基于极坐标的牛顿拉夫逊潮流计算修正版
基于极坐标的牛顿拉夫逊潮流计算
基于极坐标的牛顿拉夫逊潮流计算
极坐标牛顿拉夫逊潮流(PNF)计算也称为极坐标矢量法，是一种利用
极坐标变换计算复杂电力系统潮流的数值计算方法。
极坐标牛顿拉夫逊潮
流计算把复杂的三相系统潮流变换为一种简单的极坐标系统，把潮流计算
变换为水平和垂直运动，而每一个潮流方程只需要解决一个联立方程，从
而大大简化了潮流计算的复杂性。
极坐标牛顿拉夫逊潮流计算首先把潮流计算分为两部分，第一部分是
极坐标系变换，把复杂的三相系统潮流变换为一种简单的极坐标系统，这
部分计算主要包括把直流潮流变换为极坐标系统、设置极坐标参数等步骤；第二部分是牛顿拉夫逊潮流计算，即基于极坐标系统解决潮流方程。
牛顿
拉夫逊潮流计算的核心部分是极坐标潮流模型，包括水平潮流模型和垂直
潮流模型。
极坐标牛顿拉夫逊潮流计算的优势主要体现在潮流计算过程简单、求
解效率高。
基于极坐标的牛顿拉夫逊法潮流计算设计
毕业设计基于极坐标的牛顿－拉夫逊法潮流计算摘要潮流计算是电力系统最基本的计算功能，其基本思想是根据电力网络上某些节点的已知量求解未知量，潮流计算在电力系统中有着独特的作用。
它不仅能确保电力网络能够正常的运行工作、提供较高质量的电能，还能在以后的电力系统扩建中各种计算提供必要的依据。
计算潮流分布的方法很多，本设计主要用的是基于极坐标的牛顿－拉夫逊法。
根据电力系统网络的基本知识，构建出能代表电力系统系统网络的数学模型，然后用牛顿—拉夫逊法反复计算出各个接点的待求量，直到各个节点的待求量满足电力系统的要求。
我们可以画出计算框图，用MATLAB编写出程序，来代替传统的手算算法。
复杂电力系统是一个包括大量母线、支路的庞大系统。
对这样的系统进行潮流分析时，采用人工计算的方法已经不再适用。
计算机计算已逐渐成为分析复杂系统潮流分布的主要方法。
本设计中还用了一个五节点的电力系统网络来验证本设计在实际运行中的优越性。
关键词：牛顿－拉夫逊法，复杂电力系统，潮流计算The method of Newton- Raphson based on polarABSTRACTPower system load flow calculation is the most basic computing functions, the basic idea is based on some of the electricity network nodes to solve the unknown quantity of known volume,In power system, power flow, which can ensure that electrical net can work well and give the high quality power, but also later provide the necessary datas in the enlargement of the power system. has special function.There are lots of methods about power flow. We mainly use the method of Newton-Raphson based on polar in my design. According to the basic knowledge of the electrical network, we established the mathematics model which can presents the power system ,then computed again and again unknown members of the each bus with the method of Newton-RaphSon until the unknown numbers meet the demand of the power system. We can write down the block diagram and write the order with the Matlab in place of the traditional methods. Complex power system is a large system which involves lots of bus bars and branches. We also chose a five-bus power system for testing the advantages in the relity.KEY WORDS: Newton-Raphson，power system，power flow目录前言 (1)第一章电力系统潮流计算的基本知识 (2)1.1潮流计算的定义及目的 (2)1.2潮流计算方法的发展及前景 (2)第二章潮流计算的节点 (5)2.1 节点的分类 (5)2.2潮流问题变量的约束条件 (7)第三章电力网络的数学模型 (8)3.1 节点导纳矩阵的形成 (9)3.2 节点导纳矩阵的修改 (9)第四章潮流计算的原理 (12)4.1 牛顿－拉夫逊法 (12)第五章计算实例 (17)5.1算例 (17)5.2 节点导纳的形成 (17)5.3 计算结果 (18)结论 (20)谢辞 (22)参考文献 (23)附录 (24)计算程序 (25)外文资料翻译 (41)前言潮流计算是电力系统中应用最广泛和最重要的一种电气计算。
《电力系统分析》课程设计-极坐标表示的牛顿拉夫逊法潮流计算程序设计
目录1任务书 (2)2.模型简介及等值电路 (3)3.设计原理 (4)4.修正方程的建立 (6)5.程序流程图及MATLAB程序编写 (8)6.结果分析 (14)7.设计总结 (17)8.参考文献 (17)《电力系统分析》课程设计任务书题目极坐标表示的牛顿拉夫逊法潮流计算程序设计学生姓名学号专业班级电气工程及其自动化设计内容与要求1. 设计要求掌握MATLAB语言编程方法；理解和掌握运用计算机进行潮流计算的基本算法原理；针对某一具体电网，进行潮流计算程序设计。
其目的在于加深学生对电力系统稳态分析中课程中基本概念和计算方法的理解，培养学生运用所学知识分析和解决问题的能力。
2. 内容1）学习并掌握MATLAB语言。
2）掌握变压器非标准变比概念及非标准变比变压器的等值电路。
掌握节点导纳矩阵的概念及导纳矩阵的形成和修改方法。
3）掌握电力系统功率方程、变量和节点分类。
4）掌握利用极坐标表示的牛-拉法进行潮流计算的方法和步骤。
5）选择一个某一具体电网，编制程序流程框图。
6）利用MATLAB语言编写该模型的潮流计算程序，并上机调试程序，对计算结果进行分析。
7）整理课程设计论文。
起止时间2013 年7 月 4 日至2013 年7月10日指导教师签名年月日系（教研室）主任签名年月日学生签名年月日2 模型简介及等值电路 2.1 课程设计模型：模型3电力网络接线如下图所示，各支路阻抗标幺值参数如下：Z12=0.02+j0.06，Z13=0.08+j0.24， Z23=0.06+j0.18， Z24=0.06+j0.12， Z25=0.04+j0.12， Z34=0.01+j0.03， Z45=0.08+j0.24， k=1.1。
该系统中，节点1为平衡节点，保持11.060V j =+&为定值；节点2、3、4都是PQ 节点，节点5为PV 节点，给定的注入功率分别为:20.200.20S j =+，3-0.45-0.15S j =，40.400.05S j =--，50.500.00S j =-+，5 1.10V =&。
基于极坐标的牛顿拉夫逊潮流计算修正版
2 模型简介及等值电路2.1课程设计模型：模型3电力网络接线如下图所示，各支路阻抗标幺值参数如下：Z12=0.02+j0.06，Z13=0.08+j0.24，Z23=0.06+j0.18，Z24=0.06+j0.12，Z25=0.04+j0.12，Z34=0.01+j0.03，Z45=0.08+j0.24，k=1.1。
该系统中，节点1为平衡节点，保持11.060V j=+&为定值；节点2、3、4都是PQ节点，节点5为PV节点，给定的注入功率分别为:20.200.20S j=+，3-0.45-0.15S j=，40.400.05S j=--，50.500.00S j=-+，51.10V=&。
各节点电压（初值）标幺值参数如下：节点 1 2 3 4 5Ui（0）=ei（0）+jfi（0）1.06+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.1+j0.0计算该系统的潮流分布。
计算精度要求各节点电压修正量不大于10-5。
图2-12.2模型分析节点类型介绍按变量的不同，一般将节点分为三种类型。
1 PQ节点这类节点的有功功率和无功功率是给定的，节点(,)Vδ是待求量。
