高三数学模拟试题(含答案)
安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题含答案
2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 求下列数列的通项公式：数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案：B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9，点P(1, 2)，求点P到圆心的距离。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的夹角θ。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x，求导数y'。
A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案：A6. 已知等差数列的第5项为15，第8项为25，求公差d。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A9. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。
A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
A. 0B. 3C. 6D. 9答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f''(x)的值。
2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。
1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
高三数学-2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题(一)(解析版)
2024年高考仿真模拟数试题（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可．【详解】这组数据为：1,1,,4,5,5,6,7a ，但a 大小不定，因为80.756⨯=，所以这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数，经检验，只有6a =符合．故选：C ．2.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的3倍，则E 的离心率为（）A.3B.223C.33D.233【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得26a b =，再根据离心率公式即可得解.【详解】由题意，26a b =，所以13b a =，则离心率3c e a ====.故选：B .3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（）A.150B.120C.75D.68【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.【详解】由等差数列的性质可知78910911205a a a a a a ++++==，所以94a =，()1171791717682a a S a +===，故选：D.4.已知空间中，l 、m 、n 是互不相同直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则//l nB.若//l α，//l β，则//αβC.若//m β，//n β，m α⊂，n ⊂α，则//αβD.若l α⊥，//l β，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】对A 、B 、C 选项，可通过找反例排除，对D 选项，可结合线面平行的性质及面面垂直的判定定理得到.【详解】对A 选项：若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则l 可能与n 平行或异面，故A 错误；对B 选项：若//l α，//l β，则α与β可能平行或相交，故B 错误；对C 选项：若//m β，//n β，m α⊂，n ⊂α，可能//m n ，此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ，又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选：D.5.7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A.672 B.864 C.936 D.1056【答案】D 【解析】【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这两种情况解答即可.【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有554A 480=种站排方式；当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有1142443C C A 576=种站排方式；故总共有4805761056+=种站排方式.故选：D ．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A ，()0,3B ，动点P 满足OP xOA yOB =+，且1x y +=，则下列说法正确的是（）A.P 的轨迹为圆B.P 到原点最短距离为1C.P 点轨迹是一个菱形D.点P 的轨迹所围成的图形面积为4【答案】C 【解析】【分析】由题意得3x ab y =⎧⎪⎨=⎪⎩，结合1x y +=可知33a b +=，画出图形可知P 点轨迹是一个菱形，故C错误A 正确；由点到直线的距离即可验证B ；转换成ABC 面积的两倍来求即可.【详解】设P 点坐标为(),a b ，则由已知条件OP xOA yOB =+ 可得3a x b y =⎧⎨=⎩，整理得3x a b y =⎧⎪⎨=⎪⎩．又因为1x y +=，所以P 点坐标对应轨迹方程为33a b +=．0a ≥，且0b ≥时，方程为33a b +=；0a ≥，且0b <时，方程为33b a =-；a<0，且0b ≥时，方程为33b a =+；a<0，且0b <时，方程为33a b +=-．P 点对应的轨迹如图所示：3AB CD k k ==-，且AB BC CD DA ====P 点的轨迹为菱形．A 错误，C 正确；原点到AB ：330a b +-=1.10=<B 错误；轨迹图形是平行四边形，面积为122362⨯⨯⨯=，D 错误．故选：C ．7.已知函数()3sin 44sin 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()00,,()x x f x f x ∀∈∃∈≤R R ，则02tan 43x π⎛⎫-⎪⎝⎭等于（）A.43-B.34-C.34D.43【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式得到()f x 最大值，即得到关于0x 的关系式，代入02tan 43x π⎛⎫-⎪⎝⎭利用诱导公式即可.【详解】()3sin 44sin 43sin(4)4sin(4)36323f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=++-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3sin(4)4cos(433f x x x ππ∴=+++，4()5sin(4)(tan 33f x x πϕϕ∴=++=，max 5()f x =∴，()00,,()x x f x f x ∀∈∃∈≤R R ，0234(Z)2k k x πππϕ+=+∈+∴，0213tan 4tan(2)32tan 4x k πππϕϕ⎛⎫∴-=-+-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，离心率为e ，直线(0)y kx k =≠分别与C 的左､右两支交于点M ，N .若1MF N 的面积为160MF N ∠=︒，则22e 3a +的最小值为（）A.2B.3C.6D.7【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，121F NF MF N S S == 124NF NF ⋅=，利用双曲线定义和余弦定理求出21243b F N F N ⋅=，求出23b =，进而求出22223e 31317a a a +=++≥+=.【详解】连接22,NF MF ，有对称性可知：四边形12MF NF 为平行四边形，故2112,NF MF NF MF ==，12120FNF ∠=︒，121F NFMF N S S ==由面积公式得：121sin1202NF NF ⋅︒=124NF NF ⋅=，由双曲线定义可知：122F N F N a -=，在三角形12F NF 中，由余弦定理得：()222221212121212244cos12022F N F N F N F N cF N F N c F N F N F N F N-+⋅-+-︒==⋅⋅2121224122F N F N b F N F N ⋅-==-⋅，解得：21243b F N F N ⋅=，所以2443b =，解得：23b =，故22223e 31317a a a +=++≥+=，当且仅当2233a a=，即21a =时，等号成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()2sin sin 2f x x x=-，则下列结论正确的有（）A.()f x 为奇函数B.()f x 是以π为周期的函数C.()f x 的图象关于直线π2x =对称 D.π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x的最大值为22-【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B ，判断()()πf x f x +=是否成立即可；对于C ，判断ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立即可；对于D ，可得π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，由此即可得解.【详解】对于A ，()2sin sin 2f x x x =-的定义域为()π,2k x k ≠∈Z （关于原点对称），且()()()()22sin sin sin 2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--= ⎪-⎝⎭，对于B ，()()()()22πsin πsin sin 2sin 2πf x x x f x x x +=+-=--≠⎡⎤+⎣⎦，故B 错误；对于C ，ππ22sin cos 22sin 2πsin 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ22sin cos 22sin 2πsin 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，但ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的图象不关于直线π2x =对称，故C 错误；对于D ，π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin ,sin 2y x y x ==均单调递增，所以此时2sin 2y x=-也单调递增，所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，其最大值为π2242f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：AD.10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则120z z = B.11,Z nnz z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】BCD 【解析】【分析】举例说明判断A ；利用复数的三角形式计算判断B ；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD.【详解】对于A ，当121i,1i =+=-z z 时，12122z z z z +==-，而1220z z =≠，A 错误；对于B ，令1(cos isin ),0,R z r r θθθ=+≥∈，则1(cos isin )n nz r n n θθ=+，于是1|||cos isin |nnnz r n n r θθ=+=，而1||z r =，即有1||nnz r =，因此11nnz z =成立，B 正确；设复数1i(,R)z a b a b =+∈，2i(,)z c d c d =+∈R ，对于C ，由22120z z +=，得2222()(22)i 0a b c d ab cd -+-++=，则22220220a b c d ab cd ⎧-+-=⎨+=⎩，2222120z z -=-=，因此12=z z ，C 正确；对于D ，21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，则21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，因此1212z z z z ⋅=⋅，D 正确.故选：BCD11.已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则()()f x f y ≠.则（）A.()0f 的值为2B.()()4f x f x +-≥C.若()13f =，则()39f = D.若()410f =，则()24f -=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，令0x y ==，结合“若x y ≠，则()()f x f y ≠”即可判断；对于B ，由基本不等式相关推理结合()2040f =>即可判断；对于C ，令1y =得，()()()1332f x f x f x +++=+，由此即可判断；对于D ，令()1xf x =+，即可判断.【详解】对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+⎡⎤⎣⎦，解得()01f =或()02f =，若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，但这与②若x y ≠，则()()f x f y ≠矛盾，所以只能()02f =，故A 正确；对于B ，令y x =-，结合()02f =得，()()()()()()22f x f x f x f x f x f x ⎛⎫+-+-=⋅-≤ ⎪⎝⎭，解得()()4f x f x +-≥或()()0f x f x +-≤，又()02f =，所以()2040f =>，所以只能()()4f x f x +-≥，故B 正确；对于C ，若()13f =，令1y =得，()()()1332f x f x f x +++=+，所以()()121f x f x +=-，所以()()2161521f f =-=-=，所以()()21101932f f =-=-=，故C 正确；对于D ，取()1xf x =+，则()()11232xyx yx yf x f y +⎡⎤⎡⎤+++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⋅=⎣+⎦⎦()()()f x y f x f y +++=且()1xf x =+单调递增，满足()410f =，但()423f -=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：判断D 选项的关键是构造()1xf x =+，由此即可证伪.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合{}2,0,1M =-，{}1N x x a =-<，若M N ⋂的真子集的个数是1，则正实数a 的取值范围为______.【答案】()()0,11,3 【解析】【分析】分{}0M N = 和{}2M N = 讨论即可.【详解】{}1N x x a =-<，则11x a -<-<，解得11a x a -+<<+，若M N ⋂的真子集的个数是1，则M N ⋂中只含有一个元素，因为a 为正实数，则11a +>，11a -+>-，若{}0M N = ，则10120a a a -+<⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01a <<，若{}2M N = ，则012120a a a ≤-+<⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得13a <<，综上所述，a 的取值范围为()()0,11,3 .故答案为：()()0,11,3 .13.已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为4、6，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为______，外接球的半径为______.【答案】①.3②.【解析】【分析】利用棱台的体积公式计算即可得第一空，根据棱台与球的特征结合勾股定理计算即可得第二空.【详解】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：2212416,636S S ====，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()12176233V S S =++=；连接AC ，BD 交于点2O ，连接11A C ，11B D 交于点1O，如图所示：当外接球的球心O 在线段12O O 延长线上，设1OO h =，外接球半径为R，则(222O O h =-，因为12=O O ，上、下底面边长分别为4、6，则111112==D O B D 212DO BD ==，所以(22222112R D O h DO h h R =+=+-⇒==当外接球的球心O 在线段21O O 延长线上，显然不合题意；当球心O 在线段12O O 之间时，则)222O O h =，同上可得，h =故答案为：3.14.若sin 0αβγ+-=+-的最大值为______．【答案】【解析】≤=消去α、β求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得.【详解】由题意得：0sin 1αβγ≤+=≤，0α≥，0β≥，则()22αβαβαβαβ=+++++=+，当且仅当αβ=时等号成立，+≤=≤，则有0sin 10cos 1γγ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则π2π2π2k k γ≤≤+，Z k ∈,有sin γ在π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，单调递增，cos γ在π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上单调递减，π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则当π2π2k γ=+时，即sin 1γ=、cos 0γ=时，，+-的最大值为..【点睛】本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将α、β消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.函数()e 2xf x ax a =--.（1）讨论函数的极值；（2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导后，分别在0a ≤和0a >的情况下得到()f x '正负，进而得到()f x 单调性，由极值定义可求得结果；（2）由（1）可知()f x 单调性，分别讨论极小值大于零、等于零和小于零的情况，结合零点存在定理可得结论.【小问1详解】由题意得：()e 2xf x a '=-；当20a ≤，即0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，()f x \在R 上单调递增，无极值；当20a >，即0a >时，令()0f x '=，解得：ln 2x a =，∴当(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f x \的极小值为()ln 22ln 2f a a a a =-，无极大值；综上所述：当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 极小值为2ln 2a a a -，无极大值.【小问2详解】由（1）知：当0a >时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增；当02a <<时，()ln 22ln 20f a a a a =->，()0f x ∴>恒成立，()f x 无零点；当a =时，()ln 22ln 20f a a a a =-=，()f x 有唯一零点ln 2x a =；当2a >时，()ln 22ln 20f a a a a =-<，又()010f a =->，当x 趋近于正无穷大时，()f x 也趋近于正无穷大，()f x \在()0,ln 2a 和()ln 2,a +∞上各存在一个零点，即()f x 有两个零点；综上所述：当e 02a <<时，()f x 无零点；当2a =时，()f x 有且仅有一个零点；当e 2a >时，()f x 有两个不同的零点.16.已知n 把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下．（1）当12n =时，设两个人座位之间空了X 把椅子（以相隔位子少的情况计数），求X 的分布列及数学期望；（2）若另有m 把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅子坐下，若两人选择相邻座位的概率为114，求整数(),3,3m n m n >>的所有可能取值．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2511（2）9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）根据题意得到随机变量X 可以取0,1,2,3,4,5，并计算出相应的概率，列出分布列，利于期望公式计算即可；（2）利于概率求得两人选择相邻座位的概率，建立方程后依据条件可求得整数解即可.【小问1详解】由题意，得随机变量X 可以取0,1,2,3,4,5，其中()()21212220,1,2,3,4A 11P X i i ⨯====，()21212115A 11P X ⨯===，所以随机变量X 的分布列为：X012345P 211211************故()2222212501234511111111111111E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】记“两人选择n 把相同的椅子围成的圆环”为事件A ，“两人选择m 把相同的椅子围成的圆环”为事件B ，“两人选择相邻座位”为事件C ．因为两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，所以()()1111,2244P A P B =⨯==，()()()()()()()P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+()()12121114141211n m n n m m n m ⨯⨯⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪----⎝⎭．因为()114P C =，所以111117n m +=--．化简，得4988n m =+-．因为*3,3,m n n >>∈N ，所以498m ∈-Z ，且4958m >--．所以81,7,49m -=，即9,15,57m =，此时9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩所以,m n 的所有可能取值为9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为平行四边形，//EF 平面AB CD -，EAB 为等边三角形，22,60BC CE AB EF ABC ===∠=︒．（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD ；（2）求平面ECD 与平面FCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31010【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得平面平面ECD 与平面FCD 的夹角的余弦值.【小问1详解】不妨设1AB =，则2BC CE ==，在平行四边形ABCD 中，2BC = ，1AB =，60ABC ∠=︒，连接AC ，由余弦定理得22212211cos 603AC =+-⨯⨯⨯︒=，即3AC =，222AC AB BC += ，AC AB ∴⊥.又 222AC AE CE +=，AC AE ∴⊥，AB AE A = ，AC ⊥平面EAB ，又 AC ⊂平面ABCD .∴平面EAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】取AB 中点G ，连接EG ，EA EB = ，EG AB ∴⊥，由（1）易知EG ⊥平面ABCD ，且32EG =.如图，以A 为原点，分别以射线,AB AC 所在直线为,x y 轴，竖直向上为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则1,0,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C，()D -，()12,B -，(11,C -，()1,0,0CD =- ，330,,22FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1322EC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面FCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00n CD n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0022x y z -=⎧-=⎩，令1y =，得()0,1,1n = ，设平面ECD 的法向量为()111,,m x y z = ，则00m CD m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1111013022x x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令11y =，得()0,1,2m =，310cos ,10m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面ECD 与平面FCD 夹角的余弦值31010.18.已知抛物线C ：22y px =（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB 、ABE 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若12344S S S S =，求直线AB 的方程.【答案】（1）22y x=（2）10x -=【解析】【分析】（1）结合抛物线定义即可.（2）设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m R ∈），与抛物线方程联立得12y y +，12y y .将每条直线表达出来，1S 、2S 、3S 、4S 表达出来，再由12344S S S S =得出m 即可.【小问1详解】设(),3M t ，由题意可得9252pt p t =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，解得1p =或9p =（舍去），所以抛物线C 的方程为22y x =.【小问2详解】如图，设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m R ∈），与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，2480m ∆=+>∴122y y m +=，122y y =-.∵22y x =，则y =∴'1y y==，∴过点A 作C 的切线1l 方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理，过点B 作C 的切线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴222122y y PQ =-.联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -，则D 到直线AB l的距离2D AB d -==.又∵过点A 作直线3l 垂直于1l ，直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∴222122y y RS =-.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，则E 到直线AB l的距离E AB d -==由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，212d AB S AB d -=⋅=，312E AB S AB d -=⋅=，222141122222E y y S RS y m =⋅=-，∴12342242S S S S m =+=，得m =，∴直线AB的方程为1x =+即10x ±-=.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ，则有11()i s a ≤，因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ，所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
