《线性代数考研资料》第五章特征值与特征向量
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4．（99，十题，8分）设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征 值，属于的一个特征向量为，求和的值 【分析】利用，把转化为是本题的关键 【详解】根据题设有， 又于是即 也即 由此可得
解此方程组，得 又由，有 故因此
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其 中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵 【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和 特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与 特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。 【详解1】 经计算可得
第五章 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征 向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和 三个线性无关特征向量后，由公式
可解出 【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即， 解得
3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化
2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟 练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的 非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练 工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记 成向量 （1）求与的关系式并写成矩阵形成：； （2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求 【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立 递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第 三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到 【详解】（1）由题意，得
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征 值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应 的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方 阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实 数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数） （Ⅱ）令 则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵
于是由 有
2．（98，填4题，3分）设A为n阶矩阵，，为A的伴随矩阵，E为n阶单位 矩阵，若A有特征值，则必有特征值 【分析】本题从特征值、特征向量的定义进行推导即可 【详解】设，则 即 从而 可见必有特征值
3．（99，填4题，3分）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 【分析】因为r(A)=1，所以 【详解】因为 故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重） 因此本题应填
对于本题而言，第二问还有另外一种解法：由有，即，由于线性无 关，所以，因此，A有一个特征值为0，同理A有特征值－3和1，从而 【详解】（1）方法一 因为Ax＝Ax
于是综合上述三式有 即 也即，其中 方法二： 设，则有AP＝PB得 上式可写成 将代入③式得 由于线性无关，故 由①式可得 由②式可得 由④式可得 故 方法三： 将改写成 故为A得特征值，为属于－3得特征向量； 同理可得也是A得特征值，为对应于特征值1得特征向量； 也是A的特征值，为对应于特征值0的特征向量 令 但另一方面，Q为特征向量组成的矩阵，所以为由对应的特征值组成的 对角方阵： 所以 （2）由（1）知，A与B相似，故A+E与B+E也相似，于是有
，从而
故B＋2E的特征值为 当时，解，得线性无关的特征向量为
所以属于特征值的所有特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数 当时，解，得线性无关的特征向量为
所以属于特征值的所有特征向量为 ，其中为非零的任意常数
【详解2】 设A的特征值为，对应特征向量为，即 由于，所以 又因，故有 于是有 因此，为B＋2E的特征值，对应的特征向量为 由于 故A的特征值为 当时，对应的线性无关特征向量可取为
化简 可见
（2）因为行列式
可见线性无关 又故为A得特征向量，且相应的特征值 为A的特征向量，且相应的特征值 （3）因为
因此只要计算即可 令
则由 有
因此
3．（01，十题，8分）已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组线性无 关，且满足 （1）记，求2】第一问实际上是求A的相似矩阵，但这里不一定是特征向量， 所以这并不是通常的相似对角化问题，但仍可采用相似对角化的思想， 即将改写成AP＝PB，从而确定出B；在第二问中，根据第一问中确定的 B，由A与B相似，可知A＋E与B＋E也相似，而相似矩阵有相同的行列 式，于是根据可求出所需要的行列式。
4．（02，十题，8分）设A,B为同阶方阵 （1）如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等 （2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立 （3）当A，B均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立
【分析】对于本题，主要考查两个同阶矩阵相似的定义以及相似的必要 条件而非充分条件；两实对称方阵相似的充要条件 第一问实际上是一种循环证明，但在证明中可能弄不清应是由谁证谁， 在第二问中，虽特征多项式相等，但并不相似，事实上，二阶方阵当为 二重特征时，只有两个标准型：与，而前者只与它自己相似，所以其他 都与相似，故必与相似 【详解】（1）若A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得，故 （2）令则 但A，B不相似，否则，存在可逆矩阵P，使，矛盾 （3）由A，B均为实对称矩阵知，A,B均相似于对角阵，若A，B的特征 多项式相等，记特征多项式的根为，则有 即存在可逆矩阵P，Q，使 于是 故A，B为相似矩阵
当时，对应的一个特征向量为
由，得 因此，B＋2E的三个特征值分别为9，9，3
对应于特征值9的全部特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数； 对应与特征值3的全部特征向量为 ，其中为非零的任意常数
6．（06，（21）题，9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3，向 量，是线性方程组Ax＝0的两个解 （Ⅰ）求A的特征值与特征向量 （Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵,使 【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和 相等与实对称矩阵的已知条件求解 【详解】（Ⅰ）因为是齐次方程组Ax＝0的两个解，即
5．（04，21题，9分）设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨 论A是否可相似对角化 【分析】先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特 征向量，确定A是否可相似对角化即可 【详解】A的特征多项式为
当是特征方程的二重根，则有4－16＋18＋3＝0，解得 当时，A的特征值为2，2，6，矩阵的秩为1 故对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化 若不是特征方程的二重根，则为完全平方，从而，解得 当时，A的特征值为2，2，4，矩阵的秩为2，故对应的线性无关的特 征向量只有一个，从而A不可相似对角化
， 则
二、相似矩阵与相似对角化 1．（97，七（2）题），6分）已知是矩阵的一个特征向量， （Ⅰ）试确定参数及特征向量所对应的特征值 （Ⅱ）问A能否相似于对角阵？说明理由 【分析】本题试一道有关特征值，特征向量以及能否相似与对角阵的问 题，A能否相似与对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量 【详解】（Ⅰ）由题设，有，即 也即 解得 （Ⅱ）由，知 可见为A的三重根，但秩r(-E-A)=2，从而对应的线性无关特征向量只有