通常变电所都是这一类型节点。
由于没有发电设备，故其发电功率为零。
有些情况下，系统中某些发电厂输出的功率在一段时间内是固定时，该发电厂母线也作为PQ节点。
因此，电力系统中绝大多数节点属于这一类型。
2 PV节点这类节点有功功率P和电压幅值V是给定的，节点的无功功率Q和电压的相位δ是待求量。
这类节点必须有足够的可调无功容量，用以维持给定的电压幅值，因此又称为电压控制节点。
一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。
3 平衡节点在潮流分布算出以前，网络中的功率损耗是未知的，因此，网络中至少有一个节点的有功功率P不能给定，这个节点承担了系统系统的有功功率平衡，故称之为平衡节点。
1.2、各节电参数：由模型中所给列出下表：各节点电压和注入功率（初值）标幺值参数如下：节点 12 3 4 5 U i（0）=e i（0）+j f i（0）1.06+j 0.0 1.0+j 0.0 1.0+j 0.01.0+j 0.01.1+j 0.00.20+j0.20 -0.45-j0.15 1.0+j0.01.1+j0.0各节点之间的导纳：y12=5.000-j15.000，y13=1.2500-j3.7500，y22=0.2750-j0.8250，y23=1.667-j5.000，y24=3.333-j6.667，y25=2.7500-j8.2500，y34=10.0000-j30.0000，y55=-0.25+j0.75 1.3 等值电路模型由于计算时一般将平衡节点放到最大编号，故在本模型中将节点2、3、4、5、1分别替换为节点1、2、3、4、5，也即是4换为PV 节点，5为平衡节点。
基于MATLAB的直角坐标下牛顿拉夫逊法潮流计算
节点的给定功率设为 Pis 和 Qis （称为注入功率）。 假定系统中的第 1、2、…、m 节点为 PQ 节点，对其中每一个节点的 N-R
法表达式 F(x)=0[如 Si 0 、 Pi 0 、 Qi 0 ]形式有些下列方程：
n
n
Pi Pis Pi Pis ei (Gije j Bij f j ) fi (Gij f j Bije j ) 0
j 1
Bij f j ) Giiei
Bii fii
J
ii
U
2 i
ei
2ei
U
2 i
fi
2 fi
（2-5）
当 j i 时,矩阵非对角元素为：
Pi ei
Qiij
Jij
Pi f j
2.2 牛顿——拉夫逊法潮流计算计算公式
把牛顿法用于潮流计算，采用直角坐标形式表示的如式（2-2）所示的形式。
其中电压和支路导纳可表示为：
Ui ei jfi Yij Gij jBij
U j ej jf j
Y ij Gij jBij
（2-1）
将上述表示式（2-1）代入（1-1）式的右端，展开并分出实部和虚部，便
Key words: Electric power system; flow calculation; MATLAB
基于改进牛顿法的VSC-HVDC潮流计算
１ ８
。
苏
电
机
工
程
第 ３ ２卷 第 １期
２ ０ １ ３年 １月
Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅｎｇ ｉ ｎｅ ｅ ｒ ｉ ｎｇ
・ｊ
７ ｜
基于改进牛顿法的 ＶＳ Ｃ － Ｈ Ｖ Ｄ Ｃ潮流Байду номын сангаас算
黄 曙 ， 何 桦 ， 卫 志农 ， 季 聪
和 收敛性 上 的优 势
Ｑ ＝ 一 ｌ ｌ ， Ｉ
同理可 得 ：
＝
Ｉ ｙ Ｕ ｆ ｃ ｃ ｏ ｓ （ ６ 一 ） ＋ Ｉ Ｙ ｌ （ ， ２ ｃ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ （ ８ ｚ — ） 一 Ｉ Ｙ ） ２ ｓ ｉ ｎ
，
１ Ｖ Ｓ Ｃ — Ｈ Ｖ ＤＣ 潮 流计 算 的数 学模 型
随着 电力 系 统规 模 的 日益 扩 大 以 及安 全 分 析 等
， ＝ （ 一 ） ／ （ Ｒ ＋ ｊ Ｘ ）
（ １ ）
由交流 系统 流人 换 流变 压器 的复功 率Ｓ 满足 如 下
关 系式 ：
＝ 。
在线 计算 问题 的提 出 ． 潮流 计算 速 度成 为 一个 迫切 需
＝ 一
ｃ ｌ ， ｛ Ｕ ｓ Ｕ ｏ ｃ ｏ ｓ （ ３ ＋ ） ＋ ｆ ， ， ｆ ２ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ （ ８ ￣ ＋ ） ＋ ｊ Ｙ Ｉ ２ ｓ ｉ ｎ
（ ３ ） （ ４ ） （ ５ ） （ ６ ）
些 改进 ，同时通 过数 学方 法证 明这些 算 法 的有效 性 ． 并 通 过 多个 算 例仿 真验 证 这 些 改进 算 法 在计 算 时 间
Ｐ ｓ ＋ ｊ ｑ ＝ （ ）
牛顿-拉夫逊算法(极坐标)潮流计算算例
极坐标系下的潮流计算
潮流计算
在电力系统中，潮流计算是一种常用的计算方法，用于确定在给定网络结构和参数下，各节点的电压 、电流和功率分布。在极坐标系下进行潮流计算，可以更好地描述和分析电力系统的电磁场分布和变 化。
极坐标系下的潮流计算特点
在极坐标系下进行潮流计算，可以更直观地描述电力线路的走向和角度变化，更好地反映电力系统的 复杂性和实际情况。此外，极坐标系下的潮流计算还可以方便地处理电力系统的非对称性和不对称故 障等问题。
03
CATALOGUE
极坐标系下的牛顿-拉夫逊算法
极坐标系简介
极坐标系
一种二维坐标系统，由一个原点（称为极点）和一条从极点出发的射线（称为 极轴）组成。在极坐标系中，点P的位置由一个角度θ和一个距离r确定。
极坐标系的应用
极坐标系广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，特别是在电力系统和通 信网络中，用于描述电场、磁场、电流和电压等物理量的分布和变化。
极坐标形式
将电力系统的节点和支路参数以极坐 标形式表示，将实数问题转化为复数 问题，简化计算过程并提高计算效率 。
02
CATALOGUE
牛顿-拉夫逊算法原理
算法概述
牛顿-拉夫逊算法是一种迭代算法，用于求解非线性方程组。在电力系统中，它 被广泛应用于潮流计算，以求解电力网络中的电压、电流和功率等参数。
准确的结果。
通过极坐标系的处理，算法 能够更好地处理电力系统的 复杂结构和不对称性，提高 了计算的准确性和适应性。
算例分析表明，该算法在处理 大规模电力系统时仍具有较好 的性能，能够满足实际应用的
需求。
展望
进一步研究牛顿-拉夫逊算法在极坐标 系下的收敛性分析，探讨收敛速度与电 力系统规模、结构和参数之间的关系， 为算法的优后的电压、电流和功 率等参数。
牛顿拉夫逊潮流计算
牛顿—拉夫逊法潮流计算一、 潮流计算的基本原理实际电力系统中的节点类型5二、实际电力系统中的节点类型123452s 3s 4s 过渡节点：PQ 为0的给定PQ 节点，如图的节点5网络中各节点的性质：负荷节点：给定功率P 、Q 如图中的3、4节点如图中的节点1，可能有两种情况：给定P 、Q 运行，给定P 、V 运行3. 负荷发电机混合节点：PQ 节点，如图中的节点2发电机节点负荷节点负荷节点混合节点过渡节点1. 负荷节点：2. 发电机节点：4.潮流计算中节点类型划分6三、潮流计算中节点类型的划分也称为松弛节点，摇摆节点123452s 3s 4s 平衡节点PQ 节点PQ 节点PV 节点PQ 节点PQ∈Ω1. PQ 节点：已知P 、Q负荷、过渡节点，PQ 给定的发电机节点，大部分节点PV ∈Ω给定PV 的发电机节点，具有可调电源的变电所，少量节点2.PV 节点：已知P 、V3. 平衡节点＋基准节点：已知V 、δ采用极坐标，节点电压表示为()cos sin i i i i i i V V V j δδδ=∠=+节点功率将写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=+=∑∑==n j ij ij ij ij j i i nj ij ij ij ij j i i B G V V Q B G V V P 11)cos sin ()sin cos (δδδδ (1) 式中，ij i j δδδ=-，是i 、j 两节点电压的相角差。
方程式把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。
在有n 个节点的系统中，假定第1~m 号节点为P Q 节点，第1~1m n +-号节点为PV 节点，第n 号节点为平衡节点。
n V 和n δ是给定的，PV 节点的电压幅值11~m n V V +-也是给定的。
因此，只剩下1n -个节点的电压相角121,,,n δδδ- 和m 个节点的电压幅值12,,,m V V V 是未知量。
