151_曲边梯形的面积_152_汽车行驶的路程
学案8：1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程问题导学一、曲边梯形面积的计算 活动与探究1求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S ．迁移与应用用曲边梯形面积的计算方法求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及直线y ＝3x 所围成图形的面积． 名师点津(1)求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极值这四个步骤进行．(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．二、汽车行驶路程的计算问题 活动与探究2一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝12t 2(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．迁移与应用某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t 的速度为v (t )＝7－t 2，试计算这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程s ． 名师点津把变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念．当堂检测1．在求由抛物线y＝x2与直线x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个区间为()A．1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．1,i in n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2(1)2,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．22(1),i in n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．下列关于函数f(x)＝x2在区间1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的端点处的函数值的说法正确的是()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小3．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边形分成n个小曲边形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边形的面积和等于S②n个小曲边形的面积和小于S③n个小曲边形的面积和大于S④n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定A．1 B．2 C．3 D．44．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为__________．5．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．参考答案活动与探究1解：(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ．分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为1nii S S ==∆∑．(2)近似代替：记f (x )＝x 2+2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨用i f n ⎛⎫⎪⎝⎭来近似地作为f (x )在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝212i i i f x n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅∆=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． (3)求和：小曲边梯形的面积和11'n nn iii i S S S ===∆≈∆∑∑2112ni i i n n n =⎡⎤⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n 2＋22n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n ． (4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，S n 越来越趋向于S ，从而有 S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞⎣⎡ 16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝43．即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43．迁移与应用 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1n ．把梯形分成n 个小梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小梯形面积． ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n 2(i －1)(i ＝1，2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n3n 2(i －1)＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)] ＝32·n －1n ＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ． (4)取极限：S ＝lim n →∞∑i ＝1n3n 2(i －1)＝lim n →∞32⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32． 故所求面积等于32．活动与探究2 解：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间分成n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n ，记第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1，2，…，n )，Δt ＝2n ，则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记作Δs 1，Δs 2，Δs 3，…，Δs n ，有s n ＝∑ni ＝1Δs i ． (2)近似代替：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )．∴Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝12·⎝⎛⎭⎫2i n 2·Δt ＝12·4i 2n 2·2n ＝4n 3·i 2(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫4n 3·i 2＝4n3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝4n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝23⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． (4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝43．故这段时间内汽车行驶的路程s 为43km ．迁移与应用 解：将区间[0,1]n 等分，得到n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n，n n ．取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则物体在每个时间段内运动的路程Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝1n ⎝⎛⎭⎫7－i 2n 2，i ＝1，2，…，n ．s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝1n ⎝⎛⎭⎫7－1n 2＋7－22n 2＋…＋7－n 2n 2＝1n ⎣⎡⎦⎤7n －n (n ＋1)(2n ＋1)6n 2 ＝7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． 于是s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝203． 所以这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程为203．当堂检测 1．【答案】C【解析】每个小区间的长度是2n ，所以左端点是0＋(i －1)×2n ＝2(1)i n -，右端点是2in． 2．【答案】D 3．【答案】A【解析】只有说法①是正确的，其余均错． 4．【答案】0.33【解析】由题意得S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33． 5．解：令f (x )＝x 2． (1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，12x n =，24x n =，…，x n －1＝2(1)n n-，x n ＝2． 第i 个区间为222,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1,2，…，n ), 每个区间长度为Δx ＝2222i i n n n --=． (2)近似代替、求和： 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )， 2231112228nnn n i i i i i S f x i n n n n ===⎛⎫⎛⎫=⋅∆=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑＝38n(12＋22＋…＋n 2) 38(1)(21)6n n n n ++=⋅ ＝2431(2)3n n++． (3)取极限lim n n S →∞＝limn →∞24318233n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即所求曲边梯形的面积为83．。
高中数学 专题1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程测试(含解析)新人教A版选修2
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1.5。
1 曲边梯形的面积 1。
5。
2 汽车行驶的路程（时间:25分，满分50分）班级姓名得分1.（5分）当n很大时，函数f(x)＝x2在区间［错误!，错误!］上的值，可以近似代替为（) A．f(错误!) B．f(错误!）C．f(in）D．f（0）【答案】C【解析】2．(5分）把区间[a，b］（a〈b)n等分之后，第i个小区间是（）A．［错误!，错误!］B．［错误!(b－a）,错误!（b－a）］C．[a＋错误!，a＋错误!］D．［a＋错误!(b－a)，a＋错误!（b－a)]【答案】D3．（5分）由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形,将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点）是( )A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!【答案】D4．（5分)函数f（x)＝x2在区间错误!上( )A．f(x)的值变化很小B．f（x）的值变化很大C．f（x）的值不变化D．当n很大时，f（x)的值变化很小【答案】D【解析】当n很大，即Δx很小时，在区间[错误!，错误!］上,可以认为f(x）＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．5.（5分）在求由x＝a,x＝b(a<b），y＝f（x）(f（x）≥0）及y＝0围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是（）①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的,因此其面积和为S。
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件2_2
知识点二 求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 分割 、 近似代替 、求和、 取极限 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 求曲边梯形的面积
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积.