广西柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题含答案
柳州市2024届高三第三次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．70%B ．60%C ．50%D ．40%2．已知i 是虚数单位，若()()1i i a ++为实数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-3．已知()()12,3,3,,1AB AC t BC ===，则AB BC ⋅= （）A ．3-B ．2-C ．2D ．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =，已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种6．已知,,,P A B C 是半径为2的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为4，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A ．334B ．934C．D ．153410．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．与圆222x y +=的关系与e 有关8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的,x y R ∈，都有()()f x f y x y -<-，若函数()()g x f x x -=，则不等式()()2220g x x g x -+-<的解集是（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),12,-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
(完整版)高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试卷（满分150 分）一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1．已知全集 U={1,2,3,4,5} ，会集 M ＝{1,2,3} ， N ＝ {3,4,5} ，则 M ∩ ( e U N)＝（）A. {1,2}B.｛ 4,5｝C.｛ 3｝D.｛ 1,2,3,4,5｝ 2. 复数 z=i 2(1+i) 的虚部为（）A. 1B. iC.- 1D. -i3．正项数列 { a } 成等比， a +a =3， a +a =12,则 a +a 的值是（）n1 23445A. - 24B. 21C.24D. 484．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为 2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（）A.2 34B.3C.2 3 4 54 3 4 3+D.2735．双曲线以一正方形两极点为焦点，另两极点在双曲线上，则其离心率为（ ）A. 2 2B.2 +1C.2D. 1uuur uuur6． 在四边形 ABCD 中，“ AB =2 DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（）A. 充足不用要条件B. 必要不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件7．设 P 在 [0,5] 上随机地取值，求方程x 2+px+1=0 有实根的概率为（ ）A. 0.2B. 0.4C.0.5D.0.6y8． 已知函数 f(x)=Asin( ωx +φ)(x ∈ R, A>0, ω>0, |φ|<)5f(x)的解析式是（2的图象（部分）以下列图，则）A ．f(x)=5sin( x+)Ｂ． f(x)=5sin(6 x-)O256 66xＣ． f(x)=5sin(x+)Ｄ． f(x)=5sin(3x- )366－ 5二、填空题：（每题 5 分，共30 分）9. 直线 y=kx+1 与 A （ 1,0）， B （ 1,1）对应线段有公共点，则 k 的取值范围是 _______. 10．记 (2x1)n 的张开式中第 m 项的系数为 b m ，若 b 32b 4 ，则 n =__________.x311 ． 设 函 数 f ( x) xx 1x 1、 x 2、 x 3、 x 41 2的 四 个 零 点 分 别 为 ， 则f ( x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )；12、设向量 a(1，2)， b (2，3) ，若向量a b 与向量 c (4， 7)共线，则x 111. lim______ .x 1x 23x 414. 对任意实数 x 、 y ，定义运算 x* y=ax+by+cxy ，其中a、 b、c 常数，等号右的运算是平时意的加、乘运算 .已知 2*1=3 ， 2*3=4 ，且有一个非零数m，使得任意数x，都有 x* m=2x， m=.三、解答：r r15．（本 10分）已知向量 a =(sin(+x), 3 cosx)，b =(sin x,cosx),f(x)=⑴求 f( x)的最小正周期和增区；2⑵若是三角形 ABC 中，足 f(A)=3，求角 A 的．216．（本 10 分）如：直三棱柱（棱⊥底面）ABC — A 1B1C1中，∠ ACB =90°， AA 1=AC=1 ， BC= 2，CD ⊥ AB, 垂足 D.C1⑴求： BC∥平面 AB 1C1;A1⑵求点 B 1到面 A 1CD 的距离 .PCA D r r a ·b .B 1B17．（本 10 分）旅游公司 4 个旅游供应 5 条旅游路，每个旅游任其中一条.（ 1）求 4 个旅游互不一样样的路共有多少种方法;（2）求恰有 2 条路被中的概率 ;（3）求甲路旅游数的数学希望.18.（本 10 分）数列 { a n} 足 a1+2a2 +22a3+⋯+2n-1a n=4 n.⑴求通a n；⑵求数列 { a n} 的前 n 和S n.19．（本 12 分）已知函数f(x)=alnx+bx,且 f(1)= - 1， f′(1)=0 ，⑴求 f(x)；⑵求 f(x)的最大；⑶若 x>0,y>0, 明： ln x+lny≤xy x y 3.220．（本 14 分） F 1, F 2 分 C :x2y 21(a b 0) 的左、右两个焦点，若 Ca 2b 2上的点 A(1,3124.)到 F ， F 两点的距离之和等于2⑴写出 C 的方程和焦点坐 ；⑵ 点 P （ 1，1）的直 与 交于两点 D 、 E ，若 DP=PE ，求直 DE 的方程 ;4⑶ 点 Q （ 1，0）的直 与 交于两点 M 、N ，若△ OMN 面 获取最大，求直 MN 的方程 .21. （本 14 分） 任意正 数 a 1、 a 2、 ⋯ 、an ；求1/a 1+2/(a 1 +a 2)+⋯ +n/(a 1+a 2+⋯ +a n )<2 (1/a 1+1/a 2+⋯ +1/a n )9 高三数学模 答案一、 :. ACCD BAD A二、填空 ：本 主要考 基 知 和基本运算．每小 4 分，共 16 分 .9.[-1,0] 10.5 11.19 12. 2 13.1 14. 35三、解答 ：15．本 考 向量、二倍角和合成的三角函数的公式及三角函数性 ，要修业生能运用所学知 解决 ．解：⑴ f(x)= sin xcosx+3 + 3 cos2x = sin(2x+ )+ 3⋯⋯⋯2 23 2 T=π， 2 k π - ≤ 2x+≤ 2 k π +， k ∈ Z,232最小正周期 π， 增区[ k π -5, k π + ], k ∈ Z.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1212⑵由 sin(2A+ )=0 , <2A+ <7 ,⋯⋯⋯⋯⋯33 或533∴ 2A+ =π或 2π，∴ A=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33616．、本 主要考 空 、 面的地址关系，考 空 距离角的 算，考 空 想象能力和推理、 能力， 同 也可考 学生灵便利用 形， 建立空 直角坐 系， 借助向量工具解决 的能力． ⑴ 明：直三棱柱ABC — A 1B 1C 1 中， BC ∥ B 1C 1,又 BC 平面 A B 1C 1，B 1C 1 平面 A B 1C 1，∴ B 1C 1∥平面 A B 1C 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑵（解法一）∵ CD ⊥ AB 且平面 ABB 1A 1⊥平面 AB C,C 11 1 1∴ CD ⊥平面 ABBA ，∴ CD ⊥AD 且 CD ⊥A D ,∴∠ A DA 是二面角 A 1— CD —A 的平面角，1A 1B 1在 Rt △ ABC,AC=1,BC= 2 ,PC∴ AB= 3 , 又 CD ⊥ AB ，∴ AC 2=AD × ABADB∴ AD=3， AA1131=1，∴∠ DA 1B 1=∠ A DA=60 °，∠ A 1 B 1A=30°，∴ A B 1 ⊥A D又 CD ⊥ A 1D ，∴ AB 1⊥平面 A 1CD ， A 1D ∩ AB 1=P, ∴ B 1P 所求点 B 1 到面 A 1CD 的距离 . B P=A 1 B 1cos ∠ A 1 B 1A= 33cos30 =° .12即点 B 1 到面 A 1 CD 的距离 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21 × 3 1 z （ 2）（解法二） 由 V B 1- A 1CD =V C - A 1B 1D =C 132×6 = 2，而 cos ∠ A 1 CD= 2 × 6 = 3 ,AB13 6 2 3 31△A 1CD1 ×2 ×6 ×6 =2,B 1 到平面CS=3 332A ByA 1CD 距离 h, 1×22, 得 h= 3所求 .Dx h=33 6 2⑶（解法三）分 以CA 、CB 、CC 1 所在直 x 、y 、z 建立空 直角坐 系（如 ）A （ 1，0， 0）， A 1（ 1， 0， 1），C （0， 0， 0）， C 1（ 0， 0， 1），B （0，2 ， 0）， B 1（ 0， 2 ， 1），uuurr∴ D （ 2 ， 2， 0） CB =（ 0， 2 ， 1）， 平面 A 1CD 的法向量 n =（ x ， y ， z ），3 31r uuur3n CD2x2y 0rruuur，取 n=（ 1， -2 ， - 1）n CA 1 x z 0r uuur点 B 1 到面 A 1CD 的距离d= n CB 13r⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n217．本 主要考 排列，典型的失散型随机 量的概率 算和失散型随机 量分布列及希望等基 知 和基本运算能力．解：（ 1） 4 个旅游 互不一样样的 路共有：A 54=120 种方法； ⋯（2）恰有两条 路被 中的概率 ：P 2 C 52 (2 42) 28=54⋯125（3） 甲 路旅游 数ξ， ξ～ B(4, 1)14⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5∴希望 E ξ=np=4×=5 5答 : （ 1） 路共有120 种，（2）恰有两条 路被 中的概率 0.224, （ 3）所求希望 0.8 个数 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18．本 主要考 数列的基 知 ，考 分 的数学思想，考 考生 合 用所学知 造性解决 的能力．解：（ 1） a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n - 1a n =4n ，∴ a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n a n+1=4n+1，相减得 2n a n+1=3× 4n , ∴ a n+1=3× 2n ,4(n1) 又 n=1 a 1=4，∴ 上 a n =2n 1所求；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3(n 2)⑵ n ≥2 ， S n=4+3(2 n- 2), 又 n=1 S 1=4 也建立， ∴ S n =3× 2 n - 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．本 主要考 函数、 数的基本知 、函数性 的 理以及不等式的 合 ，同 考 考生用函数放 的方法 明不等式的能力．解：⑴由 b= f(1)= - 1, f ′(1)= a+b=0, ∴ a=1, ∴f(x)=ln x- x 所求； ⋯⋯⋯⋯⋯⑵∵ x>0,f ′(x)=1- 1=1x ,xxx 0<x<1x=1 x>1 f (′x) +0 - f(x)↗极大↘∴ f (x)在 x=1 获取极大 - 1，即所求最大 - 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⑶由⑵得 lnx ≤x- 1 恒建立， ∴ln x+ln y=ln xy+ ln x ln y ≤ xy 1 + x 1 y 1 = xy x y 3建立⋯⋯⋯22 22220．本 考 解析几何的基本思想和方法，求曲 方程及曲 性 理的方法要求考生能正确分析 ， 找 好的解 方向， 同 兼 考 算理和 推理的能力， 要求 代数式合理演 ，正确解析最 ．解：⑴ C 的焦点在 x 上，由 上的点A 到 F 1、F 2 两点的距离之和是 4，得 2a= 4，即 a=2 .；3134 1.得 b 2=1，于是 c 2=3 ；又点 A(1,) 在 上，因此222b 2因此 C 的方程x 2y 2 1,焦点 F 1 ( 3,0), F 2 ( 3,0). ，⋯⋯⋯4⑵∵ P 在 内，∴直DE 与 订交，∴ D( x 1,y 1),E(x 2,y 2)，代入 C 的方程得x 12+4y 12- 4=0, x 22+4y 22- 4=0,相减得 2(x 1- x 2 )+4× 2× 1 (y 1- y 2)=0 , ∴斜率 k=-11 4∴ DE 方程 y- 1= - 1(x-), 即 4x+4y=5; ⋯⋯⋯4(Ⅲ )直 MN 不与 y 垂直，∴MN 方程 my=x- 1，代入 C 的方程得（ m 2+4) y 2+2my- 3=0,M( x 1,y 1 ),N( x 2 ,y 2), y 1+y 2=-2m 3 ,且△ >0 建立 .m 2 4, y 1y 2=-m 2 4又 S △ OMN = 1|y 1- y 2|= 1 ×4m212(m 24) = 2 m23， t=m 2 3 ≥ 3 ,2 2m 2 4m 24S△OMN =2,(t+1t1tt ) ′=1 - t-2>0t≥ 3 恒建立，∴t=3t+1获取最小， S△OMN最大，t此 m=0, ∴ MN 方程 x=1⋯⋯⋯⋯⋯。
山东省济南市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题(含答案与解析)_9045
绝密★启用并使用完毕前2024年3月山东省济南市高三模拟考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若57a =，102a =，则14S =（）A 49B. 63C. 70D. 1262. 已知(),1a m = ，()31,2b m =- ，若//a b r r，则m =（ ）A. 1B. 1-C.23D. 23-3. 某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为（ ） A.38B.1724C.45D.33404. 与抛物线22x y =和圆22(1)1x y ++=都相切的直线的条数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b +=，则A =（ ） A.π6B.π4C.π3D.π26. 若sin1a =，()lg tan1b =，12c =，则（ ） A. c b a <<B. b a c <<.C. b<c<aD. a c b <<7. 已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（ ） A. 1B.C. 2D.8. 若不等式()ln e ,x a x b a b x ≤+≤∈R 对任意的31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的最小值为（ ） A. 323e -B. 325e 2-C33ln 22 D. 33e 3ln2- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知椭圆C ：223448x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上任意一点，则（ ） A. CB. 12PF F △的周长为12C. 1PF 的最小值为3D. 22PF PF ⋅的最大值为1610. 已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为12，π12是该函数的最小正零点，则（ ） A. π3ϕ=B. ()()2f x f x '+≤恒成立C. ()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称 11. 下列等式中正确的是（ ） A.8881C 2k k ==∑B.82392C C k k ==∑ .C. 82111!8!k k k =-=-∑ D. ()8828160C C k k ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量()2~1,2X N ，则()21D X +的值为__________.13. 在三棱柱111ABC A B C -中，2AM MB = ，111A N mA C =，且//BN 平面1A CM ，则m 的值为________.14. 已知集合()()(){}2,,R A u x u x ax a b x b a b ==-++∈，函数()21f x x =-.若函数()g x 满足：对任意()u x A ∈，存在,R λμ∈，使得()()()u x f x g x λμ=+，则()g x 的解析式可以是_______.（写出一个满足条件的函数解析式即可）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =且123n n S a +=-，令2n nn n b a +=.（1）求证：{}n a 为等比数列； （2）求使n b 取得最大值时的n 的值.16. 已知函数()2e e x xf x ax =+-.（1）当3a =时，求()f x 单调区间； （2）讨论()f x 极值点的个数.17. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a ，b ，记b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值为随机变量X ，其中b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过ba的最大整数. （1）求在0X >的条件下，bX a=的概率； （2）求X 分布列及其数学期望.18. 已知双曲线C ：2214x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0P 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 两点.（1）若直线l 的斜率k 存在，求k 的取值范围；的的（2）记直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值； （3）设G 为直线1A M 与直线2A N 的交点，GMN ，12GA A △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值. 19. 在空间直角坐标系O xyz -中，任何一个平面的方程都能表示成0Ax By Cz D +++=，其中,,,A B C D ∈R ，2220A B C ++≠，且(),,n A B C =为该平面的法向量.已知集合(){},,1,1,1P x y z x y z =≤≤≤，(){},,2Q x y z x y z =++≤，(){},,2,2,2T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.（1）设集合(){},,0M x y z z ==，记P M ⋂中所有点构成的图形的面积为1S ，Q M 中所有点构成的图形的面积为2S ，求1S 和2S 的值；（2）记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q 中所有点构成的几何体的体积为2V ，求1V 和2V 的值：（3）记集合T 中所有点构成的几何体为W . ①求W 的体积3V 的值；②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若57a =，102a =，则14S =（）A. 49B. 63C. 70D. 126【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到1149a a +=，再运用等差数列的前n 项和公式计算即得. 【详解】因{}n a 是等差数列，故1145109a a a a +=+=，于是1141414()63.2a a S +==故选：B2. 已知(),1a m = ，()31,2b m =- ，若//a b r r，则m =（ ）A. 1B. 1-C.23D. 23-【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解.【详解】因为(),1a m = ，()31,2b m =- ，//a b r r ，所以()2310m m --=，解得1m =. 故选：A .3. 某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为（ ） A.38B.1724C.45D.3340【答案】C 【解析】【分析】求出没有荣获“优秀员工”称号高级工程师人数，得到公司的高级工程师总人数，从而得到概率. 【详解】由题意得，没有荣获“优秀员工”称号的高级工程师有120851421--=人， 则公司共有高级工程师的人数为752196+=， 故被选中的员工是高级工程师的概率为9641205=. 故选：C4. 与抛物线22x y =和圆22(1)1x y ++=都相切的直线的条数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线22x y =相切切点坐标为21(,)2t t ，由212y x =，求导得y x '=， 因此抛物线22x y =在点21(,)2t t 处的切线方程为21()2y t t x t -=-，即2102tx y t --=，的的依题意，此切线与圆22(1)1x y ++=1=，解得0=t或t =±数为3. 故选：D5. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b +=，则A =（ ） A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】A 【解析】【分析】由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到tan A =角形内角范围即得.详解】由cos sin a C C b =以及正弦定理可得：sin cos sin sin A C A C B +=，因sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=sin cos sin 0A C A C -=， 因0π,sin 0C C <<>,则得tan A =，又因0πA <<，故π6A =.故选：A.6. 若sin1a =，()lg tan1b =，12c =，则（ ） A. c b a << B. b a c << C. b<c<a D. a c b <<【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可. 【详解】因为π1sin1sin 62>=，所以a c >，因为πtan1tan 3<=，所以()1lg tan1lg 2<<=，即b c <， 综上b<c<a ， 故选：C【7. 已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.【详解】设12i,i, z a b z c d =+=+则2===所以221a b +=，224,c d +=484()ac bd -+=，即1ac bd +=，则1212z z +====故选：B. 8. 若不等式()ln e ,x a x b a b x ≤+≤∈R 对任意的31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的最小值为（ ） A. 323e -B. 325e 2-C.33ln 22 D. 33e 3ln2- 【答案】A 【解析】【分析】因为ln e x ax b x≤+≤，所以ln e x x x bx a x ≤+≤，即求直线y bx a =+的纵截距a 的最小值，设()e x f x x =，利用导数证明()f x 在31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象上凹，所以直线与()f x 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，据此即可求解. 【详解】因为ln e x ax b x≤+≤，所以ln e x x x bx a x ≤+≤，所以即求直线y bx a =+的纵截距a 的最小值， 设()e x f x x =，所以()e (1)0x f x x '=+>，所以()f x 在31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()f x 在31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象上凹，所以直线与()f x 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，令切点横坐标为32，所以直线过点3233(,e )22，且直线y bx a =+斜率为325e 2所以y bx a =+的直线方程为3259e ()24y x =-，当1x =时，3322e 2.56 1.024ln 44y x x =>=>，即直线y bx a =+与()f x 相切时， 直线y bx a =+与()f x 无交点， 设()ln g x x x =，所以()ln 1g x x '=+，所以()g x 在32x =时斜率为3ln 12+，在1x =时斜率为1，均小于直线的斜率， 所以可令直线y bx a =+在32x =处与()f x 相交，在1x =处与ln y x x =相交，所以直线方程为32323e 02(1)03e (1)312y x x -=-+=--， 所以截距为323e -. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于ln e x ax b x≤+≤，ln e x x x bx a x ≤+≤，即求直线y bx a =+的纵截距a 的最小值的分析.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知椭圆C ：223448x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上任意一点，则（ ）A. CB. 12PF F △的周长为12C. 1PF 的最小值为3D. 22PF PF ⋅的最大值为16【答案】BD 【解析】【分析】首先分析题意，利用椭圆性质进行逐个求解，直接求出离心率判断A ，利益椭圆的定义求出焦点三角形周长判断B ，举反例判断C ，利用基本不等式求最大值判断D 即可.【详解】由椭圆22:3448,C x y +=得221,1612x y +=则4,2,a b c ===所以12c e a ==，故A 错误; 易知12PF F △的周长为121228412F c F PF PF a ++=+2=+=故B 正确；当P 在椭圆长轴的一个端点时，1PF 取得最小值，最小值为422a c -=-=，故C 错误； 由基本不等式得122122PF PF PF PF +⋅≤()=16，当且仅当12PF PF =时取等，则12PF PF ⋅取得最大值16，故D 正确. 故选：BD.10. 已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为12，π12是该函数的最小正零点，则（ ） A. π3ϕ=B. ()()2f x f x '+≤恒成立C. ()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称 【答案】AC 【解析】【分析】由题意求出,ωϕ，然后由余弦型函数的性质判断即可.【详解】函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭图象在y 轴上的截距为12， 所以1cos 2ϕ=，因为π02ϕ<<，所以π3ϕ=.故A 正确；又因为π12是该函数的最小正零点， 所以ππcos 0123ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πππ1232ω+=，解得2ω=，所以()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()π2sin 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，所以()()πππcos 22sin 22333f x f x x x x θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，故B 错误； 当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()ππ2,π0,π33x ⎛⎫+∈∈ ⎪⎝⎭，故C 正确； 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，得到πππcos 2cos 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：AC.11. 下列等式中正确的是（ ） A.8881C2kk ==∑B.82392CC k k ==∑C. 82111!8!k k k =-=-∑ D.()882816C C k k ==∑ 【答案】BCD 【解析】【分析】利用()81x +的展开式与赋值法可判断A ，利用组合数的性质2331C C C n n n ++=可判断B ，利用阶乘的裂项法可判断C ，构造()()()1688111x x x +=++求其含8x 的项的系数可判断D.【详解】对于A ，因为()801228888881C C C C x x x x +=++++ ，令1x =，得881288888121C C C 1Ck k ==++++=+∑ ，则88811C2k k ==-∑，故A 错误；的对于B ，因为2331C C C n n n ++=， 所以8222223222234833482CC C C C C C C C kk ==++++=++++∑322323448889C C C C C C =+++==+= ，故B 正确；对于C ，因为()()()()()()!1!11!1111!!!1!!1!!k k k k k k k k k k k k ------===---，所以()882211111111111!1!!1!2!2!3!7!8!8!k k k k k k ==⎡⎤-=-=-+-++-=-⎢⎥-⎣⎦∑∑ ，故C 正确. 对于D ，()()()1688111x x x +=++， 对于()161x +，其含有8x 的项的系数为816C ，对于()()8811x x ++，要得到含有8x 的项的系数，须从第一个式子取出()08,N k k k ≤≤∈个x ，再从第二个式子取出8k -个x ， 它们对应的系数为()088288808C CC kk kk k =-==∑∑， 所以()8828160C C k k ==∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式()()8811x x ++中得到含有8x 的项的系数，从而得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量()2~1,2X N ，则()21D X +的值为__________.【答案】16 【解析】【分析】理解正态分布的均值、方差的含义即得()D X ，再利用随机变量的方差性质即可求得()21D X +. 【详解】由()2~1,2X N 可得2()24D X ==,则(21)4()16D X D X +==.故答案为：16 .13. 在三棱柱111ABC A B C -中，2AM MB = ，111A N mA C =，且//BN 平面1A CM ，则m 的值为________. 【答案】12 ##0.5 【解析】【分析】利用三棱柱模型，选择一组空间基底1,,AB a AC b AA c ===，将相关向量分别用基底表示，再利用//BN 平面1A CM ，确定1,,BN MA MC必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得.【详解】如图，不妨设1,,AB a AC b AA c === ，依题意，1122,3233AM a MA MA AA c a AB +=-===-, 23MC AC AM b a =-=- ，因111A N mAC mb == ，则11,BN BA A N c a mb =+=-+又因//BN 平面1A CM ，故1,,BN MA MC必共面，即存在,R λμ∈，使1BN MA MC λμ=+，即22()()33c a mb c a b a λμ-+=-+-，从而有2()131m λμμλ⎧-+=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得12m =.故答案为：12.14. 已知集合()()(){}2,,R A u x u x ax a b x b a b ==-++∈，函数()21f x x =-.若函数()g x 满足：对任意()u x A ∈，存在,R λμ∈，使得()()()u x f x g x λμ=+，则()g x 的解析式可以是_______.（写出一个满足条件的函数解析式即可）【答案】()1g x x =-（满足()10g =，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）【解析】【分析】根据()10u =，求得()10g =，则满足()10g =的一次函数或二次函数均可. 【详解】()()2u x ax a b x b =-++，()21f x x =-，()()10u a a b b =-++=，()10f =，()()()u x f x g x λμ=+，()()()()11110u f g g λμμ=+==，所以()10g =，则()g x 的解析式可以为()1g x x =-. 经检验，()1g x x =-满足题意. 故答案为：()1g x x =-（答案不唯一）.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =且123n n S a +=-，令2n n n nb a +=.（1）求证：{}n a 为等比数列； （2）求使n b 取得最大值时的n 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）32081. 【解析】【分析】（1）结合已知，由2n ≥时1n n n a S S -=-化简得132n n a a +=，再由2132a a =及等比数列的定义证明即可；（2）先求得()223nn b n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用作商法判断数列{}n b 的单调性即可求得最值.【小问1详解】由123n n S a +=-，可得2n ≥时，1122n n n n n a S S a a -+=-=- 即2n ≥，132n n a a +=，又因为132a =，所以294a =，2132aa =，综上，1n ≥，132n n a a +=，所以{}n a 为首项和公比均为32的等比数列. 【小问2详解】由（1）可得32n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()223nn b n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2n ≥时，()()()()221221313nn n n n b b n n n -++==--， 令11n n b b ->，可得25n ≤<，（或令11nn b b -<，可得5n >）， 可知1234567b b b b b b b <<<=>>>⋅⋅⋅， 综上，4n =或5n =时，n b 的取得最大值32081. 16. 已知函数()2e e x xf x ax =+-.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间； （2）讨论()f x 极值点的个数.【答案】（1）单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）求出函数的导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数.小问1详解】当3a =时，()2e e 3x xf x x =+-定义域为R ， 又()22e e 3x xf x '=+-，所以()()()2e 3e 1x xf x '=+-，由()0f x ¢>，解得0x >，此时()f x 单调递增； 由()0f x '<，解得0x <，此时()f x 单调递减，【所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-. 【小问2详解】函数()f x 的定义域为R ，由题意知，()22e e x xf x a '=+-，当0a ≤时，()0f x ¢>，所以()f x 在R 上单调递增， 即()f x 极值点的个数为0个； 当0a >时，易知180a +>，故解关于t 的方程220t t a +-=得，1t =，2t =所以()()()122e exxf x t t '=--，又21104t -+=>=，10t =<，所以当2ln x t >时，()0f x ¢>，即()f x 在()2ln ,t +∞上单调递增， 当2ln x t <时，()0f x '<，即()f x 在()2,ln t -∞上单调递减， 即()f x 极值点的个数为1个.综上，当0a ≤时，()f x 极值点的个数为0个；当0a >时，()f x 极值点的个数为1个.17. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a ，b ，记b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值为随机变量X ，其中b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过ba的最大整数. （1）求在0X >的条件下，bX a=的概率； （2）求X 的分布列及其数学期望. 【答案】（1）23（2）分布列见解析，()4136E X = 【解析】【分析】（1）利用列举法结合条件概率公式即可得解；（2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】记抛掷骰子的样本点为(),a b ， 则样本空间为(){}Ω,16,16,Z,Z a b a b a b =≤≤≤≤∈∈，则()Ω36n =，记事件A =“0X >”，记事件B =“b bX a a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦”，则(){},16,Z,Z A a b a b a b =≤≤≤∈∈，且()21n A =，又{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),AB =}(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)，则()14n AB =， 所以()()()142213n AB P B A n A ===， 即在0X >的条件下，b X a=的概率为23；【小问2详解】X 所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.()3621503612P X -===，()1211363P X ===，()412369P X ===， ()2133618P X ===，()1436P X ==，()1536P X ==，()1636P X ==，所以X 的分布列为：X 01 2 3 4 5 6P512 13 19 118 136 136 136所以()511111141012345612391836363636E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 已知双曲线C ：2214x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0P 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 两点.（1）若直线l 的斜率k 存在，求k 的取值范围； （2）记直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值； （3）设G 为直线1A M 与直线2A N 的交点，GMN ，12GA A △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值. 【答案】（1）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）13-；（3）3. 【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为4x my =+，联立方程组，结合题意列出不等式组，即可求解；（2）由（1）得到121222812,44m y y y y m m +=-=--，求得()121223my y y y =-+，结合斜率公式，准确运算，即可求解；（3）由（2）可知213k k =-，设1A M 与2A N 的方程分别为()12y k x =+和()132y k x =--，两两方程组，求得1G x =，结合三角形的面积公式和不等式的性质，即可求解. 【小问1详解】解：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为4x my =+，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2248120m y my -++=， 因为直线l 与双曲线的右支交于,M N 两点，可得()()()2222122Δ8441216120401204m m m m y y m ⎧=--⨯=+>⎪⎪-≠⎨⎪⎪=<-⎩，解得22m -<<，又由直线l 的斜率为1k m =，可得k 的取值范围是11,,22∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】解：由双曲线22:14x C y -=，可得()12,0A -，()22,0A ，由（1）可得12284my y m +=--，122124y y m =-，则()121223my y y y =-+. 所以()()()()1121211121222121122222222662y y x y my k x my y y y k y x y my my y y x -+++====+++- ()()12112122123132122233936222y y y y y y y y y y -++-===--++-+.【小问3详解】解：由（2）可知213k k =-，所以直线1A M 与直线2A N 的方程分别为()12y k x =+和()132y k x =--， 联立两直线方程可得交点G 的横坐标为1G x =，于是()()1211221212121sin 331121313sin 2GM GN MGN my my S x x GM GN S GA GA GA GA A GA ⋅∠++--==⋅=⋅=⋅∠ ()221212223912161611334440m y y m y y m m m +++--===-+≥-+=---， 故12S S 的最小值为3，当且仅当0m =时取等号成立.【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.19. 在空间直角坐标系O xyz -中，任何一个平面的方程都能表示成0Ax By Cz D +++=，其中,,,A B C D ∈R ，2220A B C ++≠，且(),,n A B C =为该平面的法向量.已知集合(){},,1,1,1P x y z x y z =≤≤≤，(){},,2Q x y z x y z =++≤，(){},,2,2,2T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.（1）设集合(){},,0M x y z z ==，记P M ⋂中所有点构成的图形的面积为1S ，Q M 中所有点构成的图形的面积为2S ，求1S 和2S 的值；（2）记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q 中所有点构成的几何体的体积为2V ，求1V 和2V 的值：（3）记集合T 中所有点构成的几何体为W . ①求W 的体积3V 的值；②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数. 【答案】（1）14S =，28S =；（2）1323V =，2203V =； （3）①16；②2π3，共有12个面，24条棱.【解析】【分析】（1）首先分析题意进行解答，分别表示出集合,M P 代表的点，后得到P M ⋂的截面是正方形求出1S ，同理得到Q M 是正方形求出2S 即可.（2）首先根据（1）分析得出P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分. 后用割补法求解体积即可.（3）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量求法求解，再看图得到面数和棱数即可. 【小问1详解】 集合(){},,0M x y z z ==表示xOy 平面上所有的点，(){},,1,1,1P x y z x y z =≤≤≤表示()1,1,1±±±这八个顶点形成的正方体内所有的点，而P M ⋂可以看成正方体在xOy 平面上的截面内所有的点. 发现它是边长为2的正方形，因此14S =. 对于(){},,2Q x y z x y z =++≤，当,,0x y z >时，2x y z ++=表示经过(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)的平面在第一象限的部分.由对称性可知Q 表示2,0,0±()，0,2,0±()，0,0,2±() 这六个顶点形成的正八面体内所有的点.而Q M 可以看成正八面体在xOy 平面上的截面内所有的点.它是边长为28S =. 【小问2详解】记集合Q ，P Q 中所有点构成的几何体的体积分别为1V ，2V ； 考虑集合Q 的子集(){},,2,0,0,0Q x y z x y z x y z =++≤≥≥≥'；即为三个坐标平面与2x y z ++=围成的四面体.四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)， 此四面体的体积为114222323Q V '⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭由对称性知，13283Q V V '== 考虑到P 的子集P '构成的几何体为棱长为1的正方体，即(){},,01,01,01P x y z x y z =≤≤≤≤≤≤'，(){},,2,0,0,0Q x y z x y z x y z =++≤≥≥≥'，显然P Q '' 为两个几何体公共部分，记()11,1,0Q ，()21,0,1Q ，()30,1,1Q ，()41,1,1Q .容易验证1Q ，2Q ，3Q 在平面2x y z ++=上，同时也在P '的底面上. 则P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分.P '的体积1111P V '=⨯⨯=，三棱锥4123Q Q Q Q -的体积为()4123111111326Q Q Q Q V -=⨯⨯⨯⨯=. 故P Q '' 的体积412315166P Q P Q Q Q Q V V V '''-=-=-= . 当由对称性知，22083P Q V V ''==. 【小问3详解】如图所示，即为T 所构成的图形.其中正方体ABCD IJML -即为集合P 所构成的区域.E ABCD -构成了一个正四棱锥，其中E 到面ABCD 的距离为2，1412233E ABCD V -=⨯⨯⨯=，34686163P E ABCD V V V -=+=+⨯=.由题意面EBC 方程为20x z +-=，由题干定义知其法向量()11,0,1n =面ECD 方程为20y z +-=，由题干定义知其法向量()20,1,1n = 故1212121cos ,2n n n n n n ⋅==⋅ . 由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H 相邻两个面所成角为2π3. 由图可知共有12个面，24条棱. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法得到所要求的二面角余弦值即可．。
2024-2025学年贵州省部分学校高三上学期联考数学模拟试题(适合新高考2卷使用)含解析
2024-2025学年贵州省部分学校高三上学期联考数学模拟试题（适合新高考2卷使用）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知线段是圆的一条长为的弦，则( )AB O 4⃗AO ⋅⃗AB =A. B. C. D. 468162.已知双曲线的焦距为，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为( )x 23−y 2m 2=14A. B. C. D.333633933.贵州省的安顺黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨、赤水丹霞、兴义万峰林、铜仁梵净山组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”，也是水乡风貌最具代表的城镇，它们也拥有着历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名在外这六大景区中，其中在贵阳市周围有处小吴和家人计划今年暑假从这个景.3.6点中挑选个去旅游，则只选一个贵阳市周围的概率为( )2A. B. C. D. 253515454.形如我们称为“二阶行列式”，规定运算，若在复平面上的一个点对∣a b c d ∣∣a b c d ∣=ad−bc A 应复数为，其中复数满足，则点在复平面内对应坐标为( )z z ∣z 1−i 1+2i 1∣=i A A. B. C. D. (3,2)(2,3)(−2,3)(3,−2)5.已知等差数列的前项和为，命题：“，”，命题：“”，则命题{a n }n S n p a 5>0a 6>0q S 7>0是命题的( )p q A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不y =xf(x)R f(x)[0,+∞)t 等式恒成立，则的取值范围是( )f(log 3t)+f(log 13t)>2f(2)t A.B.C. D.(0,19)∪(9,+∞)(0,13)∪(3,+∞)(9,+∞)(0,19)7.九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑中，《》.P−ABC 平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的PA ⊥ABC AB ⊥BC PA =AB =2BC =2C 3PAB 交线长为( )A.3π4B.2π4C.3π2D.2π28.已知函数，若在区间内恰好有个零ℎ(x)=cos 2x +asinx−12(a ≥12)ℎ(x)(0,nπ)(n ∈N ∗)2022点，则的取值可以为( )n A. B. C. D. 2025202410111348二、多选题：本题共3小题，共18分。
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题(柳州一模)(含答案)
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z =1+i ，则1z 的虚部为( )．A. −12B. 12C. −i2D. 12−i22.对于非零向量a ，b ，“a +b =0”是“a //b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:y 24−x 2m =1的一条渐近线方程为y =−2x ，则m =( )．A. 1B. 2C. 8D. 164.若过点(23,0)与圆x 2+y 2=4相切的两条直线的夹角为α，则cos α=( )．A.55B. 255C. 13D. 235.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程为( )．A. x 225−9y 2100=1(x ≠±5)B. x 225−3y 2100=1(x ≠±5)C. y 225−3x 2100=1(x ≠±5) D. y 225−9x 2100=1(x ≠±5)6.设函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)，已知f(x 1)=−1，f(x 2)=1，且|x 1−x 2|的最小值为π4，则ω=( )．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知正四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1的体积为763，AB =2，A 1B 1=1，则AA 1与底面ABCD 所成角的正切值为( )．A.32B.3 C. 23 D. 48.设函数f(x)=x ln x−(a +b)ln x ，若f(x)≥0，则5a +5b 的最小值为( )．A. 1B. 2C.5D. 25二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
浙江省金华市2024-2025学年高三上学期一模考试数学试题含答案
