复变函数与积分变换重要知识点归纳

（一）复数的概念
1. 复数的概念：z x iy , X, y 是实数,x Re z , y Im z . i 2
注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小
2. 复数的表示
1） 模：z 贋~y 2 ；
2） 幅角：在z 0时，矢量与x 轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z 是位 于
（，］中的幅角。

3） a rg z 与arctan#之间的关系如下:
x
当 x 0, arg z
arctan'；
x
y
0,arg z arcta n — x y
0,arg z arcta n 丄
x
4） 三角表示：z z cos isin ，其中 arg z ;注：中间一定是“ +”号
5） 指数表示:z z e i ，其中 arg z 。

（二）复数的运算
复变函数复习重点
y 当x 0,
y
1. 加减法：若乙x! iy“Z2 X2 i y2，贝U x x2 i y1 y2
2. 乘除法：
1) 若 z-i 捲 iy 「Z 2 X 2 iy 2，则
召勺
住 yy i X2% w ；
N i% X 2 iy 2 X 2 iy 2 X 2 iy 2
3.
（三）复变函数
1.复变函数：w f z ，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个 点集G 的映射.
2.复初等函数
e z e X cosy is in y ,在z 平面处处可导，处处解析；且 e z
1
i
e
% i% Z 2
X 2 iy 2
X 1X 2 y“2 i y 1X 2 y 2X 1
2) 若 Z | Z i e 1, Z 2
z 2 e i 2
1) 若Z 2) 若Z
n
Z
z (cos Z (cos 1
n
cos
isin
isin 2k
zd
zd ，则
，则
2k i sin —
n
n
z (cosn
i sin n
(k 0,1,2卅 n 1)
)z"e in 。

（有n 个相异的值）
1）指数函数
注：e z是以2 i为周期的周期函数。

（注意与实函数不同）
3) 对数函数：Lnz ln z i(argz 2k ) (k 0, 1, 2”)(多值函数);
主值：In z lnz i argz。

（单值函数）
Lnz的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz 注：负复数也有对数存在。

（与实函数不同）
3）乘幕与幕函数：a b e bLna(a 0) ; z b e bLnz(z 0)
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且z b bz b1
4）三角函数：sinz
iz iz
e e
,cos z
2i
iz iz
e e x ,tgz
2
sin z , cosz ,ctgz
cosz sin z
sin z,cos z在z 平面内解析，且sin z cosz, cosz sin z 注：有界性sinz 1, cosz 1不再成立；（与实函数不同）
4）双曲函数shz
z z
e e ,
,chz 2
shz奇函数，chz是偶函数。

shz,chz在z平面内解析，且shz chz, chz shz。

（四）解析函数的概念
1.复变函数的导数
f Z°z
1）点可导: z = lim
z 0
2）区域可导：f z 在区域内点点可导。

2 •解析函数的概念
1）点解析：f z 在Z 0及其Z o 的邻域内可导，称f z 在Z 0点解析;
2）区域解析：f z 在区域内每一点解析，称f z 在区域内解析;
3）若f （z ）在z 点不解析，称z o 为f z 的奇点;
3 •解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数; 解析函数的复合函数仍为解析函数;
（五）函数可导与解析的充要条件
z u x,y iv x,y 在 z x iy 可导
u x,y 和v x, y 在x,y 可微，且在 x,y
此时，有f z
u x, y 和v x,y 在x, y 在D 内可微，且满足C D 条件：」—
x y
u . v i_
x x
注意：若u x,y ,v x,y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则u x, y , v x, y 在区域D 内是可 微的。

因此在使用充要条件证明时，只要能说明
u,v 具有一阶连续偏导且满足 C R 条
1.函数可导的充要条件: 处满足C D 条件:
2.函数解析的充要条件
z u x, y iv x,y 在区域内解析
此时f z
件时，函数 f （z ） u iv 一定是可导或解析的
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）
2）利用充要条件 （函数以 f z u x, y iv x, y 形式给出，如第二章习题 2）
3）利用可导或解析函数的四则运算定理。