1
2
3
1
A.n
B.n
C.n
D.2n
解析 区间[1,3]的长度为 2，故 n 等分后，每个小区间的长度均为2n.
解析答案
1 234
2.函数 f(x)＝x2 在区间i－n 1，ni 上( D ) A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大 C.f(x)的值不变化 D.当n很大时，f(x)的值变化很小 解析 当 n 很大，即 Δx 很小时，在区间[i－n 1，ni ]上，可以认为 f(x)＝x2 的值变化很小，近似地等于一个常数.
解析答案
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求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
规律与方法
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
n b－a
(3)求和： f(ξi)· n ； i＝1
n b－a
(4)取极限：s＝lim f(ξi)· n→∞i＝1
n
. “近似代替”也可以用较大的矩形来代替
区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是__1_._0_2___. 解析 将区间 5 等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]， [85，95]，[95，2]， 于是所求平面图形的面积近似等于
110(1＋3265＋4295＋6245＋8215)＝110×22555＝1.02.
高中数学选修2-2学案7：1.5.1 曲边梯形的面积_1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程一、课前准备课时目标1.会求曲边梯形的面积、变速运动的汽车行驶的路程等;2.从问题情境中了解定积分的实际背景及意义.基础预探1.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条________的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2.由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为______，如图①．3.把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些________.对每个________“以直代曲”，即用________的面积近似代替________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值________，就得到曲边梯形面积的________如图②．4.如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用________，________，________，________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.二、学习引领1.“以直代曲”的思想求曲边梯形的面积由于没有曲边梯形的面积公式，为计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积．“分割”的目的在于“以直代曲”，即以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确．当n越大，所有小矩形的面积和就越趋近于曲边梯形的面积．2.用定积分的定义求定积分的技巧(1)熟记解题的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限；(2)在“近似代替”中，每个小区间上函数f (x )的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替.事实上，也可以取区间上的任意点代替，没有统一的要求．为了运算方便，通常取一些特殊点．(3)熟记以下结论：①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，②12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，③13＋23＋33＋…＋n 3＝14n 2·(n ＋1)2.三、典例导析题型一 曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形的面积．归纳总结：本题在求和时，可先提取公因式1n 4，再将和式进行化简会更简洁，然后再求极限．变式训练：求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝1x 2围成的图形的面积S .题型2 汽车行驶的路程例2 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝6t 2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程．归纳总结：利用用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以将求变速直线运动的路程问题转化为求匀速直线运动的问题，体现了转化的思想．变式训练：弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.四、随堂练习1．在求由x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x)[f(x)≥0]及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．A．1B．2 C．3 D．42．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξ1(i＝1,2，…，n)，作和式S n＝f(ξ1)Δx(其中Δx为小区间的长度)，那么S n的大小()A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关B．与f(x)、区间[a，b]和分点个数n有关，与ξi的取法无关C．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法有关，与分点的个数n无关D．与f(x)、区间[a，b]、分点的个数n、ξi的取法都有关3．已知汽车在时间[0，t1]内以速度v＝v(t)做直线运动，则下列说法不正确的是()1 n i=∑A ．当v ＝a (常数)时汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝vt 1B ．当v ＝at ＋b (a 、b 为常数)时，汽车做匀速直线运动这时路程s ＝bt 1＋12at 21C ．当v ＝at ＋b (a ≠0，a ，b 为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21D ．当v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程s ＝.4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．5．用定积分的定义求由直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．五、课后作业1.和式(i －12013 )2·12013等于( ) A.120132(12＋22＋32＋…＋20122) B.120132(12＋22＋32＋…＋20132) C.120133(12＋22＋32＋…＋20122) D.120133(12＋22＋32＋…＋20132) 2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n ]上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f (1n)B ．f (2n )C ．f (in)D ．f (0)3．以速度v ＝6t 沿直线运动的物体在t ＝1到t ＝6这段时间内所走的路程为________． 4．某物体做变速直线运动的速度为v (t )＝6t 2，则物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程为________．5．求由y ＝e x ，x ＝0，x ＝1及x 轴围成的曲边梯形的面积．6．若已知变速运动物体的速度v ＝t 2＋m (0≤t ≤2)，而其行驶的路程是5，求m 的值．11lim lim ()n nn i n n i i S v t ξ→∞→∞===∆∑∑20131i =∑——★参考答案★——基础预探1.连续不断2.曲边梯形3.小曲边梯形小曲边梯形矩形小曲边梯形近似值求和近似值4. 分割近似代替求和取极限三、典例导析例1 解：(1)把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n 把区间[1,2]等分成n 个小区间[1，n ＋1n ]，[n ＋1n ，n ＋2n ]，…，[n ＋i －1n ，n ＋i n ]，…，[n ＋(n －1)n ，2].每个小区间的长度为Δx ＝1n .过各点作x 轴的垂线，把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)取各小区间的左端点ξi ，以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间的长度Δx ＝1n 为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形的面积．第i 个小曲边梯形面积可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝(n ＋i －1n )3·1n(i ＝1,2，…，n )．(3)因为每一个小矩形的面积都是可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形的面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值，即S ≈(n ＋i －1n )3·1n.(4)当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形的面积S ，因此n →∞，即△x →0时，和式的极限就是所求的曲边梯形的面积． 因为(n ＋i －1n )3·1n ＝1n4(n ＋i －1)3＝1n4[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3]＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋14n 2(n ＋1)2]， 所以S = 变式训练解：(1)在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它分成n 个小区间为[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1n.分别过上述n －1个点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)在区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ]上，当n 趋向于∞，即Δx 趋向于0时，我们用小矩形面积近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈n 2(n ＋i －1)(n ＋i )·1n ＝n(n ＋i －1)(n ＋i ).（3）1ni =∑1ni =∑1ni =∑1ni =∑31113115lim ()11.244nn i n i N n →∞=+-=+++=∑g 11(1)()n nn i i i nS S n i n i ===∆=+-+∑∑.(4)当n 趋向于∞，即Δx 趋向于0时，S n 越来越趋向于S ， 从而有S ＝＝12，所以由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝1x 2围成的图形的面积约为12.例2 解：(1)把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋in ](i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1n ，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和(2)ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )． Δs i ≈v (n ＋i －1n )·Δt ＝6(n n ＋i －1)2·1n＝6n (n ＋i －1)2 ≈6n(n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2,3，…，n )． (3)＝6n [1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n ]＝6n [1n －12n]．(4) 变式训练解：将物体用常力F 沿着力的方向移动距离x ，则所做的功为W ＝Fx ，其中F 是克服弹簧拉力的变力，则移动距离x 的函数F (x )＝kx .（1）将[0，b ]n 等分，记Δx ＝b n ，分点依次为：x 0＝0，x 1＝b n ，x 2＝2bn ，…，x n －1＝(n －1)b n ，x n ＝b .当n 很大时，在分段[x i ，x i ＋1]所用的力约为kx i ，所做的功ΔW i ≈kx i ·Δx ＝kx i bn .所以从0到b 所做的总功W 近似的等于= 111111()1121n n n n n n n n n =-+-++-++++-+……111()22n n n =-=lim n n S →∞1lim nn in i S s→∞==∆∑1n n ii S S ==∆∑16(1)()ni nn i n i ==+-+∑11lim lim 6() 3.2n n n S S n n n→∞→∞==-=21112111[012(1)]n n n i i i i i ib b kb W kx x k n n n n ---===∆=∆==++++-∑∑∑g g g ……222(1)1(1).22kb n n kb n n-=-gg于是得到弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为： 四、随堂练习 1．[答案]A[解析]根据“化整为零”“积零为整”的思想知①是正确的，故选A. 2．[答案]D3．[解析]对于v ＝at ＋b ，当a ＝0时为匀速直线运动；当a ≠0时为匀变速直线运动，其中a >0时为匀加速直线运动，a <0时为匀减速直线运动，对于v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，及v ＝v (t )是t 的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动． [答案]B 4．[答案]1.02[解析]将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95][95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02.5．解：(1)把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1n，即把三角形分成一个小三角形和(n －1)个小梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi ＝i －1n (i ＝1,2，…，n )，则ΔS i ≈f (i －1n )Δx＝3·i －1n ·1n ＝3n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )．(3)(4) S= 所以由直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积为32.五、课后作业 1. [答案]C[解析](i －12013 )2·12013＝120133(i －1)2＝120133(02＋12＋22＋32＋…＋20122)． 2．[答案]C[解析]当n 很大时，f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in]上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代22111lim(1).22n i n i kb kb W W n -→∞==∆=-=∑g 22113331(1)(012(1)).2n ni i i n S i n n n n==-∆=-=++++-=∑∑g (21)3313lim (1)lim .22nn n i n i n n →∞→∞=--==∑g 20131i =∑20131i =∑替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替． 3．[答案]105 4．[答案]3[解析]将区间[1,2]n 等分，记第i 个小区间为[n ＋i －1n ，n ＋in ](n ＝1,2，…，n )，每个小区间长都是1n .由于v (t )＝6t2在此区间上的值变化很小，近似地等于v (n ＋i －1n ·n ＋in)＝6n 2(n ＋i －1)(n ＋i ).由于第i 个小区间上的小曲边梯形的面积近似地等于6n 2(n ＋i －1)(n ＋i )·1n ＝6n(n ＋i －1)(n ＋i ).