2020解析几何多选题(02)
2020年高考数学真题分类汇编：平面解析几何
2020年高考数学真题分类汇编：平面解析几何一、单选题(共15题；共30分)1．（2分）（2020·新课标Ⅲ·文）点(0，﹣1)到直线 y =k(x +1) 距离的最大值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【答案】B【解析】【解答】由 y =k(x +1) 可知直线过定点 P(−1,0) ，设 A(0,−1) ，当直线 y =k(x +1) 与 AP 垂直时，点 A 到直线 y =k(x +1) 距离最大， 即为 |AP|=√2 . 故答案为：B.【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 P(−1,0) ，设 A(0,−1) ，当直线 y =k(x +1) 与 AP 垂直时，点A 到直线 y =k(x +1) 距离最大，即可求得结果.2．（2分）（2020·新课标Ⅲ·文）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【解析】【解答】设 AB =2a(a >0) ，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： A(−a,0),B(a,0) ，设 C(x,y) ，可得： AC →=(x +a,y),BC →=(x −a,y) ， 从而： AC →⋅BC →=(x +a)(x −a)+y 2 ， 结合题意可得： (x +a)(x −a)+y 2=1 ， 整理可得： x 2+y 2=a 2+1 ，即点C 的轨迹是以AB 中点为圆心， √a 2+1 为半径的圆. 故答案为：A.【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.3．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若⊥PF1F2的面积为4，则a=（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】【解答】∵ca=√5，∴c=√5a，根据双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=2a，S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=4，即|PF1|⋅|PF2|=8，∵F1P⊥F2P，∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，∴(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1|⋅|PF2|=4c2，即a2−5a2+4=0，解得a=1，故答案为：A.【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 4．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）若直线l与曲线y= √x和x2+y2= 15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+ 12C．y= 12x+1D．y= 12x+ 12【答案】D【解析】【解答】设直线l在曲线y=√x上的切点为(x0，√x0)，则x0>0，函数y=√x的导数为y′=2√x ，则直线l的斜率k=2√x，设直线l的方程为y−√x0=12√x−x0)，即x−2√x0y+x0=0，由于直线l与圆x2+y2=15相切，则√1+4x0=1√5，两边平方并整理得5x02−4x0−1=0，解得x0=1，x0=−15（舍），则直线l的方程为x−2y+1=0，即y=12x+12.故答案为：D.【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 5．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（14，0）B．（12，0）C．（1，0）D．（2，0）【答案】B【解析】【解答】因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于C,D两点，且OD⊥OE，根据抛物线的对称性可以确定 ∠DOx =∠COx =π4 ，所以 C(2,2) ， 代入抛物线方程 4=4p ，求得 p =1 ，所以其焦点坐标为 (12,0) ，故答案为：B.【分析】根据题中所给的条件 OD ⊥OE ，结合抛物线的对称性，可知 ∠COx =∠COx =π4 ，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得P 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.6．（2分）（2020·新课标Ⅲ·文）设 F 1,F 2 是双曲线 C:x 2−y 23=1 的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且 |OP|=2 ，则 △PF 1F 2 的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】【解答】由已知，不妨设 F 1(−2,0),F 2(2,0) ， 则 a =1,c =2 ，因为 |OP|=2=12|F 1F 2| ，所以点 P 在以 F 1F 2 为直径的圆上， 即 △F 1F 2P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故 |PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2 ，即 |PF 1|2+|PF 2|2=16 ，又 ||PF 1|−|PF 2||=2a =2 ，所以 4=||PF 1|−|PF 2||2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|=16−2|PF 1||PF 2| ，解得 |PF 1||PF 2|=6 ，所以 S △F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|=3故答案为：B【分析】由 △F 1F 2P 是以P 为直角直角三角形得到 |PF 1|2+|PF 2|2=16 ，再利用双曲线的定义得到 ||PF 1|−|PF 2||=2 ，联立即可得到 |PF 1||PF 2| ，代入 S △F 1F 2P =12|PF 1||PF 2| 中计算即可.7．（2分）（2020·新课标Ⅲ·文）已知圆 x 2+y 2−6x =0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【解答】圆 x 2+y 2−6x =0 化为 (x −3)2+y 2=9 ，所以圆心 C 坐标为 C(3,0) ，半径为 3 ，设 P(1,2) ，当过点 P 的直线和直线 CP 垂直时，圆心到过点 P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2√9−|CP|2=2√9−8=2 .故答案为：B.【分析】根据直线和圆心与点(1,2)连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.8．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【答案】B【解析】【解答】∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±ba x∵直线x=a与双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=b a x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−b a x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b ∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故答案为：B.【分析】因为C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±ba x，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.9．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为（）A．√55B．2√55C．3√55D．4√55【答案】B【解析】【解答】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=a2.由题意可得(2−a)2+(1−a)2=a2，可得a2−6a+5=0，解得a=1或a=5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线2x−y−3=0的距离均为d=√5=2√55；所以，圆心到直线2x−y−3=0的距离为2√55.故答案为：B.【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a,a),a>0，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x−y−3=0的距离.10．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）已知⊥M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：2x+y+2= 0，P为l上的动点，过点P作⊥M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x−y−1=0B．2x+y−1=0C．2x−y+1=0D．2x+y+1=0【答案】D【解析】【解答】圆的方程可化为(x−1)2+(y−1)2=4，点M到直线l的距离为d=√2+1=√5>2，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且AB⊥MP，所以|PM|⋅|AB|=2S△PAM=2×12×|PA|×|AM|=4|PA|，而|PA|=√|MP|2−4，当直线MP⊥l时，|MP|min=√5，|PA|min=1，此时|PM|⋅|AB|最小．∴MP:y−1=12(x−1)即y=12x+12，由{y=12x+122x+y+2=0解得，{x=−1y=0．所以以MP为直径的圆的方程为(x−1)(x+1)+y(y−1)=0，即x2+y2−y−1=0，两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线AB的方程．故答案为：D.【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M共圆，且AB⊥MP，根据|PM|⋅|AB|=2S△PAM=2|PA|可知，当直线MP⊥l时，|PM|⋅|AB|最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．11．（2分）（2020·新课标Ⅲ·理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2B．3C．6D．9【答案】C【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|=x A+p2=12，即12=9+p2，解得p=6.故答案为：C.【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.12．（2分）（2020·天津）设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A．x24−y24=1B．x2−y24=1C．x24−y2=1D．x2−y2=1【答案】D【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的方程为x+yb=1，即直线的斜率为−b，又双曲线的渐近线的方程为y=±b a x，所以−b=−b a，−b×b a=−1，因为a>0,b>0，解得a=1,b=1．故答案为：D．【分析】由抛物线的焦点(1,0)可求得直线l的方程为x+yb=1，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为y=±b a x，可得−b=−b a，−b×b a=−1即可求出a,b，得到双曲线的方程．13．（2分）（2020·北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP【答案】B【解析】【解答】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故答案为：B.【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.14．（2分）（2020·北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】【解答】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C 在线段 OM 上时取得等号， 故答案为：A.【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.15．（2分）（2020·浙江）已知点O （0，0），A （﹣2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA|﹣|PB|＝2，且P 为函数y ＝3 √4−x 2 图象上的点，则|OP|＝（ ） A ．√222B ．4√105C ．√7D ．√10【答案】D【解析】【解答】解：点O （0，0），A （﹣2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA|﹣|PB|＝2，可知P 的轨迹是双曲线 x 21−y 23=1 的右支上的点，P 为函数y ＝3 √4−x 2 图象上的点，即 y 236+x 24=1 在第一象限的点，联立两个方程，解得P （ √132 ， 3√32），所以|OP|＝ √134+274 ＝ √10 ．故答案为：D ．【分析】求出P 满足的轨迹方程，求出P 的坐标，即可求解|OP|．二、多选题(共1题；共3分)16．（3分）（2020·新高考Ⅲ）已知曲线 C:mx 2+ny 2=1 .（ ）A ．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m=n>0，则C 是圆，其半径为 √nC ．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 y =±√−m n xD ．若m=0，n>0，则C 是两条直线【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A ，若 m >n >0 ，则 mx 2+ny 2=1 可化为 x 21m+y 21n=1 ，因为 m >n >0 ，所以1m <1n，即曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆，A 符合题意；对于B ，若 m =n >0 ，则 mx 2+ny 2=1 可化为 x 2+y 2=1n ，此时曲线 C 表示圆心在原点，半径为 √n n 的圆，B 不正确；对于C ，若 mn <0 ，则 mx 2+ny 2=1 可化为 x 21m+y 21n=1 ，此时曲线 C 表示双曲线， 由 mx 2+ny 2=0 可得 y =±√−mnx ，C 符合题意； 对于D ，若 m =0,n >0 ，则 mx 2+ny 2=1 可化为 y 2=1n，y =±√nn ，此时曲线 C 表示平行于 x 轴的两条直线，D 符合题意；故答案为：ACD.【分析】结合选项进行逐项分析求解， m >n >0 时表示椭圆， m =n >0 时表示圆， mn <0 时表示双曲线， m =0,n >0 时表示两条直线.三、填空题(共10题；共12分)17．（1分）（2020·新课标Ⅲ·文）设双曲线C ： x 2a 2−y 2b2=1 (a>0，b>0)的一条渐近线为y= √2 x ，则C 的离心率为 ．【答案】√3【解析】【解答】由双曲线方程 x 2a 2−y 2b2=1 可得其焦点在 x 轴上， 因为其一条渐近线为 y =√2x ， 所以 b a =√2 ， e =c a =√1+b 2a 2=√3 .故答案为： √3【分析】根据已知可得 b a=√2 ，结合双曲线中 a,b,c 的关系，即可求解.18．（1分）（2020·新课标Ⅲ·理）已知F 为双曲线 C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】【解答】依题可得， |BF||AF|=3 ，而 |BF|=b 2a ， |AF|=c −a ，即 b 2ac−a=3 ，变形得 c 2−a 2=3ac −3a 2 ，化简可得， e 2−3e +2=0 ，解得 e =2 或 e =1 （舍去）． 故答案为： 2 ．【分析】根据双曲线的几何性质可知， |BF|=b 2a ， |AF|=c −a ，即可根据斜率列出等式求解即可．19．（1分）（2020·新高考Ⅲ）斜率为 √3 的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则 |AB| = ．【答案】163【解析】【解答】∵抛物线的方程为 y 2=4x ，∴抛物线的焦点F 坐标为 F(1,0) ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为 √3 ，∴直线AB 的方程为： y =√3(x −1) 代入抛物线方程消去y 并化简得 3x 2−10x +3=0 ， 解法一：解得 x 1=13,x 2=3所以 |AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+3⋅|3−13|=163解法二： Δ=100−36=64>0设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ，则 x 1+x 2=103, 过 A,B 分别作准线 x =−1 的垂线，设垂足分别为 C,D 如图所示.|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2=163故答案为：163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.20．（1分）（2020·新高考Ⅲ）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC⊥DG ，垂足为C ，tan⊥ODC= 35， BH ∥DG ，EF=12 cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．【答案】4+5 2π【解析】【解答】设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以∠AGP=45°，因为BH//DG，所以∠AHO=45°，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形；在直角△OQD中，OQ=5−√22r ，DQ=7−√22r，因为tan∠ODC=OQDQ=35，所以21−3√22r=25−5√22r，解得r=2√2；等腰直角△OAH的面积为S1=12×2√2×2√2=4；扇形AOB的面积S2=12×3π4×(2√2)2=3π，所以阴影部分的面积为S1+S2−12π=4+5π2 .故答案为：4+5π2.【分析】利用tan∠ODC=35求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求出直角 △OAH 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.21．（1分）（2020·天津）已知直线 x −√3y +8=0 和圆 x 2+y 2=r 2(r >0) 相交于 A,B 两点．若 |AB|=6 ，则 r 的值为 ．【答案】5【解析】【解答】因为圆心 (0,0) 到直线 x −√3y +8=0 的距离 d =√1+3=4 ， 由 |AB|=2√r 2−d 2 可得 6=2√r 2−42 ，解得 r =5 ． 故答案为：5．【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式 |AB|=2√r 2−d 2 ，即可求得 r ．22．（1分）（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2a2 ﹣ y 25 =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y= √52x ，则该双曲线的离心率是 .【答案】32【解析】【解答】双曲线 x 2a2−y 25=1 ，故 b =√5 .由于双曲线的一条渐近线方程为 y =√52x ，即b a =√52⇒a =2 ，所以c =√a 2+b 2=√4+5=3 ，所以双曲线的离心率为 c a =32 . 故答案为： 32【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.23．（1分）（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知 P(√32，0) ，A ，B 是圆C ： x 2+(y −12)2=36 上的两个动点，满足 PA =PB ，则⊥PAB 面积的最大值是 ． 【答案】10√5【解析】【解答】 ∵PA =PB ∴PC ⊥AB设圆心 C 到直线 AB 距离为d ，则 |AB|=2√36−d 2,|PC|=√34+14=1所以 S △PAB ≤12⋅2√36−d 2(d +1)=√(36−d 2)(d +1)2令 y =(36−d 2)(d +1)2(0≤d <6)∴y ′=2(d +1)(−2d 2−d +36)=0∴d =4 （负值舍去） 当 0≤d <4 时， y ′>0 ；当 4≤d <6 时， y ′≤0 ，因此当 d =4 时， y 取最大值，即 S △PAB 取最大值为 10√5 ， 故答案为： 10√5【分析】根据条件得PC⊥AB,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.24．（2分）（2020·北京）已知双曲线C:x 26−y23=1，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．【答案】(3,0)；√3【解析】【解答】在双曲线C中，a=√6，b=√3，则c=√a2+b2=3，则双曲线C的右焦点坐标为(3,0)，双曲线C的渐近线方程为y=±√22x，即x±√2y=0，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为3√12+2=√3.故答案为：(3,0)；√3.【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.25．（1分）（2020·北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【解答】−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果26．（2分）（2020·浙江）设直线l：y＝kx+b（k＞0），圆C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣4）2+y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝；b＝．【答案】√33；﹣2√33【解析】【解答】由条件得C1（0，0），r1＝1，C2（4，0），r2＝1，因为直线l与C1，C2都相切，故有d1＝√1+k2＝1，d2＝√1+k2＝1，则有|b|√1+k2＝|4k+b|√1+k2，故可得b2＝（4k+b）2，整理得k（2k+b）＝0，因为k＞0，所以2k+b＝0，即b＝﹣2k，代入d1＝|b|√1+k2＝1，解得k＝√33，则b＝﹣2√33，故答案为：√33；﹣2√33．【分析】根据直线l与两圆都相切，分别列出方程d1＝|b|√1+k2＝1，d2＝|4k+b|√1+k2＝1，解得即可．。
2020解析几何多选题(01)
2020解析几何多选题(Ol)1.[2020年新髙考全国卷I数学髙考试题(山东)】已知曲线c-.mx2+ny2=∖.()A.若m>n>O,则C是椭圆，苴焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆，其半径为丽C.若加”<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m=0, ∕ι>0,则C是两条直线【答案】ACDT【解析】对于A,若f n>n>O.则WLV2 + ny2 = 1 可化为T +因为I n>n>O9所以丄V丄，即曲线C表示焦点在轴上的椭圆，故A正确：In H对于B,若m = n>0,则nix2 + ny1 = 1可化为x2 + y2=-i此时曲线C表示圆心在原点，半径为逝的圆，故B不正确;∆l+22 = ι对于C,若mn <0>则∕7∕√+n/= 1可化为T T" >此时曲线C表示双曲线，2+ny2=0In H可得y = 故C正确;对于D,若〃2 = 0∕>0,则≡2+nv2= 1可化为J2 = - , y = ±业,此时曲线C表示平行于X轴n ' U 的两条直线，故D正确:故选：ACD.2.【山东省青岛r∏ 2020届髙三第三次模拟数学试题】在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A i B l C l D i中，点P在侧而BCC且所在的平而上运动，则下列命题中正确的()ADA・若点P总满足PA丄则动点P的轨迹是一条直线B.若点P到点A的距离为血，则动点P的轨迹是一个周长为2；T的圆C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆D.若点P到直线AD与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线【答案】ABD【解析】A •在正方体AC中，AC丄BOBB】丄平而ABCD.所以Bd丄AC,BB i∏BD = B 9所以AC丄平而BBlDlD , BPU平而BB I D I D 9所以AC丄BD If同理Ad丄BD r AB l QAC = A f所以Bq丄平而AB I C f而点P在侧而BCC I B I所在的平而上运动,且阳丄BD19所以点P的轨迹就是直线B1C,故A正确:B•点P的轨迹是以A为球心・半径为的球而与平而BCC I B l的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为广，球心A到平的距离为1,则厂= =1，所以小圆周长I = 2πr = 2π,故B 正确：C.点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平而BCCIBI内的点P满足∖PB∖+∖PC∖ = 1 = ∖BC∖,即满足条件的点P的轨迹就是线段BC,不是椭圆，故C不正确：D.如图，过P分别做PM丄BC于点M , PE丄CC I于点E＞则PM丄平面ABCD ,所以PM丄AD^过M 做MV 丄AD t 连结PN, PMCMN = M ,所以AD 丄平而PMV,所以PN 丄AD t 如图建 立平而直角坐标系，设P(X,y),PM = y ,则 PN 2=i + y 2, PE 2=(1-Λ)2, RP1 + / = (1-X )2,整理为：(x-l)'— 尸=1, 则动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确. 故选：ABD3.【山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练(二)】已知抛物线b=2∕X(P>0)的焦点为F,过点F 的直线/交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交$轴于M 、N 两点，设线段AB 的中点 为P,贝U( )A. OA OB =--P 24B. 若∖AF ∖-∖BF ∖≈4p 2,则直线AB 的斜率为J 亍C. 若抛物线上存在一点E(2√)到焦点F 的距离等于3,则抛物线的方程为y 2= 4x D. 若点F 到抛物线准线的距离为2,贝'I Sin ZPMN 的最小值为+【答案】ACDy 1-Ipmy-p 2 =Q 9 y λ + y 2 = 2pm , y χy 1=^p 2,222C对于 A ： 04・OB = X i X. + y }y.=屮_孕+牙” =E 十p?,故 A 正确:2p Ip 4 4对于B ：根据焦半径公式可知PI 鬥=召+牛∖BF ∖ = χ2+L 9 厶 厶=(Wyl + v 2 + P) = m 2y l y 2 + PIn (y i + y 2)+∕r【解析】设Λ(Λ1O I )> B(X Z d2)， 设直线Γ.x = my + Γ与抛物线方程联立X = Iny +—2I AFII BF l =^+⅛+f)=→w 2/r + 2p 2m 2 + P I = Iy (∕π2+1),由条件可知，加2+]=4,解得：加= ±JJ,直线/的斜率 k =- = ±^.故B 不正确:m 3对于C ：由题意可知2 +彳=3 ,解得：p = 2,则抛物线方程是y2=4χ,故C 正确；2对于D ： 由题意可知P = 2,所以y 1 + y 2 = 4/H ,由圆的几何性质可知SinZPMN = £, 〃是点P 到 y 轴的距离"宁 …竽=上|H 由分析可知W +伊 W 垮’且y 1 + y 2 = 2pm , y χy 1=^p ∖ 得 J = 2m 2 + ∖ > r = 2∕√+2> 所以X = I,故D 正确.故选ACD.4. 【山东省荷泽市荷泽第一中学八一路校区2019-2020学年髙三上学期12月月考】已知椭圆2 2⅛ + ^ = l （f∕>∕7>0）的左，右焦点是仆Λ, P 是椭圆上一点，若∖PF i ∖ = 2∖PF 2∖,则椭圆的离心率可以是（）1 1 12 A. —B. —C. —D.—43 2 3【答案】BCD【解析】由椭圆的定义，可得IP 可+1 PEl = 2d,又由∖PF i ∖ = 2∖PF 1∖,解得IHq = d ，|P 朽I =詁，2厂 ]又由在APF 1F 2中，『可一|丹勺《斤鬥I,可得→∕≤2c t 所以e = -≥q ,即椭圆的簡心率"的取值 范用是[亍J ] 故选：BCD ・5. 【山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（三）】设M, N 是抛物线y 2=χ± 的两个不同的点，O 是坐标原点.若直线OM 与QV 的斜率之积为-；，则（）.2A. I OM ∖ + ∖ ON l≥ 4√2B.以MN 为直径的圆的面积大于4〃SinZPMyV =112(∕√ +l)当m 2= O 时，Sin APMN 取得最小值占,此时直线/:c.直线MN 过泄点(2,0)D •点O 到直线Λ∕N 的距离不大于2试卷第5贞，总19贞【答案】CD【解析】不妨设M 为第一象限内的点，① 当直线MN 丄X 轴时，k oM = -k oN ,由得%,=亘,&W = 一並，所以直线2 2 2OM , QV 的方程分别为：y =.与抛物线方程联立，得M(2,√Σ), N(2,-Q),2 2所以直线MN 的方程为x = 2,此时IOM ∖ + ∖ON I= 2√6,以MN 为直径的圆的面积S = 2兀,故A 、B 不正确.② 当直线MN 与X 轴不垂直时，设直线A/N 的方程为y = kx + m,与抛物线方程联立消去兀，得 fjj I ky 2- y + m = 0 ,则△=】-4km> 0・设 M (X l , y 1) , W(X2,儿)，则〉i 〉‘2 =Y ・因为絡韌•心V=——， k 2所以=•则 2儿y ∖ = -χ2x∖ = 一，则 X 儿=一2，所以 Y =-2,即m = -2k ,所以直州-^2 厶K线MN 的方程为y = kx-2k,即y = k(x-2).综上可知，直线MV 为恒过立点2(2,0)的动直线， 故C 正确；易知当OQ 丄Λ∕N 时，原点0到直线MN 的距离最大，最大距离为2, 即原点0到直线MN 的距离不大于2.故D 正确. 故选：CD6. 【山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练(三)】设M 、N 是抛物线√=4y±的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为-；，则下列结论正确的是()4A. IoMI+ ∣O∕V∣≥5B. 以A/N 为直径的圆而枳的最小值为4龙C. 直线MN 过抛物线X 2= 4y 的焦点 D. 点0到直线A/N 的距离不大于1【答案】BCD【解析】对于A ：若MN 与轴垂直，设直线MN 为y = α(d>0),则M(2屈町，N (―2辰切，•■-k ()M =-γ^,%=-£’-詈=一'「.a = '，即M(2,l)、N(-2,l),此时IOMI+ ∣O7V∣ = 2√5<5, A 选项错误： y = kx + ιn对于B 、C ：由题意可知直线MN 斜率存在，设直线AZN 的方程为y = ∣^+m t 则由 < 冷 川 ，得 Jr = 4y X 1 2-4k.x-4m = 0,由厶= 16/ + 16加>0,得疋+加>0.设点Λ√(x 1,y 1).2,>j2),贝IJX l +x, =4k , X 1X 9 = -4/??. V k υM k oN == 2∙∙ = = ~~7 = ~~7^ .∙.也=1，此时直线■x l x 2 Iox l X 2 16 4 4MN 的方程为y = b ∙+l,恒过定点(0,1), C 选项正确；因为 IMNl = Jl + k' •卜厂y I = Jl +. Jg+xj'_4丫内=4(1 + £‘)24,所以，以 AfN 为直径 的圆而积的最小值为4疋，B 选项正确：对于D ：点0到直线MN 的距离为d==SI, D 选项正确.√F+1故选：BCD.7. 【山东省日照市第一中学2020届髙三下学期模拟】已知点F 是抛物线/=2px(∕9>0)的焦点，AB.CD的斜率为R ，且k>0, CA 两点在X 轴上方•则下列结论中一左成立的是()1 1 1A 亠 --------- ——• IABI ∖CD ∖ Ip C ・ OA ・ OB = OC oD【答案】AC【解析】因为AB 的斜率为R , AB 丄CD 9所以咯=-\•设A(X r y I )9 3(屁,儿)，AB 的方程 K是经过点F 的弦且AB 丄CD •D.四边形ABCD 面积最小值为16p2V = R X _ !_2 丿可得，Ar2x2- p(k2 +2)x-^-k2p2 =O fΛ 4)厂=2 PXp(k2+2)比+占= —・ IC1 O⅛γ2=-∕r对于A：∖AB∖ = χi+χ2 + p=川"「2)+ P ="伙严.同理可得ICq =厶f一- = 2p(∖ + k2),k kF1 1 1则有両+冋=亦‘所以A正确;对于B：若∣AF∣∙∣βF∣ = ∣∕72,由(召”警“嗒=护解得故B错;对于C：OA OB = x1x2 + y l y2 =^p2+k2 fx1 - _£2)= +k x∖x2-~∖x∖+x i} + ~l r = [P +才 P _1 ‘ 1.2 2 /"+2)__》与R无关，同理44' 2况预"討，故刃•面后•而，C正确:对于D：因为AB丄CD.所以四边形ABCDm积S昨胡MICDI斗誓也∙2"（1 + Q = 斗二丄=2屛宀占+ 2卜昕当且仅Z K K ∖ KJ当疋=丄，即k = l时，等号成立：故D错：IC故选AC.2 28.【山东省济宁市嘉祥县第一中学2020届髙三下学期第四模拟】设双曲线cΛ-⅛=ιω>0^>0）的左, Cr Ir右焦点分别为斥，F2，过Fl的直线I分别与双曲线左右两支交于M, N两点，以MN为直径的圆过F I,且巫•顾社顾2,则以下结论正确的是（）A. ZRMF2 =120°；B.双曲线C的离心率为JJ：C.双曲线C∙的渐近线方程为y = ±√2x;D.直线/的斜率为1.【答案】BC【解析】如图，作丄MN于D,= 2 I『，所以IMDI = IlI,所以D是MN中点，从而∖F2M∖ = ∖F1N∖,对于A：根据双曲线定义IMElTM用=2GIN可一|NEl = 2d,所闵NF l∖-∖NF2∖ = ∖MN∖=4a .又以MN为直径的圆过竹，所以M禺丄NF2，ZMNF2 =ZNMF2=45° ,于是Z^MF2= 135o, A 错；对于B：又得IM佗I = INdl = 2√L, ∣7Vfj∣ = (2√2 + 2∖/,由余弦泄理，I^El2=∣7V^∣2+∣Λ^Λ∣2-2∣^∣∣^∣COS45O,得4c2= (2√2^/)2 + (2^2 + 2)2a2 -2×2√2t∕×(2√2+2>×-.化简得2 = 3,所以^ = - = √3 , B 正确：2 Cr a对于C：由2 =匕二伫=3得代=2,即- = √2>所以渐近线方程为y = ±^2x, C正确；Cr Cr Cr a对于D：易知ZNF1F2 < ZNMF2 =45° ,所以k MN = tan ZNF i F2 <∖, D 错.故选：BC.9 •【山东省2020届髙三第一次仿真联考数学试题】已知双曲线■-二=1 (a>0, b> 0)的右焦点为F(2√6,θ),点P的坐标为(0, 1),点O为双曲线C左支上的动点，且AP0F的周长不小于14,则双曲线C的离心率可能为()A.√3B. 2√3C. √5D. 3【答案】AC【解析】设双曲线C的左焦点为F，则I QF∖-∖QF,∖ = 2a^∖QF∖ = ∖QF f∖+2a,故IeFl + ∣Pβ∣ = ∖QF↑ +∣Pβ∣ + 2a≥∖PF,∖ + 2a.^题意可得IPFl = IPFl =阿丁1 = 5 ,所以IP0+∣QFI+1 PF∣≥2∣PF∣ + 2dX14,所以α≥2∙则双曲线C的离心率“£ = 还M屈因为小.U U所以双曲线C的离心率的取值范囤为(1,√6].故选：AC10.【山东省泰安市2020届髙三第五次模拟】已知椭圆C:罕+ * = l(">b>0)的右焦点为F,点P在椭圆C上，点0在圆Eι(x+3)2+(y-4)2=4±,且圆E上的所有点均在椭圆C外，^IPeI-IPFI 的最小值为2√5-6>且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是() A.椭圆C的焦距为2 B.椭圆C的短轴长为J亍C. ∣P0 + pF∣的最小值为2$D.过点F的圆E的切线斜率为二【答案】AD【解析】圆E的圆心为£(-3,4),半径长为2.由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则2d = 4,可得α = 2,设椭圆的左焦点为点片,由椭圆的定义可得IPFI+ P用= 2d = 4,∙∙∙∣PF∣ = 4-∣P用,所以，IPQl_(4_阿I) = IP可+ ∣PQI_4卅∣ + ∣PEl_2_4半可_6 = 2点_6, 当且仅当P、Q、E、片四点共线，且当P、0分别为线段E斤与椭圆C、圆E的交点时，等号成立，贝I JI^I = λ∕(-3 + c)2+(4-0)2 = 2+ 16 = 2√5 . vθ<c<a = 2,解得c = l.λ∕(c-3)b2 =U2 -C2 = 3故椭鬪方程为——=1 .4 3对于A：椭圆C的焦距为2c = 2, A选项正确：对于B：椭圆C的短轴长为2/9 = = 2√3 > B选项错误；对于C：∖PQ∖ + ∖PF∖≥∖PE∖ + ∖PF∖-2≥∖EF∖-2 = y∣(-3-i)2 +(4-0)2 -2 = 4√^-2, 当且仅当P、Q、E、F四点共线，且当P、。
解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2023届高考数学二轮复习含解析
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题1.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.122.已知O 是坐标原点，椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是MF 的中点，则ON 的长为( ) A.8B.6C.5D.43.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π0,3⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ D.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭ 4.已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>，直线y b =-与T 交于A ，B 两点，直线7y b =与T交于C ，D 两点，四边形ABCD 的两条对角线交于点E ，60AEB ∠=︒，则双曲线T 的离心率为( )C.2D.45.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>1C 同渐近线的双曲线2C 过点A ，直线:40l x y +-=与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且与双曲线2C 交于D ，若CD CB λ=，则λ=( ) A.2B.58C.38D.36.双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同且离心率是椭圆C E的标准方程为( )A.2213y x -=B.2221y x -=C.22122x y -= D.2213x y -= 7.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则||||AB DE +的最小值为( )A.16B.14C.12D.108.（多选）已知点P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>所在平面内一点，12(,0),(,0)F c F c -分别为C 的左、右焦点，2121,4PF F F PF c ⊥=,线段12,PF PF 分别交双曲线于,M N 两点,11PF MF λ=,22PF NF μ=.设双曲线的离心率为e ,则下列说法正确的有( )A.若1PF 平行渐近线,则2e =B.若4λ=,则2e = C.若3μ=,则eD.λμ9. （多选）已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，且短轴长为2，离心率1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A.椭圆方程为2213y x +=B.椭圆方程为2213x y +=C.3PQ =D.2PF Q △的周长为10. （多选）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，若()01,M y 为抛物线C 上一点，直线MF的斜率为M 为圆心的圆与C 的准线相切于点Q ，则下列说法正确的是( )A.抛物线C 的准线方程为3x =-B.直线MF 与抛物线C 相交所得的弦长为15C.MFQ △外接圆的半径为4D.若抛物线C 上两点之间的距离为8，则该线段的中点到y 轴距离的最小值为111.双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则双曲线C 的焦距为__________.12.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，12||5||PF PF =，则C 的离心率为______.13.已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，点P 在抛物线上，PQ l ⊥于点Q ，(2,0)M 与抛物线的焦点不重合，且||||PQ PM =，120MPQ ∠=︒，则p =______________.14.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F O 为坐标原点,的点P 在抛物线C 上,满足||||PF PO =. (1)求抛物线C 的方程.(2)过抛物线C 上的点A 作抛物线C 的切线,l A 与O 不重合,过O 作l 的垂线,垂足为B ,直线BO 与抛物线C 交于点D .当原点到直线AD 的距离最大时,求点A 的坐标.15.如图，已知椭圆22112x y +=.设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点10,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线PA ，PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点.（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求||CD 的最小值.答案以及解析1.答案：C解析：由题意，得b c =，则2222b a c c =-=，a =，则椭圆的离心率c e a==. 2.答案：D解析：椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，则点M 到右焦点2F 的距离为8.又N 是1MF 的中点，所以2142ON MF ==. 3.答案：C解析：方程22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则11cos sin αα>.又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin αα<，所以ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 4.答案：A解析：在22221x y a b-=中，令y b =-，得x =，不妨设,),(,)A b B b --，同理可得(,7),,7)C b D b -， 由对称性可知，四边形ABCD 的两条对角线的交点E 在y 轴上. 易知直线AC的方程为)y x b =-，令0x =，得3b y =，即0,3b E ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为60AEB ∠=︒，所以ABE △是等边三角形，|E A y y AB -=，所以22483b a b ==，因为222c a b =+，所以22358a c =，所以e =. 5.答案：C解析：由题意，双曲线1C的离心率c e a ==1ba=，∴设222:(0)C x y αα-=≠，将点A 代入得48α-=，解得4α=-，222:144y x C ∴-=，与直线l 联立得52D y =.易得0,4B C y y ==，CD CB λ=，()5,4,042D C B C x x x x λ⎛⎫∴--=-- ⎪⎝⎭，解得38λ=，故选C. 6.答案：C解析：由题知，椭圆22162x y +=的焦点坐标为(2,0)和(2,0)-设双曲线E的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则224a b +=且2a =，解得222a b ==，所以双曲线E 的标准方程为22122x y -=，故选C.7.答案：A解析：如图所示，设直线AB 的倾斜角为θ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足为1A ，1B ，则1||AF AA =，1||BF BB =，过点F 向1AA 引垂线FG ，得||||cos ||||AG AF pAF AF θ-==， 则||1cos p AF θ=-，同理，||1cos pBF θ=+，则22||||||sin p AB AF BF θ=+=，即24|si |n AB θ=， 因为1l 与2l 垂直，所以直线DE 的倾斜角为π2θ+或π2θ-， 则24||cos DE θ=，则2244||||sin cos AB DE θθ+=+22224416sin cos sin 21sin 22θθθθ===⎛⎫⎪⎝⎭， 则易知||||AB DE +的最小值为16. 故选A. 8.答案：ACD解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意12PF F △为直角三角形,点P坐标为(,)c ±,直线1PF斜率1260k PF F =∠=.不妨设点P 在第一象限,如图.选项A,若1PF 平行渐近线,则ba,得2e =,故A 正确.选项B,若4λ=,则1MF c =.连接2MF (图略),由1260PF F ∠=︒,解得221,21)MF a MF MF c =∴=-=,得1e ,故B 错误.选项C,若3μ=,则2NF =.连接1NF (图略),由2190PF F ∠=︒,解得112,2NF a NF NF ∴=-=,得e 故C 正确. 选项D,114PF c MF λ==,14cMF λ∴=,点M 的坐标为2,M M cx c y λ=-=,代入双曲线方程得()2222ac c b λ+=,22b NF a =,则22PF NF λμμ==∴==故D 正确.故选ACD.9.答案：ACD解析：由已知，得22b =，3c a =，则1b =.又222a b c =+，所以23a =，所以椭圆的方程为2213y x+=.由题意，得223b PQ a ===，2PF Q △的周长为4a =.故选ACD. 10.答案：ACD解析：过点M 作MB 垂直于x 轴，垂足为B ，MF k =-，∴直线MF 的倾斜角为120°，60MFB ∴∠=︒，在Rt MBF △中，30BMF ∠=︒，||2||212pMF BF ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，又由抛物线的定义可得||12pMF =+，21122p p ⎛⎫∴-=+ ⎪⎝⎭，解得6p =，∴抛物线C 的方程为212y x =，抛物线C 的准线方程为3x =-，故A 正确；易知直线MF的方程为3)y x =-，代入抛物线C 的方程，得21090x x -+=，解得1x =或9x =，∴直线MF 与抛物线C 相交所得弦长为19616++=，选项B 不正确；易得M ，(3,0)F，(3,Q -，||QF ==120QMF ∠=︒，设MFQ △外接圆的半径为r，根据正弦定理可得||28sin QF r QMF ====∠，4r ∴=，选项C正确；设抛物线C 上的两点分别为()11,G x y ，()22,H x y ，则||||||8GF HF GH +≥=，当且仅当G ，H ，F 三点共线时，等号成立，由抛物线的定义可知，1212||||6GF FH x x p x x +=++=++，所以1268x x ++≥，即122x x +≥，所以线段GH 的中点到y 轴的距离122122x x +≥=，选项D 正确.故选ACD. 11.答案：解析：根据题意，双曲线222:1(0)4x y C b b -=>C:x 24-y 2b 2=1(b >0)的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为2by x =±，又由该双曲线的一条渐近线方程为320x y +=，即32y =-=3=；所以2c ==15PF =122PF +=153a =，2PF =12PF F 中，由余弦定理可得：22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，而1260F PF ∠=︒，即222255429933a a a c a =+-⨯⨯712=，可得离心率c e a ==13.答案：45解析：如图，设抛物线的焦点为F ，连接PF ，由拖物线的定义知||||PQ PF =，又||||PQ PM =，所以||||PF PM =，由PQ l ⊥及120MPQ ∠=︒，得60PMF ∠=︒，于是PFM △为正三角形，||22pMF =-，所以点P 的坐标为1242p p ⎛⎫⎫+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将其代入22(0)y px p =>，得23221424p p p ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2556480p p +-=，即(12)(54)0p p +⋅-=，所以45p =. 14.答案：(1)24x y =(2)(2)-或( 解析：本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系.(1)依题意设点1),(0,0),(0,)2p P O F p ,由||||PF PO =,又0p >,解得2p =,所以抛物线C 的方程为24x y =.(2)设()22,(0)A t t t ≠,由214y x =求导,得12y x '=, 所以过点A 的切线l 斜率为122k t t =⨯=, 所以切线l 的方程为2(2)y t t x t -=-, 即2y tx t =-.因为直线OB 与切线l 垂直,所以1OB k t=-, 直线OB 方程为1y x t=-,即0x ty +=,由20,4,x ty x y +=⎧⎨=⎩解得24,4,x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,0x y =⎧⎨=⎩(舍).即点244(,)D t t-.因为()22442,,(,)A t t D t t-,所以22242422ADt t t k t t t --==+, 则直线AD 的方程为222(2)2t y t x t t--=-,即()22240t x ty t --+=. 原点到直线AD 的距离d ===2≤=,当且仅当224t t=,即t =,等号成立. 所以原点到直线AD 的距离最大为2,此时点A 坐标为(2)-或(.15.解析：（Ⅰ）设,sin )([0,2))M θθθ∈π是椭圆上任意一点，由(0,1)P ，知222221441144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PM θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤ ⎪⎝⎭， 故||PM即点P（Ⅱ）易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：12y kx =+，联立直线AB 与椭圆的方程，整理得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122112k x x k +=-+，12231412x x k =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.直线PA 的方程为1111y y x x -=+，代入132y x =-+， 整理得111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-. 同理可得，222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-，则||C D CD x =-224(21)1x k x =-+-=====341431kk⨯+≥+=，当且仅当3|4|4k=，即3||16k=时等号成立，所以当3||16k=时，||CD.11。
2020高三上学期考试数学理(解析几何)精选试题及答案(WORD版)
2020年高三上学期考试数学理（解析几何）精选试题一、选择1、设a ∈R ,则“1a =”是 “直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2、已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ） （A（B（C或 （D或 3、 “1k =”是“直线0kx y --=与圆229x y +=相切”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4、在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5、已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分6、如图，PAD ∆为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．若点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为（ ）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．一段圆弧D ．一条线段7、阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与A ，B,,P A B 不共线时，PAB ∆面积的最大值是（ ） A ． B ．C ．D ． PA B DC M8、已知点F 为抛物线C ：()220ypx p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C上，则下列说法错误．．的是（ ） （A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 （B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C ）使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 （D ）使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个二、填空题9、命题p ：已知(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----，满足AMD BMC ∠=∠的所有点M 都在y 轴上．能够说明命题p 是假命题的一个点M 的坐标为______．10、能够说明“方程()()()()221313m x m y m m -+-=--的曲线是椭圆”为假命题的一个m 的值是 ．11、已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为x y =，则实数a 的值为____________ .12、点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是______________ .三计算题13、已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(A ,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．14、椭圆C 的焦点为1(F ,2F ，且点M 在椭圆C 上.过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点,点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）. (I) 求椭圆C 的标准方程；(II)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标.15已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅ 为定值．16已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB 的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．17已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.18已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C .（Ⅰ）求C 得方程；（Ⅱ）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB =.平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FT MN P ； （Ⅲ）求线段FN 的长.21已知椭圆2222:1(0)5x y C b b b+=>的一个焦点坐标为(2,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(3,0)E ，过点(1,0)的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于,M N 两点，直线ME 与直线5x =相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行．22已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率等于2，经过其左焦点(1,0)F -且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) O 为原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．23已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点(B 在椭圆C 上，12F BF ∆是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点A 在椭圆C 上，线段1AF 与线段2BF 交于点M ，若12MF F ∆与12AF F ∆的面积之比为2:3，求点M 的坐标.24已知椭圆C ：2229x y +=，点(2,0)P .（Ⅰ）求椭圆C 的短轴长与离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ， 判断||TP 与||TM 的大小，并证明你的结论.25已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =+C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．26已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．27已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.答案一、选择 1C 2D 3A 4A 5B 6D 7A 8C 二、填空题 91(,22（点M 的坐标只需满足222x y +=，(1,0)(0,1)x ∈-U 或y x =±，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞U ） 10 (]{}[),123,m ∈-∞+∞U U 中任取一值即为正确答案 1112 1三计算题13 （Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±，设直线OM 的方程是y x =，由22236,,x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =，1y =±．取(,1)2M，则1)2N -．所以OMN ∆的面积为2． ②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=．因为M ，N 在椭圆C 上， 所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN === 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得2OMNS ∆===．综上所述，OMN S ∆=．…13分 14：(I)法一设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>.由已知得22222,211,a b c a b c ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分 法二设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得c =12214a MF MF =+==.所以2a =， 2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. ………6分(II)法一当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+.由221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y . 则22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩特殊地，当A 为(2,0)时，12=-k ，所以2423=-x ，223=-x ，243=y ，即24(,)33-B . 所以点B 关于y 轴的对称点24(,)33D ，则直线AD 的方程为(2)=--y x . 又因为当直线l 斜率不存时，直线AD 的方程为0=x ， 如果存在定点Q 满足条件，则(0,2)Q . 所以111112111---===-QA y y k k x x x ，222222111---===-+--QD y y k k x x x ， 又因为 121212112()2()220QA QB x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-=， 所以=QA QD k k ，即,,A D Q 三点共线.即直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2)Q . …14分 法二 (II)①当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+ .由221,24y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得22(12)420k x kx ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -. 所以22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩因为2121AD y y k x x -=--，所以直线AD 的方程为：211121()y y y y x x x x --=---.所以21121112121y y x y x y y x y x x x x --=⋅++--+21121121112121y y x y x y x y x y x x x x x --++=⋅+--+2112212121y y x y x y x x x x x -+=⋅+--+2112212121(1)(1)y y x kx x kx x x x x x -+++=⋅+--+21122121212y y kx x x x x x x x x -++=⋅+--+2112212121y y kx x x x x x x -=⋅++--+21212y y x x x -=⋅+--.因为当0,2x y ==，所以直线MD 恒过(0,2)点. ②当k 不存在时，直线AD 的方程为0x =，过定点(0,2).综上所述，直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2). …………14分15：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分] 设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y n y n x t x t --=--，令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n -=-．[9分] 直线MB 的方程为00()y n y n x t x t ++=--，令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．[11分] 所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n-- ()()222202204242=n y n y y n ----22022044=y n y n --=4．所以OE OF ⋅为定值．[14分] 16：（Ⅰ）由题意得 解得的方程为． 5分 （Ⅱ）设．222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，b =C 22143x y +=112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y因为点在直线上且满足，所以．因为三点共线，所以．所以， 解得 因为点在椭圆上，所以．所以． 即， 因为在椭圆上，所以，．因为直线的斜率之积为，所以，即． 所以，解得．所以． …………………14分 17：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.…….4分 （Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分P AO ||3||PO OA =11(3,3)P x y ,,B Q P BP BQ λ=u u u r u u u r12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩Q C 2233143x y +=2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1,A B C 2211143x y +=2222143x y +=,OA OB 34-121234y y x x ⋅=-1212043x x y y +=2291()1λλλ-+=5λ=||||5||BP BQ λ==则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r 的值是定值，且定值为0. ……….13分18：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==G的离心率是c e a ==（Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-.法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+①由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=②将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-.法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+ 因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=u u u r u u u r.（此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++u u u r u u u r 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19：（Ⅰ）因为动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等， 所以动点P 的轨迹是以点()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线. 设C 的方程为22y px =，则12p=，即2p =.所以C 的轨迹方程为24y x =. （Ⅱ）设2,4m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22,04m B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率为22m mk ==--.设与AB 平行，且与抛物线C 相切的直线为2my x b =-+， 由242y xmy x b⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得2880my y b +-=，由64480m b ∆=-⋅⋅=得2b m =-， 所以4y m =-，所以点244,D mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当2244m m ≠，即2m ≠±时，直线AD 的方程为2224444m m m y m x m m+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，整理得()2414my x m =--，所以直线AD 过点()1,0.当2244m m=，即2m =±时，直线AD 的方程为1x =，过点()1,0，综上所述，直线AD 过定点()1,0. 20：（Ⅰ） (0,1)F …………2分 （Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-.又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN P . ………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)NN NN y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N N x x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NNy y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1N N x y +-= （0N x ≠）.即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. ………14分21：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩所以225,1a b ==. 所以椭圆C 的方程为2215x y +=. ……3分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN x ⊥轴.设(1,0)D ，直线5x =与x 轴相交于点G ， 易得(3,0)E 是点(1,0)D 和点(5,0)G 的中点，又因为||||MD DN =，所以||||FG DN =.所以直线//FN x 轴.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1122(,),(,)M x y N x y . 因为点(3,0)E ，所以直线ME 的方程为11(3)3y y x x =--.令5x =，所以11112(53)33F y y y x x =-=--.由22(1),55y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得2222(15)105(1)0k x k x k +-+-=. 显然0∆>恒成立. 所以22121222105(1),.5151k k x x x x k k -+==++ 因为1211211221112(3)2(1)(3)2(1)333F y y x y k x x k x y y y x x x -------=-==--- 22221212115(1)10[35][3()5]515133k k k k x x x x k k x x --⨯+-++++==--22221516510513k k k k k x --++=⋅=+-，所以2F y y =.所以直线//FN x 轴.综上所述，所以直线//FN x 轴. ……………14分22：（I）由题意得221,21.a ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0∆>.设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于 “QF 平分MQN ∠ ”，且12,x t x t ≠≠， 又等价于“12120QM QN y yk k x t x t+=+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-，所以(20)Q -，.当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等. 故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等. 23：（Ⅰ）由题意(B 是椭圆C 短轴上的顶点， 所以b =12F BF ∆是正三角形，所以122F F =，即1c =.由2224a b c =+=，所以2a =.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. （Ⅱ）设()00,M x y ，(),A A A x y ，依题意有00x >，00y >，0A x >，0A y >. 因为121223MF F AF F S S ∆∆=，所以01213A x x +=+，且023A y y =， 所以0312A x x +=，032A y y =，即00313,22x A y +⎛⎫⎪⎝⎭. ① ②因为点A 在椭圆上，所以22143A A x y +=，即220031322143x y +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=. 所以200152270x x -+=，解得01x =，或0715x =. 因为线段1AF 与线段2BF 交于点M ，所以01x <，所以0715x =. 因为直线2BF的方程为)1y x =-，将0715x =代入直线2BF的方程得到015y =.所以点M的坐标为7,1515⎛ ⎝⎭.24：（Ⅰ）C ：221992x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==分 椭圆C的短轴长为2b =…..3分离心率为2c e a ==. ………..5分 （Ⅱ）方法1：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<= ……………..7分 当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ..8分 22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+>故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ……………..9分 PM PN ⋅uuu r uuu r1212(2)(2)x x y y =--+21212(2)(2)(1)(1)x x k x x =--+-- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++2222222294(1)(2)42121k k k k k k k -=+⋅-+⋅++++226521k k +=-+ 0< ……..13分故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM <（Ⅱ）方法2：结论是：||||TP TM <.当直线l 斜率不存在时，:1l x =，||0||2TP TM =<= ……………..7分当直线l 斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)T T T x y2229(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，整理得：2222(21)4290k x k x k +-+-= ………..8分 22222(4)4(21)(29)64360k k k k ∆=-+-=+> 故2122421k x x k +=+，21222921k x x k -=+ ………..9分212212()221T k x x x k =+=+，2(1)21T T ky k x k =-=-+……………..10分222242222222222222(22)494||(2)(2)()2121(21)(21)T Tk k k k k k TP x y k k k k ++++=-+=-+-==++++..11分222222121212111||(||)(1)()(1)()4244TM MN k x x k x x x x ⎡⎤==+-=++-⎣⎦ 222242222222221429(1)(169)16259(1)[()4]42121(21)(21)k k k k k k k k k k k -++++=+-⋅==++++..12分 此时，424242222222221625949412165||||0(21)(21)(21)k k k k k k TM TP k k k ++++++-=-=>+++ 故||||TM TP >…………..13分 25：（Ⅰ）由题意得 2a =，c e a == 所以c ．因为 222a b c =+， 所以 1b =， 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=．[ 5分] （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k，||PA = [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=，[ 8分]由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+． [ 9分]所以||MN ==． [10分]因为 ||||PA MN =， 所以= 421656330k k -+=， [12分]解得k =k = [13分]经检验均符合0∆>，但k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以k ，或k =[14分]26：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．设椭圆C 的半焦距为c ，则c == 所以椭圆C的离心率c e a ==[ 5分] （Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=u u u r u u u r u u u r， [ 8分]所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分] 将上式代入 220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分] 整理得 2528360t t -+=，解得 185t =，或2t =． [13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意．27：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+，所以22224,3a c b c == ………2分设椭圆方程为2222143x y c c +=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === 椭圆方程为2211612x y +=…5分 （Ⅱ）当APQ BPQ ∠=∠时，,PA PB 斜率之和为0 设PA 斜率为k ，则PB 斜率为k - …7分设PA 方程为3(2)y k x -=-，与椭圆联立得223(2)3448y k x x y -=-⎧⎨+=⎩ 代入化简得：2222(34)8(32)4(4912)480k x k k x k k ++-++--= (2,3)P ，128(23)234k k x k -+=+同理228(23)234k k x k ++=+，2122161234k x x k -+=+，1224834kx x k --=+ 21122112()412AB y y k x x k k x x x x -+-===-- 即直线AB 的斜率为定值12. ………14分。
2020全国卷高考专题：平面解析几何
10 平面解析几何1.（2020•北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A . 4 B . 5C . 6D . 7【答案】A【解析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.2.（2020•北京卷）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A . 经过点OB . 经过点PC . 平行于直线OPD . 垂直于直线OP【答案】B【解析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.3.（2020•北京卷）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x=±，即0x ±=，所以，双曲线C=故答案为：()3,0【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.4.（2020•北京卷）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Qy y <，且：P Q PB yPQ y =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+， 故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5.（2020•全国1卷）已知A 为抛物线C :y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（ ） A . 2 B . 3 C . 6 D . 9【答案】C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.6.（2020•全国1卷）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --= B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D .【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．7.（2020•全国1卷）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【解析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．8.（2020•全国1卷）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a ＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y += （2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+ 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.9.（2020•全国2卷）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为d ==230x y --=.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10.（2020•全国2卷）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =值不等式，即可求得答案.【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限.联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b ,联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩,故(,)E a b -,∴||2ED b = ∴ODE 面积为：1282ODES a b ab =⨯==△,双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>∴其焦距为28c =≥==,当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8,故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11.（2020•全国2卷）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =.【解析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【详解】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22bAB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=， 43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=， 01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =.因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =.【点睛】本题考查椭圆离心率求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.12.（2020•全国3卷）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (1,0)D. (2,0)【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.13.（2020•全国3卷）设双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 的12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=， ()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.14.（2020•全国3卷）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=， 设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：5d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：15252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ 面积为：52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y ＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y x ，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【解析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215xy a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2yx =，即22b a a=⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 16.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________． 【答案】【解析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形P AB 面积，最后利用导数求最大值.【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.17.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标． 【答案】（1）6；（2）－4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长； （2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=,∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭,∵准线方程为4x =,∴()4,Q Q y , ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+,∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S = ∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅,∴95d =,∴113439x y -+=① ∵2211143x y +=②,∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 18.（2020•新全国1山东）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A . 若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B . 若m ＝n ＞0，则CC . 若mn ＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D . 若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：AC D. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.19.（2020•新全国1山东）.C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB ＝________．【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F∴直线AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-=解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.20.（2020•新全国1山东）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】(1)由题意得到关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.的【详解】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 3=）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.21.（2020•天津卷）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=【答案】D【解析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．22.（2020•天津卷）已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．23.（2020•天津卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，的所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-， 所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0， 所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.24.（2020•浙江卷）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |＝2，且P 为函数y＝|OP |＝（ ）A.2B.C.D.【答案】D【解析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103yx x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==D . 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．25.（2020•浙江卷）设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b ＝______．【答案】 (1).3 (2). 3-【解析】由直线与圆12,C C 相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】由题意，12,C C1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得33k b ==-.故答案为：33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.26.（2020•浙江卷）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 【答案】（Ⅰ）1(,0)32；（Ⅱ【解析】【详解】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y m λλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222m x p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-+=+⋅=++≥+，所以24218p p +≥，21160p ≤，10p ≤， 所以，p 的最大值为10，此时2105(,)A .法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+. 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=， 所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当102,5m t ==时，p 取到最大值为1040. 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.27.（2020•上海卷）椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【答案】10x y +-=28.（2020•上海卷）双曲线22122:14x y C b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩。
2020新高考数学多选题之知识梳理与训练：解析几何
解析几何1．集合{}22(,)|4A x y x y =+=，{}222(,)|(3)(4)B x y x y r=-+-=，其中0r >，若A B 中有且仅有一个元素，则r 的值是（ ）.A ．3B ．5C ．7D ．9 【答案】AC【解析】圆224x y +=的圆心是(0,0)O ，半径为2R =，圆222(3)(4)x y r -+-=圆心是(3,4)C ，半径为r ， 5OC =，当25r +=，3r =时，两圆外切，当25r -=，7r =时，两圆内切，它们都只有一个公共点． 故选：AC ．2．若P 是圆C ：()()22331x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的值可以为（ ） A ．4B ．6C ．321+D ．8 【答案】ABC【解析】如图，圆C ：()()22331x y ++-=的圆心坐标为()3,3-，半径为1， 直线1y kx =-过定点()0,1-，由图可知，圆心C 到直线1y kx =-22(30)(31)5--++=，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值为516+=.ABC 中的值均不大于6，只有D 不符合.故选：ABC.3．设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1,3]【答案】ABD【解析】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为003y b <=,则12PF F ∆项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大. 此时,122PF PF a ===,又122F F =, 则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误. 由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .4．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）。
2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)
2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为 ．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。
2020届高考解析几何(2)汇编专题数学(文)试题Word版含解析
专题12 解析几何（2）解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆．1．（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．2．（2018年）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．3．（2017年）设A，B为曲线C：y＝24x上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．4．（2016年）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（1）求OH ON；（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．5．（2015年）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围； （2）若OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |．6．（2014年）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．7．（2013年）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．8．（2012年）设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．9．（2011年）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．10．（2010年）设F1，F2分别是椭圆E：x2+22yb＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求|AB|；（2）若直线l的斜率为1，求b的值．专题12 解析几何（2）详细解析解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆．1．（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解析】（1）∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+（12|AB|）2＝R2，即224R+=①又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得R2a=⎧⎨=⎩或4R6a=⎧⎨=⎩，∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，∴y2＝4x，∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．2．（2018年）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解析】（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，∴M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y＝12x+1，或：y＝﹣12x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得222y xx ty⎧=⎨=+⎩，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有k BN+k BM＝112y x++222yx+＝()()()222112121222222y yy y y yx x⎛⎫⨯+⨯++⎪⎝⎭++＝()()()1212122222y yy yx x⎛⎫++⎪⎝⎭++＝0，∴直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．3．（2017年）设A，B为曲线C：y＝24x上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解析】（1）设A（x1，214x），B（x2，224x）为曲线C：y＝24x上两点，则直线AB的斜率为k＝22121244x xx x--＝14（x1+x2）＝14×4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝24x，可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，再由y＝24x的导数为y′＝12x，设M（m，24m），可得M处切线的斜率为12m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得12m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM＝﹣1，即为221212114422x xx x--⋅--＝﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t ＝7．则直线AB 的方程为y ＝x +7．4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OHON ；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．【解析】（1）将直线l 与抛物线方程联立，解得P （22t p，t ）， ∵M 关于点P 的对称点为N ， ∴2x x N M +＝22t p ，2y y N M +＝t ， ∴N （2t p，t ）， ∴ON 的方程为y ＝p tx ， 与抛物线方程联立，解得H （22t p，2t ） ∴OHON ＝y y HN ＝2；（2）由（1）知k MH ＝2p t， ∴直线MH 的方程为y ＝2p t x +t ，与抛物线方程联立，消去x 可得y 2﹣4ty +4t 2＝0， ∴△＝16t 2﹣4×4t 2＝0，∴直线MH 与C 除点H 外没有其它公共点．5．（2015年）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围； （2）若OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |．【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程为y ＝kx +1，即kx ﹣y +1＝0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R ＝1．1，kA （0，1）的直线与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1相交于M ，N 两点． （2）设M （x 1，y 1）；N （x 2，y 2），由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y ＝kx +1，代入圆C 的方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1， 可得 （1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7＝0， ∴x 1+x 2＝()2411k k ++，x 1•x 2＝271k +， ∴y 1•y 2＝（kx 1+1）（kx 2+1）＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＝271k +•k 2+k •()2411k k +++1＝2212411k k k +++， 由OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝x 1•x 2+y 1•y 2＝2212481k k k+++＝12，解得 k ＝1， 故直线l 的方程为 y ＝x +1，即 x ﹣y +1＝0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN |＝2．6．（2014年）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解析】（1）由圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，得x 2+（y ﹣4）2＝16，∴圆C 的圆心坐标为（0，4），半径为4． 设M （x ，y ），则()C ,4x y M =-u u u u r ，()2,2x y MP =--u u u r ．由题意可得：C 0M ⋅MP =u u u u r u u u r ．即x （2﹣x ）+（y ﹣4）（2﹣y ）＝0．整理得：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．∴M 的轨迹方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．（2）由（1）知M 的轨迹是以点N （1，3由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．∵k ON ＝3，∴直线l 的斜率为﹣13． ∴直线PM 的方程为()1223y x -=--，即x +3y ﹣8＝0． 则O 到直线l= 又N 到l5= ∴|PM |＝5=．∴1162555S ∆POM =⨯=． 7．（2013年）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．【解析】（1）由圆M ：（x +1）2+y 2＝1，可知圆心M （﹣1，0）；圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心N （1，0），半径3．设动圆的半径为R ，∵动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，∴|PM |+|PN |＝R +1+（3﹣R ）＝4，而|NM |＝2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝3． ∴曲线C 的方程为22143x y +=（x ≠﹣2）．（2）设曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM |﹣|PN |＝2R ﹣2≤3﹣1＝2，所以R ≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0），R ＝2时，其半径最大，其方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．①l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R ，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交点为Q ，则1Q R Q r P =M ，可得Q （﹣4，0），所以可设l ：y ＝k （x +4）， 由l 于M1=，解得4k =±．当4k =时，联立224143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得到7x 2+8x ﹣8＝0． ∴1287x x +=-，1287x x =-． ∴|AB |21x -187=，由于对称性可知：当k =|AB |＝187． 综上可知：|AB |＝187． 8．（2012年）设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD ＝90°，△ABD的面积为，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【解析】（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD |＝2p点A 到准线l的距离F F d =A =B =，∵△ABD 的面积S △ABD＝∴11D 222d p ⨯B ⨯=⨯= 解得p ＝2，所以F 坐标为（0，1）， ∴圆F 的方程为x 2+（y ﹣1）2＝8．（2）由题设200,2x x p ⎛⎫A ⎪⎝⎭（00x >），则F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵A ，B ，F 三点在同一直线m 上，又AB 为圆F 的直径，故A ，B 关于点F 对称．由点A ，B 关于点F 对称得：200,2x x p p ⎛⎫B -- ⎪⎝⎭2022x p p p ⇒-=-2203x p ⇒=，得：3,2p ⎫A ⎪⎭，直线m：32p p p y x -=+02x ⇒+=， 22x py =22x y p ⇒=3x y p '⇒==x ⇒=⇒切点,36p ⎛⎫P ⎪ ⎪⎝⎭， 直线n：6p y x -=⎝⎭06x p ⇒-=， 坐标原点到m ，n3=． 9．（2011年）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2﹣6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线x ﹣y +a ＝0交与A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【解析】（1）法一：曲线y ＝x 2﹣6x +1与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（，0），（3﹣，0）．可知圆心在直线x ＝3上，故可设该圆的圆心C 为（3，t ），则有32+（t ﹣1）2＝（）2+t 2，解得t ＝1，故圆C3=，所以圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝9． 法二：圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， x ＝0，y ＝1有1+E +F ＝0，y ＝0，x 2 ﹣6x +1＝0与x 2+Dx +F ＝0是同一方程，故有D ＝﹣6，F ＝1，E ＝﹣2，即圆方程为x 2+y 2﹣6x ﹣2y +1＝0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其坐标满足方程组()()220319x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得到方程2x 2+（2a ﹣8）x +a 2﹣2a +1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a ﹣4a 2＞0． 在此条件下利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝4﹣a ，x 1x 2＝2212a a -+①， 由于OA ⊥OB 可得x 1x 2+y 1y 2＝0，又y 1＝x 1+a ，y 2＝x 2+a ，所以可得2x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2＝0② 由①②可得a ＝﹣1，满足△＝56﹣16a ﹣4a 2＞0．故a ＝﹣1． 10．（2010年）设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+22y b ＝1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．（1）求|AB |；（2）若直线l 的斜率为1，求b 的值．【解析】（1）由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|+|BF 2|，得43AB =． （2）l 的方程式为y ＝x +c，其中c =设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得（1+b 2）x 2+2cx +1﹣2b 2＝0． 则12221c x x b-+=+，2122121b x x b -=+． 因为直线AB 的斜率为1，所以21x AB =-，即2143x =-． 则()()()()()2242121222222414128849111b b b x x x x b b b --=+-=-=+++．解得2b =．。
解析几何(2020高考)
解析几何（2020高考）1.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为1k ，2k ，3k ，4k ．①若12215k k +=，求直线PQ 的斜率；②求1234()()k k k k ++的最小值．（第18题）2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195y x C +=与22221(06)36y x C b b +=<<: 的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A B ，两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ．椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程； （2）若ABO △求直线AB 的方程；（3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD是平行四边形．3.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右准线为直线4x =，左顶点为A ，右焦点为F . 已知斜率为2的直线l 经过点F ，与椭圆E 相交于,B C 两点，且O 到直线l 的距离为255.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若过O 的直线:m y kx =与直线,AB AC 分别相交于,M N 两点，且OM ON =，求k 的值.5.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，两准线间距离为8，圆O的直径为F1F2，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭圆C交于点N（N点在T点上方），且OM＝ON．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求直线l的方程；（3）求直线l上满足到F1，F2距离之和为的所有点的坐标．参考解答1.解：（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的短轴长为2，所以b ＝1，当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形， 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故132PF a =，212PF a =， 由2221212PF PF F F =+得2222291144(1)444a a c a a =+=+-，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为2212x y +=． （2）①设直线PQ ：(1)y k x =-，代入到椭圆方程得：2222(12)4(22)0k x k x k +-+-=， 设P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， 所以121221121212[(1)(3)(1)(3)]33(3)(3)y y k x x x x k k x x x x --+--+=+=----， 化简可得122228715k k k k +==+， 解得：1k =或78k =，即为直线PQ 的斜率．②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0k k k k ++=， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知122287k k k k +=+，同理可得342287kk k k-+=+ 故21234422244()()1565611356()113k k k k k k k k k--++==++++4225≥=-， 当且仅当221k k =即k ＝±1时取等号．综上，1234()()k k k k ++的最小值为4225-． 2.3.4.(1) 设椭圆E 的焦距为2c ，则直线l 的方程为2()y x c =-，即220x y c --=. 因为O 到直线l 25，222002521c d ⨯--==+255=，则1c =. ………………….3分 因为椭圆E 的右准线的为直线4x =，则24a c =，所以24a =，2223b a c =-=，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ………………….4分(2) 由(1)知l ：2(1)y x =-，设11(,)B x y ，22(,)C x y .由222(1),3412y x x y =-⎧⎨+=⎩得2193240x x -+=，则212123241940,32,194.19x x x x ⎧⎪∆=-⨯⨯>⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩………….6分 由(2,0)A -，11(,)B x y 可知11:(2)2y AB y x x =++， 由11,(2)2y kx y y x x =⎧⎪⎨=+⎪+⎩得1112(2)M y x k x y =+-， ………………….9分 同理2222(2)N y x k x y =+-，因为OM ON =2211M N k k +=+，由图可知0M N x x +=， ………………….12分 所以1222112[(2)]2[(2)]0y k x y y k x y +-++-=，即122211(1)[(2)2(1)](1)[(2)2(1)]0x k x x x k x x -+--+-+--=， 所以121212122112124(1)(1)4[()1](1)(2)(1)(2)2()4x x x x x x k x x x x x x x x ---++==-++-+++- ……………….14分 4324[1]4(43219)19191432832419241919-+-+===+-⨯⨯+-. ………………….16分5.。
2020年高考数学试题分类汇编解析几何精品
、选择题2 2cA -1.(重庆理8)在圆x y 2x 6y 0内，过点E (0, 1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD,则四边形ABCDW面积为A. 5、. 2 B 10、. 2 C. 15.2 D. 20.2【答案】B2 2 2C1：3 4 1(a> b>0) C1:x2 *y- 12.(浙江理8)已知椭圆 a b 与双曲线 4 有公共的焦点，C1的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则2 13 -2 1a 2b 2A. 2 B, a 13 C, 2 D. b 2【答案】C3.(四川理10)在抛物线y x2 ax 5(aw0)上取横坐标为x1 4, x2 2的两点，过L 2 L 2这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 5y 36相切，则抛物线顶点的坐标为A. ( 2, 9) B (0, 5) C (2, 9) D (1, 6)【答案】C【解析】由已知的割线的坐标(4,11 4a),(2,2 a 1),K 2 a,设直线方程为36 b22y (a 2)x b,则5 1 (2 a)五、解析几何2y x ax 5 ,b又y (a 2)x b6 a 4 ( 2, 9)4.(陕西理2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x 2,则抛物线的方程是2 2A, y 8x B . y 8x C. y2 4x D . y2 4x5. 理8 )已知双曲线2 2上工2 ,2a b1(a>0, b>0)的两条渐近线均和圆2x2或卫D. 3 2A. 5B. 2 y_5 C. 3 D. 66.（全国新课标理 7) 已知直线 l 过双曲线C 的一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与C 交于A, B 两点，1ABi为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 (A)短(B)由 (C) (D) 3 7.（全国大纲理 10）已知抛物线 2 C ：y 4x的焦点为F,直线y 2x 4与C 交于A, B 两点.则cos AFB = A. 5 3B. 5C .8.（江西理 9)若曲线C 1 :点，则实数 m 的取值范围是A.( B .C.[ 9.（湖南理 5) 设双曲线 y 9 D .2xD.(与曲线C2:，0)U (0,y(y的渐近线方程为mx m ） 0有四个不同的交3x 2y0,则a 的值为A. 4 【答案】C D. 110.（湖北理 4）将两个顶点在抛物线 2 px(p 0）上， 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 A. n=0 【答案】C 11.（福建理 n, 则 B. n=1 C .n=2D. n7) 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为F1, F2,若曲线r 上存在点P 满足PF 1 : F 1F 2 : PF2 1或3 A. 22=4:3:2 ,则曲线r 的离心率等于 B. 3 或 2【答案】A12 .（北京理8）设A 0，0 , B 4，0 , C t 4，4 , D t ，4 t R .记N t 为平行四边形 ABCg 部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 的值域为C 22 c13 .（安徽理2）双曲线2x y8的实轴长是则线段AB 的中点到y 轴的距离为、填空题15 .（湖北理14）如图，直角坐标系 x O y 所在的平面为，直角坐标系xOy （其中y 轴一与射影C 的方程是 【答案】(2, 2) (x 1)2 y2 12 x 2116 .（浙江理17）设F1,F 2分别为椭圆 3的左、右焦点，点A,B 在椭圆上，若uuruurnF 1A 5F 2B;则点 A 的坐标是A. 9,10,11B.9,10,12 C.9,11,12D.10,11,12(A) 2(B) 2 2(C) 4(D) 4 214.（辽宁理已知F 是抛物线 y2=x 的焦点, A,B 是该抛物线上的两点， IAF BF =3(A)4(B) 1'轴重合）所在的平面为，xOx 45 。
(参考答案)2023高考数学难点突破2(2)：解析几何
2023高考数学难点突破专题训练（2）解析几何★应知应会椭圆的基本量1. 如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．图(1)图(2)2. 如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3. 椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．4. 设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线P A与PB的斜率之积为定值________．1. 2b2a 2. b2·tanθ2 3. a＋c a－c 4. －b2a2直线与椭圆1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1) 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ>0直线与圆锥曲线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线________；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2. 圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．1. (1) ①相交②相切③相离2. 1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|双曲线的基本量运算1. 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2. 如图，P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为________．3. 焦点到渐近线的距离为________．4. 设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，则直线P A 与PB 的斜率之积为________．1. 2b 2a2. b 2tan θ2 3. b 4. b 2a 2 抛物线设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1) x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2) AF ＝p 1－cos α ，BF ＝p 1＋cos α ，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3) 1F A ＋1FB ＝2p； (4) 以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5) 以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6) 过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．直线与圆锥曲线1. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x 轴交于P ，Q 两点，O 为椭圆的中心，则OP ·OQ ＝a 2.2. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝－b 2a 2 . 3. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. 4. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 过定点(2p ，0).。
2020年高考数学试题分项版—解析几何(原卷版)
2020年高考数学试题分项版——解析几何（原卷版）一、选择题1．(2020·全国Ⅰ理，4)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．92．(2020·全国Ⅰ理，11)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝03．(2020·全国Ⅱ理，5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.4554．(2020·全国Ⅱ理，8)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．325．(2020·全国Ⅲ理，5)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0) 6．(2020·全国Ⅲ理，10)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋127．(2020·全国Ⅲ理，11)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．88．(2020·新高考全国Ⅰ，9)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nxD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线9．(2020·新高考全国Ⅱ，10)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线10．(2020·北京，5)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．711．(2020·北京，7)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP12．(2020·天津，7)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝113．(2020·浙江，8)已知点O (0,0)，A (－2,0)，B (2,0)，设点P 满足|PA |－|PB |＝2，且P 为函数y ＝34－x 2图象上的点，则|OP |等于( ) A.222 B.4105C.7D.10 14．(2020·全国Ⅰ文，6)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415．(2020·全国Ⅰ文，11)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( ) A.72 B ．3 C.52D ．2 16．(2020·全国Ⅱ文，8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.45517．(2020·全国Ⅱ文，9)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．3218．(2020·全国Ⅲ文，7)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0) 19．(2020·全国Ⅲ文，8)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，15)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________． 2．(2020·新高考全国Ⅰ，13)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.3．(2020·新高考全国Ⅱ，14)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.4．(2020·北京，12)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．5．(2020·天津，12)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为________．6．(2020·江苏，6)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，则该双曲线的离心率是________． 7．(2020·江苏，14)在平面直角坐标系xOy 中，已知P ⎝⎛⎭⎫32，0，A ，B 是圆C ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝36上的两个动点，满足PA ＝PB ，则△PAB 面积的最大值是________．8．(2020·浙江，15)已知直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝________，b ＝________.9．(2020·全国Ⅲ文，14)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝2x ，则C的离心率为________． 三、解答题1．(2020·全国Ⅰ理，20)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →·GB →＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．2．(2020·全国Ⅱ理，19)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．3．(2020·全国Ⅲ理，20)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C的左、右顶点． (1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．4．(2020·新高考全国Ⅰ，22)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．5．(2020·新高考全国Ⅱ，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12.(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．6．(2020·北京，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (－2，－1)，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点B (－4,0)的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝－4于点P ，Q .求|PB ||BQ |的值．7．(2020·天津，18)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．8.(2020·江苏，18)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B .(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →·QP →的最小值； (3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．9.(2020·浙江，21)如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点．过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A )．(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10．(2020·全国Ⅰ文，21)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →·GB →＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．11．(2020·全国Ⅱ文，19)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．12．(2020·全国Ⅲ文，21)已知椭圆C：x225＋y2m2＝1(0<m<5)的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题02 相等关系与不等关系,计数原理(原卷版)
专题2 相等关系与不等关系高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.预测2020年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查.第一部分 相等关系与不等关系一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺2．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,23．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．1634．（2020·全国高三专题练习（文））“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ．14a -≤ C ．2a ≤- D．0a ≤5．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1ba<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（ ）A ．{1x <-或1}2x > B ．1{1}2x x -<<C ．{21}x x -<<D ．{2x <-或1}x >9．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．1810．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．9211．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．913．（2020届山东师范大学附中高三月考）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．614．（2020届山东实验中学高三上期中）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．815．（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(),1-∞C ．()()1,22,3⋃D ．()(),13,-∞⋃+∞二、多选题16．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 17．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b > D ．22a b >18．（2020届山东省潍坊市高三上期中）若x y ≥，则下列不等式中正确的是（ ） A ．22x y ≥B ．2x yxy +≥ C ．22x y ≥ D ．222x y xy +≥19．（2020届山东省九校高三上学期联考）下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤20．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 三、填空题21．（20201x x +x =______. 22．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.23．（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________．24．（2020·全国高三专题练习（理））谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数13与115的和表示25等.从11111,,,,,234100101⋅⋅⋅这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是________.（按照从大到小的顺序排列）25．（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 26．（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．27．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设()()201x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，＞． （1）当12a =时，f （x ）的最小值是_____； （2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____． 四、解答题28．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售， ()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价()a b c <<，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ是由当b a -是c b -，c a -的比例中项时来确定.（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求()P x 的最大值； （2）求乐观系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台()x N *∈的收益函数为()2300020R x x x =- （单位：万元），成本函数()5004000C x x =+（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x 为何值时利润函数()P x 取得最大值，并解释边际利润函数()MP x 的实际意义． 30．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（Ⅰ）当3a =时，求A B I ；（Ⅱ）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.第二部分 计数原理一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A ．216B ．480C ．504D ．6242．（2020届山东省九校高三上学期联考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A ．20 B ．15 C ．10D ．53．（2020·全国高三专题练习（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ） A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种4．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A ．59B ．49C ．716D ．9165．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．606．（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15 B ．815 C ．35D ．3208．（2020届山东省临沂市高三上期末）6324x x ⎛⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x9．（2020届山东省潍坊市高三上期中）(82x 展开式中3x 的系数为（ ）A ．-112B ．28C ．56D ．112二、多选题 三、填空题10．（2020届山东省日照市高三上期末联考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在32nx x ⎛ ⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．12．（2020届山东省德州市高三上期末）6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 13．（2020届山东省临沂市高三上期末）现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.14．（2020·全国高三专题练习（理））在()8x 的展开式中,含44x y 项的系数是_______.。
2020解析几何多选题(03)
2020解析几何多选题（03）1．【山东省德州市2019-2020学年高三上学期期末】已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，直线的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF =【答案】ABC【解析】如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.2．【2020年新高考新题型多项选择题专项训练】实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1yx -的判断正确的是（ ）A ．1yx -3B ．1yx -的最小值为3-C ．1y x -D ．1y x -的最小值为【答案】CD【解析】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆，由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值，设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =1=，整理可得231k =解得k =，所以[1y x ∈-，即1y x -的最-CD .3．【2020届山东省普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试数学（五)】设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 倾斜角的余弦值为78B ．若112F P F F =，则C 的离心率43e =C ．若212PF F F =，则C 的离心率2e =D ．12PF F △不可能是等边三角形【答案】AD【解析】设直线倾斜角为α，则tan α=7cos 8α=.P 在第一象限内，若112F P F F =，则1122PF F F c ==，222PF c a =-，由余弦定理得222244(22)788c c c a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍）.若212PF F F =，则2122PF F F c ==，122PF c a =+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+，整理得2340e e --=，解得43e =或1e =-（舍）.由12PF PF >，知12PF F △不可能为等边三角形.故选:AD.4．【山东省日照市五莲县第一中学2019-2020学年高三3月过程检测】数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线()32222:16C x yx y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程()3222216(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限【答案】BD【解析】把2x =，2y =代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C 在第一象限过点(2,2)， 由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M ，对于A 选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即A 错误；对于B 选项，因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以()()()22232222222161644x y x y x y x y ++=⨯=+，所以224x y +，即B 正确；对于C 选项，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即C 错误；对于D 选项，因为0xy >，所以x 与y 同号，仅限与第一和三象限，即D 正确. 故选:BD .5．【山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线过点P ，F 为C 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为0x =C ．若F 到C ，则C 的方程为22142x y -=D ．设O 为坐标原点，若||||PO PF =,则2POF S ∆= 【答案】AC【解析】由题：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点P ，所以渐近线方程为2y x =±，所以B 选项错误；所以2b a =，离心率2c e a ====，所以A 选项正确；若F 到C ，即2b a ==,则C 的方程为22142x y -=，所以C 选项正确；O 为坐标原点，若||||PO PF =,22P ，所以F ,1224POF S ∆==，所以D 选项错误.故选：AC6．【2020届山东省六地市部分学校高三下学期3月线上考试】已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 的横坐标为203 B ．12PF F ∆的周长为803C ．12F PF ∠小于3πD ．12PF F ∆的内切圆半径为34【答案】ABC【解析】设12F PF ∆的内心为I ，连接22IP IF IF 、、，双曲线E ：221169x y -=中的4a =，3b =，5c =，不妨设()P m n ，，0m >，0n >，由12PF F ∆的面积为20，可得1215202F F n cn n ===，即4n =，由2161169m -=，可得203m =，故A 符合题意； 由2043P ⎛⎫⎪⎝⎭，，且()150F -，，()250F ，，可得11235PF k =，2125PF k =，则(121212360535tan 0312123191535F PF -==∈⨯+⨯，，则123F PF π<∠，故C 符合题意； 由2123525371350161699333PF PF +=++=+=，则12PF F ∆的周长为50801033+=，故B符合题意；设12PF F ∆的内切圆半径为r ，可得()12121211422r PF PF F F F F ++=⋅⋅，可得80403r =，解得32r =，故D 不符合题意． 故选：ABC ．7．【2020届山东省六地市部分学校高三下学期3月线上考试】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个 B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π【答案】ABD【解析】如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，∴1122B D =，又侧棱11AA =，∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；∵()313PD =∈，，11DD =，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+=，故C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为2221322122++=，面积为94π，故D 正确． 故选：ABD ．8．【山东省菏泽市2019-2020学年高三上学期期中】某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（ ）A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．()()b m R n R =++【答案】ABD【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩ ，（*）a c m R ∴-=+ ，故A 正确； a c n R +=+，故B 正确；（*）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确； 由（*）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩ ，两式相乘可得()()22m R n R a c ++=- 222a c b -= ，()()()()2b m R n R b m R n R ∴=++⇒=++ ，故D 正确.故选：ABD9．【2020年届全国100所名校最新高考模拟示范卷数学模拟测试（四)】嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3988公里C ．两焦点坐标约为()1500±，D ．离心率约为75994【答案】AD【解析】设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c .依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 10017381838a c -=+=，40017382138a c +=+=，2183821383976a =+=，1988a =，21381988150c =-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A 、D 项正确，B 项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 项错误.综上可知，正确的为AD ，故选：AD. 10．【广东省东莞市2019-2020学年高三上学期期末】51-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD【解析】2222:1(0)x y C a b a b+=>>，()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -．对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列，则2112212||||||A F F A F F ⋅=，()()222a c c ∴-=，2a c c ∴-=，13e ∴=不满足条件，故A 错误；对于B ：11290F B A ∠=︒，222211112A F B F B A ∴=+，()2222a c a a b ∴+=++，220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得512e =或51e --=（舍去）满足条件，故B 正确； 对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B ，2,bP c a⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，21PO A B k k =即2b c ab a =--解得b c =．222a b c =+，22c e a c∴===C 错误； 对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F ，即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，22ab c a b ∴=+422430c a c a ∴-+=，42310e e ∴-+=解得235e +=（舍去）或235e -=，51e -∴=，故D 正确．故选：BD11．【2020届山东省滨州市高三上学期期末】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确； B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确； C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>， 所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误； 故选：ABC.12．【2020届山东省潍坊五县联合模拟】已知圆C ：2220x y x +-=，点A 是直线3y kx =-上任意一点，若以点A 为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】BCD【解析】圆C 的方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心()1,0C ，半径为1，由题意可得，圆心()1,0C 到直线30kx y --=（k Z ∈）的距离大于或等于22≥，求得k ≤≤，∴2k =-或-1或0.故选：ABC. 13．【2020届山东省济宁市高三3月线上数学试题】设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为，则( )A ．3BF =B ．ABF ∆是等边三角形C ．点 F 到准线的距离为3D ．抛物C 的方程为26y x =【答案】BCD 【解析】由题意，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，且90ABD ∠=，由抛物线定义，可得AB AF BF ==，所以ABF ∆是等边三角形，所以30FBD ∠=．2334ABF S ∆==，6BF ∴=，又焦点F 到准线的距离为sin303p BF ==，则抛物线方程为26y x =，则有BCD 正确，A 错误.故选：BCD14．【2020届山东省淄博市部分学校高三教学质量检测（二模)】已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ）A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=【答案】BC【解析】因为双曲线22:1169x y C -=，所以1695c =+=.又因为12112102022PF F P P S c y y ∆=⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误；将4P y =代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即203P x =.由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知22220135433PF ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=，所以12133750333PF PF +=+=，所以选项B 正确；由对称性，对于上面点P ，在12PF F ∆中，12371321033PF c PF =>=>=.且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅，则21PF F ∠为钝角，所以12PF F ∆为钝角三角形，选项C 正确； 由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，123F PF π≠∠，所以选项D 错误.故选：BC.15．【2020届山东省淄博市部分学校高三下学期3月教学质量检测】已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ） A ．当0m =时，FAB 的面积为3 B ．不存在m 使FAB 为直角三角形 C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大 D ．存在m ，使FAB 的周长最大【答案】AC 【解析】如图：对于A 选项，经计算显然正确； 对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项，由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤；即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误. 故选：AC16．【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.17．【山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ = B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以12PM PP PM PF MF +=+≥=,故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+,联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC18．【2020届海南省海口市海南中学高三第六次月考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若1215sin 4F PF ∠=，则下面有关结论正确的是（ ） A ．6e =B ．2e =C ．5b a =D ．3b a =【答案】ABCD【解析】若12F PF ∠为锐角时，12215114os 4c F PF ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∠，如图所示，因为122PF PF =，122PF PF a -=，所以124,2PF a PF a ==，所以222222121221212cos 164412164PF PF F F a a c P F F PF P F a +-+-===⋅∠，所以224c a =，所以2c a =，所以2e =，所以2224a b a +=，3b a =，故BD 正确；若12F PF ∠为钝角时，12215114os 4c F PF ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭∠，如图所示，因为122PF PF =，122PF PF a -=，所以124,2PF a PF a ==，所以222222121221212cos 164412164PF PF F F a a c PF F P PF F a +-+-===-⋅∠，所以226c a =，所以6c a =，所以6e =2226a b a +=，5b a =，故AC 正确.故选：ABCD.19．【江苏省徐州市侯集高级中学2019-2020学年高二上学期期末】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是A 1,A 2,左、右两个焦点分别是F 1,F 2,P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）A ．122PA PA a -=B ．直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使得12PF F ∆为等腰三角形的点P 有且仅有8个D ．12PF F ∆的面积为212tan 2b A PA ∠【答案】BC【解析】在12A PA ∆中，两边之差小于第三边，即12122PA PA A A a -<=，所以A 不是真命题；设点22(,),0,P x y y x a ≠≠，有22221(0,0)x y a b a b -=>>，2222)1(x y b a-=，直线12,PA PA 的斜率之积 1222222222221()PA PA y y y k k x a x a x a x a x b b a a⋅=⋅===+----，所以B 是真命题；根据双曲线对称性分析：要使12PF F ∆为等腰三角形，则12F F 必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点P 使122,22PA c PA c a ==-，此时12PF F ∆为等腰三角形，也且仅有一个点P '使212,22P A c P A c a ''==+，此时12P F F '∆为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C 是真命题；12120222A PA F PF π∠∠<<<，根据焦点三角形面积的二级结论12212tan 2PF F b F F S P ∆∠=，所以D 不是真命题.故选：BC 20．【2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟】设椭圆的方程为22124x y +=，斜率k 为的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ） A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则AB =【答案】BD【解析】对于A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质4212AB OM k k ⋅=-=-≠-，所以A 项不正确；对于B 项，根据2AB OM k k ⋅=-，所以2AB k =-，所以直线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=，所以B 项正确；对于C 项，若直线方程为1y x =+，点14(,)33M ，则1442AB OM k k ⋅=⋅=≠-，所以C 项不正确；对于D 项，若直线方程为2y x =+，与椭圆方程22124x y +=联立，得到222(2)40x x ++-=，整理得：2340x x +=，解得1240,3x x ==-，所以4033AB =-=，所以D 正确； 故选：BD.21．【2020届海南省新高考高三线上诊断性测试】已知P 是椭圆22:16x C y +=上的动点，Q 是圆22(51:1)D x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．CC ．圆D 在C 的内部 D ．PQ 【答案】BC【解析】依题意可得c ==C 的焦距为e ==设(,)(P x y x ≤≤，则22222256441||(1)(1)1665555x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++≥> ⎪⎝⎭，所以圆D 在C 的内部，且||PQ =故选：BC. 22．【2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试】已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC【解析】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2py =-，点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p +=，解得2p =，则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确；由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，，221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+，在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选：BC.23．【2020届山东省高三下学期2月模拟】设A ，B 是抛物线2yx 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【答案】ACD【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线AB 方程代入抛物线方程2yx ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB的距离1d =，即C 正确；A.||||OA OB．||||2OA OB ∴正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以211==126x x ∴±，6x =.所以116k -==AB的方程为134y x =-+，所以14b =. 由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++=1114++=3223.所以41||133BF =-=.所以D 正确.故选：ACD ．24．【2020届海南省天一大联考高三下学期第二次模拟】已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 的长度最小为4 C ．M 的坐标可能为()3,2 D ．3OP OQ ⋅=-恒成立【答案】BCD【解析】焦点F 到准线的距离即为2p =，所以抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，A项错误.当PQ 垂直于x 轴时长度最小， 此时()1,2P ，()1,2Q -，所以4PQ =，B 项正确.设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 的方程为1x my =+.联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得()224210x m x -++=，消去x 可得2440y my --=，所以21242x x m +=+，124y y m +=，当1m =时，可得()3,2M ，所以C 正确，又121=x x ，124y y =-，所以12123OP OQ x x y y ⋅=+=-，所以D 正确. 故选：BCD25．【2020届山东省日照第一中学高三上学期期中】已知0ab ≠，O 为坐标原点，点(),P a b 是圆222x y r +=外一点，过点P 作直线l OP ⊥，直线m 的方程是2ax by r +=，则下列结论正确的是（ ）.A ．//m lB ．m l ⊥C ．m 与圆相离D ．m 与圆相交【答案】AD【解析】直线OP 的斜率为b a ，直线l 的斜率为a b-，直线l 的方程为：22ax by a b +=+，又(),P a b 在圆外，∴222a b r +>，故//m l ，圆心(0,0)到直线2ax by r +=的距离22||r d r r =<=，故m 与圆相交，故选：AD ．26．【2020届海南省海口市海南中学高三第六次月考试】下列说法正确的是（ ）A ．方程12yx =-表示一条直线 B ．到x 轴的距离为2的点的轨迹方程为2y =C ．方程()()2222140x y -+-=表示四个点 D ．a b >是22ac bc >的必要不充分条件【答案】CD 【解析】A ．因为12yx =-，所以()202x y x --=≠，表示直线20x y --=去掉点()2,0，故错误；B ．根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为2y =±，故错误；C ．因为()()2222140x y -+-=，所以2214x y ⎧=⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，表示四个点，故正确； D ．因为0c时，22a b ac bc >⇒=，所以充分性不满足，又因为22ac bc >时，根据不等式性质可知a b >，所以必要性满足，所以a b >是22ac bc >的必要不充分条件，故正确.故选：CD.27．【2020届山东省青岛市胶州市高三上学期期末】已知点()1,0F 为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为（ ） A ．24y x =B ．24x y =C ．22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<）D ．22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<） 【答案】AD【解析】A. 24y x =，抛物线的焦点为()1,0F ，满足；B. 24x y =，抛物线的焦点为()0,1F ，不满足；C. 22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<），焦点为()22cos sin ,0θθ±-，或()220,sin cos θθ±-或曲线表示圆不存在焦点，02πθ<<，则22cos sin cos 21θθθ-=≠，均不满足；D. 22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<），双曲线的焦点为()1,0F ，满足； 故选：AD .28．【2020届山东省青岛市胶州市高三上学期期末】如图()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W .则下述正确的是（ ）A ．曲线W 与x 轴围成的面积等于2π；B ．曲线W 上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；C ．CB 所在圆的方程为：()2211x y +-=； D ．CB 与BA 的公切线方程为：21x y +=.【答案】BCD【解析】如图所示：连接BC ，过点C 作CK ⊥x 轴于K ，BL x ⊥轴于L .则面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；CB 所在圆圆心为()0,1，半径为1，故圆的方程为：()2211x y +-=，C 正确；设CB 与BA 的公切线方程为：y kx b =+，根据图像知k 0<，则2211,111k b b kk+-==++，解得1k =-，21b =+，即21x y +=+，D 正确；故选：BCD .29．【2020届海南省高三第二次联合考试】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线上的点(3M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，点P 是双曲线上的动点，则PM PF +的值可能为( ) A ．4 B ．43C ．2D ．23【答案】ABD【解析】由双曲线方程得渐近线方程为：by x a=±．(1,3M -在渐近线上，∴渐近线方程为3y x =，设坐标原点为O ，则OM OF =，132c ∴=+=，当,,P M F 三点共线且P 在双曲线右支上时，PM PF +最小，()()()22min210323PM PF MF ∴+==++-=P 为双曲线上的动点，PM PF ∴+无最大值，,,A B D 选项中的值均大于3C 选项中的值小于23,,A B D ∴选项中的值均有可能取得．故选：ABD30．【2020届海南省高三第二次联合考试】已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( )A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x = 【答案】BC 【解析】由111ln 20x x y --+=得：111ln 2y x x =-+，()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方．由ln 2y x x =-+得：11y x'=-与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-，则令1112x -=-，解得：2x =，∴切点坐标为()2,ln 2，()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离22ln 242ln 22514d +--==+，即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值为25，()()221212x x y y ∴-+-的最小值为245d =，过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-，即24ln 20x y --+=，由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x =，故选：BC 31．【2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确；若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．32．【2020届山东省高考模拟考试数学试题】已知双曲线C 过点(2且渐近线为3y x =，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -= B ．C 3C ．曲线21x y e-=-经过C 的一个焦点 D ．直线210x -=与C 有两个公共点 【答案】AC【解析】对于选项A ：由已知33y x =±，可得2213y x =，从而设所求双曲线方程为2213x y λ-=，又由双曲线C 过点(2，从而2213(2)3λ⨯-=，即1λ=，从而选项A 正确； 对于选项B ：由双曲线方程可知3a =1b =，2c =，从而离心率为2333c e a ===，所以B 选项错误； 对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为()2,0，满足21x y e -=-，从而选项C 正确；对于选项D：联立221013x x y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，整理，得220y +=，由2420∆=-⨯=，知直线与双曲线C 只有一个交点，选项D 错误. 故选AC。
2020届江苏高考数学：解析几何试题解析
4k 4k
2
，x1
x2
3
1 4k2
，
N E
O
x
非对称式 消元
y 4k1 x2x 3x1 x2 （*） 消去x2 3x1 x2
M B1
y 4kx1 x2 x1 x2 4x1
2x1 (x1 x2 )
4k 3 1 4k 2
4k 1 4k
设直线
M
N：y
kx
1 2
写直线 B2M 求点 T
写直线 B1N
(用 x1，y1，x2，y2 表示)
得x1 x2
1
4k 4k
2
，x1 x2
3
1 4k 2
求点 T 轨迹方程
02 解法赏析
【运算过程
2】由
x2 4
y
y2 kx
1
1 2
得：
x
1 ②，
由①②联立，求得 y 2 ，所以点T 在直线 y 2 上．
02 解法赏析
【构图方式 2】过点 E 的直线 MN 与椭圆交于 M，N，连结 B2M 与 B1N 并延长交于点 T．
y T
【运算路径 2】两点均未知——“设而不求”
B2 N
E
O
x
M B1
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)
为8 3
3．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知
B2，B1
分别是椭圆的上、下顶点，过点
E(0，
1 2
)的直线
l
与
椭圆交于 M，N 两点，直线 MB2 与直线 NB1 交于点 T．
y T
2020年全国各地高中数学真题分类汇编—解析几何(含答案)
2020年全国各地⾼考真题分类汇编—解析⼏何1．（2020•天津）设双曲线C的⽅程为﹣＝1（a＞0，b＞0），过抛物线y2＝4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的⼀条渐近线与l平⾏，另⼀条渐近线与l垂直，则双曲线C 的⽅程为（）A．﹣＝1B．x2＝1C．﹣y2＝1D．x2﹣y2＝12．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆⼼到原点的距离的最⼩值为（）A．4B．5C．6D．73．（2020•浙江）已知点O（0，0），A（﹣2，0），B（2，0）．设点P满⾜|PA|﹣|PB|＝2，且P 为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝（）A．B．C．D．4．（2020•北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的⼀点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点O B．经过点PC．平⾏于直线OP D．垂直于直线OP5．（2020•新课标Ⅲ）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最⼤值为（）A．1B．C．D．26．（2020•新课标Ⅲ）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）7．（2020•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的⾯积为8，则C的焦距的最⼩值为（）A．4B．8C．16D．328．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆⼼到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．（2020•新课标Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上⼀点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．910．（2020•新课标Ⅰ）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的⻓度的最⼩值为（）A．1B．2C．3D．4 11．（2020•新课标Ⅲ）在平⾯内，A，B是两个定点，C是动点．若•＝1，则点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线12．（2020•新课标Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的⾯积为（）A．B．3C．D．213．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离⼼率为．P是C上⼀点，且F 1P⊥F2P．若△PF1F2的⾯积为4，则a＝（）A．1B．2C．4D．814．（2020•新课标Ⅰ）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最⼩时，直线AB的⽅程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝015．（2020•上海）已知椭圆+y2＝1，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C、D两点，且AB＝CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．圆D．抛物线⼆．多选题（共1⼩题）16．（2020•海南）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线⽅程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线17．（2020•天津）已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为．18．（2020•北京）已知双曲线C：﹣＝1，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．19．（2020•上海）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第⼆象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满⾜PQ⊥FQ′，求直线l的⽅程是．20．（2020•浙江）已知直线y＝kx+b（k＞0）与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+y2＝1均相切，则k ＝，b＝．21．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线为y＝x，则C的离⼼率为．22．（2020•江苏）在平⾯直⻆坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0）的⼀条渐近线⽅程为y＝x，则该双曲线的离⼼率是．23．（2020•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离⼼率为．24．（2020•海南）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．25．（2020•上海）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则11与l2的距离为．26．（2020•天津）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的⼀个顶点为A（0，﹣3），右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）已知点C满⾜3＝，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆⼼的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的⽅程．27．（2020•北京）已知椭圆C：+＝1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b．。
2020解析几何多选题(01)