（函数 f z 是以 z 的形式给出，如第二章习题 3）
（六）复变函数积分的概念与性质
n
1． 复变函数积分的概念： f z dz lim f k z k ， c 是光滑曲线。

c n
k 1
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。

3．复变函数积分的一般计算法
f z dz f [ z t ] z (t ) dt 。

2． 复变函数积分的性质
1） f z dz 1
f z dz c c 1
（c 1与c 的方向相反）；
2）
[ f z g z ]dz cc
z dz
g z dz, , 是常数； c
3） 若曲线c 由C i 与C 2连接而成，则
dz f z dz f z dz 。

c 1
c
2
1）化为线积分：
f z dz udx cc
vdy
vdx udy ；（常用于理论证明）
2）参数方法：设曲线 c ： z z t （ t
），其中对应曲线C 的起点，对应曲线C 的
终点，则
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1 •柯西一古萨基本定理：设f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则
2.复合闭路定理：
设f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，sq,川c n
是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以G ,C 2,|卜为边界的区域全含于D 内，贝U
n
f z dz, 其中c 与c k 均取正向; k 1 'c 」
4. 解析函数沿非闭曲线的积分：设f z 在单连域B 内解析，G z 为f z 在
B 内的一个
原函数，贝U f z dz G z 2 G z j
（wz B ）
z l
说明：解析函数f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5。

柯西积分公式：设f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完 f z
全属于D ， z o 为c 内任意一点，贝U dz 2 if z 0
.匕 Z Z o
6. 高阶导数公式：解析函数f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为
其中c 为f z 的解析区域D 内围绕z o 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于
①O f
dz
②彳f
dz
0,其中 由c 及c 1
（k 1,2,川n ）所组成的复合闭路。

3 •闭路变形原理 一个在区域D 内的解析函数f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内
作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中
c 不经过使f z 不解析的奇点。

7. 重要结论：
8. 复变函数积分的计算方法
1）若f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法 f z dz f[z t ]z t dt
c
2）设f z 在区域D 内解析，
r\
c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，
f z dz 0
c
c 是D 内的一条非闭曲线，Z i ,Z 2对应曲线c 的起点和终点，则有
3）设f z 在区域D 内不解析
f z
i |
dz 2 i f z 0
曲线c
内仅有一个奇点：
"z "
( f (z)在c 内解析)
f z 」2 i £ n
n 1dz f
z 0
c
(z z 0) n!
曲线c 内有多于一个奇
点：
n
f z dz
f z dz ( G 内只有一个奇点 zQ
'c
k 1 c
n
或：i | f z dz 2 i Res[f (z),z k ](留数基本定理)
U
k 1
若被积函数不能表示成*，则须改用第五章留数定理来计算
（八）解析函数与调和函数的关系
咕dz
2 i ，
° 0 J(z a)n1
0,
° 0
（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）
2 2
2 ） 线积分法：若已知实部uux,y 利用C R 条件可得
1 •调和函数的概念：若二元实函数（x,y ）在D 内有二阶连续偏导数且满足 ―飞 弋 0 ,
x y
（x, y ）为D 内的调和函数。

2 •解析函数与调和函数的关系
解析函数f z u iv 的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v 为实部u 的共轭调和 函数。

两个调和函数u 与v 构成的函数f （z ） u iv 不一定是解析函数；但是若u,v 如果满足柯 西一
黎曼方程，则u iv 一定是解析函数。

3•已知解析函数f z 的实部或虚部，求解析函数 f z u iv 的方法。

1）偏微分法：若已知实部u u x,y ，利用C R 条件，得—^v ;
x y
(*)
再对（* ）式两边对x 求偏导，得—
u
dy
x
x x
由C R 条件，-^
v
，得u
—
dy g x ，可求出 g x ;
y x
y
x
x
代入（* ）式，可求得 虚部v
—dy g x
x
g x (** )
对——两边积分，得v
y x
v v
u
u
dv —dx —dy
dx dy ,
x y
y x
由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 X o ,y 。

与x,y 是解析
区域中的两点。

3）不定积分法：若已知实部u u x,y ，根据解析函数的导数公式和 C R 条件得知, 将此式右端
表示成z 的函数U z ,由于f z 仍为解析函数，故
f z U z dz c （ c 为实常数）
注：若已知虚部v 也可用类似方法求出实部u.
（九）复数项级数
1 •复数列的极限
1） 复数列{ n } {a n ib n } （ n 1,2川）收敛于复数 a bi 的充要条件为
lima , a, lim b n b
（同时成立）
n
n
2） 复数列{ .}收敛 实数列{a n },{ b n }同时收敛。

