高三数学模拟试题(含答案)

高三数学模拟试题（含答案）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则．2．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．
3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为．
4．角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是．
5．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：．
6．设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；
其中正确命题的序号为．
7．已知函数f（x），若关于x的方程f（x）＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．
8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为．
9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为．
10．记S k＝1k+2k+3k+……+n k，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝．
11．设函数f（x）＝x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是．
12．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是．
13．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为．
14．设f（x）＝e tx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C 过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，tan（A﹣B），角C为钝角，b ＝5．
（1）求sin B的值；
（2）求边c的长．
16．如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．
（1）求证：VA∥平面BDE；
（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．
17．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．
（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？
19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{a n}为等比数列；
（3）证明：“数列a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．
20．已知函数f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．
（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，求函数f（x）的减区间；
（2）求证：方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；
（3）若方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较，与α，β的大小，并说明理由．
本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]
21．试求曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数）．（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线l被圆截得的弦长．
【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．
【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ＝i）（i＝0，1，2，3）中，若P（ξ＝1）的值最大，求实数a的取值范围．
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．∵z＝2+i，
∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．
故答案为：3﹣4i．
2．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}
∴A∪B＝{1，3，9}
∴∁U（A∪B）＝{5}，
故答案为{5}．
3．分层抽样的抽取比例为：，
∴抽取学生的人数为60030．
故答案为30．
4．由题意可得x＝1，y＝2，r，
∴sinα，
∴sin（π﹣α）＝sinα．
故答案为：．
5．程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环i x
循环前 1 4
第一圈是 4 4+2
第二圈是 7 4+2+8
第三圈是 10 4+2+8+14
退出循环，
所以打印纸上打印出的结果应是：28
故答案为：28．
6．对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；
对于②，当m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；
对于③，当α∥β，且m⊂α，n⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误；
对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n⊂α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确；
综上知，正确命题的序号是④．
故答案为：④．
7．如图所示：
①当x≥2时，由函数f（x）单调递减可得：0＜f（x）；
②当0＜x＜2时，由函数f（x）＝（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．
由图象可知：由0＜2k＜1可得，
故当时，函数y＝kx与y＝f（x）的图象有且只有两个交点，
∴满足关于x的方程f（x）＝kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是
．
故答案为．
8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0，
①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，
故解集为（a，4），
由于a（﹣a）≤﹣24，
当且仅当﹣a，即a＝﹣2时取等号，
∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣2；
②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；
③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，
∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；
综上所述，a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
9．∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，
∴由正弦定理得，…①
又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，
∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cos∠F1PF23，…②
①②联解，得，可得，
∴双曲线的，结合，得离心率
故答案为：
10．根据所给的已知等式得到：
各等式右边各项的系数和为1，
最高次项的系数为该项次数的倒数，
∴A，A1，
解得B，
所以A﹣B．
故答案为：．
11．由题意知f（x）＝x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增．
（1）当a≤2时，
若x∈[2，+∞），则f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其对称轴为x，
此时2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；
（2）当a＞2时，
①若x∈[a，+∞），则f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其对称轴为x，所以f（x）在[a，+∞）上是递
增的；
②若x∈[2，a），则f（x）＝x（a﹣x）＝﹣x2+ax，其对称轴为x，所以f（x）在[，a）上是递减
的，因此f（x）
在[2，a）上必有递减区间．
综上可知a≤2．
故答案为（﹣∞，2]．
12．由（）•（）＝0 可得（）•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1，α为与的夹角．
再由2•1+4+2×1×2cos7 可得||，
∴||cosα﹣1，解得cosα．
∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0．
解得||，
故答案为．