2020解析几何多选题（01）1．【2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东)】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n =，y =，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.2．【山东省青岛市2020届高三第三次模拟数学试题】在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（ ）A ．若点P 总满足1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B ．若点P 到点A 的距离为2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C ．若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D ．若点P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线 【答案】ABD【解析】A.在正方体1A C 中，1,AC BD BB ⊥⊥平面ABCD ，所以11,BB AC BB BD B ⊥=，所以AC ⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥， 同理111,AB BD AB AC A ⊥=，所以1BD ⊥平面1AB C ，而点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，且1PA BD ⊥，所以点P 的轨迹就是直线1B C ，故A 正确；B.点P 的轨迹是以A 2的球面与平面11BCC B 的交线，即点P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为r ，球心A 到平面11BCC B 的距离为1，则()2211r =-=，所以小圆周长22l r ππ==，故B 正确；C. 点P 到直线AB 的距离就是点P 到点B 的距离，即平面11BCC B 内的点P 满足1PB PC BC +==，即满足条件的点P 的轨迹就是线段BC ，不是椭圆，故C 不正确；D.如图，过P 分别做PM BC ⊥于点M ，1PE CC ⊥于点E ，则PM ⊥平面ABCD ，所以PM AD ⊥，过M 做MN AD ⊥，连结PN ，PM MN M ⋂=，所以AD ⊥平面PMN ，所以PN AD ，如图建立平面直角坐标系，设(),P x y ，PM y =，则221PN y =+，()221PE x =-，即()2211y x +=-，整理为：()2211x y --=，则动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确. 故选：ABD3．【山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（二)】已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，设线段AB 的中点为P ，则（ ） A ．234OA OB p ⋅=-B ．若24AF BF p ⋅=，则直线AB 3C ．若抛物线上存在一点(2,)E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x = D ．若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12【答案】ACD【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线:2p l x my =+，与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，2220y pmy p --=，122y y pm +=，212y y p =-，对于A ：222221212121232244y y p OA OB x x y y y y p p p p ⋅=+=+=-=-,故A 正确； 对于B ：根据焦半径公式可知12pAF x =+，22p BF x =+，()()121222p p AF BF x x my p my p ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()221212m y y pm y y p =+++()222222221m p p m p p m =-++=+，由条件可知，214m +=，解得：m =l 的斜率1k m ==B 不正确； 对于C ：由题意可知232p+=，解得：2p =，则抛物线方程是24y x =，故C 正确； 对于D ：由题意可知2p =，所以124y y m +=，由圆的几何性质可知sin dPMN r∠=，d 是点P 到y 轴的距离122x x d += ，1222AB x x p r ++==，由分析可知112p x my =+，222p x my =+，且122y y pm +=，212y y p =-，得221d m =+， 222r m =+，所以()222211sin 12221d m PMN r m m +∠===-++，当20m =时，sin PMN ∠取得最小值12,此时直线l ：1x =，故D 正确.故选ACD ．4．【山东省菏泽市菏泽第一中学八一路校区2019-2020学年高三上学期12月月考】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点是12F F P 、，是椭圆上一点，若122PF PF =，则椭圆的离心率可以是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】BCD【解析】由椭圆的定义，可得122PF PF a +=，又由122PF PF =， 解得1242,33PF a PF a ==，又由在12PF F ∆中，1212||PF PF F F -≤，可得223a c ≤，所以13c e a =≥，即椭圆的离心率e 的取值范围是1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：BCD ．5．【山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（三)】设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）．A ．||||OM ON +≥B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2,0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2【答案】CD【解析】不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN x ⊥轴时，OM ON k k =-，由12OM ON k k ⋅=-，得OM k =2ON k =，所以直线OM ，ON的方程分别为：y x =和y x =．与抛物线方程联立，得M，(2,N ，所以直线MN 的方程为2x =，此时||||OM ON +=以MN 为直径的圆的面积2S π=，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与抛物线方程联立消去x ，得20ky y m -+=，则140km ∆=->．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12my y k =．因为12OM ON k k ⋅=-，所以121212y y x x ⋅=-，则222121122y y x x y y =-=-，则122y y =-，所以2m k=-，即2m k =-，所以直线MN 的方程为2y kx k =-，即(2)y k x =-．综上可知，直线MN 为恒过定点(2,0)Q 的动直线，故C 正确；易知当OQ MN ⊥时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2．故D 正确． 故选：CD6．【山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（三)】设M 、N 是抛物线24x y =上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为14-，则下列结论正确的是（ ） A ．5OM ON +≥B ．以MN 为直径的圆面积的最小值为4πC ．直线MN 过抛物线24x y =的焦点D ．点O 到直线MN 的距离不大于1 【答案】BCD【解析】对于A ：若MN 与y 轴垂直，设直线MN 为()0y a a =>，则()M a，()N a -，2OMk ∴=，2ON k =-，144OM ONa k k ∴⋅=-=-，1a，即()2,1M 、()2,1N -，此时255OM ON +=<，A 选项错误；对于B、C ：由题意可知直线MN 斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则由24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，得2440x kx m --=，由216160k m ∆=+>，得20k m +>．设点()11,M x y 、()22,N x y ，则124x x k +=，124x x m =-．2212121212121161644OM ONy y x x x x m k k x x x x ====-=-，1m ∴=，此时直线MN 的方程为1y kx =+，恒过定点()0,1，C 选项正确；因为()()2222121212114414MN k x x k x x x x k =+⋅-=+⋅+-=+≥，所以，以MN 为直径的圆面积的最小值为4π，B 选项正确； 对于D ：点O 到直线MN 的距离为211d k =≤+，D 选项正确．故选：BCD ．7．【山东省日照市第一中学2020届高三下学期模拟】已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,AB CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥，AB 的斜率为k ，且0k >，,C A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）A ．1112AB CD p+= B ．若243AF BF p ⋅=，则33k = C ．OA OB OC OD ⋅=⋅ D ．四边形ABCD 面积最小值为216p【答案】AC【解析】因为AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，所以1CD k k=-．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得，222221(2)04k x p k xk p ，2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 对于A ：221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k．同理可得22212(1)2(1)1p k CD p k k +==+，则有1112AB CD p+=，所以A 正确； 对于B ：若243AF BF p ⋅=，由21212121()2224⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p p x x x x x x p ，得222222221(2)4223++=+=p k p p p p k k ，解得k =B 错； 对于C ：221212121422⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p OA OB x x y y p k x x ()22222222212121111(2)34244224+⎡⎤=+-++=+-=-⎢⎥⎣⎦p p k p k x x x x p p k p p 与k 无关，同理234⋅=-OC OD p ，故OA OB OC OD ⋅=⋅，C 正确； 对于D ：因为AB CD ⊥，所以四边形ABCD 面积22222222222112(1)2(1)12(1)22822++⎛⎫==⋅⋅+==++≥ ⎪⎝⎭ABCDp k p k S AB CD p k p k p k k k 当且仅当221k k =，即1k =时，等号成立；故D 错； 故选AC ．8．【山东省济宁市嘉祥县第一中学2020届高三下学期第四模拟】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 分别与双曲线左右两支交于,M N 两点，以MN 为直径的圆过2F ，且2212MF MN MN ⋅=，则以下结论正确的是（ ）A ．12120F MF︒∠=；B ．双曲线CC ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±；D ．直线l 的斜率为1.【答案】BC【解析】如图，作2F D MN ⊥于D ，则222cos MF MN MF MN F MN ⋅=⋅∠＝221122MN MD MN MN ==，所以12MD MN =，所以D 是MN 中点，从而22F M F N =，对于A ：根据双曲线定义21122,2MF MF a NF NF a -=-=，所以124NF NF MN a -==．又以MN 为直径的圆过2F ，所以22MF NF ⊥，2245MNF NMF ∠=∠=︒，于是12135F MF ∠=︒，A 错；对于B ：又得2222MF NF a ==，1(222)NF a =+，由余弦定理，2221212122cos 45F F NF NF NF NF =+-︒，得22224(22)(222)c a a =++－2222(222)2a a ⨯⨯+⨯，化简得223c a =，所以3==c e a ，B 正确； 对于C ：由222223c a b a a +==得222b a=，即2b a =，所以渐近线方程为2y x =±，C 正确； 对于D ：易知12245NF F NMF ∠<∠=︒，所以12tan 1MN k NF F =∠<，D 错． 故选：BC ．9．【山东省2020届高三第一次仿真联考数学试题】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()26,0F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( ) A ．3 B ．23C ．5D ．3【答案】AC【解析】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得2415PF PF '==+=，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C 的离心率266c e a a==≤.因为1e >.所以双曲线C 的离心率的取值范围为(1,6⎤⎦. 故选：AC10．【山东省泰安市2020届高三第五次模拟】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为256-，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆C 的短轴长为3 C ．PQ PF +的最小值为25D ．过点F 的圆E 的切线斜率为473-± 【答案】AD【解析】圆E 的圆心为()3,4E -，半径长为2．由于椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则24a =，可得2a =，设椭圆的左焦点为点1F ，由椭圆的定义可得124PF PF a +==，14PF PF ∴=-，所以，()111144246PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF -=--=+-≥+--≥-＝6，当且仅当P 、Q 、E 、1F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段1EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，则1EF ===02c a <<=，解得1c =，2223b a c =-=，故椭圆方程为22143x y -=． 对于A ：椭圆C 的焦距为22c =，A 选项正确；对于B ：椭圆C的短轴长为2b ==B 选项错误； 对于C：2222PQ PF PE PF EF +≥+-≥-==，当且仅当P 、Q 、E 、F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，C 选项错误；对于D ：若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x =，圆心E 到该直线的距离为3142--=>，则直线1x =与圆E 相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=2==，整理得23830k k ++=，解得k =D 选项正确. 故选：AD ．11．【2020届山东省泰安市高三第二轮复习质量检测】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线0x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，P A ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（ ） A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD【解析】根据题意知：12b a =，c =2a =，1b =，双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，则220014x y -=，00x >，00y >，00000201020022242y y x y x x x x k k y =+==+--+，根据渐近线方程知：00102y x <<，故012012xk k y =>+. 故选：CD.12．【2020届山东省泰安市高三第二轮复习质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是（ ）A ．函数()()22g x f x =-在[]39-，上有两个零点 B ．函数()y f x =是偶函数 C ．函数()y f x =在[]86--，上单调递增 D ．对任意的x ∈R ，都有()()14f x f x +=- 【答案】AB【解析】当以A 点为中心滚动时，B 点轨迹为()2,0-为圆心，2为半径的14圆弧； 当以D 点为中心滚动时，B 点轨迹为()0,0为圆心，2214圆弧； 当以C 点为中心滚动时，B 点轨迹为()2,0为圆心，2为半径的14圆弧； 当以B 点为中心滚动时，B 点不动，然后周期循环，周期为8. 画出函数图像，如图所示：()()00220g f =-=，()()()88220220g f f =-=-=，A 正确；根据图像和周期知B 正确；函数()y f x =在[]0,2上单调递减，故在[]86--，上单调递减，C 错误； 取2x =-，易知()()122f f ≠--，故D 错误.故选：AB.14．【海南省三亚华侨学校2020届高三下学期开学测】已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x=的焦点F 重合，则（ ） A ．双曲线的实轴长为2 B ．双曲线的离心率为3C ．双曲线的渐近线方程为52y x =± D ．F 5【答案】CD【解析】抛物线212y x =的焦点()3,0F ，故2243b +=，25b =，故双曲线方程为22145x y -=，双曲线的实轴长为24a =，A 错误；双曲线的离心率为32c e a ==，B 错误； 双曲线的渐近线方程为5y x =，C 正确； F 到渐近线的距离为3525514d ==+D 正确；故选：CD.15．【海南省海南中学2020届高三数学第九次月考】太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆O ：221x y +=，则下列说法中正确的是( )A ．函数3y x =是圆O 的一个太极函数B ．圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C ．函数sin y x =是圆O 的一个太极函数D ．函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件 【答案】AC【解析】选项A ：因为33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数3y x =是奇函数，它的图象关于原点对称，如下图所示：所以函数3y x =是圆O 的一个太极函数，故本说法正确；选项B ：如下图所示：函数()y g x =是偶函数，()y g x =也是圆O 的一个太极函数，故本说法不正确；选项C ：因为sin y x =是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆221x y +=也关于原 点对称，如下图所示：因此函数sin y x =是圆O 的一个太极函数，故本说法是正确的；选项D ：根据选项B 的分析，圆O 的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确. 故选：AC16．【山东省滨州市2020届高三三模考】已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD【解析】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确.当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,12的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示.阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为211222222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD17．【山东省威海市2020届高三三模】已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（ ）A ．抛物线的准线方程为1x =-B ．0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列 C ．若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D ．若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 【答案】ABD【解析】对于A ：把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；对于B ：因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB =，22(1,)FC x y =-，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，即FA ，FB ，FC 成等差数列，故B 正确； 对于C ：因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AF CF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；对于D ：设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确. 故选：ABD ．18．【海南省2020届高三年级第五次模拟考试】设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A ．AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[]6,12C ．当2m =时，ABF 为直角三角形 D ．当1m =时，ABF 【答案】ACD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '=，∴=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，∴AB 的范围是()0,6，∴ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =与椭圆方程联立，可解得A ⎛ ⎝⎭，B ⎝⎭，又∵)F ，∴260AF BF ⎛⋅=+-+= ⎭⎝⎭，∴ABF 为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A ，)B ，∴112ABFS=⨯=D 正确． 故选：ACD19．【山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟考试】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A ．1QF QP +的最小值为21a - B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 【答案】ACD【解析】对于A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(214>==a ，>所以=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭，故正确；D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a，解得21122244++===a=，所以椭圆C. 故选：ACD20．【海南省海南中学2020届高三数学第九次月考】已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的焦点与抛物线24x y =的焦点之间的距离为2,且C( ). A ．C的渐近线方程为y =B ．C 的标准方程为2212y x -=C ．C的顶点到渐近线的距离为3D．曲线1x y e =-经过C 的一个焦点【答案】ABD【解析】设抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线C 的一个焦点坐标为：1(,0)(0)F c c >，由题意可知：12FF =2c =⇒c =，又因为C，所以1ce a b a==⇒=⇒===选项A：因为1,a b ==，所以C的渐近线方程为y =，故本选项说法正确；选项B：因为1,a b ==，所以C 的标准方程为2212y x -=，故本选项说法正确；选项C ：设C 的一个顶点坐标为(1,0)0y -=的距离为：=，根据双曲线和渐近线的对称性可知：C，故本选项的说法不正确.选项D：当x =10y e =-=，而(恰好是双曲线的一个焦点，因此本选项的说法正确. 故选：ABD21．【海南省海口市2020届高三高考模拟演练】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则（ ） A ．C 的焦点坐标为()0,2± B ．C的渐近线方程为y = C ．点()2,3在C 上D ．直线()0mx y m m --=∈R 与C 恒有两个交点 【答案】BC【解析】由双曲线2222:1x y C a b-=的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，可得12c a ce a -=⎧⎪⎨==⎪⎩，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以23b =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=，所以C 的焦点为()2,0±，A 错误；双曲线C的渐近线方程为by x a=±=，所以B 正确； 因为223213-=，所以点()2,3在C 上，选项C 正确；直线0mx y m --=，即()1y m x =-，恒过点()1,0，当m =C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点．故选：BC.。
