+32+…+n2=.

图(2)

【解决问题】

根据以上发现,计算的结果为.

13.[2019安徽中考]在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过

的小正方形个数 f.

(1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表: