结构动力学例题复习题含答案-2021年推荐必备

结构动力学例题复习题
第十六章结构动力学
【例 16- 1 】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图 16-6 所示刚架的动力自由度。

图 16-6
【解】各刚架的自由度确定如图中所示。

这里要注意以下两点：
1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。

根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。

2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问
题的具体情形确定。

【例 16- 2 】试用柔度法建立图 16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载
作用的运动方程。

【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。

对于非质量处的集
中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。

设图 a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为 y （向下为正）。

把惯性力、阻尼
力及动荷载，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图 b 、 c 、 d 及 e ），则
式中，，。

将它们代入上式，并注意到，，得
图 16-7
经整理后可得
式中，，
称为等效动荷载或等效干扰力。

其含义为：直接作用于质量上所产生的位移和实际动荷载引起的位移相等。

图 a 的相当体系如图 f 所示。

【例 16- 3 】图 16-8 a 为刚性外伸梁， C 处为弹性支座 , 其刚度系数为，梁端点 A 、 D 处分别有和质量，端点 D 处装有阻尼器 c ，同时梁 BD 段受有均布动荷载作用，试建立刚性梁的运动方程。

【解】因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。

这个单自由度体系可能产生的位移形式如图 b 所示，可以用铰 B 的运动作为基本量，而其它一切位移均可利用它来表示。

图 16-8
以顺时针向为正。

则 A 点有位移和加速度； D 点有位移
和加速度及速度； C 点约束反力为。

由，有
将惯性力、阻尼力及约束反力代入上式，得
经整理，运动方程为
小结：
例 16- 2 及例 16- 3 讨论的是单自由度的一般情况下的运动方程的建立。

建立方
程的思路是通过分析动力平衡或考虑变形协调。

一般来说，对于单自由度体系 ,
求和的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都可用同一方法求得。

对
于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对超静定结
构就要根据情况而定。

刚度法和柔度法。

它们都是根据达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论在体系上加
惯性力和阻尼力。

刚度法是考虑质量自由度方向的平衡；柔度法是建立沿自由度方向位移的协调条件。

所谓结构振动自由度是指：确定体系全部质点位置所需的独立位移分量的个数。

在例 16- 3 中我们选取为独立位移分量，由此得两质点处的位移、加速度及
惯性力的表达式。

体系的振动自由度数目既和体系的质点数目有关，又不完全取决于质点数目，自由度还和体系的可能位移状态有关（如例题 16- 3 ），因此要根据具体问题，按
自由度定义分析确定。

另一方面，自由度是确定质点空间位置的独立坐标（位移
分量）个数，它和结构超静定次数或独立位移个数没有关系。

任何单自由度的振动问题，本质上都可抽象为质点、弹簧、阻尼器体系。

从实
际结构到抽象模型的关键是求和（或）。

【例 16- 4 】试写出图 16-
9a 质点 m 的运动微分方程，并计算各系数。

图 16-9
【解】
(1) 列位移方程 ,
(2) 计算系数项 ( 图 b) ，
(3) 计算自由项 ( 图 c,d )
同理，
(4) 将系数代入位移方程，
或
【例 16-5 】试按刚度法列出图 16-10a 所示刚架在给定荷载作用下的动力平衡方程。

图 16-10
【解】
( 1 ) 考虑质点 m 平衡 ( 图 b) 有
,
(2) 确定弹性力恢复力 S ,
弹性力恢复力 S 可以认为由两部分叠加而成。

第一部分为使 m 产生位移施加的力；第二部分为 m 不动在荷载作用下产生的反力 , 即,
,
( 3 ) 代回动力平衡方程得，
【例 16-6 】图 16-11a 所示梁不计自重，求自振频率。

图 16-11
【解】由图（图 b ），求得柔度为：。

所以，
【例 16-7 】图 16-12 a 所示单跨梁不计自重，杆无弯曲变形，弹性支座刚度为 k ，求自振频率。

图 16-1 2 【解】在 W 处加。

【例 16- 8 】图 16-13a 所示梁不计自重，，求自振圆频率。

【解】由于对称跨中无转角，求刚度。

，则。

图 16- 13
【例 16-9 】试求图 16-14a 所示结构的自振频率。

略去杆件自重及阻尼影响。

图 16-14
【解】图 a 为一次超静定结构，用力矩分配法作出单位弯矩图（图 b ）。

计算质点处的柔度系数（即位移计算），由图 b （或图 c ）与图 d （虚拟状态），得
则，。

【例 16-10 】作图 16-15a 所示结构的动力弯矩幅值图。

已知质点重 W = kN ，扰力幅值 P = kN ，扰力频率，梁的抗弯刚度 EI = 4490kN · m 。

图 16-15
【解】由图 b 列幅方程，即
，，因为
，
由图 c 求柔度系数，即，
由图 d 求柔度系数，即,
,
将动荷载和惯性力加于结构上，得动力弯矩幅值图如图 e 所示。