实际上，对于每一个P Q 节点或每一个PV 节点都可以列写一个有功功率不平衡量方程式()1(cos sin )01,2,,1ni is i is i j ij ij ij ij j P P P P V V G B i n δδ=∆=-=-+==-∑ (2)而对于每一个P Q 节点还可以再列写一个无功功率不平衡量方程式()1(sin cos )01,2,,ni is i is i j ij ij ij ij j Q Q Q Q V V G B i m δδ=∆=-=--==∑ (3)式(2)和式(3)一共包含了1n m -+个方程式，正好同未知量的数目相等，而比直角坐标形式的方程少了1n m -+个。
第三节牛顿 拉夫逊法潮流计算
∂P H11 = 1 = U1 U 2 ( −G12 sin δ12 + B12 cos δ12 ) ∂δ1 +U 3 ( −G13 sin δ13 + B13 cos δ13 ) + ... = −U1 ∑ U j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij )
j =2
PV节点：δi • 节点功率和支路功率(第二求解对象)
4-3 牛顿—拉夫逊法潮流计算
共2(m-1)+(n-m)=n+m-2个变量， 则需n+m-2个独立方程
节点注入功率—电压实数方程组(极坐标形式)
对节点i：
~ & S i = Pi + jQ i = U i
∑
* * Yij U j j =1
~ Si = U i
n
∑ (G
j =1 ij
− jBij U j e
)
jδ ij
e
jδ ij
= cos δ ij + j sin δ ij
∑ (G
j =1
− jBij U j cos δ ij + j sin δ ij
) (
)
4-3 牛顿—拉夫逊法潮流计算
节点注入功率—电压实数方程组(极坐标形式)
j =1
n
n
(
)
)
Qi = U i ∑ U j Gij sin δ ij − Bij cos δ ij
j =1
(
(U,δ)不是真解
∆Pi (U, δ) = Pi − U i ∑U j Gij cosδ ij + Bij sin δ ij
j =1 n
j =1
基于牛顿拉夫逊法的电力系统潮流计算设计
毕业设计（论文）基于牛顿—拉夫逊法的电力系统潮流计算本科毕业设计（论文）任务书（理工科类）Ⅰ、毕业设计（论文）题目：基于牛顿拉夫逊法的电力系统潮流计算Ⅱ、毕业设计（论文）工作内容（从综合运用知识、研究方案的设计、研究方法和手段的运用、应用文献资料、数据分析处理、图纸质量、技术或观点创新等方面详细说明）：电力系统的基本任务是安全、可靠、经济地为用户提供电能。
而对电力系统正常运行状态的分析和计算是其中十分重要的内容。
本课题拟采用牛顿拉夫逊法进行电力系统稳态，对复杂系统的潮流计算进行全面的分析，并得出结论。
开发工具采用matlab，对具体算例建立模型并进行仿真计算，结果图表显示。
开发的软件具有一定的实用性。
参考文献来源于图书馆关于电力系统稳态计算的书籍和中国期刊网中文文献。
外文期刊室查阅外文文献，并详细翻译1～2篇英文文献。
Ⅲ、进度安排：第1～6周资料翻阅，掌握计算的基本理论及matlab编程第7～12周找好实际系统，进行计算第13～17周编程和调试第18～22周分析及撰写论文第23周英文翻译第24周准备答辩Ⅳ、主要参考资料：1 电力工程基础2 电力系统稳态分析3 中国期刊网论文4 英文文献5 matlab编程指导教师：邓立华， 2010 年 12 月 6 日学生姓名：邹爱龙，专业年级： 2007级系负责人审核意见（从选题是否符合专业培养目标、是否结合科研或工程实际、综合训练程度、内容难度及工作量等方面加以审核）：系负责人签字：，年月日摘要电力系统的潮流计算在电力系统稳态分析和电力系统设计中有很重要的作用，潮流计算也是电力系统暂态分析的基础。
潮流计算是根据给定的系统运行条件来计算系统各个部分的运行状况，主要包括电压和功率的计算。
到目前为止，利用电子计算机进行电力系统的潮流计算的算法已经出现了很多，其中应用最为广泛的是基于牛顿——拉夫逊法的潮流计算方法。
在利用计算机进行电力系统的潮流计算之前，需要对网络的节点进行划分和编号，建立电力网络的数学模型，即电力系统的网络方程式。
基于极坐标的牛顿-拉夫逊法潮流计算设计
摘要:电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种重要的分析计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态。
在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性，可靠性和经济性。
MATLAB 使用方便，有着其他高级语言无法比拟的强大的矩阵处理功能。
这样使MATLAB成为电力系统潮流计算的首选计算机语言。
牛顿-拉夫逊法是电力系统潮流计算的常用算法之一，它收敛性好，迭代次数少。
介绍了电力系统潮流计算机辅分析的基本知识及潮流计算牛顿-拉夫逊法，最后介绍了利用MATLAB制作潮流计算软件的过程。
关键词：电力系统潮流计算；牛顿-拉夫逊法；MATLABAbstract:Power Flow Calculation of Power System is an important analysis and calculation of power system steady-state operation, which according to the given operating conditions and system wiring to determine the various parts of the power system running state. In the study of power system design and the current operation mode are required Power Flow Calculation to quantitatively analyzed and compared to the program or run mode power supply reasonable, reliability and economy or not. MATLAB is easy to use, the powerful matrix processing is the other high-level language can not be compared with. This allows MATLAB to become the preferred computer language of power flow calculation.Newton Raphson power flow calculation is one of the most commonly used algorithms, which has good convergence and fewer iterations .This article describes the power flow computer assisted analysis of the basic knowledge and power flow Newton - Raphson method, Finally it describe how to use matlab GUI to make the power flow calculation software.Keywords: power flow calculation; Newton - Raphson method; matlab GUI目录前言 (4)第一章电力系统潮流计算的基本知识 (5)1.1潮流计算的定义及应用 (5)1.2 潮流计算方法的发展与前景 (5)第二章电力网络的数学模型 (6)2.1节点导纳矩阵的形成及修改 (7)2.1.1节点导纳矩阵的形成 (7)2.1.2节点导纳矩阵的修改 (9)2.2节点导纳矩阵元素的物理意义 (11)第三章牛顿—拉夫逊法潮流分布计算 (13)3.1牛顿—拉夫逊法简介 (14)3.1.1牛顿—拉夫逊法简介 (14)3.1.2牛顿—拉夫逊法的几何意义 (17)3.2牛顿—拉夫逊法计算潮流分布 (18)第四章Matlab简介及程序运算 (23)4.1 Matlab概述 (23)结论 (34)参考文献 (35)前言如今，电能已成为我国国民经济紧密联系的，不能储存的能量，它的生产、输送、分配和使用同时完成，暂态过程非常迅速，以电磁波的形式传播。
牛顿拉夫逊迭代法极坐标潮流计算java程序
牛顿拉夫逊迭代法极坐标潮流计算java程序一、前言在电力系统中，潮流计算是一项重要的运行分析工作，它用于确定电力系统中各个节点的电压和相角。
而在潮流计算中，牛顿拉夫逊迭代法是一种常用的计算方法，特别是在极坐标下的潮流计算中。