金华十校2024年11月高三模拟考试数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.2.选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦干净.3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22M x x =-<<，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （）A.{}1,0,1- B.{}1,0,1,2- C.{}1,0- D.{}0,12.在复平面中，若复数z 满足1i 1z =-，则z =（）A.2B.13.若,a b ∈R ，则a b =是22ab=的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，点()3,M m 在抛物线C 上，且4MF =，则抛物线C 的方程为（）A.2y x = B.22y x= C.24y x= D.26y x=5.已知πtan 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos αα⋅=（）A.14 B.34C.12-D.326.已知函数()32f x x ax bx c =+++的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（）A.2a =，1b =B.1a =-，2b =C.2a =-，1b = D.2a =，1b =-7.某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A 、B 可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，则（）A.选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数B.选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的男生人数C.选辩题A 的女生人数多于选辩题A 的男生人数D.选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的女生人数8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为42，P 为正方体内部一动点，球O 为正方体内切球，过点P 作直线与球O 交于M ，N 两点，若OMN △的面积最大值为4，则满足条件的P 点形成的几何体体积为（）A.32π3642π3C.162π3-D.322π3-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()3,4a = ，()4,b m =，则（）A.5a = B.min 1ab -=C.若a b ∥，则3m = D.若a b ⊥，则3m =10.设函数()sin5sin cos xf x x x=⋅，则（）A.()f x 的图像有对称轴B.()f x 是周期函数C.()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称11.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A 出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走n 次时恰好为第一次回到A 点的概率为()n P n +∈N ，恰好为第二次回到A 点的概率为()n Q n +∈N ，则（）A.329P =B.4127Q =C.2n ≥时，1n nP P +为定值 D.数列{}n Q 的最大项为427非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列{}n a 为等差数列，11a =，238a a +=，则6a =______.13.从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种14.已知双曲线C ：221x y -=，F 为右焦点，的直线l 与C 交于M ，N 两点，设点()11,M x y ，()22,N x y ，其中120x x >>，过M 且斜率为1-的直线与过N 且斜率为1的直线交于点T ，直线TF 交C于A ，B 两点，且点T 为线段AB 的中点，则点T 的坐标为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）记ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos c B A -=.（1）求B ；（2）若ABC △为等腰三角形且腰长为2，求ABC △的底边长.16.（本题满分15分）如图，三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，AD DB DC BC ===，E 为AB 中点，M 为DE 中点，N 为DC 中点.（1）求证：MN ∥平面ABC ；（2）求直线DE 与平面ABC 所成角的正弦值.17.（本题满分15分）已知函数()()21ln 12f x x a x a x =-+-，()0a >.（1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若()212f x a ≥-，求a 的取值范围.18.（本题满分17分）已知()2,0A 和31,2B ⎛ ⎝⎭为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上两点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）过点()1,0-的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点（D ，E 不在x 轴上）.（i ）若ADE △l 的方程；（ii ）直线AD 和AE 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值.19.（本题满分17分）已知正n 边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换T ，其将正n 边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：记n 个顶点上的n 个数顺时针排列依次为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，则()112i i i a a T a -++=，i 为整数，21i n ≤≤-，()212n a a T a +=，()112n n a a T a -+=.设()()()()ni i T a T T T a =⋅⋅⋅（共n 个T ，表示n 次变换）（1）若4n =，i a i =，14i ≤≤，求()21Ta ，()22T a ，()23T a ，()24T a ；（2）对于正n 边形，若()i i T a a =，1i n ≤≤，证明：121n n a a a a -==⋅⋅⋅==；（3）设42n k =+，k *∈N ，{}{}12,,,1,2,,n a a a n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，证明：存在m *∈N ，使得()()1,2,,mi Ta i n =⋅⋅⋅不全为整数.金华十校2024年11月高三模拟考试数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ADBCBCAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ABABDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
浙江省温州市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案
浙江省温州2024届高三第一次模拟考试数学学科（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数1i1i +-的虚部为（）A.i - B.iC.0D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-，所以虚部为1.故选：D ．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.5【答案】B 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,∞∞-⋃+C.[]4,6- D.(][),46,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心()2,3-到直线:2l y x b =+的距离≤，解得212b ≤≤，故b 的取值范围是[]2,12.故选：A4.三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且3AB =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32π3D.12π【答案】B 【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H 为ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D 为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O ，则点O 为三棱锥外接球的球心，因为PA ⊥平面ABC ，且ABC 为等边三角形，2,3PA AB ==，所以四边形AHOD 为矩形，3AH AB ==112OH PA ==，所以2OA ==，即三棱锥外接球的半径2R =，则该三棱锥外接球的表面积为24π16πR =.故选：B5.已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，()()1123(1)1121211110n n n nn n n n a a q a q aT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n nn n n n nT a q a q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11na q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】A 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间，可得3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+≤-≤∈Z ，且0ω>，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++≤≤∈Z .由题意可知：()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ43π2π3π44k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得()9186433k k k ω-+≤≤+∈Z .又0ω>，于是103ω<≤.故选：A .7.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，=2AB ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（）A.⎡⎤⎣⎦B.⎡⎣C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP ED AF λμ=+ 得到3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，从而得到2π4αλμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由此可求得2λμ-的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则()0,0A ，()1,0E ，()0,1D ，()1,1C ，()2,0B ，()ππcos ,sin 22P ααα⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则31,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()cos ,sin AP αα=，()1,1ED =- ，31,22AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AP ED AF λμ=+ ，∴()()3131cos ,sin 1,1,,2222ααλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，∴()13sin cos 4λαα=-，()1cos sin 2μαα=+，∴()()11π23sin cos cos sin sin cos 224λμααααααα⎛⎫-=--+=-=- ⎪⎝⎭，∵ππ22α-≤≤，∴3πππ444α-≤-≤，∴π1sin 42α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π14α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故21λμ≤-≤，即()2λμ⎡⎤⎣⎦-∈.故选：A.8.已知lg4lg5lg610,9,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数分析可知()f x 在[]4,6上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为lg4lg5lg610,9,8a b c ===，两边取对数得：lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，令()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，则()()()()()()lg 1414lg 14lg lg 1ln1014ln10ln1014x x x x x x f x x x x x ⎡⎤----⋅=-=⎢⎥-⋅-⎢⎥⎣⎦'，令()lg g x x x =⋅，则()()()()1lg lg lg 0,1,ln10g x x x x x x x '=⋅+⋅=+>∈''+∞，可知()g x 在()1,+∞上单调递增，因为46x ≤≤，则81410x ≤-≤，可知14x x ->恒成立，则()()14g x g x ->，即()()140g x g x -->，可得()0f x ¢>，则()()lg lg 14f x x x =⋅-在[]4,6上单调递增，可得()()()456f f f <<，可得lg4lg10lg5lg9lg6lg8⋅<⋅<⋅，即lg lg lg a b c <<，又因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以a b c <<.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A.1x <B.20.50.5log log x x >C.233x x< D.()()11x x x x -=-【答案】BC 【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10xx ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC10.设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1(3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（）A.A ，B 相互独立B.5()6P A B +=C.()13P B A =D.()()P A B P B A≠【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =-==-=，事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=，所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +=+=+-=，即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +-=⇒==，故A 正确；则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B+=+-=+-⋅1313534346=+-⨯=，故B 正确；由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误；()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B --====，()()()()()()21336243P BA P A P AB P B A P A P A --====即()()P A B P B A ≠，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥-P ABC 中，ACBC ⊥，4AC BC ==，D 是棱AC 的中点，E 是棱AB 上一点，2PD PE ==，AC ⊥平面PDE ，则（）A.//DE 平面PBCB.平面PAC ⊥平面PDEC.点P 到底面ABC 的距离为2D.二面角D PB E --的正弦值为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取DE 的中点O ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，利用线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABC ，求出PO 可判断C ；以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面PBD 、平面PBD 的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D ．【详解】对于A ，因为AC ⊥平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC DE ⊥．因为AC BC ⊥，且直线,,AC BC DE ⊂平面ABC ，所以//DE BC ．因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ，A 正确；对于B ，AC ⊥平面PDE ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PDE ⊥平面PAC ，B 正确；对于C ，取DE 的中点O ，连接PO ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，因为PD PE =，所以PO DE ⊥．因为AC ⊥平面PDE ，PO ⊂平面PDE ，所以AC PO ⊥，因为DE AC D ⋂=，DE ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，PO =，C 错误；对于D ，如图，以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，因为D 是AC 的中点，4AC BC ==，所以()()()()0,0,0,3,2,0,1,0,0,1,0,0O B E D -，因为2PD PE ==，所以PO =，即(P ，所以()((()4,2,0,1,0,,1,0,,2,2,0DB DP EP EB ===-=，设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114200x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =111y z =-=-，所以平面PBD的一个法向量)1m =--，设平面PBE 的一个法向量()222,,n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222200x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得221y z ==，所以平面PBE的一个法向量)n =，所以1cos ,7m nm n m n-⨯-⋅== ，设二面角D PB E--为[],0,πθθ∈，所以21sin 7θ==，所以二面角D PB E --的正弦值为7，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线():2200l x ay b a -+=≠与C 的准线1l ，交于点A ．已知l 与C 相切，切点为B ，直线BF 与C 的一个交点为D ，则（）A.点(),a b 在C 上B.BAF AFB∠<∠C.以BF 为直径的圆与1l 相离 D.直线AD 与C 相切【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，联立直线l 与抛物线方程，根据根的判别式得到点(),b a 在C 上；B 选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出以BF 为直径的圆与y 轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线BD 方程，与抛物线方程联立求出D 点坐标，从而求出直线AD 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A ，联立直线l 与C 的方程，消去x 得2240y ay b -+=，因为l 与C 相切，所以2Δ4160a b =-=，即24a b =，所以点(),b a 在C 上，A 错误．对于B ，过点B 作BM 垂直于C 的准线，垂足为M ，由抛物线定义知BF BM =，因为0a ≠，所以AB BM >，所以在ABF △中，AB BF >，由大边对大角得BAFAFB ∠<∠，B 正确．对于C ，()1,0F ，由A 选项l 与C 相切，切点为B ，可得(),B b a ，其中24a b =，则BF 的中点坐标为1,22b a +⎛⎫⎪⎝⎭，且()221BF b a =-+()()22211412b a b bb -+-++==，由于半径等于以BF 为直径的圆的圆心横坐标，故以BF 为直径的圆与y 轴相切，所以与1l 相离，C 正确；对于D ，设直线BD 方程为11b x y a -=+，与C 联立得()24140b y y a ---=，所以4D a y ⋅=-，解得4D y a=-，则21144111D D b b x y a a a a b --⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭，因为221,b A a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AD 方程为22b y x a a=--，联立直线AD 与曲线C 的方程得2240by ay ++=，因为2Δ4160a b '=-=，所以直线AD 与C 相切，D 正确．故选：BCD ．【点睛】抛物线的相关结论，22y px =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与y 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切；22x py =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与x 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以[3,1]-是(],a -∞的一个真子集，则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.14.已知正项数列{}n a 满足121n n n a a n +=+，则106a a =_______.【答案】485【解析】【分析】由递推公式可得121n n a n a n +=+，再由累乘法即可求得结果.【详解】由121n n n a a n +=+可得121n na n a n +=+，由累乘可得9101879870662928272648918171615a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=++++.故答案为：48515.直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，AC BC ⊥，6AC =，8BC =，14AA =．若平面α将该直三棱柱111ABC A B C -截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】104π【解析】【分析】α可能是AC 的中垂面，BC 的中垂面，1AA 的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则222238489R =++=或222264468R =++=或2222682104R =++=，所以2max 4π104πS R ==．故答案为：104π16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．【答案】1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形为()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成立，故()10x F a->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1e e a ≥，得到答案.【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，即()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，令()ln ,0F t t t t =>，则()()11x F aF x -≥-恒成立，因为()1ln F t t ='+，令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故()10x F a ->，当(]10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()11x F a F x -≥-恒成立，当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()1e ,t ∞-∈+上单调递增，由()()11x F a F x -≥-得()1ln 11ln 1x x a x a x --≥-⇒≥-，令11u x =->，()ln u g u u =，则()21ln u g u u -'=，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()ln u g u u =单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u g u u =单调递减，故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1e e eg ==，故1ln e a ≥，即1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，从而构造()ln ,0F t t t t =>进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +-=，a =cos 3A =.（1）求角B 及边b 的值；（2）求sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3B =，94b =（2【解析】【分析】（1）由余弦定理得到π3B =，求出2sin 3A =，由正弦定理得到94b =；（2）由二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为()0,πA ∈，cos 3A =，所以2sin 3A ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，即232=94b =；【小问2详解】由（1）得2sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，2251cos 22cos 12139A A ⎛=-=⨯-= ⎝⎭，8sin(2)sin 2cos cos 2s 11929i 1n 2A B A B A B -=-=⨯-⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n n a b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得20232024n T >成立的n 的最小值．【答案】（1）21n n a =-；（2）10.