【例 16-11 】图 16-16a 所示体系中，电机重置于刚性
横梁上，电机转速，水平方向强迫力为
，已知柱顶侧移刚度，自振
频率。

求稳态振动的振幅及最大动力弯矩图。

图 16-16
【解】只有水平振动。

干扰力频率，动力系数
静位移
振幅
动力弯矩图（图 c ）。

【例 16-12 】图 16-17a 所示体系各柱 EI = 常数，柱高均为，。

求最大动力弯矩。

图 16- 1 7
【解】由图 b 可知，，则自振频率。

动力系数，最大动力弯矩（见图 c 、 d ）。

【例 16-13 】求图 16-18 a 所示体系的自振频率和主振型，并作出振型图。

已知：， EI = 常数。

图 16-18
【解】用柔度法作。

1 ．为求柔度系数，首先绘出单位弯矩图 ( 图 b 和 c) 。

由位移计算公式，得
, ，
2 ．求频率
将它们代入频率方程，即
展开上式并令得
两个根为，
从而可得两个自振频率为
，
3 ．求主振型
下面确定相应的两个主振型。

求第一振型时，将代入上式，由于系数行列式为零，所以两个方程线性相关，只有一个是独立的，可由其中任何一式求得与的比值，比如由第一式可得
同理可求得第二振型为
两振型的规准化矩阵表达式为
，
如图 d 、 e 所示。

【例 16-14 】求图 16-19a 所示体系的频率方程。

图 16-19
【解】本题为两个动力自由度（图 b ）。

另外注意的是，水平向的振动的质点是。

于是由图 b 列幅值方程：
，，
由图 c 、 d 求柔度系数，其结果如下。

【例 16-15 】求图 16-20 a 所示两个自由度体系的自振频率，。

图 16-20
【解】用柔度法解。

首先根据图 c 、 d 计算柔度系数，其位移计算公式为
，这里为弹支座处位移。

，。

将它们代入频率方程，，解得
，。

【例 16-16 】求图 16-21a 所示体系的自振频率、振型及广义质量。

图 16-21
【解】由图 b 幅值方程为：
整理后得，
令上的系数行列为零，得频率方程，由该方程的两频率如下
振型 1 ：，振型 2 ：，见图 c 。

广义质量为：，
【例 16-17 】求图 16-22 a 示桁架的自振频率。

各杆 EA 为常数。

图 16-22
【解】将振动分为竖向、水平分量，求，
；
；
【例 16-18 】试求图 16-23a 所示刚架的自振频率和主振型。

EI= 常数。

图 16-23
【解】图 a 在不计轴向变形情况下，则与图 b 的振动是相同的。

因此图 a 可分成反对称（图 c ）和正对称（图 d ）的振动。

第一频率由单自由度频率计算公式可知，则为反对称情况。

由单跨梁的位移计算公式，得柔度系数为
则第一频率为
同理第二频率为
振型：第一振为反对称振动，如图 e 所示；第二振为对称振动，如图 f 所示；【例 16-19 】图 16-24 所示梁的质量重，振动力最大值，干扰频率，已知梁的，。

试求两质点处的最大竖向位移。

梁自重不计。

【解】用柔度法解。

由图 b 、 c 、 d 计算系数及自由项如下：
，，，。

代入，稳态振动位移幅值方程并乘以有
解得，
图 16-24
【例 16-20 】图 16-25a 所示刚架各横梁刚度无穷大，试求各横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。

已知，。

；简谐荷载幅值，每分钟振动 240 次。

图 16- 25
【解】用刚度法解。

稳态振动位移幅值方程
有，。

，。

（单位 t ，即）代入稳态振动位移幅值方程，有
解得
，，
惯性力幅值为，即
本题横梁刚度为无穷大，每层只有两根柱且截面及高度相等，故每根柱的弯矩为
为该层的总剪力，等于该层以上水平外力（包括惯性力）的代数和； h 为该层柱高。

于是各层柱端弯矩为
顶层：
中层：
第层：。

如图 b 所示。

对于横梁的杆端弯矩可由刚结点力矩平衡推求。

【例 16-2 1 】用振型分解法重作例 16-20 。

【解】已知
频率为：，，
振型为：，，。

，，
得广义质量
广义荷载
因系简谐荷载，又不计阻尼，由下式比较可得
，则其解为
而，这里
所以
计算几何坐标，
即
以下计算同例题 16-18 ，略。

【例 16-2 2 】试用能量法求图 16-26a 所示梁具有均布质量的最低频率，设以梁在自重下的弹性曲线为其振动形式。

图 16-26
【解】均布自重（图 b ）下的弯矩方程（图 c ）为
有图乘法（图 c 、 d ）求挠度曲线方程：
，。