第4章机器人运动学

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第2节 机器人运动方程的表示
2. 运动姿态和方向角的描述
1）夹持器（手抓）运动方向
接近矢量a：夹持器进入物体的方向；Z轴 方向矢量o：指尖互相指向；Y轴 法线矢量n：X轴
nx n T y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 px py pz 1
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第2节 机器人运动方程的表示
例题1
0
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第2节 机器人运动方程的表示
4.两杆之间的位姿矩阵
i 1 i
A Rot ( xi 1,i 1 )Trans( xi 1,ai 1 )Rot ( zi ,i )Trans( zi , di )
Zi-1
Oi
Xi di θi
的关系称为运动学分析。L1
、L2是大小不变的结构参数 。
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第1节 概述
举例说明
我们引入向量分别表示手爪 位置和关节变量：
x r y
1 2
(x, y)
手爪位置的各分量，按几何 学可表示为：
x L1 cos1 L2 cos(1 2 )
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第2节 机器人运动方程的表示
4. 连杆参数描述
3）在连杆坐标系中对连杆参数的解释
a i 1 ：沿Xi-1轴,从Zi-1移动到Zi的距离;
i 1 ：绕Xi-1轴,从Zi-1旋转到Zi的角度;
d i ：沿Zi轴,从Xi-1移动到Xi的距离;
{i-1}
{i}
i ：绕Zi轴,从Xi-1旋转到Xi的角度;
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第2节 机器人运动方程的表示
2. 运动姿态和方向角的描述
2）用欧拉角表示运动姿态
欧拉角:绕Z轴转φ,再绕新Y轴转θ,绕最新Z轴转ψ.
Euler ( , , ) Rot ( z , ) Rot ( y, ) Rot ( z , ) c s 0 0 s c 0 0 0 0 c 0 0 0 1 0 s 0 1 0 0 s 1 0 0 c 0 0 0 c 0 s 0 0 1 0 s c 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
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第2节 机器人运动方程的表示
2. 运动姿态和方向角的描述
3）用滚\仰\偏转表示运动姿态

横滚:绕Z轴转φ ,


俯仰:绕Y轴转θ ,
偏转:绕X轴转ψ .
RPY( , , ) Rot( z , ) Rot( y, ) Rot( x, ) c s 0 0 s c 0 0 0 0 c 0 0 0 1 0 s 0 1 0 0 1 0 s 0 0 0 1 0 0 c 0 0 0 s 1 0 0 0 s c 0 0 0 0 1

o
z
Fra Baidu bibliotek
y x
L1 , L2 , L3 ...
Z
广义连杆：连接两个关节的杆件。
1 ~ 6
Y
O X
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第2节 机器人运动方程的表示
4. 连杆参数描述
描述一个连杆的两个参数:
1）Link length 连杆长度ai-1
关节轴i-1和关节轴i之间的公垂 线的长度ai-1
2）Link twist 连杆转角αi-1
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第2节 机器人运动方程的表示
3. 运动位置和坐标的描述
选择直角坐标，柱面坐标还是球面坐标是根据 机器人的结果来选择的。
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第2节 机器人运动方程的表示
4. 连杆参数描述
已知杆件几何参数和关节角矢量求机器人末端 相对于参考坐标系的位置和姿态称为正运动学 分析。 下面分析广义连杆参数。
称为逆运动学（inverse kinematics）。
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第四章 机器人运动学
第1节 概述
第2节 机器人运动方程的表示
第3节 机器人运动方程的求解
第4节 PUMA560机器人运动方程
第2节 机器人运动方程的表示
1. A矩阵和T矩阵
机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆 组构成。用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和 旋转的齐次变换.
当i为移动关节时,连杆偏距为一变量. 2） joint angle 关节角θi
描述两个相邻连杆绕公共轴线旋 转的夹角θi. 当i为转动关节时，关节角为一变量.
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第2节 机器人运动方程的表示
4. 连杆参数描述
连杆参数（ ai-1 ，αi-1 ， di ， θi ）

对于转动关节,θi为关节变量,其他三个参数固定不变; 对于移动关节, di为关节变量,其他三个参数固定不变; 这种用连杆参数描述机构运动关系的规则称为 Denavit-Hartenberg参数法，简称D-H法.
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0 c
第2节 机器人运动方程的表示
3. 运动位置和坐标的描述
1）用柱面坐标表示末端运动位置

