第四章+随机变量的数字特征3协方差

Cov(X,Y )
[x E(X )][y E(Y )]f (x, y)dxdy
Ø计算公式：
1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2。D(X Y)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y)
Ø协方差的性质：
1。Cov(X,X) = D(X)； 2。Cov(X, Y) = Cov(Y, X)； 3。Cov(aX, bY) = abCov(X, Y)； (a,b为常数) 4。Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1, Y)+Cov(X2, Y)； 5。若X与Y独立，则 Cov(X, Y) = 0.
概率论与数理统计
第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差及相关系数 §4.4 矩、协方差矩阵
分布 参数为 p 的(0-1)分布
X~() X~U(a, b)
参数为指数分布 X~N(, 2)
E(X) p np
数学期望的性质:
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C 是常数） 2. E(CX )=CE(X ), （C 是常数） 3. E(XY )=E(X ) E(Y ), 4. 设X与Y 相互独立,则 E(XY )=E(X )E(Y)
Cov( X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}
(1)若(X,Y)为离散型，P{X xi ,Y yj } pij, 则
Cov( X ,Y ) [ xi E( X )][ y j E(Y )] pij
i, j
(2)若(X,Y)为连续型,其概率密度为f(x,y), 则
1.离散型:
D( X ) [xk - E(X)]2 pk
k 1
2.连续型:
D( X )
[x
-
E(X)]2
f
( x)dx
3.计算公式： D(X ) E(X 2 )-[E(X )]2
分布 参数为 p 的(0-1)分布
X~() X~U(a, b),
参数为指数分布 X~N(, 2)
E(X) p np
X, Y相互独立 X与Y不相关；反之不一定.
X与Y不相关 Cov(X,Y)
E(XY)=E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)
Ø相关系数的性质：
1 xy 1. 2 xy 1 常数 a,b使 P{Y a bX }=1.
注: 1)若随机变量X与Y相互独立,则X与Y一定不相关; 反之不一定成立。
显然： C C.
例1 设(X,Y)具有概率密度
f
(
x,
y)
8 xy, 0,
0 x y 1, 其它。
求 Cov(X,Y).
答：2425
解： E(X )
xf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 x
x
8 xydy
8 15
E(Y )
yf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 x
y 8xydy
D(X) p(1 - p)
2
2.方差的性质 (假设下列方差均存在)
(1) D(C)=0, (C为常数) (3) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
(4) D(X)=0 P{X=C}=1 ,其中C=E(X). D(X1 X2 Xn) D(X1) D(X2) D(Xn)
(X1, X2,, Xn )
c11
C
c21
cn1
c12 c22
cn2
c1n c2n
cnn
为n维随机变量 ( X1, X 2 ,, X n ) 的协方差矩阵。
其中 cij Cov( X i ,Yj ) E{[ X i E( X i )][Yj E(Yj )]}, i, j 1,2,, n .
4 5
E( XY )
xyf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 x
xy
8 xydy
4 9
Cov( X
,Y
)
4 9
4 5
8 15
4 225
称
XY
Cov(X ,Y ) D(X ) D(Y )
为随机变量X与Y的 相关系数，记为 XY ． 特别，当XY =0时，称X与Y不线性相关，简称不相关．
i1 j1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
E(X)
xi pij
i1 j1
E(X )
x f (x, y)dxdy
E(Y )
y j pij
i1 j1
E(Y )
y f (x, y)dxdy
D(X ) Var(X ) E{[X E(X )]2 }
并 D(X) 称为X随机变量的均方差或标准差，记(X)．
能说明Y 与X之间没有其他函数关系,从而不能推 出Y 与X独立.
例.已知随机变量X在[-1,1] 上服从均匀分布， Y=X3 , 则 X与 Y ( ) (A)不相关且相互独立； (B)不相关且相互不独立； (C)相关且相互独立； (D)相关且相互不独立。
E(X k )
为X的k阶原点矩( k阶矩)
E{[ X E( X )]k } 为X的 k阶中心矩;
E( X kY l )
为X和Y的k+l 阶混合矩;
E{[X E(X)]k[Y E(Y)]l } 为X和Y的k+l 阶混合中心矩
[注] (1)E(X)是X的一阶原点矩； (2)D(X)是X的二阶中心矩； (3)Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
E(X)
k1 xk pk
E( X ) x f ( x)dx
E[ g( X )] g( xk ) pk , k 1
E[g(X )] g(x) f (x)dx
E[g( X ,Y )]
g( xi , y j )pij
E[g(X,Y)] g(x, y)f(x, y)dxdy
2)对二维正态随机变量(X,Y):
X与Y不相关 X与Y独立 0
[注]
(⑴)相关系数XY刻画了随机变量 Y 与X之间的“线
性
相关”程度: |XY| 的值越接近于1， Y 与X 的线性 相关程度越高； |XY| 的值越接近于0， Y与X 的 (2) 当线性XY相=0关时程,只度说较明弱Y. 与X之间没有线性关系,并不