【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系及递推式可得112(1)n n a a -+=+，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求n T ，由不等式能成立及指数函数性质求得10n ≥，即可得结果.【小问1详解】当2n ≥时，111(2)(21)2()1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，所以121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，而1111211a S a a ==-⇒=，所以112a +=，故{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12nn a +=⇒21n n a =-.【小问2详解】由1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a ++++===-----，所以111111111111337715212121n n n n T ++=-+-+-++-=---- ，要使1202324112102n n T +>=--，即111202520211422n n ++>-<⇒，由1011220252<<且*N n ∈，则11110n n +≥⇒≥.所以使得20232024n T >成立的n 的最小值为10.19.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =．（1）求证：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得EF ∥平面OBC ，再由线面平行的性质可得EF ∥11B C ，由等腰三角形的性质可得AH ⊥EF ，从而可得AH ⊥11B C ，再由已知可得OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ，则由已知条件可证得11A B ⊥平面1OC N ，从而可得1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，过E 作EM ⊥1OB 于M ，则可得EM ∥OA ，设1OB x =，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得x ，在11R t OA B 中可求出11A B 的长，从而可求得ON ，进而可直角三角形1OC N 中可求得结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面OBC ，BC ⊂平面OBC ，所以EF ∥平面OBC ，因为EF ⊂平面111A B C ，平面111A B C Ç平面11OBC B C =，所以EF ∥11B C ．因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以11,22AE AB AF AC ==，因为AB AC =，所以AE AF =，因为H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，所以AH ⊥11B C ．因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB OC O = ，所以OA ⊥平面OBC ，因为11B C ⊂平面OBC ，所以OA ⊥11B C ，因为OA AH A= 因此11B C ⊥面OAH ．（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ．因为111111,,OC OA OC OB OA OB O ⊥⊥= ，因为1OC ⊥平面11OA B ，因为11A B ⊂平面11OA B ，所以111OC A B ⊥，因为1ON OC O = ，所以11A B ⊥平面1OC N ，因为1C N ⊂平面1OC N ，所以1C N ⊥11A B，所以1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角．过E 作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则111,122EM OA OM OB ====．设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，则13OC =，在11R t OA B中，11A B ==则1111OA OB ON A B ⋅==．所以在1R t ONC中，11tan OC ONC ON ∠==故二面角111O A B C --为20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）23（2）512【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件1A ，取到乙盒子为事件2A ，取到丙盒子为事件3A ，取到黑球为事件B ：由全概率公式得1122331815132()()(|)()(|)()(|)31236363P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，故摸出的球是黑球的概率是23.【小问2详解】由条件概率公式得2215()536(|)2()123P A B P A B P B ⨯===，故此球属于乙箱子的概率是51221.设椭圆(222:109x y C b b +=<<，P 是C 上一个动点，点()1,0A ，PA长的最小值为2．（1）求b 的值：（2）设过点A 且斜率不为0的直线l 交C 于,B D 两点，,E F 分别为C 的左、右顶点，直线BE 和直线DF 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点P 坐标，并求出PA 长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设出点,B D 的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，设焦距为2(0)c c >，设00(,)P x y ，则222000||(1),[3,3]PA x y x =-+∈-，而22200(19x y b =-，则222200||(1)219b PA x x b =--++=222222*********()199c c x x b x b c c -++=-++-，而0b <<，则2(9(3,9))b -∈，即2(3,9)c ∈，因此29(1,3)c∈，由0[3,3]x ∈-，得当029x c =时，222min 295||1(22PA b c =+-==，即229392b b -=-，化简得42221450b b -+=，又0b <<，解得23b =，所以b=【小问2详解】由（1）知，椭圆C 的方程为22193x y +=，点(3,0),(3,0)E F -，设()()1122,,,B x y D x y ，则121212,33y y k k x x ==+-，即12k k =121212213(3)3(3)y x y x x y y x --⋅=++，斜率不为0的直线l 过点(1,0)A ，设方程为1x my =+，则112121221122(13)2(13)4k y my my y y k y my my y y +--==+++，由22139x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得22(3)280m y my ++-=，显然0∆>，则12122228,33m y y y y m m --+==++，即有2211)4(my y y y =+，因此()()121112112212212212422241444482y y y k my y y y y k my y y y y y y y +--+====++++，所以12k k为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知()3ln (1)f x x k x =--.（1）若过点(2,2)作曲线()y f x =的切线，切线的斜率为2，求k 的值；（2）当[1,3]x ∈时，讨论函数2π()()cos π2g x f x x =-的零点个数.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得()g x '在[1,3]内单调递减，分类讨论判断()g x 在[1,3]内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】由题意可得：3()f x k x'=-，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，则切线斜率为003()2k f x k x '==-=，即032k x =-，可得切线方程为()()0003ln 12y x k x x x ---=-⎡⎤⎣⎦，将(2,2)，032k x =-代入可得()()0000323ln 2122x x x x ⎡⎤⎛⎫----=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理得001ln 10x x -+=，因为1ln ,y x y x ==-在()0,∞+内单调递增，则1ln 1y x x=-+在定义域()0,∞+内单调递增，且当1x =时，0y =，可知关于0x 的方程001ln 10x x -+=的根为1，即01x =，所以0321k x =-=.【小问2详解】因为2π2π()()cos 3ln (1)cos π2π2g x f x x x k x =-=---，则3π()sin 2g x k x x '=-+，可知3y x=在[1,3]内单调递减，且[1,3]x ∈，则ππ3π,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，可知πsin 2y x =在[1,3]内单调递减，所以()g x '在[1,3]内单调递减，且(1)4,(3)g k g k ''=-=-，（i ）若0k -≥，即0k ≤时，则()()30g x g ''≥≥在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递增，则()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅱ）若40k -≤，即4k ≥时，则()()10g x g ''≤≤在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递减，则()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅲ）若400k k ->⎧⎨-<⎩，即04k <<时，则()g x '在()1,3内存在唯一零点()1,3m ∈，可知当1x m ≤<时，()0g x '>；当3m x <≤时，()0g x '<；则()g x 在[)1,m 内单调递增，在(],3m 内单调递减，且()10g =，可知()()10g m g >=，可知()g x 在[)1,m 内有且仅有1个零点，且()33ln 32g k =-，①当()33ln 320g k =-≤，即3ln 342k ≤<时，则()g x 在(],3m 内有且仅有1个零点；②当()33ln 320g k =->，即30ln 32k <<时，则()g x 在(],3m 内没有零点；综上所述：若[)3,ln 34,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；若3ln3,42k⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g x在[1,3]内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．。
湖北省武汉市2024届高三下学期5月模拟训练数学试卷含答案
武汉市2024届高三年级五月模拟训练试题数学试卷（答案在最后）武汉市教育科学研究院命制2024.5.21本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合[0,]A a =，(2,3)B =，若A B =∅ ，则（）A.02a <≤ B.02a << C.03a << D.03a <≤2.已知向量a = ，(b = ，则a 在b上的投影向量的模为（）B.1C.0D.23.设抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为（）A.1B.12C.14D.184.已知一组数据1，2，3，4，x 的上四分位数是x ，则x 的取值范围为（）A.{3}B.[2,3]C.[3,4]D.{4}5.若1021001210(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++ ，则2a =（）A.180B.180- C.90- D.906.已知菱形ABCD ，π3DAB ∠=，将DAC △沿对角线AC 折起，使以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A.35B.32C.34D.347.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，1()2P AB =B.当2n =时，事件A 与事件B 不独立C.当3n =时，7()8P A B +=D.当3n =时，事件A 与事件B 不独立8.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足22c a ab -=，2c =，则ABC △面积取最大值时，cos C =（）A.12B.14+ C.22D.24二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
高三数学高考模拟试题及答案
高三数学高考模拟试题及答案第一部分选择题1. 已知函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$，则 $f(x)$ 的极限为（）A. $\dfrac{1}{2}$B. $-2$C. $+\infty$D. $-\infty$2. 如图，对数函数 $y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$ 的图像经过两点 $P(4,3)$，$Q(8,y)$。
则 $y=$（）A. 3B. 5C. 6D. 73. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$BC=\dfrac{5}{2}$，$\angle C=90^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$E$ 为 $AC$ 上一点，$BE$ 延长线交 $AD$ 于点 $F$。
则 $EF=$（）A. $\dfrac{5}{3}$B. $\dfrac{25}{24}$C. $\dfrac{7}{4}$D. $\dfrac{17}{8}$4. 已知函数 $f(x)=\dfrac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}$，则$f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=$（）A. $1+f(x)$B. $1-f(x)$C. $f(x)-1$D. $-1-f(x)$5. 已知 $x>2$，$\log_2{(2x-3)}+\log_2{(x+1)}=4$，则 $x=$（）A. 3B. 5C. 7D. 9答案：1. D2. B3. B4. A5. C第二部分简答题1. 证明 $x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$ 为二次函数 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$ 的非负性。
2. 已知 $a^2+b^2=1$，求 $\dfrac{5a+12b}{13}$ 的最大值。
3. 在动态规划中，解决问题的一般步骤是什么？4. 概率统计中，什么是贝叶斯公式？其应用场景有哪些？5. 对于某个事件的先验概率为 $p(A)$，我们观测到了该事件发生，且得到了一个新的条件概率，那么它的后验概率为什么？答案：1. 将二次函数化为顶点式 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$，则$y\geqslant 0$。
四川省成都市2023-2024学年高三下学期模拟测试数学试题含答案
2023-2024年度高三模拟测试数学（答案在最后）考试时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}241,S y y s s s +==-+∈N ，{}23,T y y tt +==-∈N ，则（）A.S T = B.S T⊆ C.S T⊇ D.S T ⋂=∅【答案】C 【解析】【分析】由()()2232421y t t t =-=+-++结合s +∈N ，t +∈N 即可得.【详解】()()2232421y t t t =-=+-++，故对t +∀∈N ，都有2s t =+，使22341t s s -=-+成立，又当2s =时，有2413s s -+=-，此时，不存在t +∈N 使233t -=-，故T S ⊆，即S T ⊇.故选：C.2.命题“2x y x y ++-≤”是“1x ≤，且1y ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式和充分条件必要条件的定义即可判断.【详解】若2x y x y ++-≤，22x y x y x y x y x ++-≤++-≤=，即1x ≤，22x y x y x y x y y +-+≤++-≤=，即1y ≤，则充分性成立；若1x ≤且1y ≤，当()()0x y x y +-≥时，22x y x y x y x y x +++-==-+≤，当()()0x y x y +-<时，22x y x y x y x y y ++++==--≤，则必要性成立；综上所述：“2x y x y ++-≤”是“1x ≤，且1y ≤”的充分必要条件.故选：C.3.若13i z =+，则22z z z=（）A.13i +B.13i -C.D.10【答案】A 【解析】【分析】根据复数四则运算和乘方运算以及共轭复数的定义即可.【详解】()2213i 86i z =+=-+，21910z =+=，()()2286i 13i 13i10z z z-+-==+，故选：A.4.函数22tan ()1tan xf x x=-的最小正周期是（）A.π4B.π2C.πD.2π【答案】C 【解析】【分析】借助正切函数的二倍角公式可得()tan 2f x x =，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得.【详解】22tan ()tan 21tan x f x x x==-，()ππ2x k k ≠+∈Z ，又tan 1x ≠±，可得()ππ42kx k ≠+∈Z ，即()tan 2f x x =，且()ππ2x k k ≠+∈Z 、()ππ42kx k ≠+∈Z ，故πT =.故选：C.5.已知抛物线²4y x =的焦点为F ，其上有两点,A B ，若AB 的中点为M ，满足MF 的斜率等于1，则BF 的最大值是（）A.7 B.8C.5+D.10【答案】D 【解析】【分析】设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，利用韦达定理得出AB 中点M 的坐标，再根据条件得出222k k b k+-=-，再利用求根公式得出22211)x k=，再分1k >-或1k <两种情况，通过构造函数，利用函数单调性即可解决问题.【详解】由题知，直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，由24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消y 得到222(24)0k x kb x b +-+=，由222(24)40kb k b ∆=-->，得到1kb <①，由韦达定理知，212122224,kb b x x x x k k -+=-=，所以12124()2y y k x x b k +=++=，又由题知00221211y k kb x k ==----，得到222k k b k+-=-②，由①②得到2210k k +->，即1k >或1k <.由抛物线定义知，21BF x =+，又由222(24)0k x kb x b +-+=，得到x =取2x =，将222k k b k +-=-代入并化简得到222221)k k x k k++==，当1k >-，则2111k k=，且101k <<，令(01)y x x =<<，则11y '==，由0y '=，得到220x x -=，解得2x =或0x =（舍），当(0,1]x ∈时，0'>y ，当(1,2)x ∈时，111y '===-，由(1,2)x ∈时，22(1,2)21x x ∈-++，221(0,1)21x x -+∈-++，所以(1,2)x ∈时，0'>y ，即有(0,2)x ∈时，0'>y ，当1)x ∈时，1y '=，22(2,)21x x ∈+∞-++，所以221(1,)21x x -+∈+∞-++，得到0'<y ，所以当2x =时，(0)y x x =>有最大值为3，所以2x 的最大值为9，得到2110BF x =+≤，当1k <-，则11k k=，且110k -<<，令(10)y x x =-<，则1111y '====-，因为10x <，所以22(2,)21x x ∈+∞-++，得到221(1,)21x x -+∈+∞-++，所以，0'<y 在(1x ∈-上恒成立，此时(1,1y ∈--，则2(3x ∈-，故212BF x =+<，综上，10BF ≤，故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于找出k 的范围后，用k 表示出2x ，即222211)k k x k+-+=，再根据k 的范围，构造相应的函数，借助函数的单调性来解决问题.6.已知,a b ÎR ，函数11(),,22f x x ax b x x ⎡⎤=+-+∈⎢⎥⎣⎦的最大值为f M ，则f M 的最小值是（）A.18B.14C.12D.25【答案】B 【解析】【分析】首先由题得1max (1),(2),()2f M f f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，再得到(1)2f M f a b ≥=-+，2211(253323f M f a b ≥=--，111(2)425336f M f a b ≥=--，再将以上三式两边相加可得1155222542523636f M a b a b a b ≥-++--+--≥--，即122f M ≥.【详解】设max ()f M f x =，则1max (1),(2),(2f M f f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由于1511(252222f M f a b a b ≥=-+=--，(1)2f M f a b ≥=-+，1(2)4252f M f a b ≥=--，则(1)2f M f a b ≥=-+，2211()253323f M f a b ≥=--，111(2)425336f M f a b ≥=--，所以将以上三式两边相加可得1155222542523636f M a b a b a b ≥-++--+--≥--，即122f M ≥，所以14f M ≥.故选：B【点睛】(1)本题主要考查函数最值的求法，考查绝对值三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是得到(1)2f M f a b ≥=-+，2211(253323f M f a b ≥=--，111(2)425336f M f a b ≥=--，其二是利用三角不等式求得1155222542523636f M a b a b a b ≥-++--+--≥--，即122f M ≥.7.半径为R 的光滑半球形碗中放置着4个半径为r 的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr的最大值是（）A.1+B.1+C.1+D.1+【答案】D 【解析】【分析】由题意画出草图，求出球心坐标，分析受力情况，从而得出0≤，由此即可得解.【详解】以碗的大圆圆心，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：上面球的球心、下面4个球之一的一个球心分别为()()12,0,O O r r ，以球2O 为对象分析它的受力情况：球1O给它的压力为4mg F = ，它自身受到的重力为()0,,0G mg =，由对称性可知碗给它的支持力为5,,4mg N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0≤，解得(1R r ≤+，所以Rr的最大值是1.故选：D.【点睛】关键点睛：关键是准确分析受力情况，列出不等式，由此即可顺利得解.8.已知a ，b ，c 满足()5log 23b ba =+，()3log 52bb c =-，则（）A.a c b c -≥-，a b b c -≥-B.a c b c -≥-，a b b c -≤-C.a c b c -≤-，a b b c -≥-D.a c b c -≤-，a b b c-≤-【答案】B 【解析】【分析】构造函数23()55x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用其单调性，分1b >，1b =，1b <讨论即可.