13．设直线AB的方程为y＝kx+1则直线AC的方程可设为y x+1，（k≠0）
由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x
∵A的坐标（0，1），
∴B的坐标为（，k•1），即B（，）
因此，AB•，同理可得：AC•
∴Rt△ABC的面积为S AB•AC•
令t，得S
∵t2，∴S△ABC
当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为解之得a＝3或a
∵a时，t2不符合题意，
∴a＝3
故答案为：3
14．∵PQ∥y轴，P（t，0），
∴Q（t，f（t））即（t，），
又f（x）＝e tx（t＞0）的导数f′（x）＝xe tx，
∴过Q的切线斜率k＝t，
设R（r，0），则k t，
∴r＝t，
即R（t，0），PR＝t﹣（t），
又S（1，f（1））即S（1，e t），
∴△PRS的面积为S，
导数S′，由S′＝0得t＝1，
当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，
∴t＝1为极小值点，也为最小值点，
∴△PRS的面积的最小值为．
故答案为：．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）角C为钝角，由sin A，则cos A．
那么：tan A
∵tan（A﹣B），即，
可得：tan B
即，sin2B+cos2B＝1，
解得：sin B．
（2）由（1）可知：sin B，
则cos B
那么：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B 正弦定理：，
可得：c＝13．
16．证明：（1）连结OE．
因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，
又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，
所以VA∥平面BDE；
（2）因为VO⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，
所以BD⊥平面VAC．
又因为BD⊂平面BDE，
所以平面VAC⊥平面BDE．
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，
所以，
即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．
故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．…
（Ⅱ）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，
代入圆的方程，消去y，
整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，
由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，
故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，
由于a＞0，解得a，
所以实数a的取值范围是（）．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
则直线l的斜率为，
l的方程为，
即x+ay+2﹣4a＝0
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得．
由于，故存在实数
使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…
18．（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，
则，
化简得，解之得，或（舍），
答：BC的长度为；
（2）设BP＝t，则，，设，，
令f'（t）＝0，因为，得，
当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；
当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，
所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，
因为恒成立，所以f（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，
因为y＝tan x在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．
答：当BP为cm时，α+β取得最小值．
19．（1）解：n＝1时，由得p＝0或2，
若p＝0时，，
当n＝2时，，解得a2＝0或，
而a n＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；
（2）证明：当p＝2时，①，则②，
②﹣①并化简得3a n+1＝4﹣S n+1﹣S n③，则3a n+2＝4﹣S n+2﹣S n+1④，
④﹣③得（n∈N*），
又因为，所以数列{a n}是等比数列，且；
（3）证明：充分性：若x＝1，y＝2，由知a n，2x a n+1，2y a n+2依次为，，，满足，即a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列；
必要性：假设a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，
所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1
显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，
故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．
20．（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，
f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2），
令f′（x）＝3x2﹣6x+2＜0解得，
x，
故函数f（x）的减区间为（，）；
（2）证明：∵f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），
∴f′（x）＝（x﹣x2）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x2），
又∵x1＜x2＜x3，
∴f′（x1）＝（x1﹣x2）（x1﹣x3）＞0，
f′（x2）＝（x2﹣x1）（x2﹣x3）＜0，
f′（x3）＝（x3﹣x2）（x3﹣x1）＞0，
故函数f′（x）在（x1，x2），（x2，x3）上分别有一个零点，
故方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；
（3）∵方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），
∴f′（α）＝f′（β）＝0，
而f′（）＝（x2）（x3）+（x1）（x3）+（x1）（x2）（x1﹣x2）2＜0，
f′（）＝（x2）（x3）+（x1）（x3）+（x1）（x2）（x3﹣x2）2＜0，
再结合二次函数的图象可知，
αβ．
本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]
21．∵M，N，
∴MN，…4分
∴在矩阵MN变换下，→，…6分
∴曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．…10分．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．（1）由，得，
∴y，即．
圆的方程为x2+y2＝100．
（2）圆心（0，0）到直线的距离d，y＝10，
∴弦长l．
【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，
∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），
（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），
设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，
则cosθ，
∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．
（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），
设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），
（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），
设平面APC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，），
平面ADF的法向量（1，0，0），
∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，
∴|cos|，
解得，∴P（0，，），
∴PF的长度|PF|．
【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24．（1）P（ξ）是“ξ个人命中，3﹣ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，
3.，
，
，．所以ξ的分布列为
ξ0 1 2 3
P
ξ的数学期望为．
（2），
，
．
由和0＜a＜1，得，即a的取值范围是．。