151_曲边梯形的面积_152_汽车行驶的路程

v
i
1 n
i
12 n
2
做匀速直线运动，
即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形 的面积 Si 近似地代替 Si ，则有
Si
Si
v
i
1 n
t
i
12 n
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1,2,
, n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
总结提升：
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积
的方法 （1）分割 （2）近似代替 （3）求和
（4）取极限 x 0(或n )
1.当n很大时，函数f
(x)
x2在区间
i
1, n
i n
上的值，可以用（ C ）近似代替.
A. f (1) n
B. f ( 2) n
C. f ( i ) n
D. f 0
, n) ，其长度为 t i i 1 1 nn n
把汽车在时间段
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n
1 n
, 1
上行
驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
n
1
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.1914 :27:491 4:27Oct-2019-Oct-20
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图中矩形面积的和就是曲边
梯形的面积，从而汽车行
驶的路程
s
lim
n
sn
在数
值上就等于相应曲边梯形
面积.
v v t2 2
o
1t
图1.5 6
从而，汽车行驶的路程S
lim
n
Sn在数值上等于
由直线 t 0,t 1, v 0和曲线v t2 2所围成的曲
边梯形的面积.
一般地, 如果物体做变速直线运动, 速 度函数为 v v(t), 那么我们也可采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法, 求出它在 a t b内的位移s.
,
i n
上，可以认为函数 vt t2 2 的值变化很
小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
看，就是汽车在时间段
i
1 n
,
i n
(i 1, 2 ,
, n) 上的速
度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
化整为零 以直代曲
3°求和
积零为整
4°取极限
刨光磨平
不积跬步，无以至千里；不积小流，无以
成江海。
——《荀子劝学》
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.1920 .10.19 Monday , October 19, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 4:27:49 14:27:4 914:27 10/19/2 020 2:27:49 PM
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2 趋向于
S
，
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
v
i
1 n
lim
n
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
5 3
.
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车 行驶的路程 s 与由直线 t=0，t=1，v=0 和曲线 v= －t2+2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
踏实肯干，努力奋斗。2020年10月19 日下午2 时27分 20.10.1 920.10. 19
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 0月19 日星期 一下午2 时27分 49秒14 :27:492 0.10.19
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相信相信得力量。20.10.192020年10月 19日星 期一2 时27分4 9秒20. 10.19
谢谢大家！
1 n3
(n
1)n(2n 6
1)
1 (1 1 )(1 1 ) 3 n 2n
（4）取极限
当分割无限变细，即Δx → 0(亦即n → +∞)时，
S
=
lim
n→∞
1 3
1
-
1 n
1
-
1 2n
=
1 3
即所求曲边梯形的面积为1 . 3
演示
我们还可以从数值上看出这一变化趋势
区间[0,1]的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S Si i 1
（2） 近似代替
Si
f(i
1)x n
f ( i 1)x n
Si
(i 1)2 1 nn
(i=1,2,…,n)
（3）求和
S S1 S2 Sn
n i1
Si
n i1
f( i-1) n
1 n
n i1
( i-1)2 n
1 n
1 n3
[02
12
22
wk.baidu.com
(n
1)2 ]
v
S1 S2
2
S3 S4 v(t)
Sj
Sn
t2 2
O 1 2 3 j n-1 1
t
nnn n n
解：（1）分割
在时间区间0 ,1上等间隔地插入 n 1个分点，将区间
0 ,1等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，
…
，
n 1 n
, 1
记第i 个区间为
i
1 n
,
i n
(i
1,
2,
i
1 n
t
n i 1
i
1 2 n
1 n
2
n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
1 n
2
1 n
2
=
1 n3
12
22
n
12
2
=
1 n3
n
1 n2n
6
1
2
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
.
（4）取极限 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 ， 即 t 趋 向 于 0 时 ，
作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2 020年1 0月19 日星期 一2时27 分49秒 14:27:4 919 October 2020
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1.5 定积分的概念
这些图形的面积该怎样计算？
例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与 直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．
问题1y：我们是怎样计
算圆的面积的？圆周率 是如何确定的？
问题2：“割圆术”是 怎样操作的？对我们有 何启示？
x Archimedes，约公元前
287年—约公元前212年
取f
x
x2在区间
i
1, n
i n
上任意一点i处的值f
i
作为近似值，都有
n
S lim f x0 i1
i
x lim n
n i 1
1 n
f
i
1. 3
一般地，对于曲边梯形，我们也可采用
分割
近似代替
求和
的方法，求其面积.
取极限
探究点2 汽车行驶的路程
思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的 运动速度？
y
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[ n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间长度为
x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线， 从而得到n个小曲边梯形，它 们的面积分别记作
S1, S2,, Si,, Sn.
n
S的近似值Sn
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 38 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
…
2、在“近似代替”中，函数f (x)在区间 xi , xi1
上的近似值等于（ C ）
A.只能是左端点的函数值f (xi ) B.只能是右端点的函数值f (xi1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f (i )(i xi , xi1)
D.以上答案均不正确
1.求曲边梯形面积的“四个步骤”：
1°分割 2°近似代替
例如 s(t)=3t2+2. 则 v(t)= s´(t)=6t+0. 思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么
求路程？
s=vt 直接求出
思考 3：如果汽车做 变速直线运动，在时 刻 t 的速度为 v(t)= － t2+2. 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 s 是多少 呢？
直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边 梯形）面积S是多少？
为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形， 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
方案1 方案2 方案3
O
1
x
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操 作过程
X
解题思想
“细分割、
近似和、
渐逼近”
1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思想 .（重点）
2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号.（ 难点）
曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称
为曲边梯形．
y
如何求曲边梯
f(b)
y=f(x)
形的面积？
f(a)
Oa
bx
探究点1 曲边梯形的面积