本文将从牛顿拉夫逊迭代法的原理入手，分析其在极坐标潮流计算中的应用，并展示一个基于Java程序的实例。
二、牛顿拉夫逊迭代法的原理牛顿拉夫逊迭代法是一种用于求解非线性方程组的数值方法，其基本思想是通过不断迭代，逐步逼近非线性方程组的解。
在潮流计算中，牛顿拉夫逊迭代法的主要目标是求解节点电压和相角。
其迭代公式可以表示为：\[ J(\Delta X) = F(X_k) + \frac{dF(X_k)}{dX}\Delta X = 0 \]其中，J是雅可比矩阵，ΔX表示解的修正量，F(Xk)表示当前迭代点的方程组的值，dF(Xk)/dX表示F(Xk)的导数。
在使用牛顿拉夫逊迭代法进行潮流计算时，需要构建节点导纳矩阵、节点功率不平衡方程和雅可比矩阵，并通过迭代计算得到节点电压和相角的解。
这个过程是十分复杂和耗时的，因此需要使用计算机程序来实现。
三、极坐标潮流计算的Java程序实现在极坐标下的潮流计算，通常需要对节点电压和相角进行极坐标转换，并针对牛顿拉夫逊迭代法进行适当的调整。
下面我们将展示一个简单的Java程序，用于实现极坐标潮流计算的牛顿拉夫逊迭代法。
```java// Java程序实现牛顿拉夫逊迭代法的极坐标潮流计算public class PolarNewtonRaphson {// 节点导纳矩阵private Complex[][] admittanceMatrix;// 节点功率不平衡方程private Complex[] powerMismatchEquation;// 节点电压private Complex[] voltage;// 迭代阈值private double threshold;// 构造函数public PolarNewtonRaphson(Complex[][] admittanceMatrix, Complex[] powerMismatchEquation, Complex[] voltage, double threshold) {this.admittanceMatrix = admittanceMatrix;this.powerMismatchEquation = powerMismatchEquation; this.voltage = voltage;this.threshold = threshold;}// 牛顿拉夫逊迭代法public void calculate() {while (true) {// 计算雅可比矩阵Complex[][] jacobianMatrix = calculateJacobianMatrix(); // 计算方程组的值Complex[] fX = calculateFX();// 解线性方程组Complex[] deltaV = solveLinearEquations(jacobianMatrix, fX);// 更新节点电压for (int i = 0; i < voltage.length; i++) {voltage[i] = voltage[i].add(deltaV[i]);}// 判断是否满足收敛条件if (isConverged(deltaV)) {break;}}}// 计算雅可比矩阵private Complex[][] calculateJacobianMatrix() {// 省略具体实现}// 计算方程组的值private Complex[] calculateFX() {// 省略具体实现}// 解线性方程组private Complex[] solveLinearEquations(Complex[][] jacobianMatrix, Complex[] fX) {// 省略具体实现}// 判断是否满足收敛条件private boolean isConverged(Complex[] deltaV) { // 省略具体实现}}// 主程序public class M本人n {public static void m本人n(String[] args) {// 构建节点导纳矩阵、节点功率不平衡方程和节点电压// 省略具体实现// 创建极坐标潮流计算对象PolarNewtonRaphson polarNewtonRaphson = new PolarNewtonRaphson(admittanceMatrix, powerMismatchEquation, voltage, 0.0001);// 计算节点电压和相角polarNewtonRaphson.calculate();}}```在这个简单的Java程序中，我们使用了复数类Complex来表示节点电压、导纳矩阵和功率不平衡方程，通过迭代的方式计算得到节点电压和相角的解。
极坐标的牛顿拉夫逊法潮流计算
%主程序"PowerFlow_NR.m"function [bus_res,S_res] = PowerFlow_NR_2 % 牛顿-拉夫逊法解潮流方程的主程序[bus,line] = OpDF_; % 打开数据文件的子程序，返回bus（节点数据）和line（线路数据）回主程序[nb,mb]=size(bus);[nl,ml]=size(line); % 计算bus和line矩阵的行数和列数[bus,line,nPQ,nPV,nodenum] = Num_(bus,line); % 对节点重新排序的子程序Y = y_(bus,line); % 计算节点导纳矩阵的子程序myf = fopen('Result.m','w');fprintf(myf,'\n\n');fclose(myf); % 在当前目录下生成“Result.m”文件，写入节点导纳矩阵format longEPS = 1.0e-10; % 设定误差精度for t = 1:100 % 开始迭代计算，设定最大迭代次数为100，以便不收敛情况下及时跳出[dP,dQ] = dPQ_(Y,bus,nPQ,nPV); % 计算功率偏差dP和dQ的子程序J = Jac_(bus,Y,nPQ); % 计算雅克比矩阵的子程序UD = zeros(nPQ,nPQ);for i = 1:nPQUD(i,i) = bus(i,2); % 生成电压对角矩阵enddAngU = J \ [dP;dQ];dAng = dAngU(1:nb-1,1); % 计算相角修正量dU = UD*(dAngU(nb:nb+nPQ-1,1)); % 计算电压修正量bus(1:nPQ,2) = bus(1:nPQ,2) - dU; % 修正电压bus(1:nb-1,3) = bus(1:nb-1,3) - dAng; % 修正相角if (max(abs(dU))<EPS)&(max(abs(dAng))<EPS)breakend % 判断是否满足精度误差，如满足则跳出，否则返回继续迭代endbus = PQ_(bus,Y,nPQ,nPV); % 计算每个节点的有功和无功注入的子程序[bus,line] = ReNum_(bus,line,nodenum); % 对节点恢复编号的子程序YtYm = YtYm_(line); % 计算线路的等效Yt和Ym的子程序，以计算线路潮流bus_res = bus_res_(bus); % 计算节点数据结果的子程序S_res = S_res_(bus,line,YtYm); % 计算线路潮流的子程序myf = fopen('Result.m','a');fprintf(myf,'---------------牛顿－拉夫逊法潮流计算结果----------\n\n 节点计算结果：\n节点节点电压节点相角（角度）节点注入功率\n');for i = 1:nbfprintf(myf,'%2.0f ',bus_res(i,1));fprintf(myf,'.6f ',bus_res(i,2));fprintf(myf,'.6f ',bus_res(i,3));fprintf(myf,'.6f + j .6f\n',real(bus_res(i,4)),imag(bus_res(i,4)));endfprintf(myf,'\n线路计算结果：\n节点I 节点J 线路功率S(I,J)线路功率S(J,I) 线路损耗dS(I,J)\n');for i = 1:nlfprintf(myf,'%2.0f ',S_res(i,1));fprintf(myf,'%2.0f ',S_res(i,2));fprintf(myf,'.6f + j .6f ',real(S_res(i,3)),imag(S_res(i,3)));fprintf(myf,'.6f + j .6f ',real(S_res(i,4)),imag(S_res(i,4)));fprintf(myf,'.6f + j .6f\n',real(S_res(i,5)),imag(S_res(i,5)));endfclose(myf); % 迭代结束后继续在“Result.m”写入节点计算结果和线路计算结果程序结束bus = [1 1.00 0.00 -0.30 -0.18 1;2 1.00 0.00 -0.55 -0.13 1;3 1.10 0.00 0.50 0.00 2;4 1.05 0.00 0.00 0.00 3]line = [1 2 0.10 0.40 0.0 0.01528 0;4 2 0.08 0.40 0.0 0.01413 0;1 4 0.12 0.50 0.0 0.0192 0;3 1 0.00 0.3 0.0 0.0 -1.1]----------------------------------------牛顿－拉夫逊法潮流计算结果-------------------------------------------- 节点计算结果：节点节点电压节点相角（角度）节点注入功率1 0.984674906330845 -0.500170385513657 -0.300000000000000 - 0.180000000000000i2 0.964797665550885 -6.450305258622626 -0.550000000000000 - 0.130000000000000i3 1.100000000000000 6.732349388989963 0.500000000000000 + 0.093411003244513i4 1.050000000000000 0 0.367882692523292 + 0.264698252215732i 线路计算结果：节点I 节点J 线路功率S(I,J) 线路功率S(J,I) 线路损耗dS(I,J)1 2 0.246244-j0.014651 -0.239990+j0.010627 0.006254- j0.0040241 3 -0.500001-j0.029264 0.500000+j0.093409 -0.000001+j0.0641451 4 -0.046244-j0.136088 0.048216+j0.104522 0.001972-j0.0315662 4 -0.310010-j0.140627 0.319666+j0.160176 0.009656+j0.019549%子程序1 "OpDF_.m" 作用为打开数据文件function [bus,line] = OpDF_[dfile,pathname]=uigetfile('*.m','Select Data File'); % 数据文件类型为m文件，窗口标题为“Select Data File”if pathname == 0error(' you must select a valid data file') % 如果没有选择有效文件，则出现错误提示elselfile =length(dfile); % 读取文件字符串长度eval(dfile(1:lfile-2)); % 去除后缀，打开文件！注意！新浪博客中"eval"函数会自动加上"_r"后缀，此处的函数名是"eval"而不是"eval_r"，拷贝后请去除"_r"后缀end%子程序2 "Num.m" 作用为对节点重排序，并修改相应的线路数据function [bus,line,nPQ,nPV,nodenum] = Num_(bus,line)[nb,mb]=size(bus);[nl,ml]=size(line);nSW = 0; % nSW为平衡节点个数nPV = 0; % nPV为PV节点个数nPQ = 0; % nPQ为PQ节点个数for i = 1:nb, % nb为总节点数type= bus(i,6);if type == 3,nSW = nSW + 1;SW(nSW,:)=bus(i,:); % 计算并储存平衡节点elseif type == 2,nPV = nPV +1;PV(nPV,:)=bus(i,:); % 计算并储存PV节点elsenPQ = nPQ + 1;PQ(nPQ,:)=bus(i,:); % 计算并储存PQ节点endendbus=[PQ;PV;SW]; % 对bus矩阵按PQ、PV、平衡节点的顺序重新排序nodenum=[[1:nb]' bus(:,1)];% 生成新旧节点对照表for i=1:nlfor j=1:2for k=1:nbif line(i,j)==nodenum(k,2)line(i,j)=nodenum(k,1);breakendendendend % 按排序以后的节点顺序对line矩阵重新编号%子程序3 "y_.m" 作用为计算节点导纳矩阵function Y = y_(bus,line)[nb,mb]=size(bus);[nl,ml]=size(line);Y=zeros(nb,nb); % 对导纳矩阵赋初值0for k=1:nlI=line(k,1);J=line(k,2);Zt=line(k,3)+j*line(k,4); % 读入线路参数if Zt~=0Yt=1/Zt; % 接地支路不计算YtendYm=line(k,5)+j*line(k,6);K=line(k,7);if (K==0)&(J~=0) % 普通线路: K=0Y(I,I)=Y(I,I)+Yt+Ym;Y(J,J)=Y(J,J)+Yt+Ym;Y(I,J)=Y(I,J)-Yt;Y(J,I)=Y(I,J);endif (K==0)&(J==0) % 对地支路: K=0,J=0,R=X=0Y(I,I)=Y(I,I)+Ym;endif K>0 % 变压器线路: Zt和Ym为折算到i侧的值,K在j侧Y(I,I)=Y(I,I)+Yt+Ym;Y(J,J)=Y(J,J)+Yt/K/K;Y(I,J)=Y(I,J)-Yt/K;Y(J,I)=Y(I,J);endif K<0 % 变压器线路: Zt和Ym为折算到K侧的值,K在i侧Y(I,I)=Y(I,I)+Yt+Ym;Y(J,J)=Y(J,J)+K*K*Yt;Y(I,J)=Y(I,J)+K*Yt;Y(J,I)=Y(I,J);endend%子程序4 "dPQ_.m" 作用为计算功率偏差function [dP,dQ] =dPQ_(Y,bus,nPQ,nPV) % nPQ、nPV为相应节点个数n = nPQ + nPV +1; % 总节点个数dP = bus(1:n-1,4);dQ = bus(1:nPQ,5); % 对dP和dQ赋初值PV节点不需计算dQ 平衡节点不参与计算for i = 1:n-1for j = 1:ndP(i,1) =dP(i,1)-bus(i,2)*bus(j,2)*(real(Y(i,j))*cos(bus(i,3)-bus(j,3))+imag(Y(i,j))*sin(bus(i,3)-bus(j,3)));if i<nPQ+1dQ(i,1) = dQ(i,1)-bus(i,2)*bus(j,2)*(real(Y(i,j))*sin(bus(i,3)-bus(j,3))-imag(Y(i,j))*cos(bus(i,3)-bus(j,3)));endendend % 利用循环计算求取dP和dQ%子程序5 "Jac_.m" 作用为计算雅克比矩阵function J = Jac_(bus,Y,nPQ)[nb,mb]=size(bus);H = zeros(nb-1,nb-1);N = zeros(nb-1,nPQ);K = zeros(nPQ,nb-1);L = zeros(nPQ,nPQ); % 将雅克比矩阵分块，即：J = [H N; K L]，并初始化Qi = zeros(nb-1,1);Pi = zeros(nb-1,1);for i = 1:nb-1for j = 1:nbPi(i,1)=Pi(i,1)+bus(i,2)*bus(j,2)*(real(Y(i,j))*cos(bus(i,3)-bus(j,3))+imag(Y(i,j))*sin(bus(i,3)-bus(j,3) ));Qi(i,1)=Qi(i,1)+bus(i,2)*bus(j,2)*(real(Y(i,j))*sin(bus(i,3)-bus(j,3))-imag(Y(i,j))*cos(bus(i,3)-bus(j,3) ));endend % 初始化并计算Qi和Pifor i = 1:nb-1for j = 1:nb-1if i~=jH(i,j)=-bus(i,2)*bus(j,2)*(real(Y(i,j))*sin(bus(i,3)-bus(j,3))-imag(Y(i,j))*cos(bus(i,3)-bus(j,3)));elseH(i,j)=Qi(i,1)+imag(Y(i,j))*((bus(i,2))^2);end % 分别计算H矩阵的对角及非对角元素if j < nPQ+1if i~=jN(i,j)=-bus(i,2)*bus(j,2)*(real(Y(i,j))*cos(bus(i,3)-bus(j,3))+imag(Y(i,j))*sin(bus(i,3)-bus(j,3)));elseN(i,j)=-Pi(i,1)-real(Y(i,j))*((bus(i,2))^2);endend % 分别计算N矩阵的对角及非对角元素if i < nPQ+1if i~=jK(i,j)=bus(i,2)*bus(j,2)*(real(Y(i,j))*cos(bus(i,3)-bus(j,3))+imag(Y(i,j))*sin(bus(i,3)-bus(j,3)));elseK(i,j)=-Pi(i,1)+real(Y(i,j))*((bus(i,2))^2);end % 分别计算K矩阵的对角及非对角元素if j < nPQ+1if i~=jL(i,j)=-bus(i,2)*bus(j,2)*(real(Y(i,j))*sin(bus(i,3)-bus(j,3))-imag(Y(i,j))*cos(bus(i,3)-bus(j,3)));elseL(i,j)=-Qi(i,1)+imag(Y(i,j))*((bus(i,2))^2);endend % 分别计算L矩阵的对角及非对角元素endendendJ = [H N; K L]; % 生成雅克比矩阵%子程序6 "PQ_.m" 作用为计算每个节点的功率注入function bus = PQ_(bus,Y,nPQ,nPV)n = nPQ+nPV+1; % n为总节点数for i = nPQ+1:n-1for j = 1:nbus(i,5)=bus(i,5)+bus(i,2)*bus(j,2)*(real(Y(i,j))*sin(bus(i,3)-bus(j,3))-imag(Y(i,j))*cos(bus(i,3)-bus(j, 3)));endend % 利用公式计算PV节点的无功注入for j =1:nbus(n,4)=bus(n,4)+bus(n,2)*bus(j,2)*(real(Y(n,j))*cos(bus(n,3)-bus(j,3))+imag(Y(n,j))*sin(bus(n,3)-b us(j,3)));bus(n,5)=bus(n,5)+bus(n,2)*bus(j,2)*(real(Y(n,j))*sin(bus(n,3)-bus(j,3))-imag(Y(n,j))*cos(bus(n,3)-b us(j,3)));end % 计算平衡节点的无功及有功注入%子程序7 "ReNum_.m" 作用为对节点和线路数据恢复编号function [bus,line] = ReNum_(bus,line,nodenum)[nb,mb]=size(bus);[nl,ml]=size(line);bus_temp = zeros(nb,mb); % bus_temp矩阵用于临时存放bus矩阵的数据k = 1;for i = 1 :nbfor j = 1 : nbif bus(j,1) == kbus_temp(k,:) = bus(j,:);k = k + 1;endendend % 利用bus矩阵的首列编号重新对bus矩阵排序并存入bus_temp矩阵中bus = bus_temp; % 重新赋值回bus，完成bus矩阵的重新编号for i=1:nlfor j=1:2for k=1:nbif line(i,j)==nodenum(k,1)line(i,j)=nodenum(k,2);breakendendendend % 恢复line的编号%子程序8 "YtYm_.m" 作用为计算线路的等效Yt和Ym，以计算线路潮流function YtYm = YtYm_(line)[nl,ml]=size(line);YtYm = zeros(nl,5); % 对YtYm矩阵赋初值0YtYm(:,1:2) = line(:,1:2); % 矩阵前两列为线路两段节点编号，后三列分别为线路等效Yt，i侧的等效Ym，j侧的等效Ymj = sqrt(-1);for k=1:nlI=line(k,1);J=line(k,2);Zt=line(k,3)+j*line(k,4);if Zt~=0Yt=1/Zt;endYm=line(k,5)+j*line(k,6);K=line(k,7);if (K==0)&(J~=0) % 普通线路: K=0YtYm(k,3) = Yt;YtYm(k,4) = Ym;YtYm(k,5) = Ym;endif (K==0)&(J==0) % 对地支路: K=0,J=0,R=X=0YtYm(k,4) = Ym;endif K>0 % 变压器线路: Zt和Ym为折算到i侧的值,K在j侧YtYm(k,3) = Yt/K;YtYm(k,4) = Ym+Yt*(K-1)/K;YtYm(k,5) = Yt*(1-K)/K/K;endif K<0 % 变压器线路: Zt和Ym为折算到K侧的值,K在i侧YtYm(k,3) = -Yt*K;YtYm(k,4) = Ym+Yt*(1+K);YtYm(k,5) = Yt*(K^2+K);endend%子程序9 "bus_res_.m" 计算并返回节点数据结果function bus_res = bus_res_(bus);[nb,mb]=size(bus);bus_res = zeros(nb,4); % bus_res矩阵储存着节点计算结果bus_res(:,1:2) = bus(:,1:2);bus_res(:,3) = bus(:,3) *180 / pi; % 相角采用角度制bus_res(:,4) = bus(:,4) + (sqrt(-1))*bus(:,5); % 注入功率%子程序10 "S_res_.m" 计算并返回线路潮流function S_res = S_res_(bus,line,YtYm)[nl,ml]=size(line);S_res = zeros(nl,5); % S_res矩阵储存着线路潮流计算结果S_res(:,1:2) = line(:,1:2); % 前两列为节点编号for k=1:nlI = S_res(k,1);J = S_res(k,2);if (J~=0)&(I~=0)S_res(k,3)=bus(I,2)^2*(conj(YtYm(k,3))+conj(YtYm(k,4)))-bus(I,2)*bus(J,2)*(cos(bus(I,3))+j*sin(bu s(I,3)))*(conj(cos(bus(J,3))+j*sin(bus(J,3))))*conj(YtYm(k,3));S_res(k,4)=bus(J,2)^2*(conj(YtYm(k,3))+conj(YtYm(k,5)))-bus(I,2)*bus(J,2)*(conj(cos(bus(I,3))+j*s in(bus(I,3))))*(cos(bus(J,3))+j*sin(bus(J,3)))*conj(YtYm(k,3));S_res(k,5)=S_res(k,3) + S_res(k,4); % 利用公式计算非接地支路的潮流elseif J==0S_res(k,3)=bus(I,2)^2*conj(YtYm(k,4));S_res(k,5)=S_res(k,3)+S_res(k,4);elseS_res(k,4)=bus(J,2)^2*conj(YtYm(k,5));S_res(k,5)=S_res(k,3)+S_res(k,4); % 利用公式计算接地支路的潮流endend。
基于极坐标的牛顿拉夫逊潮流计算
基于极坐标的牛顿拉夫逊潮流计算引言：牛顿-拉夫逊潮流计算是电力系统潮流计算的一种常用方法，用于评估电力系统的电压、功率等参数。
在传统的牛顿-拉夫逊潮流计算中，节点的注入功率和节点电压之间用直角坐标系表示，但在一些情况下，使用直角坐标系并不方便。
因此，基于极坐标的牛顿-拉夫逊潮流计算应运而生。
本文将介绍基于极坐标的牛顿-拉夫逊潮流计算的原理和步骤。
一、基本原理基于极坐标的牛顿-拉夫逊潮流计算使用极坐标系来表示节点的注入功率和节点电压。
在极坐标中，节点的注入功率复数可以表示为S=P+jQ，其中P为有功功率，Q为无功功率。
节点的电压复数可以表示为V=V∠θ，其中V为电压幅值，θ为电压相角。
使用复数的运算规则可以推导出通过变压器、感性和容性元件的电流和功率的计算公式。
二、步骤1.初始化：a.设置节点电压估计值V0和电压相角估计值θ0。
b.将节点注入功率S注入１设置为节点P和Q的初始估计值。
2.计算注入电流：a. 计算节点注入电流I^inj = S^inj / V0^＊，其中^＊表示复共轭。
b. 计算节点电流注入I^ = I^inj + Σ I^flow，其中Σ表示对所有与节点连接的边的求和，I^flow为边的注入电流，需要通过变压器、感性和容性元件的运算公式计算。
3.更新节点电压：a.计算新的节点电压的幅值和相角：V = ，I^flow， * Zflow，这里Zflow为边的阻抗。
θ = Arg(I^flow) + φflow，φflow为边的阻抗相角。
b.计算新的节点电压估计值V0和电压相角估计值θ0。