这n 个小曲边梯形面积的和近似等于6n(n ＋i －1)(n ＋i )＝6n ·[1n (n ＋1)＋1(n ＋1)(n ＋2)＋…＋1(n ＋n －1)(n ＋n )]＝6n ·(1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋1n ＋n －1－1n ＋n)＝6n (1n －12n )＝3.当n →∞时，上述和式的极限仍等于3，所以物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程为3. 5．解：(1)将[0,1]分割成n 个小区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，则Δx ＝1n ，取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )．∴S=6．解：(1)在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间：[0，2n ]，[2n ，4n ]，…，[2(n －1)n ，2]，记第i 个区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为2n ，分别过上述n －1个分点作t 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，物体在时间段[0，2n ]，[2n ，4n ]，…，[2(n －1)n ，2n n ]上的路程分别为对应小曲边梯形的面积：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则显然有.(2)当n 很大，即Δt 很小时，在区间[2(i －1)n ，2i n ]上，速度函数v ＝t 2＋m 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点2i n 处的函数值v (2i n )＝(2in)2＋m ，在局部小1ni =∑111111111()lim limlim (1)lim 111innn nnn n n n n i n ne nS S e e e e n n e e →∞→∞→∞→∞=-====-=---∑g g 1e -1nii S S ==∆∑范围内“以匀速代变速”，于是ΔS i ≈v (2i n )Δt ＝(4i 2n 2＋m )·2n＝8i 2n 3＋2n ·m (i ＝1,2，…，n )． (3) S n ＝(2in )Δt ＝ (8i 2n 3＋2n ·m )＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2mn·n ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2m ＝83(1＋1n )(1＋12n )＋2m ， 所以路程S 的近似值为S ≈S n .(4) 由题意得83＋2m ＝5，解得m ＝76.1ni v =∑1ni =∑8118lim lim[(1)(1)2]2.323nn n S S m m n n →∞→∞==+++=+。
高中数学 专题1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程教案 新人教A版选修2-2(2
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1.5.1 曲边梯形的面积 1。
5.2 汽车行驶的路程【教学目标】1．了解“以直代曲”、“以不变代变"的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．【教法指导】本节学习重点：求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．本节学习难点：了解“以直代曲”、“以不变代变"的思想方法．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a,x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f(x）所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？☆探索新知☆探究点一求曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．问题如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S？思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题?（归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间［0,1］分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值,随着拆分越来越细,近似程度会越来越好．S n＝错误!S i≈错误!（错误!）2·Δx＝错误!（错误!)2·错误!（i＝1，2，…，n）＝0·错误!＋（错误!)2·错误!＋…＋（错误!）2·错误!＝错误!［12＋22＋…＋(n－1)2]＝错误!（1－错误!)(1－错误!)．∴S＝错误!S n＝错误!错误!（1－错误!）(1－错误!)＝错误!.求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间［错误!，错误!](i＝1，2，…，n）上的值近似地等于右端点错误!处的函数值f（错误!)，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是错误!吗？取任意ξi∈[错误!,错误!]处的函数值f(ξi）作为近似值,情况又怎样?其原理是什么？答以上方法都能求出S＝错误!.我们解决此类问题的原理是“近似代替"和“以直代曲”，在极限状态下,小曲边梯形可以看做小矩形．例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…，ΔS n.（2）近似代替在区间［错误!，错误!］（i＝1，2，…,n）上，以错误!的函数值错误!2作为高,小区间的长度Δx ＝错误!作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔS i≈（错误!）2·错误!。
课件13：1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程
时路程 s＝bt1＋12at21
C．当 v＝at＋b(a≠0，a，b 为常数)时，汽车做匀变速直线
运动，这时路程 s＝bt1＋12at21
D．当 v＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c 为常数)时，汽车做变速
n
直线运动，这时路程 s＝lni→m∞sn＝nli→m∞i＝1v(ξi)Δt
【解析】对于 v＝at＋b，当 a＝0 时为匀速直线运动，当 a≠0 时为匀变速直线运动，其中 a＞0 时为匀加速直线运 动，a＜0 时为匀减速直线运动．对于 v＝at2＋bt＋c(a≠0) 及 v＝v(t)是 t 的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即 变加速或变减速)直线运动，故 B 是错误的． 【答案】B
即
n
n
S＝ ΔSi≈
i＝1
iБайду номын сангаас1
n＋i－13
n
1 ·n.
(4)取极限 当分点数目越多，即 Δx 越小时，和式的值就越接 近曲边梯形 ABCD 的面积 S.因此 n→∞，即 Δx→0 时， 和式的极限就是所求的曲边梯形 ABCD 的面积．
n
因为
i＝1
n＋ni－13·n1
＝n14i＝n1 (n＋i－1)3
可取 ξi 使 v(ξi)＝g·i－n 1t 近似代替第 i 个小区间上的速度， 因此在每个小区间上自由落体 Δt＝nt 内所经过的距离可近似 表示为 Δsi＝g·i－n 1t·nt (i＝1,2，…，n)．
(3)求和．
n
sn＝
i＝1
n
Δsi＝
i＝1
i－1 t g· n t·n
＝gnt22[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝12gt21－n1. (4)取极限．
1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程导学案
课题：1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
一、学习目标
1.理解连续函数的概念,会根据函数图象观察函数在区间上是否连续.
2.会用分割,近似替代,求和,取极限的方法求曲边为二次函数曲线段的曲边梯形的面积和汽车作变速运动时在某一段时间内行驶的路程.
3.通过求曲边梯形的面积和对变速直线运动在某一段时间内行驶路程的求法,体会“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法.
二、教学重难点
教学重点：利用分割，近似代替，求和，取极限的方法求面积
教学难点：体会“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法.
近似值.
A 层
1.下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )
A.2x y =
B.||x y =
C.x y =
D.x y 1= B 层
2.把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是( )
A.],1[n i n i -
B. )](),(1[a b n
i a b n i --- C.],1[n i a n i a +-+
D. )](),(1[a b n i a a b n i a -+--+ C 层
3.在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）
A.只能是左端点的函数值)(i x f
B.只能是右端点的函数值)(1+i x f
C.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）
D.以上答案均正确
4.求由直线0,3,1===y x x 和抛物线23x y =所围成的图形的面积.。
第一章 1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程
§1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．2．求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．3．求曲边梯形面积的步骤：(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限．思考如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形可看成是由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．知识点二求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.1．曲边梯形的每一条边都不会是直线段．( × )2．在求曲边梯形面积的第一步“分割”中，必须对给定区间进行等分．( √ ) 3．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) 4．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝⎛⎭⎫i n 2近似代替．( × )一、 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎡⎦⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)解 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2 ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143， 即所求曲边梯形的面积为143.反思感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求曲线y ＝x 3＋1与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积．⎝⎛⎭⎫参考公式：13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24解 (1)分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ，过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS 1，ΔS 2，…ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替：对区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的小曲边梯形，以区间左端点i －1n 对应的函数值f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋1为一边的长，以Δx ＝1n 为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n .(3)求和：S n ＝ΔS 1＋ΔS 2＋…＋ΔS n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n＝1n4[03＋13＋23＋…＋(n －1)3]＋1 ＝1n 4·(n －1)2·n 24＋1＝n 2－2n ＋14n 2＋1. (4)取极限：当n →∞时，S n ＝1－2n ＋1n 24＋1趋近于54，即S ＝lim n →∞S n ＝54.所以曲边梯形的面积是54.二、求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n .s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)] ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n.s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 延伸探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n .所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎫1＋i n ·1n. s n ＝∑n i ＝1v ⎝⎛⎭⎫1＋i n 1n ＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n 2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n.s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一个物体做变速直线运动，它在时刻t 的速度为v (t )＝12t ，求该物体在t ＝0到t＝2这段时间内运动的路程s . 解 (1)分割将区间[0,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2…，n )，每个区间的长度均为Δt ＝2n ，每个时间段所行驶的路程为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则路程和s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，于是Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝12·2i n·2n ＝2in 2(i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n2i n 2＝2n 2∑i ＝1n i ＝2n 2·n (n ＋1)2＝1＋1n.(4)取极限s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝1. 故该物体在t ＝0到t ＝2这段时间内运动的路程s 等于1.1．对于函数f (x )＝x 2，在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案 D解析 当n 很大时，区间端点处的两个函数值很接近，区间上的函数值变化很小． 2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B.12 C ．1 D.32 答案 B 4.∑i ＝1nin ＝________.答案n ＋12解析 ∑i ＝1ni n ＝1n(1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.1．知识清单： (1)求曲边梯形的面积． (2)求变速运动的路程．2．方法归纳：“以直代曲”、“逼近”思想．3．常见误区：不理解求曲边梯形面积的“逼近”思想，误以为所得面积值和分割次数有关．1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝|x | C ．y ＝x D ．y ＝1x答案 D2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点作为每个小曲边梯形的高)是( ) A.19 B.125 C.127 D.130答案 A解析 将区间[0,1]三等分后，得到3个区间，即⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1以每个区间的左端点的函数值为高，3个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值，S ＝0×13＋⎝⎛⎭⎫133×13＋⎝⎛⎭⎫233×13＝19.4．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i nD.⎣⎡⎦⎤2i n ，2(i ＋1)n答案 C解析 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n . 5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( ) A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n C.lim n →∞ ∑n i ＝1⎝⎛⎭⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·n 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n ，∴和式为∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n .故选B.6．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________． 答案 45 ⎣⎡⎦⎤165，4 解析 在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎡⎦⎤165，4.7．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.8．在求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形面积时，若令Δx ＝1n ，ξi ＝i －1n ，则曲边梯形的面积表达式为____________． 答案 ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 3·1n解析 S ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 3·1n . 9．一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)．解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1n Δs i . (2)近似代替：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2i n 2＋5·2n ＝－8i 2n 3＋10n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫－8i 2n 3＋10n ＝－8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋10.＝－8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋10＝－43⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋10. (4)取极限：s ＝lim n →∞s n＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤－43⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋10＝223. 10．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积．解 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n .作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i 2n 3＋2i n 2＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2， ∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫43＋32n ＋16n 2＝43.11．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1)答案 C解析 ∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.12.lim n →∞∑ni ＝1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 的含义可以是( ) A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积 答案 C解析 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n， 因此∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值． 13．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( )A.2n ＋2iB.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i答案 A解析 每个小区间的长度为2n， 第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n， ∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n ＝2n ＋2i .14．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值的有________个． ①f ⎝⎛⎭⎫1n ；②f ⎝⎛⎭⎫i n ；③f ⎝⎛⎭⎫i －1n ；④f ⎝⎛⎭⎫i n －12n . 答案 3 解析 因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④.15．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n，则y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为________．答案 43解析 由于y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n， 则y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，π3上的面积为23. 而y ＝sin 3x 的周期为2π3， 所以y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为23×2＝43. 16．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs i ′近似地代替Δs i ， 于是Δs i ≈Δs i ′＝v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n 3＋4n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs i ′＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4 ＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋4. (4)取极限s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤8⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.。
1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
v v t2 2
o
1t
图1.5 6
从而，汽车行驶的路程S
lim
n
Sn在数值上等于
由直线 t 0,t 1, v 0和曲线v t2 2所围成的曲
边梯形的面积.
一般地, 如果物体做变速直线运动, 速 度函数为 v v(t), 那么我们也可采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法,求出它在 a t b内的位移s.
2
1 n
0
1
1
2
1
n n n
n
12
1
n n
可以证明
1 n3
12
22
n 12
12 22 n 12 n 1n2n 1.
6
1 n3
n
1n2n
6
1
1 1 1 1 1 . 3 n 2n
o
i1 i 1
nn
图1.5 4
x
从而可得S的近似值 S Sn
1 1 1 1 1 . 3 n 2n
y
C
y=f(x)
曲边梯形的定义
如图，阴影部分类似于一个梯
x=a 曲边梯形
x=b 形，但有一边是曲线 y f ( x)
的一段，我们把由直线
B x x a, x b(a b), y 0
Oa
b
和曲线 y f ( x)所围成的图
形称为曲边梯形.
探究点1 曲边梯形的面积
成
y
图1.5 2中的图形可以 看成是直线x 0, x 1, y 0 和曲线y x2所围 成的曲边梯形.
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
人教A版高中数学选修2-2课件1.5.1-2曲边梯形的面积、汽车行驶的路程
时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个，
即为曲边梯形的面积．
定值
• 3．求变速直线运动的位移(路程)
• 如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝ v ( t ) ， 那 么 也 可 以 采 用分割的，方近法似代，替求，求出和它，取在极限 a≤t≤b内所作的位移s.
• [例1] 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线 y＝x(x－1)围成的图形面积．
2．函数 f(x)＝x2 在区间i－n 1，1n上(
)
• A．f(x)的值变化很小 • B．f(x)的值变化很大 • C．f(x)的值不变化 • D．当n很大时，f(x)的值变化很小 • [答案] D • [解析] 由求曲边梯形面积的流程中近似
代替可知D正确，故应选D.
• 二、填空题
高中数学课件
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• 1．5 定积分的概念
• 1．5.1 曲边梯形的面积 • 1．5.2 汽车行驶的路程
• 了解求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 的求解方法，了解“以直代曲”、“以不变代
变”的思想方法．
• 本节重点：曲边梯形的面积、汽车行驶路 程的求法．
• 本节难点：“以直代曲”、“以不变代变” 的思想方法．
• 1．正确理解曲边梯形的概念是研究曲边 梯形面积的关键，实际上，曲边梯形是由 曲线段和直线段所围成的平面图形．
• 2．曲边梯形与“直边图形”的主要区别是 前者一边是曲线段，而“直边图形”的所有 边都是直线段．
• 3．求曲边梯形面积的思想方法
• 一般地，对曲边梯形，我们可采用分割、 以直代曲、求和、取极限的思想方法求出 其面积．
＝n13·16n(n－1)(2n－1)－n12·n(n－2 1) ＝－n62n＋2 1＝16n12－1. (4)取极限 当分割无限变细，即 Δx 无限趋近于 0 时，n 无限趋近 于＋∞，此时16n12－1无限趋近于 S.从而有： S＝linm→∞ 16n12－1＝－16. 所以由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和 y＝x(x－1)围成的图 形面积为16.
1.5.1~1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
变式训练 2 一个物体做变速直线运动,它在时刻 t 的速度为
v(t)=12t,求该物体在 t=0 到 t=2 这段时间内运动的路程 s.
+
i-1 n
,1
+
i n
(i=1,2,…,n)上,可以认为函数 y=x2 的值变化很小,近似地等于一个常
数,不妨认为它近似地等于右端点 1+ni 处的函数值 1+ni 2,这样,在
区间
1
+
i-1 n
,1
+
i n
上,用小矩形的面积 ΔSi'近似地代替 ΔSi,即在局部
小范围内“以直代曲”,则有 ΔSi≈ΔSi'= 1+ni 2·Δx= 1+ni 2·1n.
·6
=2+���2���+ 1+���1���
1 3
+
1 6������
.
(4)取极限.
当分割无限变细,即 Δx 趋向于 0 时,n 趋向于∞,从而有
S=���l���i→m∞Sn=���l���i→m∞
2
+
2 ������
+
(1
+
���1���)(13
所以由直线 x=1,x=2,y=0 和曲线
+ 61������) = 73, y=x2 围成的图形面积为73.
作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSi,…,ΔSn.
探究一
高中数学人教A版选修2-2课件：1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
重难聚焦
典例透析
题型二
【变式训练1】 求由直线x=0,x=1,y=0及曲线y=x2+2x所围成的
图形的面积S.
解:(1)分割
在[0,1]上等间隔地插入(n-1)个点,将它等分为 n 个小区间
: 0,
1
,
2 3
, ,…,
-1
Δx= − =
1 2
,
其长度为,-1 Nhomakorabea,1
1
.
在区间
值 f(ξi)=
+ ++1
,
上,取其左端点 ξi=
3 为一边,以小区间长
Δx=
1
+
, 用以点ξi 处的函数
为另一边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积,可以近似
地表示为
ΔSi≈3 ·Δx=
+ 3 1
· (
= 0,1,2,3, …,n-1).
(3)求和
面积S.
分析:先作出草图,确定好曲边梯形的大致形状,再利用分割求和
的方法求解.
-7-
目标导航
题型一
重难聚焦
典例透析
题型二
解:(1)分割
把所求面积的曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形,用分点
n+1 n+2
n+(n-1)
,
,
…
,
把区间[1,2]等分成 n 个小区间
n
n
n
n+1
n+1 n+2
n+t n+t+1
课件6：1.5.1 曲边梯形的面积——1.5.2 汽车行驶的路程
(4)取极限
S＝lni→m∞Sn＝lni→m∞[－9(1－1n)(1－21n)＋9(1－1n)＋9]
＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9＝9， 即所求曲线梯形面积为 S＝9.
规律技巧： 该题中，从图形上看，当n越大时，划分 越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形的 面积相差越来越小，当n→∞时，阴影部分 面积趋近于曲边梯形的面积，因此9就是 曲边梯形的面积．
1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
自学引导
通过实例(如求曲边梯形的面积等)，从问题情境中， 了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积 分的基本思想.
课前热身
1.曲边梯形的面积． (1)曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和
曲线 y＝f(x)所围的图形称为_曲___边__梯__形__(如图①)．
(2) 近似 代替 ：在每 个小区 间上 任取一 点， 记为 ξi(xi－ 1≤ξi≤xi)，并记Δxi＝xi－xi－1.以小区间长度Δxi 为底，f(ξi)为高的 小矩形面积就是 f(ξi)Δxi，设小曲边梯形面积为ΔAi(i＝1,2，…， n)，则有ΔAi≈f(ξi)Δxi(i＝1,2，…，n)．
题型二 求变力所做的功 例2：如果物体在常力作用下沿直线运动，且力与位移同向，那 么力对物体所做的功W就是F与位移的乘积．但如果作用的力不 是一个常数，而是随着位移的不同而变化，即力F是位移x的函 数F＝F(x)，假定在变力F的作用下沿x轴由x＝a移动到b(b>a)， 求这种变力所做的功是多少？ 【解析】求变力在位移a≤x≤b内所做的功，可以按照求曲边梯 形面积的方法进行，即按分割、近似代替、求和、取极限四步 解决．
(3)求和：将所有小矩形面积加起来，则
课件12：1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程
n
n
n
S＝ ΔSi≈－ f(ξi)Δx＝
i＝1
i＝1
i＝1
－i－n 1i－n 1－1·n1
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋
(n－1)]
＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·n
跟踪训练 2．用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由 落体的运动速度 v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落 的距离． 解：(1)分割：将时间区间[0，t]分成 n 等份． 把时间[0，t]分成 n 个小区间i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，
每个小区间表示的时间段 Δt＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间 物体下落的距离记作 Δsi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替 变速运动的路程． 在i－n 1t，int上任取一时刻 ξi(i＝1,2，…，n)，可取 ξi 使 v(ξi)
n－ 2
＝－－6n2n＋2 1
＝－61n12－1.
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，
此时－16n12－1趋向于
S.从而有
S＝lim n→∞
－16n12－1＝16.
所以由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的
图形面积为61.
名师指津 由极限法求曲边梯形的面积的步骤 第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入 n－1 个分点， 将其等分成 n 个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间 的长度 Δxi＝xi－xi－1.
n
ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为 S＝ΔSi，
1.5.1_曲边梯形的面积-1.5.2_汽车行驶的路程
他们的面积分别记作
S1 , S2 , , Si , , Sn .