从基础坐标系出发变换的顺序为：沿x轴平移r，接着 绕z轴旋转α最后沿z轴平移z; 相对于参考坐标系的变换，位置和姿态都有变化，变 换矩阵为：
s c 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r c s 0 0 1 0 0 0 1 0 s c 0 0 0 rc 0 rs 1 z 0 1
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Cyl ( z, , r ) Trans(0,0, z ) Rot( z, )Trans(r ,0,0) 1 0 0 0 0 0 0 c s 1 0 0 0 1 z 0 0 0 1 0
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第2节 机器人运动方程的表示
3. 运动位置和坐标的描述
假设作一个平面,并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直,然后把 关节轴i-1和关节轴i投影到该平面上,在平面内轴i-1按照右手法则绕ai-1 转向轴i,测量两轴角之间的夹角为αi-1.
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第2节 机器人运动方程的表示
4. 连杆参数描述
描述连杆连接的两个参数:
1） link offset 连杆偏距di 相邻两个连杆之间有一个公共 的关节轴，沿着两个相邻连杆公共 轴线方向的距离可以用一个参数描 述为连杆偏距di.
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Xi-1
Oi-1
第2节 机器人运动方程的表示
第四章 机器人运动学
第1节 概述
第2节 机器人运动方程的表示
第3节 机器人运动方程的求解
第4节 PUMA560机器人运动方程
第四章 机器人运动学
第1节 概述
第2节 机器人运动方程的表示
第3节 机器人运动方程的求解
第4节 PUMA560机器人运动方程
第1节 概述
常见的机器人运动学问题可归纳如下：
1．对一给定的机器人，已知杆件几何参数和关 节角矢量求机器人末端执行器相对于参考坐标 系的位置和姿态。 2．已知机器人杆件的几何参数，给定机器人末 端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态 ( 位姿)，机器人能否使其末端执行器达到这个预 期的位姿？如能达到，那么机器人有几种不同 形态可满足同样的条件?
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第2节 机器人运动方程的表示
4. 连杆参数描述
2）连杆中的首尾连杆
坐标系{0} 通常规定:
Z0轴沿着关节轴1的方向,当坐标系1的关节变量为0时,设定参考 坐标系{0}与{1}重合.且a0=0, α0=0,当关节1为转动关节,d1=0;当关节1 为移动关节, θ1.=0. 坐标系{n} 通常规定: 对于转动关节 n,设定θn=0, 此时Xn和Xn-1轴的方向相同,选取坐标 系{n} 的原点位置,使之满足dn=0; 对于移动关节 n, 设定Xn轴的方向使之满足θn=0,当dn=0时,选取坐 标系{n} 的原点位于Xn-1轴与关节轴n的交点位置.
1）用柱面坐标表示末端运动位置

由于上述绕Z轴的旋转，使末端执行器的姿态出现变 化，若要执行器姿态不变，需将其绕执行器Z轴反向 旋转α：
Cyl ( z , , r ) Rot ( z B , ) c s 0 0 s c 0 0 0 rc c s 0 rs s c 1 z 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
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第1节 概述
常见的机器人运动学问题可归纳如下：
第一个问题常称为运动学正问题（正解）; 第二个问题常称为运动学逆问题（反解）。
o y
这两个问题是机器人运动学中的基本问题。 z
x Z
θi
O X
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Y
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第1节 概述
举例说明
图为2自由度机器人手部的 连杆机构 处理这个手指位置（P点位 置）与关节变量（θ1、θ2）
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第2节 机器人运动方程的表示
3. 运动位置和坐标的描述
2）用球面坐标表示末端运动位置

沿Z平移r,绕Y轴转β,绕Z轴转α.
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r 1
Sph( , , r ) Rot( z , ) Rot( y, )Trans(0,0, r ) 0 s c s 0 0 c s 0 c 0 0 1 0 0 0 1 0 s 0 c 0 0 0 1 0 0 0 cc s cc rcs sc c s s rs s s 0 c rc 0 0 0 1
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第2节 机器人运动方程的表示
3. 运动位置和坐标的描述
2）用球面坐标表示末端运动位置

由于上述两个旋转，使执行器姿态发生变化，为保持 执行器姿态，需要绕其自身Y和Z轴反向旋转。
Sph( , , r ) Rot ( yB , ) Rot ( z B , ) 1 0 0 0 0 0 rc s 1 0 rs s 0 1 rc 0 0 1
通常规定ai >0,其余可正可负.
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第2节 机器人运动方程的表示
4. 连杆参数描述
4）建立连杆坐标系的步骤
确定关节轴，并画出轴的延长线。
找出关节轴 i 和 i+1的公垂线或交点，作为坐标系 i 的原点。
规定Zi的指向是沿着第 i 个关节轴。 规定Xi轴得指向是沿着轴i和i+1的公垂线的方向，如果关节轴i 和i+1相交，则Xi轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面。 Yi 轴的方向由右手定则确定。 当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1} 重合，对于坐 标系{N}，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.
y L1 sin 1 L2 sin(1 2 )
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第1节 概述
举例说明
已知机器人的关节变量，求其手爪位置的运动 学问题称为正运动学（direct kinematics）。该 公式被称为运动方程式。 如果给定机器人的手爪位置，求为了到达这个
预定的位置，机器人的关节变量的运动学问题
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第2节 机器人运动方程的表示
4. 连杆参数描述
连杆附加坐标系的规定：
为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系 ,需 1）连杆中的中间连杆 要在每个连杆上定义一个固连坐标系.

坐标系{i}的Z轴称为Zi,与关节轴i重合; 坐标系{i}的原点位于公垂线ai与关节 轴i的交点处. Xi轴沿ai方向由关节i指向关节i+1 (若: ai =0,则Xi垂直于Zi和Zi+1所在的平面) Yi轴由右手定则确定

A1表示第一连杆对基坐标的位姿 A2表示第二连杆对第一连杆位姿
T矩阵描述连杆对基坐标的齐次变换。 则第二连杆对基坐标的位姿为 T2 A1 A2
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第2节 机器人运动方程的表示
1. A矩阵和T矩阵
如此类推，对于一个六连杆机器人，有
T6 A1 A2 A3 A4 A5 A6
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