【详解】由题意得520bb->，即52bb>，则2015b⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则0b >，令23(),(1)155x xf x f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据减函数加减函数为减函数的结论知：()f x 在R 上单调递减，当1b >时，可得23155bb⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，235b b b ∴+<，两边同取以5为底的对数得()55log 2og 53l b b b b a =+<=，对235b b b +<通过移项得523b b b ->，两边同取以3为底的对数得()3log 52b bb c =->，所以c b a >>，所以b a -<-，所以c b c a -<-，且0,0c b c a ->->，故此时，a c b c ->-，故C,D 选项错误，2b =时，533371log 13log 21log 212log ,132a c c b ⎛⎫==-=-=∈ ⎪⎝⎭，，，552512log 13log 0,,132b a c b b a ⎛⎫-=-=∈∴->- ⎪⎝⎭，且0,0c b c a ->->，故A 错误,下面严格证明当1b >时，0b a c b <-<-，()55551log 23log log 232355b b b b b b b b a b ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=-+== ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3352log 52log 33b bb bc b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦根据函数()5233x xh x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递增，且()11h =，则当1b >时，有52133bb⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，230155bb⎛⎫⎛⎫<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭< ，112355bb∴<⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明：552233b b bb b b-<+，1b >要证：552233b b bb b b-<+，即证：()()152352bb bbb +-<，等价于证明4610b b b <+，即证：23155bb⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此式开头已证明，对552233b b bb b b-<+，左边同除分子分母同除5b ，右边分子分母同除3b 得152332355bbb b⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则553152520log log log 33332355b b b b b bb ac b ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪<-=<-<-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1b >时，0b a c b <-<-，则a b b c-<-当01b <<时，可得23155b b⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，235b b b ∴+>，两边同取以5为底的对数得()55log 2og 53l b b b b a =+>=，对235b b b +>通过移项得523b b b -<，两边同取以3为底的对数得()3log 52b bb c =-<，所以c b a <<，所以b a ->-，所以c b c a ->-，且0,0c b c a -<-<，故0b c a c <-<-，故此时，a c b c ->-，下面严格证明当01b <<时，0c b b a -<-<，当01b <<时，根据函数23(),(1)155x xf x f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且其在R 上单调递减，可知23155b b⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则51log 02355b b b a ⎛⎫⎪ ⎪-=< ⎪⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1012355b b <<⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数函数()5233xxh x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递增，且()11h =，则当01b <<时，520133bb⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明：552,(1)233b b bb b bb -><+，要证：552233b b bb b b->+即证：()()152352bb bbb >+-，等价于证4610b b b +>，即证：23155bb⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此式已证明，对552233b b b b b b->+，左边同除分子分母同除5b ，右边分子分母同除3b得152332355b bb b⎛⎫⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则35552521log log log 033332355b b b b b b c b b a ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-<-<-=<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故01b <<时，0c b b a -<-<，则a b b c-<-当1b =时，53log 51,log 31a c ====，则||||a c b c -=-，||||a b b c -=-，综上||||a c b c -≥-，a b b c -≤-，故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数23()55x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用其单调性及(1)1f =，从而得到,,a b c 之间的大小关系，同时需要先求出b 的范围，然后再对b 进行分类讨论.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知ABC 中，4AB =，3A π=．下列说法中正确的是（）A.若ABC 是钝角三角形，则02AC <<B.若ABC是锐角三角形，则BC <<C.AC BC的最大值是3D.2AC BC +的最小值是2+【答案】BC 【解析】【分析】根据B 为钝角时即可判断A ，根据正弦定理结合三角函数的性质即可判断BCD.【详解】对于A,若B 为钝角，则AC AB >,故4AC >，A 错误，对于B,由正弦定理可得sin sin sin sin sin BC AB AB A BC A C C C=⇒==，由于ABC 是锐角三角形，所以π02C <<且2ππ032C <-<，故ππ62C <<，故1sin ,12C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而(sin BC C=∈，故B 正确，对于C,sin sin AC B B BC A ==,由于2π03B <<，所以sin 1B =时，取最大值，故最大值为3AC BC ==，C 正确，对于D，由正弦定理可得4sin 4sin ,sin sin sin sin sin sin BC AB AC A BBC AC A C B C C C==⇒===)2π4sin cos 24sin 2sin 4322sin sin sin sin sin sin sin C C B C C AC BC C C C C C C C⎛⎫- ⎪++⎝⎭+=+=+=++当π2C =时，)cos 22222sin C AC BC C ++=+=+<+D 错误，故选：BC10.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足128a a +=，1211n n a n a n +-=+.则（）A.5640a =B.{}n a 是递增数列C.1(1)24n n S n +≥-⋅+ D.1(2)24n n S n +≥-⋅+【答案】ABD 【解析】【分析】累乘法可计算出数列{}n a 的通项公式判断A ，利用数列单调性定义判断B ，举反例判断C ，利用错位相减法求和判断D.【详解】由1211n n a n a n +-=+可得：23213a a =，34224a a =，45235a a =，L ，32242n n a n a n ---=-，21231n n a n a n ---=-，122n n a n a n--=，则当2n ≥时，()332124345212222221234322345211n n n n n n a a a a a a n n n a a a a a a n n n n n --------⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--- ，化简得()22221n n a a n n -=-，又128a a +=，1220a a =，则120,8a a ==，所以()12(2)nn a n n n =-⋅≥，又1n =时也成立，所以()12nn a n n =-⋅，所以55452640a =⨯⨯=，故A 正确；因为()()()111212320n n n n n a a n n n n n n ++-=+⋅--⋅=+>，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；令()()()123102226221212n n n S n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅-⋅+-⋅⋅ ，则()()()2341202226221212nn n S n n n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅-⋅+-⋅⋅ ，两式相减得()()23412222321212n n n S n n n +⎡⎤-=⨯+⨯+⨯++---⋅⋅⎣⎦ ，所以()()23412222321212n n n S n n n +⎡⎤=-⨯+⨯+⨯++-+-⋅⋅⎣⎦，记()2342223212nn T n =+⨯+⨯++- ，则()()34512222322212nn n T n n +=+⨯+⨯++-+- ，两式相减得()()()2123451112222222121222412n nn n n n T n n n ++++--=+++++--=--=--- ，所以()1224n n T n +=-+，所以()()()11212224123428n n n n S n n n n n +++⎡⎤=-⨯-++-⋅⋅=-+-⎣⎦，11110(11)244S a +==<-⋅+=，不满足1(1)24n n S n +≥-⋅+，故C 错误；因为()121(2)2446212n n n S n n n ++--⋅-=-+-，且()(){}()22212114162124621220n n n n n n n n +++⎡⎤⎡⎤+-++---+-=>⎣⎦⎣⎦，所以(){}2146212n nn +-+-是递增数列，所以121(2)24(12)240n n S n S +--⋅-≥--⋅-=，即1(2)24n n S n +≥-⋅+，故D 正确.故选：ABD11.设12,,,n P P P ⋯为椭圆22:143x y C +=上逆时针排列的n 个点，F 为椭圆C 的左焦点，且线段12,,,n FP FP FP …把周角分为n 等份．则（）A.当4n =时，12FPP面积的取值范围是8181,4949⎡-+⎢⎥⎣⎦B.当4n =时，四边形1234PP P P 的面积最大值为6C.当6n =时，26P P 与1FP 交于点M ，则FM 的取值范围是3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.对n +∀∈N ，且2n ≥，都有1123ni i n FP ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】以点F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，应用焦半径公式21cos (1)e a e θρ+=-；选项A ，当4n =时，12FPP 面积为1212ρρ，代入焦半径公式即可求最值；选项B ，举出反例，当四边形1234PP P P 恰为椭圆的顶点构成的四边形时推翻结论；选项C ，因为2626FP P FP M FP M S S S =+ ，应用三角形的面积公式得到26111||FM ρρ=+，代入焦半径公式即可；选项D ，112(1)π2cos[]13n n i i ii nFP θ==--+=∑∑，求和即可.【详解】以点F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，且线段12,,,n FP FP FP …把周角分为n 等份，设11(,)P ρθ，则22332π4π(,),(,)P P n n ρθρθ++，……，2(1)π(,n n n P nρθ-+，其中n +∈N ，且2n ≥，极坐标系下，若椭圆2222:1(0),x y C a b c a b+=>>=对于点(,)P ρθ，则其焦半径公式是：21cos (1)e a e θρ+=-，其中ce a=，所以211(1)||1cos a e FP e ρθ-==-，222(1)||2π1cos()a e FP e nρθ-==-+，……，2(1)||2(1)π1cos[]n n a e FP n e nρθ-==--+，对n +∀∈N ，且2n ≥，且椭圆方程为：22:143x y C +=，12,1,2a b c e ====，有21112[1(]32||12cos 1cos 2FP ρθθ⨯-===--，同理223||2π2cos()FP nρθ==-+，……，3||2(1)π2cos[]n n FP n nρθ==--+，对于选项A ，当4n =时，此时，椭圆22:143x y C +=的弦13PP 和弦24P P 过焦点F ，且互相垂直，113||2cos FP ρθ==-，2233||π2sin 2cos()2FP ρθθ===+-+，12FPP 面积为：1212ρρ=133922cos 2sin 84(sin cos )2sin cos θθθθθθ⨯⨯=-++--，1212ρρ=29(sin cos )4(sin cos )7θθθθ=-+-+，构造函数247y t t =++，且πsin cos 2π4t θθθθ=-=-≤<，得[t ∈，显然函数247y t t =++在区间[上单调递增，从而99y -≤≤+所以128118149249ρρ-+≤≤≤，故12FPP 面积的取值范围是8136281362,4949⎡-+⎢⎣⎦，选项A 正确；对于选项B ，4n =，当弦13PP 和弦24P P 所在直线中有一条斜率不存在且另一条斜率为零时，此时四边形1234PP P P 恰为椭圆的顶点构成的四边形，面积为：11222422a b ab ⋅⋅==⨯⨯=，由于6>，四边形1234PP P P 的面积最大值为6不正确，选项B 错误；对于选项C ，当6n =时，11(,)P ρθ，22π(,)3P ρθ+，635π(,3P ρθ+，且椭圆方程为：22:143x y C +=，此时113||2cos FP ρθ==-，223||π2cos()3FP ρθ==-+，663||5π2cos()3FP ρθ==-+，因为2626FP P FP M FP M S S S =+ ，其中26262πππ,,333P FP P FM MFP ∠=∠=∠=，则242612π1π1πsin||sin ||sin 232323FM FM ρρρρ=⋅⋅+⋅⋅，得2626()||FM ρρρρ=+⋅，得到26π5π2cos()2cos()11133||33FM θθρρ-+-+=+=+2ππcos()cos()144cos 33||3333FM θθθ+-+=+=-，其中02πθ≤<，可得151||3FM ≤≤，FM 的取值范围是3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C 正确；对于选项D ，有：1112(1)π2cos[]1212(1)πcos[]333nnn i i i i i n i n FP nθθ===--+-==-⋅+∑∑∑，若在单位圆上取等分圆周的逆时针排列的n 个点：设2(1)π2(1)π(cos[1,2,1)i i i T i n n nθθ--++=-…,，这n 个点定构成正n 边形，它的中心恰为坐标原点，原点的横坐标为零，可得：12(1)πcos()0ni i nnθ=-+=∑，即12(1)πcos()0ni i nθ=-+=∑，所以1123ni i n FP ==∑，故选项D 正确；故选：ACD.12.已知,a b ÎR ，O 为坐标原点，函数()222()f x a x b x a b =++--+．下列说法中正确的是（）A.当1a b =+时，若()f x x ≥的解集是(],2-∞，则0b <B.当2a b =+时，若2()f x x =有5个不同实根，则3a >+C.当a b +=时，若a b >，曲线()y f x =与半径为4的圆O 有且仅有3个交点，则2b =-D.当4a b +=时，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积的最小值是33【答案】BD 【解析】【分析】去掉绝对值化简函数得()()()4,2(),224,2a b x a x f x a b x x a b x b x ⎧-+-≤-⎪=--<≤⎨⎪+->⎩，然后依不同条件，结合图象进行分析求解.【详解】A 选项，由题意，()()()4,2(),224,2a b x a x f x a b x x a b x b x ⎧-+-≤-⎪=--<≤⎨⎪+->⎩，当1a b =+时，()()()2141,2(),22214,2b x b x f x x x b x b x ⎧-+-+≤-⎪=-<≤⎨⎪+->⎩，若()f x x ≥的解集是(],2-∞，当22x -<≤时，()f x x =显然成立，当2x ≤-时，令()()()2141f x b x b x =-+-+≥，即()()()22442141b x b b x b -+≥+⇒-+≥+在2x ≤-上恒成立，则要()210b -+≤，解得1b ≥-，且2x >时，()214b x b x +-<恒成立，即24bx b <恒成立，故20b <，解得0b <，综上，10b -≤<，A 错误；B 选项，当2a b =+时，()()()214,2()2,222142,2a x a x f x x x a x a x ⎧---≤-⎪=-<≤⎨⎪--->⎩，因为2()f x x =有5个不同实根，当22x -<≤时，22x x =，得0x =或2x =，有两个根，当2x >时，()()22142a x a x ---=，即()()2220x x a ⎡⎤---=⎣⎦，得()22x a =-或2x =，当<2x -时，()2214a x a x ---=，方程最多两个根，要想保证有5个不同实根，故()222x a =->为其中一个根，故3a >，此时()222x a =->，满足要求，而()22140x a x a +-+=，方程需要在(),2∞--有两个不同的实数根，设()2()214g x x a x a =+-+，则()2(2)8Δ4116012g a a a -=⎧⎪=-->⎨⎪-<-⎩，解得3a >+，B 正确；C选项，当a b +=()(41,2()2,224,2b x f x b x x b x ++≤-⎪=---<≤⎨⎪->⎪⎩，若a b >，则0b <，且曲线()y f x =与半径为4的圆O 有且仅有3个交点，如下图，可能是()4,2y b x =->与圆相切，则4d ==，得2b =-或2b =（舍），也可能，点()2,(2)f 在圆上，如下图，则(222222234b +--=，解得3b =或0b =（舍）所以C 错误；D 选项，当4a b +=时，()()44,2()22,22444,2x a x f x a x x x a x --≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪-->⎩,且(2)84,(2)48f a f a -=-=-，当2x =-时，2262y =-⨯+=，当2x =时，22610y =⨯+=，当()()22210f f ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，即32a ≤时，画出两函数图象如下：曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积三角形ACD 的面积，令()2226a x x -=+，解得33x a =-，故33C x a =-令()44426x a x --=+，解得112x a =-，故112A x a =-，则()()924314112533a a AC a a a--=+--=--，点()2,48D a -到直线26y x =+的距离为4864145a h ---==+故()()()()292492411522335ACDa a a a S AC h a a ----=⋅==-- ，令()()()29243a a u a a--=-，32a ≤，则()()()()()()()()22249249239243a a a a a a u a a ⎡⎤-----⋅-+--⎣⎦-'=()()22392649203a a a a ⎡⎤-+--⎣⎦=<-，故()()()29243a a u a a--=-在32a ≤上单调递减，故最小值为()2393432603232u ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==⎪⎝⎭-，当48226a -≥⨯+，即92a ≥时，此时245BD k a =-≥，42DE k =>，如图，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积三角形ABC的面积，令4426x a x --=+，解得233a x +=-，233C a x +=-，令()2226a x x -=+，解得33x a =-，故33A x a =-，因为92a ≥，所以22323339a a a AC a +-=+=-，故点()2,84B a --到直线26y x =+的距离d ==故此时曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积为232123412923939a a a a a AC d a a --+⋅==--，令()32412939a a a w a a -+=-，则()()()()()()232322212249393412941293939a a a a a aa a aw a a a -+-'--+-+==--()322241442168139a a a a -+-=-，令()322414421681q a a a a =-+-，则()()227228821672430q a a a a a =-=-+'+>在92a ≥上恒成立，故()322414421681q a a a a =-+-在92a ≥单调递增，又9729819241442168121872916972811602842q ⎛⎫=⨯-⨯+⨯-=-+-=⎪⎝⎭，故()0w a '>在92a ≥上恒成立，故()32412939a a aw a a -+=-在92a ≥上单调递增，故最小值为729819729814129243984222362792922w ⨯-⨯+⨯-+⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，当4810a -<且842a -<，即3922a <<时，此时245BD k a =-<，42DE k =>，当342a <≤时，()(]221,4a -∈-，如图，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积四边形BCED的面积，令4426x a x --=+，解得233a x +=-，233C a x +=-，故4612426633C C a a y x +-=+=-=，即23124,33a a C +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令()44426x a x --=+，解得112x a =-，故112E x a =-，262246284E E y x a a =+=-+=-，故()112,284E a a --，故2336411233a aCE a +-=-+=，设直线BC 与直线DE 相交于点H ，令()44444x a x a --=--，解得2x a =-，此时()444248y x a a a =--=---=-，故()2,8H a --，点H 到直线26y x =+的距离为1d ==，故()211821364233ECHa a S CE d --=⋅== ，其中()2,84B a --，()2,48D a -，故BD ===，点H 到直线BD 的距离为2d =，故()21442BDHS BD d a a =⋅=- ，则四边形BCED 的面积为()()2182443ECHBDH a SS a a --=-- ，当342a <≤时，()()22221821616154440108333334ECH BDH a a S S a a a a -⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当154a =时，面积取得最小值，最小值为33，当942a <<时，()()224,5a -∈，画出图象如下：四边形BCED 的面积为()()22221821616154440108333334ECH BDH a a S S a a a a -⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当942a <<时，21615333334a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，综上，当4a b +=时，曲线()y f x =与直线26y x =+所围封闭图形的面积的最小值是33，D 正确.故选：BD【点睛】方法点睛：函数零点或方程根的问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.26(1)x x ++的展开式中6x 的系数是________．【答案】141【解析】【分析】26(1)x x ++表示6个因式2(1)x x ++连乘的积，要得到含6x 的项，对各因式中项的选择分类讨论，结合组合数公式求解.【详解】26(1)x x ++表示6个因式2(1)x x ++连乘的积，要想得到含6x 的项，有以下4种情况：在这6个因式中，有3个因式选2x ，其余因式均选1；在这6个因式中，有2个因式选2x ，2个因式选x ，2个因式选1；在这6个因式中，有1个因式选2x ，4个因式选x ，1个因式选1；在这6个因式中，全选x .故展开式中6x 的系数为322146664656C C C C C C 141+++=.故答案为：14114.已知n 个人独立解决某问题的概率均为14，且互不影响，现将这n 个人分在一组，若解决这个问题概率超过910，则n 的最小值是_____【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，n 个人都没有解决问题的概率为1(14n -，因此这个小组能解决问题的概率为31(4n-，于是391(410n ->，整理得4()103n >，函数4()(,N 3n f n n *=∈是递增的，而88465536(8)1036561f ==<，994262144(9)10319683f ==>，因此4(103n >成立时min 9n =，所以n 的最小值是9.故答案为：915.已知,,A B C 是边长为1的正六边形边上相异的三点，则AB BC ⋅的取值范围是________．【答案】94,16⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】一方面224BA BC BA BC ⋅≤⋅≤⨯= ，而,,A B C 不重合，所以4BA BC ⋅<；另一方面，设AC中点为M ，那么224AC BA BC BM⋅=-，设A 在六边形的端点上，同理妨设C 在六边形的端点上.分四种情况即可得916BA BC ⋅≥- ，剩下的只需证明何时取等并且BA BC ⋅ 可以遍历9,416⎡⎫-⎪⎢⎣⎭中的每一个数.【详解】首先，224BA BC BA BC ⋅≤⋅≤⨯=，这里2是最长的那条对角线的长度，等号取到当且仅当,BA BC同向，且||||2BA BC ==，而这意味着,A C 重合，矛盾.所以4BA BC ⋅<.另一方面，我们先舍弃,,A B C 互不重合的条件，然后证明916BA BC ⋅≥- ：设AC 中点为M ，那么224AC BA BC BM ⋅=- ，然后，设A 所在的边的端点为12,A A ，则()12min ,BA BC BA BC BA BC ⋅≥⋅⋅，（这是因为，记12(1)OA t OA tOA =-+，其中O 为原点，确定的()BA BC f t ⋅= ，那么()f t 是一次函数，从而t 属于[]0,1时，有()()()()min 0,1f t f f ≥）所以我们可以不妨设A 在六边形的端点上.同理，我们可以不妨设C 在六边形的端点上.此时分以下四种情况：(1),A C 重合，此时220004AC BA BC BM⋅=-≥-= ，(2),A C 为相邻顶点，此时22110444ACBA BC BM ⋅=-≥-=- ，(3),A C 相隔一个顶点，此时22339416416AC BA BC BM ⋅=-≥-=- ，(4),A C 为对径点，此时22311444AC BA BC BM ⋅=-≥-=- ，综上，916BA BC ⋅≥- ，所以，即使去掉,,A B C 互不重合的条件，我们仍有916BA BC ⋅≥- ，这就说明，,,A B C 互不重合时，有9416BA BC -≤⋅<，然后，取等条件如图所示：具体说明如下：构造一个[]0,1到六边形的函数(),(),()A t B t C t （即从数映射到点），使得111222((0),(0),(0))(,,),((1),(1),(1))(,,)A B C A B C A B C A B C ==，并且只沿着最近的轨道，这样在01t ≤<的情况下，()(),(),A t B t C t 互不重合同时设()()()()()g t B t A t B t C t =⋅，那么9(0),(1)416g g =-=，而()g t 连续，所以在01t ≤<的情况下，()g t 必定取遍9,416⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，这就意味着，BA BC ⋅ 的取值范围就是9,416⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，所以AB BC ⋅ 的取值范围是94,16⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：94,16⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：关键是先舍弃,,A B C 互不重合的条件，然后分类讨论说明916BA BC ⋅≥- ，由此即可顺利得解.16.