《概率论与数理统计》考试题(含答案)

《概率论与数理统计》考试题

一、填空题（每小题2分，共计60分）

1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则

a ）、若B A ,互斥，则=)B -A (p ;

b ）若B A ,独立,则

=)B A (p ;

c ）、若2.0)(=⋅B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，

(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。

(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X

E 8 .

4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的

二项分布,则{}==2X p , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- ，=+)(Y X E 8 。

5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 。

其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有

则=a ，X 的数学期望=)(X E ，

Y X 与的相关系数=xy ρ。

体)

16,8(N 7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总的容

量为16，8的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2

221,S S 分别为样本方

差。

则：~X N(8,1) ，~Y X - N(0, ，{}

5.12>-Y X p = ，

~16

152

1S )

15(2

χ，

~22

2

1S S F(15,7) 。此题中

9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ

8、设321,,.X X X 是总体X 的样本，下列的统计量中，A ，B ，C 是)(X E 的无偏统计量，)(X E 的无偏统计量中统计量 C 最有效。 A. 321X X X -+ B. 312X X - C.

)(3

1

321X X X ++ D. 21X X +

9. 设某商店一天的客流量X 是随机变量,服从泊松分布)(λπ,71,...,X X 为总体X 的样本，)(X E 的矩估计量为X ，160，168，152，153，159，167，161为样本观测值，则)(X E 的矩估计值为 160

10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： H 0 成立的条件下拒绝H 0 的错误 ,也成为弃真错误。

二、（6分）已知随机变量X 的密度函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤=其它 , 02

,)(2x x a

x f

求：（1）常数a ， （2）)45.0(<

∞-==2,1)(a dx x f 得 2’

(2) )45.0(<

==45

.04

2

2

5.02

)(dx x dx x f 2’ (3) ⎪⎩⎪

⎨⎧+∞<≤≤=x x

x x F 2 2-12

0)( 2’

三、（6分）设随机变量X ，Y 的概率密度分别为：=)(x f X ⎩

⎨

⎧≤-其它 , 0,

0 ,x e x

=)(y f Y ⎩⎨⎧≤≤其它 ,

0,10

,1y ，且随机变量X ，Y 相互独立。

（1）求（X ，Y ）的联合概率密度为：),(y x f （2）计算概率值{}X

Y p 2≥。

解:(1)X ，Y 相互独立，可见（X ，Y ）的联合概率密度为

）

（）（），（y f x f y x f Y X ⋅=, ⎩⎨

⎧≤≤≤=-其它 ,

01

0,0 ,),(y x e y x f x 2’ （2）⎰⎰⎰⎰-≥==

≥21

1

22),()2(x

x x

y dy e dx dxdy Y x f X Y P 3’

=131--e 1’ 四、（8分） 从总体X ~) ,(2σu N 中抽取容量为25的一个样本，样本均值

和

样

本

方

差

分

别

是

：

9

,802==S X ，

36.39)24(,4.12)24(,0639.2)24(2

025.02975.0025.0===x x t

求u 的置信度为的置信区间和2σ 的置信度为的置信区间。

解: (1)n=25,置信水平025.02/,95.01==-αα,,0639.2)24(025.0=t

9,802==S X 由此u 的置信水平为的置信区间为

)0639.225

380(⨯±

, 即)238.180(± 4’

(2) n=25,置信水平

025.02/,95.01==-αα,36.39)24(,4.12)24(2025.02975.0==x x

92=S 由此2σ的置信水平为的置信区间为: )42.17,49.5())

24(9

24,)24(924(

2

975.02025.0=⨯⨯χχ 4’ 五、（8分）设总体X 服从均匀分布),(b a U ,n X X ,,1 是X 的一个样本，求

b a ,的矩估计量