2 •复数项级数
1）复数项级数
n
（ n a n ig ）收敛的充要条件是级数 a .与
b n 同时收敛；
n 0
n 0
n 0
故虚部为v
x,y x o ,y o
U
dx — dy c ; y x
2）级数收敛的必要条件是lim n 0。

n
注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。

（十）幕级数的敛散性
1. 幕级数的概念：表达式C n（Z Z0）n或C n Z n为幕级数。

n 0 n 0
2. 幕级数的敛散性
1）幕级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）:如果幕级数C n Z n在z o 0处收敛，那么对满
n 0
足z z0的一切Z，该级数绝对收敛；如果在Z0处发散，那么对满足z z0的一切Z , 级数必发散。

2）幕级数的收敛域一圆域
幕级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可
能发散。

3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。

比值法如果0,贝叫攵敛半径R 1
根值法lim0，则收敛半径R 1；
n 耳
如果0，则R ;说明在整个复平面上处处收敛；
如果，则R 0 ;说明仅在z z0或z 0点收敛；
注：若幕级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。

(如C n Z2n)
n 0
3. 幕级数的性质
1) 代数性质：设a n Z n, b n z n的收敛半径分别为R i与R2，记R min RR ,
n 0 n 0
则当z R时，有
(a n b n)z n a n z n b n z n(线性运算)
n 0 n 0 n 0
(a n Z n)( b n Z n) (a n b。

a n i b i a°b n)z n(乘积运算)
n 0 n 0 n 0
2) 复合性质：设当r时，f a n n，当z R时，g z解析且g z r ,
n 0
则当z R 时，f[g z ] a n[g z ]n。

n 0
3) 分析运算性质：设幕级数a n Z n的收敛半径为R 0 ,则
n 0
其和函数f z a n z n是收敛圆内的解析函数；
n 0
在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 f z n a n z n 1z R
n 0
在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；z f z dz -^^z n1z R
n 0 n 1
（十^一）幕函数的泰勒展开
1. 泰勒展开：设函数f z 在圆域z z R 内解析，则在此圆域内f z 可以展开成幕级
f
n
数f z f 仝z q n ；并且此展开式是唯一的。

n 0 n!
其中R 为从z 到f z 的距Z o 最近一个奇点a 之间的距离
2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幕级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项 求积等方法将函数展开 （十二）幕函数的洛朗展开
注：若f z 在z o 解析，则f
z 在Z o 的泰勒展开式成立的圆域的收敛 半径R
z o
2. 常用函数在z o
0的泰勒展开式
1)
1 n z o n!
2
z
2! 3
z
3!
III
n
z
n!
Ill
2)
III
III 3) sin z
1)n
n o
(2n 1)!
z 2n1
3
z z 3!
5 z 5!
III
1)n
z
(2n 1)!
2n 1
(II
4) cosz
2 4
z z 2!
4!
III
(1)n z 2n (2n)!
HI
3. 解析函数展开成泰勒级数的方法
1)
直接法：直接求出Cn -
n!
z ，于是f
C n z o
Z o
1. 洛朗级数的概念：C n Z Z o n,含正幕项和负幕项
n
2 .洛朗展开定理：设函数f z在圆环域R z % R2内处处解析，c为圆环域内绕z o的
任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 f Z C n z Z o n，且展开
n
式唯一。

3 •解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。

*4 .利用洛朗级数求围线积分：设f z在r z z0 R内解析，c为r z z0 R内的任
n
何一条正向简单闭曲线，贝H If z dz 2 ic !。

其中C i为f（z）在r z z。

R内洛朗展开
J
式中丄的系数。

z Z。

说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中（z Z o）1的系数。

（十三）孤立奇点的概念与分类
1。

孤立奇点的定义：fz在Z o点不解析，但在Z o的0 |z Z o 内解析。

2。

孤立奇点的类型：
1）可去奇点：展开式中不含Z Z o的负幕项；f Z c o C, Z Z o C2Z Z o2| U 2）极点：展开式中含有限项z z o的负幕项；
其中g Z C m C (m 1)(Z Z o) III C1(Z Z o)m1C°(Z 勺广 || |在Z o 解析,
z a 是 z ・ z 的m n 级零点;
且 g z o
0,m 1,c m 3）本性奇点：展开式中含无穷多项z z o 的负幕项;
（十四）孤立奇点的判别方法
1.可去奇点：lim f z c 0常数;
z Z o
2. 极点：lim f z
z z o
3.
本性奇点：lim f z 不存在且不为 。