已知三棱锥-P ABC 中，232PA BC ==，45APC ∠= ，PA PB ⊥，二面角A PC B --的余弦值是33-．则当三棱锥-P ABC 的体积最大时，其外接球的表面积是________．【答案】36π【解析】【分析】先根据()()MA NB MP PA NP PB⋅=+⋅+展开计算求出MA NB ⋅，再代入cos ,3MA NB MA NB MA NB⋅==-⋅可得60NPB ∠= ，进而分析出要要体积最大，则PBC S 最大，利用基本不等式得到PB PC =，过O 作面β的垂线，则三棱锥-P ABC 的外接球球心必在该垂线上，根据PO AO =列方程求出半径即可.【详解】如图：平面APC 即平面α，平面BPC 即平面β，即二面角PC αβ--的余弦值为3-，过A 作AM PC ⊥，垂足为M ，过B 作BN PC ⊥，垂足为N ，则cos ,3MA NB =-，又PA =，45APC ∠= ，则3AM MP ==，设NPB θ∠=则()()MA NB MP PA NP PB MP NP MP PB PA NP PA PB⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅33cos 2NP PB θ=--⨯3333NP NP NP NP =--=- ，所以3cos ,33NP MA NB MA NB MA NB NB -⋅===-⋅，即3NP NB= ，所以tan NBNPθ== ，则60NPB θ∠== ，过A 作面β的垂线，垂足为E ，连接EM ，则sin ,3AE AM MA NB ===，即三棱锥-P ABC 当以A，要体积最大，则PBC S 最大，13·sin 60·24PBC S PB PC PB PC =︒= ,要PBC S 最大，则需·PB PC 最大，在PBC 中，222222cos 602BC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC=+-⋅=+-⋅≥⋅-⋅=⋅ 所以29PB PC BC ⋅≤=，当且仅当PB PC =时等号成立，此时PBC 为等边三角形，即3PB PC BC ===，又3MP =，所以,M C 重合，图形如下：设PBC 的中心为O '，连接,EO CO ''在EO C ' 中，333EC AC ==，323323CO '=⨯⨯=，120ECO '∠= ，所以3EO '=，过O '作面β的垂线，则三棱锥-P ABC 的外接球球心必在该垂线上，设为点O ，设球的半径为r ，则PO AO =，所以22226r PO r EO ''-+-=即22396r r -+-=，解得3r =，所以外接球的表面积是24π6π3r =.故答案为：36π【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用cos ,MA NB MA NB MA NB⋅=⋅求出NPB ∠的大小，然后设出球心，列方程求出半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影响．（1）求甲最终获胜的概率；（2）记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）1808 2187（2）分布列见解析；期望为4012 729【解析】【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式计算即可得；（2）求出X的所有可能取值及其对应概率即可得分布列，借助期望公式计算即可得其数学期望.【小问1详解】因为甲四局比赛后获胜的概率为4216 381⎛⎫=⎪⎝⎭，甲五局比赛后获胜的概率为4342164C 33243⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，甲六局比赛后获胜的概率为4235 21160C 33729⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，甲七局比赛后获胜的概率为433621320C 332187⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲最终获胜的概率166416032018088124372921872187 P=+++=；【小问2详解】X的所有可能取值是4，5，6，7，因此有442117 (4)3381P X⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(5) P X==443344 21128C C 333327⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(6) P X==42423355 2112200C C 3333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(7)P X ==434333662112160C C 3333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则随机变量X 的分布列为：X4567P1781827200729160729于是()178200160401245678127729729729E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以随机变量X 的数学期望是4012729.18.已知{}n p 是所有素数从小到大排列而成的数列，满足12p =，23p =．（1）比较50p 和150的大小，并说明理由；（2）证明：2221211112n p p p +++< ．【答案】（1）50150p >，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，探讨不超过150的正整数中含有因数2或3或5的合数个数即可推理得证.（2）由已知可得21n p n >-，利用放缩法，结合裂项求和法求和即得.【小问1详解】50150p >，理由如下：对于1150,k k *≤≤∈N ，满足是2的倍数，或是3的倍数，或是5的倍数的整数k 的个数是150150150150150150150[][][][][[[235232535235k N =++---+⨯⨯⨯⨯⨯110=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1到150中合数的个数大于1103107-=，因此对于[]1,150m p ∈，有15010743m <-=，又{}n p 是单调递增数列，所以5043150p p >>.【小问2详解】由21n p n >-，得22(21)4(1)n p n n n >->-，则当1n =时，2111142p =<，不等式成立，当2n ≥时，211111()4(1)41n p n n n n<=---，因此2111111111111(1)442231242ni i p n n n =<+-+-++-=-<-∑成立，所以原不等式对n *∀∈N 恒成立.19.已知ABC 是斜三角形．（1）证明：222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=；（2）若cos 2cos 22cos 22A B C ++=-，求tan C 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）)+∞【解析】【分析】（1）根据积化和差与和差化积公式，二倍角的余弦公式化简即可得证；（2）根据（1）及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系，均值不等式求解.【小问1详解】因为2cos cos cos 2cos cos cos()πA B C A B A B =--[cos()cos()]cos()A B A B A B =-++-+()()()2cos cos cos C A B A B =----+()21cos cos 2cos 22C A B =--+22211cos cos cos 22C A B ⎛⎫=---+-⎪⎝⎭()2221cos cos cos A B C =-++，所以222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=，原式得证.【小问2详解】由cos 2cos 22cos 22A B C ++=-，由二倍角的余弦公式可整理得：22222(cos cos cos )3(2cos 1)2A B C C ++-+-=-．结合（1）得212cos cos cos 1cos A B C C -=-．由题设知cos cos cos 0A B C ≠，则2cos cos cos cos()sin sin cos cos A B C A B A B A B ==-+=-．所以3cos cos sin sin A B A B =，故tan tan 3A B =，且π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．所以tan tan tan tan tan tan()tan tan 12A B A BC A B A B ++=-+==-≥=(当且仅当tan tan A B ==时取等)．所以tan C 的取值范围是)+∞．20.如图，圆锥SO 的底面半径为2，高SO =,,A B C 为底面圆周上三点，且2AC =．P 是线段SB 的中点，满足OP AC ⊥．（1）求三棱锥S ABC -的体积；（2）记二面角S AC P --的大小为α，二面角S PC A --的大小为β．求sin sin αβ+的值．【答案】（1）4363+（2【解析】【分析】（1）根据题意判断出OB AC ⊥，进而求出ABC 的面积，从而得出三棱锥S ABC -的体积；（2）建立空间直角坐标系，依次求解出二面角S AC P --、二面角S PC A --即可.【小问1详解】解：因为SO 为高，所以SO ⊥平面ABC ，所以SO AC ⊥，因为OP AC ⊥，且OP SO O = ，OP SO ⊂，平面SOB ，所以AC ⊥平面SOB ，OB ⊂面SOB ，所以AC OB ⊥，延长OB 交AC 于H ，则BH 垂直平分AC ，故OH ==2HB =+所以(12222ABC S =⨯⨯+=+所以(16233S ABC V -+=⨯+⨯=；【小问2详解】以O 为原点，OH 、AC 、OS为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,S，)1,0A-，)C，()2,0,0B -，(P -，则()0,2,0AC =，1,SA =--，(1AP =--，(1,0,SP =-，SC =-，设平面SAC 的法向量为()1111,,n x y z = ，则110n AC n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111200y y =⎧⎪--=，令11z =，故()12,0,1n =，设平面PAC 的法向量为()2222,,n x y z = ，则2200n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(22222010y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令21z =，故2n ⎛⎫=⎪⎪⎭，所以121212cos ,n nn n n n ⋅==⋅sin α=设平面SPC 的法向量为()3333,,n x y z = ，则3300n SP n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333330x y ⎧--=⎪+-=，令31z =，故()3n =+，所以232323cos ,n nn n n n ⋅==⋅=，所以sin β===所以sin sin αβ+==.21.已知双曲线22122:1x y C a b-=上有一点()A ，1C 在点A 处的切线为0x =．（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设椭圆2222:1,24x y C m m+=≠±．过点A 作椭圆2C 的两条切线,AM AN ，切点为,M N 直线,AM AN分别交双曲线1C 于点,PQ ．证明：直线PQ 过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析，定点)【解析】【分析】（1）由()A 在双曲线上，得到22811a b-=，再由1C 在点A 处的切线为0x =，与双曲线方程联立，利用判别式为零求解；（2）不妨设,AM AN 的方程分别为(11y k x =-+与(21y k x =-+，与椭圆方程联立，由相切，利用判别式为零，得到12,k k是方程22410k m -+-=的两不等实根，利用韦达定理得到12k k +，取122k k ==，得直线:12PQ y x =-过点)．再设过点)且不与x 轴重合的直线l 交1C 于点','P Q，其方程为x ty =+，与1C方程联立，再论证直线''AP AQ k k +=即可.【小问1详解】由()A 在双曲线上，得22811a b-=．联立22221,0,x y a b x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩得22222214210y y a b a a ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭．由相切知方程中422216221Δ410a a a b ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．于是解得2241a b ⎧=⎨=⎩所以双曲线1C 的方程是2214xy -=．【小问2详解】容易知道直线,AM AN 的斜率存在，如图所示：不妨设,AM AN的方程分别为(11y k x =-+与(21y k x =-+．联立(22211,41,x y m y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()2222211114814140m kx k x m++-+--=．由相切知()()()2222221111Δ64116410km km ⎡⎤=--+--=⎢⎥⎣⎦，整理得2211410k m -+-=．同理有2222410k m -+-=．又12k k ≠，故12,k k是方程22410k m -+-=的两不等实根．由韦达定理得12k k +．取122k k ==，得直线:12PQ y x =-过点)．取122121,22k k -==，得直线PQ 与x 轴重合，则所求定点在x 轴上．所以定点)是必要的，下证其充分性：设过点)且不与x 轴重合的直线l 交1C 于点','P Q，其方程为x ty =+联立221,4x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得22(4)20t y -+-=，其中2t ≠±．由韦达定理得122122,42.4y y t y y t ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩而直线','AP AQ的斜率分别为'1k =='2k =．所以''12k k +=22224)4)242(4)t t t t t t -++-=-++-=于是充分性得证．综上，直线PQ过定点)．22.已知函数()ln(1)f x a x a =--∈R.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；。
浙江省金华市十校2024届高三4月模拟考试数学试卷含答案
金华十校2024年4月高三模拟考试数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟.试卷总分为150分.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}220B x x x =-<，则A B = （）A.{}0B.{}1C.{}1,2 D.{}1,2,3【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式求解{}02B x x =<<，即可由交集求解.【详解】{}{}22002B x x x x x =-<=<<，故A B = {}1，故选：B2.i2i =+（）A.12i 55+ B.12i 55-C.12i 33+ D.12i 33-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，故选：A3.设()0,πα∈，条件1:sin 2p α=，条件:cos 2q α=，则p 是q 的（）A.充分不要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解．【详解】由于()0,πα∈，若1sin 2α=，则cos 2α==±，充分性不成立，若cos 2α=，则1sin 2α==，必要性成立，故p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．4.设直线2:20l x y a --=，圆()()22:121C x y -+-=，则l 与圆C （）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】C 【解析】【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线l 的距离，与半径比较即可判断求解．【详解】圆22:(1)(2)1C x y -+-=的圆心为(1,2)C ，半径1r =，则圆心C 到直线l 的距离221d r ===，故直线l 与圆C 相离．故选：C ．5.等差数列{}n a 的首项为正数，公差为d ，n S 为{}n a 的前n 项和，若23a =，且2S ，13S S +，5S 成等比数列，则d =（）A.1B.2C.92D.2或92【答案】B 【解析】【分析】由等比中项的性质得到()22513S S S S =+，结合求和公式得到13d a =-或12d a =，再由23a =，10a >计算可得.【详解】因为2S ，13S S +，5S 成等比数列，所以()22513S S S S =+，即()()()2111510243d a d a d a ++=+，即()()11320a d a d +-=，所以13d a =-或12d a =，又23a =，10a >，当13d a =-，则11133a d a a +=-=，解得132=-a （舍去），当12d a =，则11123a d a a +=+=，解得11a =，则2d =.故选：B6.在ABC △中，sin 7B =，120C =︒，2BC =，则ABC △的面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式求出sin A ，再由正弦定理求出b ，代入面积公式即可得解.【详解】由题意，()312121sin sin 60sin 60cos cos 60sin 22714A B B B =︒-=︒-︒=⨯⨯，由正弦定理，sin sin a bA B =，即2sin 74sin 2114a Bb A⨯===，所以11sin 24222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△故选：D7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）A.72种B.48种C.36种D.24种【答案】A 【解析】【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成22A 组，然后分给剩余2个不同学校有22A 种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有1234C C 种不同的方法，剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有22A 种，这2组分配到2个不同学校有22A 种不同分法，所以由分步乘法计数原理知，共有12223422C C A A 362272⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=种不同的分法.故选：A8.已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（）A.12B.13 C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出cos cos αβ，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解．【详解】由1cos()3αβ-=得1cos cos sin sin 3αβαβ+=，又1sin sin 12αβ=-，所以5cos cos 12αβ=，所以[][]22cos ()()cos ()()1cos 21cos 2cos 2cos 2cos sin 2222αβαβαβαβαβαβαβ++-++--+-+-=-==cos()cos()αβαβ=+-(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )αβαβαβαβ=-+5151111(()12121212236=+⨯-=⨯=．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50350KW h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为i s （1i =，2，L ，6），则（）A.x 的值为0.0044B.这100户居民该月用电量的中位数为175C.用电量落在区间[)150,350内的户数为75D.这100户居民该月的平均用电量为61(5025)ii i s =+∑【答案】AD 【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A ，根据中位数的计算即可求解B ，根据频率即可求解C ，根据平均数的计算即可判断D.【详解】对于A ，由频率分布直方图的性质可知，(0.00240.00360.00600.00240.0012)501x +++++⨯=，解得0.0044x =，故A 正确；对于B ，因为(0.00240.0036)500.30.5+⨯=<，(0.00240.00360.0060)500.60.5++⨯=>，所以中位数落在区间[150,200)内，设其为m ，则0.3(150)0.0060.5m +-⨯=，解得183m ≈，故B 错误；对于C ，用电量落在区间[150，350)内的户数为(0.00600.00440.00240.0012)5010070+++⨯⨯=，故C 错误；对于D ，这100户居民该月的平均用电量为61261(5025)(50225)(50625)(5025)ii s s s i s=++⨯+++⨯+=+∑ ，故D 正确.故选：AD ．10.已知01a b <<<，1m n >>，则（）A.a bb a > B.n mm n >C .log log b m na > D.log log ab n m>【答案】ACD 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】对于A ，因为01a b <<<,所以指数函数x y b =在R 上单调递减，且a b <，所以a b b b >，因为幂函数b y x =在(0,)+∞上单调递增，且a b <，所以b b a b <，所以a b b a >，故A 正确，对于B ，取5m =，2n =，则2552<，故B 错误；对于C ，因为对数函数log b y x =在(0,)+∞上单调递减，log m y x =在(0,)+∞上单调递增，所以log log 1b b a b >=，log log 1m m n m <=，所以log log b m a n >，故C 正确；对于D ，因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，所以ln ln 0a b <<，ln 0m >，则ln ln log log ln ln a b m mm m a b=>=，因为对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，所以log log log a a b n m m >>，故D 正确．故选：ACD ．11.在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为线段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE △从起始到结束的翻折过程中，（）A.存在某位置，使得1DE A C ⊥B.存在某位置，使得1CE A D ⊥C.MB 的长为定值D.MB 与CD 所成角的正切值的最小值为12【答案】BCD 【解析】【分析】当1A C DE ⊥时，可得出DE ⊥平面1A OC ，得出OC DE ⊥推出矛盾判断A ，当1OA ⊥平面BCDE时可判断B ，根据等角定理及余弦定理判断C ，建系利用向量法判断D.【详解】如图，设DE 的中点O ，连接,OC OA ，则1OA DE ⊥，若1A C DE ⊥，由111A O A C A = ，11,AO AC ⊂平面1A OC ，可得DE ⊥平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ，则可证出OC DE ⊥，显然矛盾()CD CE ≠，故A 错误；因为CE DE ⊥，所以当1OA ⊥平面BCDE ，由CE ⊂平面BCDE 可得1O A CE ⊥，由1O A DE O = ，1,O A DE ⊂平面1A DE ，即可得CE ⊥平面1A DE ，再由1A D ⊂平面1A DE ，则有1CE A D ⊥，故B 正确；取CD 中点N ，1//MN A D ，112MN A D =，//BN ED ，且1,MNB A DE ∠∠方向相同，所以1MNB A DE ∠=∠为定值，所以BM =C 正确；不妨设AB =，以,OE ON 分别为,x y 轴，如图建立空间直角坐标系，设1A ON θ∠=，则()10,cos ,sin A θθ，()()1cos sin 2,1,0,1,2,0,,1,,(1,0,0)222B C M D θθ⎛⎫+-⎪⎝⎭，()2,2,0DC =，3cos sin ,,,2222BM BM θθ-⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，设MB 与CD 所成角为ϕ，则cos 5DC BM DC BMϕ⋅==≤⋅ ，即MB 与CD 所成最小角的余弦值为5，此时1tan 2ϕ=，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不变的量，其次灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不容易直接处理的最值问题可考虑向量法计算后得解.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a ，b满足|2|a b -=，则a 与b 的夹角为________．【答案】3π（或写成60︒）【解析】【分析】将等式|2|a b -=两边平方即可.【详解】因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=，所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2a b 〈〉=r r ，[],0π,3a b a b π∈=，，．故答案为：3π.13.已知函数()2,0,ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若()f x 在点()()1,1f 处的切线与点()()00,x f x 处的切线互相垂直，则0x =______．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直得解.【详解】当0x >时，1()0f x x'=>，所以(1)1f '=，且点()()00,x f x 不在ln y x =上，否则切线不垂直，故00x ≤，当0x <时，()2f x x '=，所以00()2f x x '=，由切线垂直可知，0211x ⨯=-，解得012x =-.故答案为：12-14.设椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的焦距，它们的离心率分别为1e ，2e ，椭圆1C 的焦点为1F ，2F ，1C ，2C 在第一象限的交点为P ，若点P 在直线y x =上，且1290F PF ∠=︒，则221211e e +的值为______．