探究思考
（2） 以直代曲（近似代替）
i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n
y （3）作和
y x2
S Si S1 S 2 S n
n
探究思考
（4）逼近（取极限）
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )( 2 ) 6 n n 3 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的面积为 。 3 3
2 2 2
探究思考
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
1 1 2 i 1 i n 1 n 0， ，n ， ， , n , n , , n , n n n i i 1 1 每个区间的长度为x n n n 过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，
v
2
v(t ) = - t 2 + 2
O
1
t
探究思考
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0，t=1，v=0 2 和曲线 v=－t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系？
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 S lim Sn 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
分割 以直代曲 作和 逼近
因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为:
S lim S n
y
n
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1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思想 .（重点）
2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号.（ 难点）
曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称
为曲边梯形．
y
如何求曲边梯
f(b)
y=f(x)
形的面积？
f(a)
Oa
bx
探究点1 曲边梯形的面积
, n) ，其长度为 t i i 1 1 nn n
把汽车在时间段
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n
1 n
, 1
上行
驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
n
1
,
i n
上，可以认为函数 vt t2 2 的值变化很
小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
看，就是汽车在时间段
i
1 n
,
i n
(i 1, 2 ,
, n) 上的速
度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。202 0年10 月19日 星期一2 时27分 49秒M onday, October 19, 2020
相信相信得力量。20.10.192020年10月 19日星 期一2 时27分4 9秒20. 10.19
谢谢大家！
i
1 n
t
n i 1
i
1 2 n
1 n
2
n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
1 n
2
1 n
2
=
1 n3
12
22
n
12
2
=
1 n3
n
1 n2n
6
1
2
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
.
（4）取极限 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 ， 即 t 趋 向 于 0 时 ，
y
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[ n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间长度为
x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线， 从而得到n个小曲边梯形，它 们的面积分别记作
S1, S2,, Si,, Sn.
n
作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2 020年1 0月19 日星期 一2时27 分49秒 14:27:4 919 October 2020
好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。下 午2时27 分49秒 下午2 时27分1 4:27:49 20.10.1 9
一马当先，全员举绩，梅开二度，业 绩保底 。20.10. 1920.1 0.1914: 2714:27 :4914:2 7:49Oct-20
直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边 梯形）面积S是多少？
为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形， 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
方案1 方案2 方案3
O
1
x
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操 作过程
X
解题思想
“细分割、
近似和、
渐逼近”
总结提升：
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积
的方法 （1）分割 （2）近似代替 （3）求和
（4）取极限 x 0(或n )
1.当n很大时，函数f
(x)
x2在区间
i
1, n
i n
上的值，可以用（ C ）近似代替.
A. f (1) n
B. f ( 2) n
C. f ( i ) n
D. f 0
图中矩形面积的和就是曲边
梯形的面积，从而汽车行
驶的路程
s
lim
n
sn
在数
值上就等于相应曲边梯形
面积.
v v t2 2
o
1t
图1.5 6
从而，汽车行驶的路程S
t 0,t 1, v 0和曲线v t2 2所围成的曲
边梯形的面积.
一般地, 如果物体做变速直线运动, 速 度函数为 v v(t), 那么我们也可采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法, 求出它在 a t b内的位移s.
2、在“近似代替”中，函数f (x)在区间 xi , xi1
上的近似值等于（ C ）
A.只能是左端点的函数值f (xi ) B.只能是右端点的函数值f (xi1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f (i )(i xi , xi1)
D.以上答案均不正确
1.求曲边梯形面积的“四个步骤”：
1°分割 2°近似代替
1 n3
(n
1)n(2n 6
1)
1 (1 1 )(1 1 ) 3 n 2n
（4）取极限
当分割无限变细，即Δx → 0(亦即n → +∞)时，
S
=
lim
n→∞
1 3
1
-
1 n
1
-
1 2n
=
1 3
即所求曲边梯形的面积为1 . 3
演示
我们还可以从数值上看出这一变化趋势
区间[0,1]的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
1.5 定积分的概念
这些图形的面积该怎样计算？
例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与 直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．
问题1y：我们是怎样计
算圆的面积的？圆周率 是如何确定的？
问题2：“割圆术”是 怎样操作的？对我们有 何启示？
x Archimedes，约公元前
287年—约公元前212年
S的近似值Sn
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 38 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
…
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2 趋向于
S
，
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
v
i
1 n
lim
n
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
5 3
.
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车 行驶的路程 s 与由直线 t=0，t=1，v=0 和曲线 v= －t2+2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
取f
x
x2在区间
i
1, n
i n
上任意一点i处的值f
i
作为近似值，都有
n
S lim f x0 i1
i
x lim n
n i 1
1 n
f
i
1. 3
一般地，对于曲边梯形，我们也可采用
分割
近似代替
求和
的方法，求其面积.
取极限
探究点2 汽车行驶的路程
思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的 运动速度？
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.1914 :27:491 4:27Oct-2019-Oct-20
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。14: 27:4914 :27:491 4:27M onday, October 19, 2020
安全在于心细，事故出在麻痹。20.10. 1920.1 0.1914: 27:4914 :27:49 October 19, 2020
v
i
1 n
i
12 n
2
做匀速直线运动，
即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形 的面积 Si 近似地代替 Si ，则有
Si
Si
v
i
1 n
t
i
12 n
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1,2,
, n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
化整为零 以直代曲
3°求和
积零为整
4°取极限
刨光磨平
不积跬步，无以至千里；不积小流，无以
成江海。
——《荀子劝学》
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.1920 .10.19 Monday , October 19, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 4:27:49 14:27:4 914:27 10/19/2 020 2:27:49 PM
踏实肯干，努力奋斗。2020年10月19 日下午2 时27分 20.10.1 920.10. 19
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 0月19 日星期 一下午2 时27分 49秒14 :27:492 0.10.19