z Z o
4. 零点与极点的关系 1）零点的概念：不恒为零的解析函数 f z ，如果能表示成f z （z zj m z ,
其中 z 在z 解析， 石 o,m 为正整数，称z 为f Z 的m 级零点;
4）重要结论
若z a 分别是 z 与 z 的m 级与n 级零点，则
2）零点级数判别的充要条件
Z o 是f z 的m 级零点
n
Z o o,
(n 1,2,|||m 1)
m Z
o
3）零点与极点的关系：z o 是f z 的m 级零点
1
Zo
是7T 的m 级极点;
当m n时，z a是一—的m n级零点；
z
当m n时，z a是一—的n m级极点；
z
当m n时，z a是一—的可去奇点；
z
当mn时，z a是z z 的I级零点，丨min(m, n)
当mn时，z a是z z的I级零点，其中I m(n)
(十五)留数的概念
1 .留数的定义：设Z o为f z的孤立奇点，f z在z o的去心邻域0 z z o 内解析，c
、 1 A
为该域内包含Z o的任一正向简单闭曲线，则称积分- f z dz为f z在z o的留数(或
2 iU c
残留)，记作Res[ f z ,z ] 1 f z dz
o2 i
2.留数的计算方法
若z o是f z的孤立奇点，贝U Res[ f z , z o ] c i，其中c i为fz在z o的去心邻域
内洛朗展开式中(z Z o) 1的系数。

1) 可去奇点处的留数：若z o是f z的可去奇点，贝U Res(f z ,z o] o
2) m级极点处的留数
法则I 若z o是f z的m级极点，则
特别地，若z是f z的一级极点，贝U ReS f z , z0] lim( z 注：如果极点
的实际级数比m低，上述规则仍然有效。

P z
法则II 设 f z --------------- ，P z ,Q z 在z o解析，P z00,
Q z
P z P z
Q z 0,Q Z o 0，则Res[ ,z o]
Q z Q z0 (十六)留数基本定理
设f z在区域D内除有限个孤立奇点z i,z2|||,z n外处处解析,
一条正向简单闭曲线，贝U f z dz 2 i ReS f z ,z n]
C
n 1
说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数点处留数的局部问题。

积分变换复习提纲
一、傅里叶变换的概念
二、几个常用函数的傅里叶变换
三、傅里叶变换的性质
位移性(时域)：F[f(t t。

)] e jwt0F[f(t)]
位移性(频域)：F[e jw0t f(t)] F(w)www0 F(w w°)z))f z
c为D内包围诸奇点的
f z在c内各孤立奇
位移性推论： 1
F[si n w 0t f (t)] 2【F(W w 0) F (w w 0)]
位移性推论： 1
F [cos w 0t f (t)]
[F (w w 0) F (w w 0)] 2
微分性(时域)：F[f(t)] (jw)F(w) ( t , f(t) 0),
F[f (n )
(t)] (jw)n F(w) , t ,f (n1)(t)
微分性(频域)：F[( jt)f t ] F w ,F[( jt)n f (t)] F (n) (w)
相似性： F[f(at)] 1 F(w )
(a 0)
同a
四、拉普拉斯变换的概念
五、几个常用函数的拉普拉斯变换
六、拉普拉斯变换的性质
微分性(频域)：L[( t) f t ] F s , L[( t)n f t ] F (n) s
1
L[1]
kt,
L[e ] 1
T~k
；
L[t m
]
（n
m 1
1）
肆r （m 是自然数）；（ s
s
(1) 1,
i , (m 1) m (m))
L[u(t)]
设f (t
T) f
⑴，则 L[f(t)] 1 1
Ts
e
f (t)dt o （f （t ）是以T 为周期的周期函
数）
微分性（时域）：L[f t ] sF s
f 0 ,L[f (t)]
s 2F(s) sf(0) f (0)
0 0 0
积分性（频域）：L[?] s Fsds （收敛） 位移性（时域）：L[e at f t ] F s a 1 s
相似性：L[f （at ）] — F （—） （a 0）
a a 七、卷积及卷积定理
八、几个积分公式
L[f(t)]ds F(s)ds 17
s 积分性（时域）:
L[0 t dt] 位移性（频域）:L[f t ]e s F s (
0, t 0, f(t) 0)。