【答案】2【解析】【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，先根据题意得出点P 的坐标()0c >，再将点P 分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，则2222221122,a b c a b c +=-=，又1290F PF ∠=︒，所以121||||2OP F F c ==，又点P 在第一象限，且在直线y x =上，所以22,22P c c ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，又点P 在椭圆上，所以22221122221c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22222112c c a a c +=-，整理得422411240a a c c -+=，即22211112410e e ⎛⎫⋅-⋅+= ⎪⎝⎭，解得2114242e ±±==，因为101e <<，所以21122e =，同理可得点P 在双曲线上，所以22222222221c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，即22222222c a c a c -=-，解得2122e -=，所以22121122222e e +-+=+=.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．（1）记两次点数之和等于7为事件A ，第一次点数是奇数为事件B ，证明：事件A ，B 是独立事件；（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X 的分布列和期望．【答案】（1）证明见解析（2）分布列见解析；152【解析】【分析】（1）根据古典概型分别计算(),(),()P A P B P AB ，由()P AB ，()()P A P B 的关系证明；（2）根据n 次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.【小问1详解】因为两次点数之和等于7有以下基本事件：()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6个，所以()61366P A ==，又()12P B =．而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是()()()163452,,,,,共3个，所以()313612P AB ==，故()()()P AB P A P B =，所以事件A ，B 是独立事件．【小问2详解】设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X ，则X 可取6，9，12，15，()30311256C 16216P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21311759C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()223151512C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331115C 6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以分布列为：X691215P12521675216152161216所以()12575151156912152162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.设()sin cos cos f x x x a x =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若1a =，求()f x 的值域；（2）若()f x 存在极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0,4⎡⎢⎣⎦（2）()1,-+∞【解析】【分析】（1）求导，得()()()sin 12sin 1f x x x =-+-'，即可根据π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断导数的正负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，（2）将问题转化为()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即可分离参数得12sin sin a x x=-，利用换元法，结合函数单调性即可求解.【小问1详解】若1a =，()πsin cos cos 0,2f x x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，()()()222cos sin sin 2sin sin 1sin 12sin 1f x x x x x x x x =--=--+=-+-'当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >-<，则()0f x '>，()f x 单调递增；当ππ,62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >->，则()0f x '<，()f x 单调递减又π3364f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()01f =，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()0,4f x ⎡∈⎢⎣⎦，即()f x 的值域为0,4⎡⎢⎣⎦【小问2详解】()222cos sin sin 12sin sin f x x x a x x a x =--=--'．()f x 存在极值点，则()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即12sin sin a x x =-有解．令sin t x =，则12a tt =-在()0,1t ∈上有解．因为函数12y t t=-在区间()0,1上单调递减，所以()1,a ∞∈-+，经检验符合题意．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．（1）求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；（2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【小问1详解】分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB AO ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．【小问2详解】因为三棱柱111ABC A B C -的体积为1263AO =，以E 为坐标原点，EA 为x 轴正方向，EB 为y 轴正方向，过点E 且与1OA 平行的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)()()1,0,1,0,0,1,0,,0,33AB C A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11AA B B 的法向量1n，因为()1,,0,33AB AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭．则1110033AB n y AA n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，可得)1n = ，又11,1,33AC AA AC ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为θ，所以111111sin cos ,3n AC n AC n AC θ⋅====.18.设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x -是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：BP BQ =：（3）记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析（3）10x ±+=【解析】【分析】（1）根据准线方程可得p ，即可求解；（2）设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相交求出,P Q 坐标，转化为求0P Q y y +=即可得证；（3）由（2）可得2S PQ =，再由112S MN d =，根据122S S =可得t ，即可得解.【小问1详解】因为=1x -为抛物线的准线，所以12p=，即24p =，故抛物线C 的方程为24y x=【小问2详解】如图，设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立24y x =，消去x 得2440y ty -+=，则()2Δ1610t =->，且121244y y ty y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x --=--，令=1x -得()1121,1y n P n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤----+=-+-=-+⎢⎥----⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty --+--=--⋅-，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t --++-=-=-=-++-，故BP BQ =.【小问3详解】由（2）可得：()()122122222y n y n S PQ ty ty --==-=--1112222S MN d nt ==⨯-，由122S S =，得：212t-=，解得t =，所以直线l 的方程为10x ±+=．【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出,P Q 点的坐标（含参数），第二个关键点在于将BP BQ =转化为,P Q 关于x 对称，即0P Q y y +=.19.设p 为素数，对任意的非负整数n ，记0101kk n a p a p a p =++⋅⋅⋅+，()012p k W n a a a a =+++⋅⋅⋅+，其中{}()0,1,2,,10i a p i k ∈⋅⋅⋅-≤≤，如果非负整数n 满足()p W n 能被p 整除，则称n 对p “协调”．（1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；（2）判断并证明在2p n ，21p n +，22p n +，…，()221p n p +-这2p 个数中，有多少个数对p “协调”；（3）计算前2p 个对p “协调”的非负整数之和．【答案】（1）194，196对3“协调”，195对3不“协调”（2）有且仅有一个数对p “协调”，证明见解析（3）522p p -【解析】【分析】（1）根据n 对p “协调”的定义，即可计算()()()333194,195,196W W W ，即可求解，（2）根据n 对p “协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可根据引理求证．（3）将()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数，根据引理证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可求解.【小问1详解】因为012341942313031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3194210126W =++++=，012341950323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3195020125W =++++=，012341961323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3196120126W =++++=，所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”.【小问2详解】先证引理：对于任意的非负整数t ，在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设012012kk pt b p b p b p b p =++++ ，由于pt 是p 的倍数，所以00b =，所以01212k k pt j jp b p b p b p +=++++ ，即pt j +对于0p 这一项的系数为()01j j p ≤≤-，所以()()()1201p k W pt j b b b j j p +=++++≤≤- ，根据整除原理可知，在()()01p W pt j j p +≤≤-中有且仅有一个数能被p 整除，所以在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．接下来把以上2p 个数进行分组，分成以下p 组（每组p 个数）：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p “协调”，所以共有p 个数对p “协调”．【小问3详解】继续考虑()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p “协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设某一列第一个数为()201,01p n t n p t p +≤≤-≤≤-，则20120p n t tp p np +=++，所以()2p W p n t n t +=+，同理当01s p ≤≤-时，()2p W p n sp t n s t ++=++，所以当01s p ≤≤-时，集合{}201p n sp t s p ++≤≤-中的p 个数中有且只有1个数对p “协调”．注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p ，所以p个数对p “协调”的数之和为：()()()()232112112112p n p p p p np p p ⋅++++-++++-⋅=+- ，进一步，前2p 个对p “协调”的非负整数之和为：()()()22152323011112222p n p p p p p p np p p p -=---⎡⎤=-=⋅+=⎢⎥⎣⎦∑【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义所给的关系式的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将定义可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
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高三数学模拟试题（含答案）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则．2．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为．4．角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是．5．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：．6．设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；其中正确命题的序号为．7．已知函数f（x），若关于x的方程f（x）＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为．10．记S k＝1k+2k+3k+……+n k，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝．11．设函数f（x）＝x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为．14．设f（x）＝e tx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C 过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，tan（A﹣B），角C为钝角，b ＝5．（1）求sin B的值；（2）求边c的长．16．如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．（1）求证：VA∥平面BDE；（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．17．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．18．如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，且，其中p为常数．（1）求p的值；（2）求证：数列{a n}为等比数列；（3）证明：“数列a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．20．已知函数f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，求函数f（x）的减区间；（2）求证：方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；（3）若方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较，与α，β的大小，并说明理由．本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．试求曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数）．（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P（ξ＝i）（i＝0，1，2，3）中，若P（ξ＝1）的值最大，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．故答案为：3﹣4i．2．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴∁U（A∪B）＝{5}，故答案为{5}．3．分层抽样的抽取比例为：，∴抽取学生的人数为60030．故答案为30．4．由题意可得x＝1，y＝2，r，∴sinα，∴sin（π﹣α）＝sinα．故答案为：．5．程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环i x循环前 1 4第一圈是 4 4+2第二圈是 7 4+2+8第三圈是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28故答案为：28．6．对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；对于②，当m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；对于③，当α∥β，且m⊂α，n⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n⊂α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确；综上知，正确命题的序号是④．故答案为：④．7．如图所示：①当x≥2时，由函数f（x）单调递减可得：0＜f（x）；②当0＜x＜2时，由函数f（x）＝（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．由图象可知：由0＜2k＜1可得，故当时，函数y＝kx与y＝f（x）的图象有且只有两个交点，∴满足关于x的方程f（x）＝kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是．故答案为．8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集为（a，4），由于a（﹣a）≤﹣24，当且仅当﹣a，即a＝﹣2时取等号，∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣2；②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；综上所述，a＝﹣2．故答案为：﹣2．9．∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，…①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cos∠F1PF23，…②①②联解，得，可得，∴双曲线的，结合，得离心率故答案为：10．根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案为：．11．由题意知f（x）＝x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增．（1）当a≤2时，若x∈[2，+∞），则f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其对称轴为x，此时2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；（2）当a＞2时，①若x∈[a，+∞），则f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其对称轴为x，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；②若x∈[2，a），则f（x）＝x（a﹣x）＝﹣x2+ax，其对称轴为x，所以f（x）在[，a）上是递减的，因此f（x）在[2，a）上必有递减区间．综上可知a≤2．故答案为（﹣∞，2]．12．由（）•（）＝0 可得（）•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1，α为与的夹角．再由2•1+4+2×1×2cos7 可得||，∴||cosα﹣1，解得cosα．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0．解得||，故答案为．13．设直线AB的方程为y＝kx+1则直线AC的方程可设为y x+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k•1），即B（，）因此，AB•，同理可得：AC•∴Rt△ABC的面积为S AB•AC•令t，得S∵t2，∴S△ABC当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为解之得a＝3或a∵a时，t2不符合题意，∴a＝3故答案为：314．∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即（t，），又f（x）＝e tx（t＞0）的导数f′（x）＝xe tx，∴过Q的切线斜率k＝t，设R（r，0），则k t，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，e t），∴△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点，∴△PRS的面积的最小值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）角C为钝角，由sin A，则cos A．那么：tan A∵tan（A﹣B），即，可得：tan B即，sin2B+cos2B＝1，解得：sin B．（2）由（1）可知：sin B，则cos B那么：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B 正弦定理：，可得：c＝13．16．证明：（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，所以VA∥平面BDE；（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．…（Ⅱ）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…18．（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，则，化简得，解之得，或（舍），答：BC的长度为；（2）设BP＝t，则，，设，，令f'（t）＝0，因为，得，当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，因为恒成立，所以f（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，因为y＝tan x在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．答：当BP为cm时，α+β取得最小值．19．（1）解：n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，当n＝2时，，解得a2＝0或，而a n＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；（2）证明：当p＝2时，①，则②，②﹣①并化简得3a n+1＝4﹣S n+1﹣S n③，则3a n+2＝4﹣S n+2﹣S n+1④，④﹣③得（n∈N*），又因为，所以数列{a n}是等比数列，且；（3）证明：充分性：若x＝1，y＝2，由知a n，2x a n+1，2y a n+2依次为，，，满足，即a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列；必要性：假设a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．20．（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＝3x2﹣6x+2＜0解得，x，故函数f（x）的减区间为（，）；（2）证明：∵f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），∴f′（x）＝（x﹣x2）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x2），又∵x1＜x2＜x3，∴f′（x1）＝（x1﹣x2）（x1﹣x3）＞0，f′（x2）＝（x2﹣x1）（x2﹣x3）＜0，f′（x3）＝（x3﹣x2）（x3﹣x1）＞0，故函数f′（x）在（x1，x2），（x2，x3）上分别有一个零点，故方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；（3）∵方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），∴f′（α）＝f′（β）＝0，而f′（）＝（x2）（x3）+（x1）（x3）+（x1）（x2）（x1﹣x2）2＜0，f′（）＝（x2）（x3）+（x1）（x3）+（x1）（x2）（x3﹣x2）2＜0，再结合二次函数的图象可知，αβ．本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．∵M，N，∴MN，…4分∴在矩阵MN变换下，→，…6分∴曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．…10分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（1）由，得，∴y，即．圆的方程为x2+y2＝100．（2）圆心（0，0）到直线的距离d，y＝10，∴弦长l．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，则cosθ，∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），设平面APC的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，∴|cos|，解得，∴P（0，，），∴PF的长度|PF|．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（1）P（ξ）是“ξ个人命中，3﹣ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.，，，．所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3Pξ的数学期望为．（2），，．由和0＜a＜1，得，即a的取值范围是．。