V0 = ，I^inj， * Z1 + V * Z2，其中Z１和Z2为接地导线的阻抗。
θ0 = Arg(I^inj) + Arg(V)。
4.更新节点注入功率：a. 计算节点注入功率复数S^inj = P + jQ。
b. 将节点注入功率复数S^inj转化为直角坐标系中的实部和虚部，得到新的节点有功功率和无功功率。
第4章 牛顿-拉夫逊法潮流计算
泰勒级数展开
(0) ( 0) ( 0) f 1 ( x1 − ∆ x1 , x 2 − ∆x2 ,L , xn − ∆xn ) ∂f1 ∂f1 (0) ( 0) (0) = f ( x , x , , x ) − ∆ x − L 1 1 2 1 n ∂ x ∂x 2 ( 0 ) 1 x 1 M
L
∆δ 1 ∆U 1 ∆δ 2 ∆ U 2 L ∆δ n ∆U n
∂∆Qn L J nn ∂ δn
Ø 节点的修正方程
∆P1 H 11 N 11 ∆ Q 1 J 11 L11 ∆P2 H 21 N 21 ∆Q2 = J 21 L21 L L ∆Pn H n1 N n1 Q ∆ n J n1 Ln1 H 12 N 12 L H 1n J 12 J 22 L12 L J 1n L22 J 2n H 22 N 22 L H 2n N 1n L1n N 2n L2n N nn Lnn ∆δ 1 ∆U U 1 1 ∆δ 2 ∆U 2 U 2 L ∆δ n ∆U U n n
真解 解的 初值 或估 计值
(0) (0) (0) f1 ( x1 − ∆ x1 , x 2 − ∆x2 , L , xn − ∆xn ) = 0 (0) (0) (0) f 2 ( x1 − ∆ x1 , x 2 − ∆ x 2 , L , x n − ∆ x n ) = 0 M f ( x ( 0 ) − ∆x , x ( 0 ) − ∆x , L , x ( 0 ) − ∆x ) = 0 n 1 1 2 2 n n
f (x)
4-3 n-l潮流计算
PQ节点
H2 p N2 p H2n
PV节点
H pp N pp H pn Rpp S pp Rpn Hnp Nnp Hnn Rnp Snp Rnn
2(n－m)
5
2(n－m)
2(m－1)
4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算
一、潮流计算时的修正方程式
1. 用直角坐标表示的修正方程
∂Pi H ij = ∂f j ∂Qi J ij = ∂f j
13
当j = i时：
n ∂ Pi ⎧ ⎪ H ii = ∂ δ = −U i ∑ U j ( G ij sin δ ij -Bij cos δ ij ) j =1, j ≠ i i ⎪ n ⎪ ∂ Pi N ii = U i = U i ∑ U j ( G ij cos δ ij + Bij sin δ ij ) +2 U i 2 G ii ⎪ ∂U i j =1, j ≠ i ⎪ ⎨ n ∂ Qi ⎪J = = U i ∑ U j ( G ij cos δ ij -Bij sin δ ij ) ii ⎪ ∂δ i j =1, j ≠ i ⎪ n ∂ Qi ⎪L = U i = U i ∑ U j ( G ij sin δ ij + Bij cos δ ij ) -2 U i 2 Bii ⎪ ii ∂ U j =1, j ≠ i i ⎩
17
4-4 P－Q分解法潮流计算
一、修正方程式
⎡ ΔP ⎤ ⎡ H11 1 ⎢ ΔP ⎥ ⎢ H ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ΔPp ⎥ ⎢H p1 ⎢ ΔP ⎥ = ⎢ Hn1 n ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ΔQ ⎥ ⎢ J ⎢ 1 ⎥ ⎢ 11 ⎢ΔQ2 ⎥ ⎢ J21 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣
极坐标表示形式的牛顿拉夫逊法的修正方程式
j i Pi H ij U iU j (Gij sin ij Bij cos ij ) i j j H ii
n Pi 2U i Gii U j (Gij cos ij Bij sin ij ) U i j 1 j i Pi N ij U i (Gij cos ij Bij sin ij ) i j U j
i j
n Qi U j (Gij sin ij Bij cos ij ) 2U i Bii U i j 1 j i Qi Lij U i (Gij sin ij Bij cos ij ) i j U j
将其简化写成如下形式：
P H N Q K L U
其中， H 为(n-1)× (n-1)阶矩阵， N 为(n-1)× (m-1)阶矩阵， K 为(m-1)× (n-1)阶矩阵， L 为(m-1)× (m-1) 阶矩阵。 矩阵 H、N、K、L 中各元素的表达式如下所示：
极坐标表示形式的牛顿拉夫逊法的修正方程式
极坐标表示形式的牛顿拉夫逊法的修正方程式如下所示：
P2 P2 P2 P2 P2 P2 2 U U 2 3 n 2 m P3 P3 P3 P3 P3 P3 3 n U 2 U m 2 3 P P P P P n n n n n n Pm 3 n U 2 U m 2 Q Q Q Q Q 2 2 2 2 2 PN U 2 n U 2 U m 2 3 Q Q Qm Qm Pn m m U Qm n U 2 U m 2 3 m
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2 模型简介及等值电路2.1课程设计模型：模型3电力网络接线如下图所示，各支路阻抗标幺值参数如下：Z12=0.02+j0.06，Z13=0.08+j0.24，Z23=0.06+j0.18，Z24=0.06+j0.12，Z25=0.04+j0.12，Z34=0.01+j0.03，Z45=0.08+j0.24，k=1.1。
该系统中，节点1为平衡节点，保持11.060V j=+&为定值；节点2、3、4都是PQ节点，节点5为PV节点，给定的注入功率分别为:20.200.20S j=+，3-0.45-0.15S j=，40.400.05S j=--，50.500.00S j=-+，51.10V=&。
各节点电压（初值）标幺值参数如下：节点 1 2 3 4 5Ui（0）=ei（0）+jfi（0）1.06+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.1+j0.0 计算该系统的潮流分布。
计算精度要求各节点电压修正量不大于10-5。
图2-12.2模型分析节点类型介绍按变量的不同，一般将节点分为三种类型。
1 PQ节点这类节点的有功功率和无功功率是给定的，节点(,)Vδ是待求量。
通常变电所都是这一类型节点。
由于没有发电设备，故其发电功率为零。
有些情况下，系统中某些发电厂输出的功率在一段时间内是固定时，该发电厂母线也作为PQ节点。
因此，电力系统中绝大多数节点属于这一类型。
2 PV节点这类节点有功功率P和电压幅值V是给定的，节点的无功功率Q和电压的相位δ是待求量。
这类节点必须有足够的可调无功容量，用以维持给定的电压幅值，因此又称为电压控制节点。
一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。
3 平衡节点在潮流分布算出以前，网络中的功率损耗是未知的，因此，网络中至少有一个节点的有功功率P 不能给定，这个节点承担了系统系统的有功功率平衡，故称之为平衡节点。
1.2、各节电参数：由模型中所给列出下表：各节点电压和注入功率（初值）标幺值参数如下：节点123 4 5U i （0）=e i （0）+j f i （0）1.06+j 0.0 1.0+j 0.01.0+j 0.01.0+j 0.01.1+j 0.0 Q P Sii ii 00+=0 0.20+j0.20 -0.45-j0.151.0+j0.01.1+j0.0各节点之间的导纳：y12=5.000-j15.000，y13=1.2500-j3.7500，y22=0.2750-j0.8250，y23=1.667-j5.000，y24=3.333-j6.667，y25=2.7500-j8.2500，y34=10.0000-j30.0000，y55=-0.25+j0.751.3 等值电路模型由于计算时一般将平衡节点放到最大编号，故在本模型中将节点2、3、4、5、1分别替换为节点1、2、3、4、5，也即是4换为PV 节点，5为平衡节点。
将变压器用错误！未找到引用源。
等值电路，由此绘制等值电路如下：y12=1.667-j5，y13=3.333-j6.667，y14=2.75-j8.25，y15=5-j15，y52=1.25-j3.75，y23=10-j30，y34=1.25-j3.75，y11=0.275-j0.825，y44=-0.25+j0.75。