解此方程组，得 又由，有 故因此
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其 中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵 【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和 特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与 特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。 【详解1】 经计算可得
第五章 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征 向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和 三个线性无关特征向量后，由公式
可解出 【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即， 解得
3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化
2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟 练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的 非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练 工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记 成向量 （1）求与的关系式并写成矩阵形成：； （2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求 【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立 递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第 三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到 【详解】（1）由题意，得
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征 值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应 的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方 阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实 数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数） （Ⅱ）令 则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵
于是由 有
2．（98，填4题，3分）设A为n阶矩阵，，为A的伴随矩阵，E为n阶单位 矩阵，若A有特征值，则必有特征值 【分析】本题从特征值、特征向量的定义进行推导即可 【详解】设，则 即 从而 可见必有特征值
3．（99，填4题，3分）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 【分析】因为r(A)=1，所以 【详解】因为 故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重） 因此本题应填
对于本题而言，第二问还有另外一种解法：由有，即，由于线性无 关，所以，因此，A有一个特征值为0，同理A有特征值－3和1，从而 【详解】（1）方法一 因为Ax＝Ax
于是综合上述三式有 即 也即，其中 方法二： 设，则有AP＝PB得 上式可写成 将代入③式得 由于线性无关，故 由①式可得 由②式可得 由④式可得 故 方法三： 将改写成 故为A得特征值，为属于－3得特征向量； 同理可得也是A得特征值，为对应于特征值1得特征向量； 也是A的特征值，为对应于特征值0的特征向量 令 但另一方面，Q为特征向量组成的矩阵，所以为由对应的特征值组成的 对角方阵： 所以 （2）由（1）知，A与B相似，故A+E与B+E也相似，于是有
，从而
故B＋2E的特征值为 当时，解，得线性无关的特征向量为
所以属于特征值的所有特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数 当时，解，得线性无关的特征向量为
所以属于特征值的所有特征向量为 ，其中为非零的任意常数
【详解2】 设A的特征值为，对应特征向量为，即 由于，所以 又因，故有 于是有 因此，为B＋2E的特征值，对应的特征向量为 由于 故A的特征值为 当时，对应的线性无关特征向量可取为
化简 可见
（2）因为行列式
可见线性无关 又故为A得特征向量，且相应的特征值 为A的特征向量，且相应的特征值 （3）因为
因此只要计算即可 令
则由 有
因此
3．（01，十题，8分）已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组线性无 关，且满足 （1）记，求2】第一问实际上是求A的相似矩阵，但这里不一定是特征向量， 所以这并不是通常的相似对角化问题，但仍可采用相似对角化的思想， 即将改写成AP＝PB，从而确定出B；在第二问中，根据第一问中确定的 B，由A与B相似，可知A＋E与B＋E也相似，而相似矩阵有相同的行列 式，于是根据可求出所需要的行列式。
4．（02，十题，8分）设A,B为同阶方阵 （1）如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等 （2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立 （3）当A，B均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立
【分析】对于本题，主要考查两个同阶矩阵相似的定义以及相似的必要 条件而非充分条件；两实对称方阵相似的充要条件 第一问实际上是一种循环证明，但在证明中可能弄不清应是由谁证谁， 在第二问中，虽特征多项式相等，但并不相似，事实上，二阶方阵当为 二重特征时，只有两个标准型：与，而前者只与它自己相似，所以其他 都与相似，故必与相似 【详解】（1）若A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得，故 （2）令则 但A，B不相似，否则，存在可逆矩阵P，使，矛盾 （3）由A，B均为实对称矩阵知，A,B均相似于对角阵，若A，B的特征 多项式相等，记特征多项式的根为，则有 即存在可逆矩阵P，Q，使 于是 故A，B为相似矩阵
当时，对应的一个特征向量为
由，得 因此，B＋2E的三个特征值分别为9，9，3
对应于特征值9的全部特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数； 对应与特征值3的全部特征向量为 ，其中为非零的任意常数
6．（06，（21）题，9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3，向 量，是线性方程组Ax＝0的两个解 （Ⅰ）求A的特征值与特征向量 （Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵,使 【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和 相等与实对称矩阵的已知条件求解 【详解】（Ⅰ）因为是齐次方程组Ax＝0的两个解，即
5．（04，21题，9分）设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨 论A是否可相似对角化 【分析】先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特 征向量，确定A是否可相似对角化即可 【详解】A的特征多项式为
当是特征方程的二重根，则有4－16＋18＋3＝0，解得 当时，A的特征值为2，2，6，矩阵的秩为1 故对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化 若不是特征方程的二重根，则为完全平方，从而，解得 当时，A的特征值为2，2，4，矩阵的秩为2，故对应的线性无关的特 征向量只有一个，从而A不可相似对角化
， 则
二、相似矩阵与相似对角化 1．（97，七（2）题），6分）已知是矩阵的一个特征向量， （Ⅰ）试确定参数及特征向量所对应的特征值 （Ⅱ）问A能否相似于对角阵？说明理由 【分析】本题试一道有关特征值，特征向量以及能否相似与对角阵的问 题，A能否相似与对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量 【详解】（Ⅰ）由题设，有，即 也即 解得 （Ⅱ）由，知 可见为A的三重根，但秩r(-E-A)=2，从而对应的线性无关特征向量只有