文字命题的证明
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证明文字命题的一般步骤:
1.分清命题的条件和结论. 2.根据题意画出正确图形. 3.结合图形写出“已知”、“求证”. 4.分析题意,探索证题思路. 5.依据思路写出证明过程。
例1.证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC 的角平分线。
求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=900. ∴四边形ABCD是矩形.
例6.证明:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知:如图,在□ABCD中Байду номын сангаас对角线AC⊥BD.
D 求证:四边形ABCD是菱形.
证明:
A
∵四边形ABCD是平行四边形.
O
C
∴AO=CO.
B
∵AC⊥BD.
∴∠AOD=∠COD=90°.
∵ OD=OD.
∴ △AOD≌△COD. ∴ DA=DC.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC.
B
∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA(SSS).
A
14 3
D
2
C
∴∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴AB∥CD,CB∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.
连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线.
例4.求证：梯形中位线平行于两底,且等于两底和的一半.
B
C
∵ 四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.
∵BC=CB,
分析:根据矩形的性 质性质,可转化为全等
三角形(SAS)来证明.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
随堂练习P88 5
矩形的判定
驶向胜利 的彼岸
2.定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900.
BD
EC
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， BD＝CE，AD＝AE. 求证： AB＝AC.
回顾 思考
等腰梯形的判定
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC.
A
D
求证:四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800 .∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
B
C
分析:利用同旁内角 互补,两直线平行来
证明四边形是平行四
边形,可使问题得证.
C
A 2.证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
E
D
B
C
例2.求证：三角形一边的两个端点到这边中线的距离相等.
已知：如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于E,
BF⊥AD于F；
求证：CE=BF
A
E
B
C
D
F
例3.证明:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA.
A
D
E
F
B
C
M
例5.证明:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形.
B
C
∴AB=CD,AB∥CD.
∵AC=DB,BC=CB,
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵∠ABC+∠DCB=1800.
∴ ∠ABC= ∠ACB(等边对等角).
∵
∠1=
1 2
∠ABC，∠2=
1 2
∠ACB，
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB， ∠1=∠2，
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
◇链接◇ 1.证明：等腰三角形两腰上的高相等.
A
E
D
B
请你以其中两个作为条件，另外一个作为结论，补全 下面的题目，并证明你的结论．
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点，
，
．
A
求证：
．
BD
EC
① AB＝AC，② BD＝CE，③ AD＝AE ． A
已知：如图，在△ABC中，D、E是 BC边上的两点，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.
∴四边形ABCD是菱形.
例7.证明:对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
O
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
B
C
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,
A
D
∵AC=DB.
∴AB=DC.
B
C
证明后的结论,以后可以直接运用.
试一试P86 2
矩形的性质
驶向胜利 的彼岸
定理:矩形的两条对角线相等. A
D
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD. 证明:
例8.证明:对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.
求证:四边形ABCD是正方形.
A
D
证明:
O
∵四边形ABCD是菱形.
B
C
∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=BC. ∴四边形ABCD是正方形.
例
如图，对于以下三个论断： ① AB＝AC，② BD＝CE，③ AD＝AE ．
1.分清命题的条件和结论. 2.根据题意画出正确图形. 3.结合图形写出“已知”、“求证”. 4.分析题意,探索证题思路. 5.依据思路写出证明过程。
例1.证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC 的角平分线。
求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=900. ∴四边形ABCD是矩形.
例6.证明:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知:如图,在□ABCD中Байду номын сангаас对角线AC⊥BD.
D 求证:四边形ABCD是菱形.
证明:
A
∵四边形ABCD是平行四边形.
O
C
∴AO=CO.
B
∵AC⊥BD.
∴∠AOD=∠COD=90°.
∵ OD=OD.
∴ △AOD≌△COD. ∴ DA=DC.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC.
B
∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA(SSS).
A
14 3
D
2
C
∴∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴AB∥CD,CB∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.
连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线.
例4.求证：梯形中位线平行于两底,且等于两底和的一半.
B
C
∵ 四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.
∵BC=CB,
分析:根据矩形的性 质性质,可转化为全等
三角形(SAS)来证明.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
随堂练习P88 5
矩形的判定
驶向胜利 的彼岸
2.定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900.
BD
EC
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点， BD＝CE，AD＝AE. 求证： AB＝AC.
回顾 思考
等腰梯形的判定
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC.
A
D
求证:四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=900,
∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800 .∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.
B
C
分析:利用同旁内角 互补,两直线平行来
证明四边形是平行四
边形,可使问题得证.
C
A 2.证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
E
D
B
C
例2.求证：三角形一边的两个端点到这边中线的距离相等.
已知：如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于E,
BF⊥AD于F；
求证：CE=BF
A
E
B
C
D
F
例3.证明:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA.
A
D
E
F
B
C
M
例5.证明:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形.
B
C
∴AB=CD,AB∥CD.
∵AC=DB,BC=CB,
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵∠ABC+∠DCB=1800.
∴ ∠ABC= ∠ACB(等边对等角).
∵
∠1=
1 2
∠ABC，∠2=
1 2
∠ACB，
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB， ∠1=∠2，
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
◇链接◇ 1.证明：等腰三角形两腰上的高相等.
A
E
D
B
请你以其中两个作为条件，另外一个作为结论，补全 下面的题目，并证明你的结论．
已知：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的两点，
，
．
A
求证：
．
BD
EC
① AB＝AC，② BD＝CE，③ AD＝AE ． A
已知：如图，在△ABC中，D、E是 BC边上的两点，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.
∴四边形ABCD是菱形.
例7.证明:对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
O
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
B
C
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,
A
D
∵AC=DB.
∴AB=DC.
B
C
证明后的结论,以后可以直接运用.
试一试P86 2
矩形的性质
驶向胜利 的彼岸
定理:矩形的两条对角线相等. A
D
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD. 证明:
例8.证明:对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.
求证:四边形ABCD是正方形.
A
D
证明:
O
∵四边形ABCD是菱形.
B
C
∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=BC. ∴四边形ABCD是正方形.
例
如图，对于以下三个论断： ① AB＝AC，② BD＝CE，③ AD＝AE ．