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2020解析几何多选题（02）22．【福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高三年级期末】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA = 【答案】BC【解析】设点(),P x y ，则1=2PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 错误；根据对称性可知，当()()6,0,12,0,D E --时，12PD PE=，故B 正确； 对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO +-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO +-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+，()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M xy ,由2||MO MA =可得220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，故满足2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC.23．【山东省淄博市部分学校2020届高三6月阶段性诊断考试（二模)】已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的离心率为2 B ．C的渐近线方程为y x = C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值 D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122PF PF 的最大值为14【答案】AC【解析】对于双曲线22:13y C x -=，1a =，b =2c =，所以，双曲线C 的离心率为2c e a ==，渐近线方程为y =，A 选项正确，B 选项错误；设点P 的坐标为()00,x y ，则220013y x -=，双曲线C的两条渐近线方程分别为0x y =和0x y =，则点P22033443y x -==，C 选项正确；当动点P 在双曲线C 的左支上时，11PF c a ≥-=，21122PF a PF PF =+=+，()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PF PF PF ===≤=+++++，当且仅当12PF =时，等号成立，所以，122PF PF 的最大值为18，D 选项错误. 故选：AC.24．【山东省德州市2020届高三第二次(6月)模拟】直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ） A ．6B ．8C ．12D ．16【解析】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为()()2230135--+--=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为22265211-=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故211,12AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC25．【山东省德州市2020届高三第二次(6月)模拟】抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A ．|PM | +|PF |的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3 C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD【解析】对于A ：设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；对于B ：设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，222(3)4(3)PH x y y y =+-=+-＝2(1)8y -+1y =时，min 822PH ==B 错误；对于C ：假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程为0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上，所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，对于D ：设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-．由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-，所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++，所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ．26．【2020届山东省枣庄三中、高密一中、莱西一中高三下学期第一次在线联考】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(2,)t 时，4PF =，直线l 与抛物线相交于,A B 两点，点()4,1M ，下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的方程为24y x = B ．PM PF +的最小值为6C ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于60x y +-=对称D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切 【答案】BD【解析】22(0)y px p =>，故242pPF =+=，4p =，故28y x =，A 错误； 过P 作PE 垂直于准线于E ，则6PM PF PM PE +=+≥，当PEM 共线时等号成立，故B 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，设AB 中点()00,D x y 则2118y x =，2228y x =，相减得到()()()1212128y y y y x x +-=-，即028AB y k ⋅=，故04y =，故02x =，点()2,4在抛物线上，不成立，故不存在，C 错误； 如图所示：G 为AF 中点，故()111222DG OF AQ AC AF =+==，故AF 为直径的圆与y 轴相切，故选：BD .27．【2020届山东省滨州市高三数学二模】如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A ．点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥B ．若正方体的棱长为1，三棱锥1BC MD -的体积最大值为13C ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒ D ．点M 存在无数个位置满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等. 【答案】ABD【解析】A.连接111,,,AD A D DC AC ，由正方体的性质可得1111,,AD A D AD DC A D DC D ⊥⊥=，则1AD ⊥面1A DC ．当点1M A D ∈上时，有1CM AD ⊥，故点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥， 故A 正确；B.由已知11B C MD C D B M V V --=，当点M 与点1A 重合时，点M 到面1C BD 的距离最大， 则三棱锥1B C MD -的体积最大值为1311114111323A C BDV -=-⨯⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；C. 连接1A M ，因为11//CD A B ，则11A B M ∠为异面直线1B M 与CD 所成的角，设正方体棱长为1，1A M x =，则2211B M x =+，点1A 到线1AD 的距离为1111222A A A D AD ⋅==，21x ∴≤≤，221123cos cos 20213A B M x ︒∠===+，解得32,132x ⎡⎤=∉⎢⎥⎣⎦，所以在线段1AD 上不存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒，故C 错误；D. 连接1MD ，过M 作MN AD ⊥交AD 于N ，由11C D ⊥面11ADD A ，1MD ⊂面11ADD A ，得111MD D C ⊥，则1MD 为点M 到直线11C D 的距离，MN 为点M 到直线AD 的距离，由已知1MD MN =，则点M 在以1D 为焦点，以AD 为准线的抛物线上，故这样的点M 有无数个，故D 正确. 故选：ABD.28．【2020届山东省滨州市高三数学二模】设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（ ） A ．渐近线方程为430x y ±= B ．渐近线方程为340±=x y C ．离心率为53 D ．离心率为54【答案】AC【解析】设2122PF F F c ==，由122PF PF a -=，可得122PF c a =+，由2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长2a ，设1PF 的中点M ，由等腰三角形12PF F 的性质可得，21F M PF ⊥，即有222212(2)(2)44PF c a c a b =-=-=，224c a b ∴+=，即2c a b +=，可得2222(2)c a b b a =+=-，即有34b a =，则双曲线的渐近线方程为43b y x x a =±=±，即430x y ±=；离心率21651193c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭．故选：AC ．29．【2020届山东省聊城市高三二模】已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P 则下列结论正确的是( )A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为210x y -+=D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 点则直线MN 的斜率为定值 【答案】BCD【解析】因为抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，所以12p =，所以抛物线方程为：2y x =，焦点坐标为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．对于A ，15144PF =+=，故A 错误. 对于B ，43PF k =，所以41:()34PF l y x =-，与2y x =联立得：24310y y --=，所以121231,44y y y y +==-，所以12111522432OPQ S OF y y =⋅-=⨯=，故B 正确.对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：210ky y k -+-=，()1410k k ∆=--=24410k k -+=，解得12k =，所以切线方程为210x y -+=，故C 正确. 对于D ， 依题意斜率存在，设:PM l 1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：210ky y k -+-=，所以11M y k +=，即11M y k =-，则211M x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点2111,1M k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理2111,1N k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22112111421111MN k k k k k k k ⎛⎫---- ⎪⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选BCD ．30．【2020届山东省济宁市高三5月（二模)模拟】已知抛物线2:4E x y =的焦点为F ，圆()22:116C x y +-=与抛物线E 交于,A B 两点，点P 为劣弧AB 上不同于,A B 的一个动点，过点P作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则下列四个命题中正确的是（ ）A ．点P 的纵坐标的取值范围是()B ．PN NF + 等于点P 到抛物线准线的距离C ．圆C 的圆心到抛物线准线的距离为2D ．PFN 周长的取值范围是()8,10 【答案】BCD 【解析】圆()22:116C x y +-=的圆心为0,1，半径4r =，与y 正半轴的交点为0,5，抛物线2:4E x y=的焦点为()0,1F ，准线为1y =-，联立圆的方程和抛物线的方程可得,A B 两点的纵坐标为3，所以点P 的纵坐标()3,5P y ∈，故A 错误，由抛物线的定义可得PN NF + 等于点P 到抛物线准线的距离，故B 正确， 圆C 的圆心到抛物线准线的距离为2，故C 正确，PFN 的周长为()158,10P P PF PN NF r y y ++=++=+∈，故D 正确 故选：BCD31．【2020届海南省天一大联考高三年级第四次模拟】已知抛物线C ：()220y px p =>的准线经过点()1,1M -，过C 的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．AB DE +的最小值为16C ．四边形ADBE 的面积的最小值为64D ．若直线1l 的斜率为2，则90AMB ∠=︒ 【答案】ABD【解析】由题可知12p=，所以2p =，故A 正确. 设直线1l 的斜率为()0k k ≠，则直线2l 的斜率为1k-.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线1l ：()1y k x =-，直线2l ：()11y x k =--.联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++=，121=x x .所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+.同理223421242441k DE x x p k k ⨯+=++=+=+， 从而2218416AB DE k k ⎛⎫+=++≥⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时等号成立，故B 正确. 因为()22118112ADBES AB DE k k ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭四边形3232≥=，当且仅当1k =±时等号成立，故C 错误.()()11221,11,1MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-()1212121211x x x x y y y y =++++-++，将123x x +=，121=x x 与122y y +=，124y y =-代入上式，得0MA MB ⋅=，所以90AMB ∠=︒，故D 正确.故选：ABD ．32．【2020年山东省日照市高三下学期一模】已知双曲线()22*1x y n n n-=∈N ，不与x 轴垂直的直线l 与双曲线右支交于点B ，C ，（B 在x 轴上方，C 在x 轴下方），与双曲线渐近线交于点A ，D （A 在x 轴上方），O 为坐标原点，下列选项中正确的为（ ） A ．AC BD =恒成立 B ．若13BOC AOD S S =△△，则AB BC CD == C ．AOD △面积的最小值为1D ．对每一个确定的n ，若AB BC CD ==，则AOD △的面积为定值 【答案】ABD【解析】对于A ：设:l y kx b =+，代入22x y n -=得()222120kxbkx b n ----=，①．显然1k ≠±，()()22224410b k k b n ∆=+-+>，即()2210b n k +->，设()11,B x y ，()22,C x y ，则1x ，2x 是方程①的两个根，有12221kb x x k +=-，()21221b nx x k-+=-，设()33,A x y ，()44,D x y ，由y kx b y x =+⎧⎨=⎩得31b x k =-，由y kx b y x =+⎧⎨=-⎩，得41b x k -=+；所以34221kbx x k +=-，所以AD 和BC 的中点重合，所以AB CD =，所以AC BD =恒成立．故A 正确．对于B ：因为AD 和BC 的中点重合为P ，所以AB CD =．又13BOC AOD S S =△△，所以13BC AD =，所以AB BC CD ==，故B 正确． 对于C ：设直线l 方程为x ty m =+，(1,0)(0,1),1t m ∈->，由x ty m y x =+⎧⎨=⎩得31my t =-，由x ty m y x =+⎧⎨=-⎩得41my t -=+，21m OA t =-21m OD t =+，90AOD ∠=︒，2221||||121AODm S OA OD m t==>>-△，故C 错误. 对于D ：因为AB BC CD ==，所以13BC AD =2212341113k x k x +-=+-，即()229108n b k =->，所以0n >，21k >，又21b OA k =-，21b OD k =+，90AOD ∠=︒，所以2219218AODb nS OA OD k ===-△是定值．故D 正确． 故选：ABD ．33．【2020届山东省菏泽市高三联合模拟考试数学试题】已知直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =->的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点，若线段MN 的长是16，MN 的中点到y 轴的距离是6，O 是坐标原点，则（ ）．A ．抛物线C 的方程是28y x =-B ．抛物线的准线方程是2y =C ．直线l 的方程是20x y -+=D ．MON △的面积是82【答案】AD【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，根据抛物线的定义可知()12||16MN x x p =-++=，又MN 的中点到y 轴的距离为6，∴1262x x +-=，∴1212x x +=-，∴4p =．∴所求抛物线的方程为28y x =-．故A 项正确；抛物线C 的准线方程是2x =，故B 项错误；设直线l 的方程是2x my =-，联立282y x x my ⎧=-⎨=-⎩，消去x 得28160y my +-=，则1212816y y m y y +=-⎧⎨⋅=-⎩，所以2128412x x m +=--=-，解得1m =±，故直线l 的方程是20x y -+=或20x y ++=．故C项错误；1211||22MON S OF y y =⋅-=⨯△2==D 项正确．故选：AD ．34．【2020届山东省聊城市高三高考模拟（一)数学试题】已知直线:220l kx y kp --=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，点()1,1M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ） A ．2p = B ．2k =-C ．5AB =D ．MAB △的面积为【答案】ABC【解析】由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，解得2p =，故选项A 正确； 因为2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点为()1,0F ，又直线:220l kx y kp --=，即()1y k x =-，所以直线l 恒过抛物线的焦点()1,0F ，设点()()1122,,,A x y B x y ，因为,A B 两点在抛物线C 上，联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得，1212124y y k x x y y -==-+．设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k =，因为点()00,Q x y 在直线l 上，解得可得0221x k =+，所以点2221,Q kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是以AB 为直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+，因为222222221QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222222212k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，故选项B 正确；因为2k =-，所以弦长2222222254AB r k ⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确； 因为2k =-，所以直线l 为()210+-=y x ，由点到直线的距离公式可得，点M 到直线l的距离为d ==115222MABSd AB =⋅⋅==，故选项D 错误； 故选：ABC35．【2020届山东省聊城市高三高考模拟（一)】若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F ，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的渐近线上的点到F 距离的最小值为4B ．C 的离心率为54C ．C 上的点到F 距离的最小值为2D ．过F 的最短的弦长为323【答案】AC【解析】由题意知，,26210a c ==，即3,5a c ==，因为222b c a =-，所以225916b =-=，解得4b =，所以右焦点为F 为()5,0，双曲线C 的渐近线方程为43y x =±． 对于选项A ：由点F 向双曲线C 的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C 的渐近线上的点到F 距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，4d ==，故选项A 正确；对于选项B ：因为3,5a c ==，所以双曲线C 的离心率为53c e a ==，故选项B 错误； 对于选项C ：当双曲线C 上的点为其右顶点()3,0时，此时双曲线C 上的点到F 的距离最小为2，故选项C 正确；对于选项D ：过点F 且斜率为零的直线与双曲线的交点为()(),3,03,0A B -，此时为过点F 的最短弦为6AB =，故选项D 错误． 故选：AC36．【2020届山东省枣庄市高三模拟考试（二调)】已知P 为双曲线22:13x C y -=上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ） A ．若PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =- B ．12mn > C ．4m n +D ．||AB 的最小值为32【答案】ABD【解析】由题意双曲线的渐近线为3y x =±，即30x y ±=，设00(,)P x y ，不妨设P 在第一象限，A 在渐近线30x y -=上，则13k =-，23k =，123k k =-，A 正确；P 在双曲线上，则220013x y -=，220033x y -=，003x y m -=，003x y n +=，∴22003344x y mn -==12>，B 正确；42423m n mn +≥=，当且仅当4m n =时等号成立，即4m n +的最小值为23，C 错误；渐近线3y x =的斜率为333k ==，倾斜角为6π，两渐近线夹角为3π，∴23APB ∠=π，22222292cos334AB m n mn m n mn mn π=+-=++≥=，当且仅当m n =时等号成立，∴32AB ≥，即AB 最小值为32，D 正确．故选：ABD ．37．【2020届山东省德州市高三第一次(4月)模拟】1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（ ）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD【解析】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确；12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确. 故选：ABD .38．【2020届山东省济宁市嘉祥一中高三第四次质量检测】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为侧面11BCC B 上的一动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若点P 总保持PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条线段； B ．若点P 到点A 的距离为23，则动点P 的轨迹是一段圆弧； C ．若P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线； D ．若P 到直线BC 与直线11C D 的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线. 【答案】ABD【解析】对于A ，111,BD B C D A AB ⊥⊥，且1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，平面1AB C平面111BCC B B C =，故动点P 的轨迹为线段1B C ，所以A 正确； 对于B ，点P 的轨迹为以A 为球心、半径为233的球面与面11BCC B 的交线，即为一段圆弧，所以B 正确；对于C ，作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ；作1PQ CC ⊥.由PF PQ =，在面11BCC B 内，以C 为原点、以直线CB 、CD 、1CC 为x ，y ，z 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设(),0,P x z 21z x +=，化简得221x z -=，P 点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C 错误. 对于D ，由题意可知点P 到点1C 的距离与点P 到直线BC 的距离之比为2:1，结合C 中所建立空间直角坐标系，可得12 1PC PE =，所以21241PCPE=，代入可得()222141x zz+-=，化简可得221314493zx⎛⎫+⎪⎝⎭-=，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确.综上可知，正确的为ABD.故选：ABD.39．【山东省德州市2019-2020学年高三上学期期末】已知点A 是直线:20l x y+-=上一定点，点P、Q是圆221x y+=上的动点，若PAQ∠的最大值为90，则点A的坐标可以是（）A．()0,2B．()1,21-C．()2,0D．()21,1-【答案】AC【解析】如下图所示：原点到直线l的距离为222111d==+，则直线l与圆221x y+=相切，由图可知，当AP、AQ均为圆221x y+=的切线时，PAQ∠取得最大值，连接OP、OQ，由于PAQ∠的最大值为90，且90APO AQO∠=∠=，1OP OQ==，则四边形APOQ为正方形，所以22OA OP==由两点间的距离公式得()2222OA t t=+-=22220t t-=，解得0t=2，因此，点A的坐标为(2或)2,0.故选：AC.40．【2020届山东省泰安市高三模拟考试（一模)数学试题】下列说法正确的是（）A ．“5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3”的充要条件B ．直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,][,)44πππ⋃ C ．直线25y x =-+与直线210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切D y = 【答案】BC【解析】选项A ：由点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3，可得：6435c++=，解得5c =或25-，“5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选项A 错误；选项B ：直线sin 10x y α-+=的斜率sin [1,1]k α=∈-，设直线的倾斜角为θ，则0tan 1θ≤<或1tan 0θ-≤<，3[0,][,)44θπππ∴∈，故选项B 正确； 选项C ：直线25y x =-+可化为250x y +-=，其与直线210x y ++=平行，圆225x y +=的圆心(0,0)O 到直线250x y +-=的距离为：d ==，则直线250x y +-=与圆225x y +=相切，故选项C 正确；选项D ：离心率为c a =ba=若焦点在x 轴，则双曲线的渐近线方程为y =，若焦点在y 轴，则双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选项D 错误. 故选：BC.41．【安徽省滁州市定远重点中学2019-2020学年高三下学期3月线上模拟】已知命题:p 若222x y ，则1x >或1y >；命题:q 直线20mx y m --=与圆223320x y x y +-++=必有两个不同交点，则下列说法正确的是（ ） A ．p ⌝为真命题 B ．()p q ∧⌝为真命题 C ．()p q ⌝∨为假命题 D ．()()p q ⌝∨⌝为假命题【答案】BC【解析】对命题p 的逆否命题为：若1x ≤且1y ≤，则222x y +≤，因为1x ≤，1y ≤，故容易得222x y +≤，故命题p 的逆否命题为真，则命题p 也是真命题；对命题q ： 直线20mx y m --=等价于()120m x y --=，故其恒过定点()1,0，又该点在圆上，故直线20mx y m --=与圆有两个交点或一个交点，则命题q 为假命题. 综上可知：p 真q 假，故p ⌝为假，q ⌝为真命题. 故()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∨为假命题. 故选：BC42．【2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷模拟测试试题（二)】已知圆M 与直线20x y ++=相切于点(0,2)A -，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是（ ） A ．圆M 的圆心在定直线20x y --=上 B ．圆M 的面积的最大值为50π C ．圆M 的半径的最小值为1 D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为10 【答案】ABD【解析】圆M 与20x y ++=相切于()0,2A -，AM ∴与20x y ++=垂直，∴直线AM 斜率为1，则M 在直线2y x =-，即20x y -+=上，A 正确；设(),2M a a -，∴圆M 半径rAM ===，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2==，解得：5a =-或1a =，当5a =-时，圆M 面积最大，为250r ππ=，B 正确；当1a =时，圆M ，C 错误；满足条件的所有半径之积为10=，D 正确. 故选：ABD .43．【福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查】若双曲线C ：221x y m n+=(0)mn <绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是（ ）A B ．43C D ．2【答案】AD【解析】当0m >，0n <时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π得：13m n =-，所以双曲线的离心率为：2e =．当0m <，0n >时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3=3n m =-，所以双曲线的离心率为：e ==．故选AD ． 44．【2020届山东省淄博市高三一模】已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p 的值可以是( ) A ．2 B ．6C ．4D ．8【答案】AC【解析】设M 的横坐标为x ，由题意，32px +=，28px =，解得2p =或4p =.故选AC 45．【2020届山东省烟台市高考诊断性测试（4月)】已知P 是双曲线22:13x y C m-=上任一点，,A B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点.设直线,PA PB 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若12k k t +≥恒成立，且实数t 则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线的方程为2213x y -=B ．双曲线的离心率为2C ．函数log (1)(0,1)u y x a a =->≠的图象恒过C 的一个焦点D ．直线230x y -=与C 有两个交点 【答案】AC【解析】对于A ：设00000(,),(,),(,),A x y B x y P x y x x --≠±，22221,33x y mx y m m -==-，22003mx y m =-，2200012220003k y y y y y y m x x x x x x k -+-=⋅==-+-，12k k ∴+≥12k k ==直线,PA PB 与渐近线平行或重合，不合题意，所以不等式取不到等号，而12k k t +≥恒成立，13t m ∴≤=∴=，双曲线方程为2213x y -=，选项A 正确；对于B ：因为1,2a b c ====，双曲线的离心率为e ==，选项B 错误； 对于C ：双曲线的焦点为(20)，函数log (1)(0,1)u y x a a =->≠的图象过定点(2,0)，所以选项C 正确；对于D ：双曲线2213x y -=渐近线方程为y x =，而直线230x y -=的斜率为23>，所以直线230x y -=与双曲线没有交点，所以选项D 错误． 故选：AC.。