2.3 等值电路模型在图2-2中，将图2-1中的编号重新编排，节点2、3、4、5、1替换为1、2、3、4、5。
则各节点之间的导纳变为y12=1.667-j5，y13=3.333-j6.667，y14=2.75-j8.25，y15=5-j15，y52=1.25-j3.75，y23=10-j30，y34=1.25-j3.75，y11=0.275-j0.825，y44=-0.25+j0.75。
3 设计原理本题采用了题目要求的牛顿－拉夫逊潮流计算的方法。
牛顿法是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。
解决电力系统潮流计算问题是以导纳距阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数距阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的放率。
3.1潮流计算的定解条件题中所给图表示一个五节点的简单电力系统，n 个节点电力系统的潮流方程的一般形式是..1n i ij ij j iP jQ V Y V =-=∑ (1,2,3,...)i n =或..1n j i i i ij j V P jQ V Y =+=∑ (1,2,3,...)i n =3.2潮流计算的约束条件(1)所有节点电压必须满足min max i i V V V ≤≤(2)所有电源节点的有功功率和无功功率必须满足min maxmin max}Gi Gi Gi Gi Gi Gi P P P Q Q Q ≤≤≤≤(3)某些节点之间的电压应满足maxi j i jδδδδ-<-3.3牛顿-拉夫逊的基本原理设欲求解的非线性代数方程为()0f x =设方程的真实解为x ，则必有()0f x =。
用牛顿-拉夫逊法求方程真实解x 的步骤如下：首先选取余割合适的初始估值(0)x 作为方程(0)()0f x =的解，若恰巧有(0)()0f x =，则方程的真实解即为(0)x x =若(0)()0f x ≠，则做下一步。
取(1)(0)(0)x x x =+∆ 则(1)(0)(0)()()f x f x x =+∆ 其中(0)x∆为初始估值的增量，即(0)(1)(0)x x x ∆=-。
设函数()f x 具有任意阶导数(1)(0)(0)(0)'(0)(0)''(0)(0)2()()()()[()]/2...f x f x x f x f x x f x x =+∆=+∆+∆+若所取的(0)x ∆足够小，则含(0)2()x ∆的项及其余的一切高阶项均可略去，并使其等于零，即：(1)(0)(0)(0)'(0)(0)()()()()0f x f x x f x f x x =+∆≈+∆= 故得(0)(0)'(0)()()f x xf x ∆=-可见，只要'(0)()f x ≠0，即可根据上式求出第一次的修正估值(1)x ，若恰巧有(1)()f x =0，则方程的真实解即为(1)x x =。
若(1)()0f x ≠，则用上述方法由(1)x 再确定第二次的修正估值。
如此反复叠代下去，直到求得真实解x 为止。
设第K 次的估值为第（K+1）次的修正估值，则有()(1)()'()()()k k k k f x xxf x +=-迭代过程的收敛数据为1()()k f x ε<或2()k x ε∆<其中，1ε，2ε为预先给定的小正数。
4 修正方程的建立极坐标表示的牛拉法修正方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆δδδδn Pnn np n n n n pn pp P P P P n p n p np n p n P U U U U H H N H N H H H N H N H J J L J L J H H N H N H J J L J L J H H N H N H P P Q P Q P 2221112211221122222221212222222121111212111111121211112211// 式中留出了（n-m ）行空格和（n-m ）列空列。
式中的有功，无功功率不平衡量Q Pii∆∆.分别由式（3-1a ）,式（3-1b ）可得为∑==+-=∆nj j ij ij ij ij i i B G U U P P 1j i sin cos ）（δδ∑==--=∆nj j ij ij ij ij i i B G U U Q Q 1j i cos sin ）（δδ （3-1a ，b ）而式中雅可比矩阵的各个元素则分别为 j i P H δ∂∂=ij ；j j i ij U U P N ∂∂=；j i Q J δ∂∂=ij ; j jiij U U Q L ∂∂= （3-2） 式（4-44）中将i U ∆改为/i i U U ∆只是为使公式（4-46）中个偏导数的表示形式上更相似，为求取这些偏导数，可将i P 、i Q 分别展开如下()()2121cos sin sin cos j ni iii i j ij ij ij ij j j i j ni iii i j ij ij ij ij j j iP U G U U G B Q U B U U G B δδδδ==≠==≠=++=-+-∑∑ （3-3a,b ）计及cos cos()sin()sin ()sin sin()cos()cos ()cos cos()sin()sin ()sin sin()cos()cos ()iji j i j ijj i j ij i j i j ij j i j ij i j i j ij i i j ij i j i j ij i i j δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ∂∂-⎫==-=∂-∂-∂∂-==--=-∂-∂-⎬∂∂-==--=-∂∂-∂∂-==-=∂∂-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭（3-4）j i ≠时，由于对特定的j ，只有该特定节点的j δ，从而特定的ij i j δδδ=-是变量，由式（4-46）到式（4-48）可得()()sin cos cos sin i ij i j ij ij ij ij j iij i j ij ij ij ij i P H U U G B Q J U U G B δδδδδδ∂⎫==-⎪∂⎪⎬∂⎪==-+⎪∂⎭（3-5a ）相似的，由于对特定的j ，只有该特定节点的j U 是变量，可得()()cos sin sin cos i ij i j ij ij ij ij i iij i j ij ij ij ij jP N U U G B U Q L U U G B U δδδδ∂⎫==+⎪∂⎪⎬∂⎪==-⎪∂⎭ （3-5b ） j=i 时，由于i δ是变量，所有ij i j δδδ=-都是变量，可得()()11sin cos cos sin j niii i j ij ij ij ij j i j i j niii i j ij ij ij ij j i j i P H U U G B Q J U U G B δδδδδδ==≠==≠⎫∂==--⎪∂⎪⎪⎬∂⎪==+⎪∂⎪⎭∑∑ （3-5c ） 相似的，由于i U 是变量，可得()()2121cos sin 2sin cos 2j niii i j ij ij ij ij i ii j i j i j niii i j ij ij ij ij i ii j i j i P N U U G B U G U Q L U U G B U B U δδδδ==≠==≠⎫∂==++⎪∂⎪⎪⎬∂⎪==--⎪∂⎪⎭∑∑ （3-5d ）5 设计流程图及程序的编写输入数据形成节点导纳矩阵设定节点起始计算电压δ U置迭代次数应用公式计算不平衡量△P△Q雅克比矩阵J是否已经全部形成，i>n?按公式计算雅克比矩阵元素J增大节点号，i=i+1解修正方程，由△P,△Q和J计算电压修正量△u和△δ求出△u和△δ迭代是否收敛，△u，△δ﹤ε计算平衡节点功率S和线路的功率S结束K=k+1△u=U+△u △δ=δ+△δ置节点号i=1程序中用到的符号所代表的意义：Y 代表导纳矩阵JJ 代表雅克比矩阵∆pp代表有功功率的不平衡量P i∆qq 代表无功功率的不平衡量Q i∆Uuu 代表各节点电压和相角的不平衡量δ∆U 代表各节点的电压S 代表线路的功率Q4 代表PV节点的注入无功功率K 代表迭代次数N1 代表PQ节点和PV节点的总数m,n代表系统中的节点总数，把平衡节点标为最大号S5 平衡节点功率d 变压器对地导纳%The following program for load calculation is based on MATLAB6.5 %以下部分为输入原始数据（到标示‘///’标志为止）。