高考数学 文科19题

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学文科第19题评分细则

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率

为

6

3

．过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．

（Ⅰ）解：由题意可得2

222,6,,c c

a a

b

c =⎧⎪

⎪=⎨⎪=+⎪⎩…….2分

注：2c = 与

6c a = 各1分，不写“222a b c =+”不扣分，该分数体现在第4分处. 解得6a =，2b =， …….4分

故椭圆的方程为22

162

x y +=． …….5分

（Ⅱ）解法一：

由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，

点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --， …….6分

由22

1,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩

得2222

(13)121260k x k x k +-+-=， …….7分

所以2

122

1213k x x k +=+．

因为12122

4(4)13k

y y k x x k

-+=+-=+，

注：或()222

62221313D D k k

y k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭

.

所以AB 中点222

62(,)1313k k D k k

-++． …….9分

注：中点的横、纵坐标各1分.

因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹． …….10分

由2230,

1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+

=⎪⎩

解得2

32

213y k =+，333x ky =-． …….11分

因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r

，

即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以22

3340x y --=． …….12分

或：

因为四边形12MF NF 为矩形，所以1

20FM F M ⋅=u u u u r u u u u r

， 即()()33332,2,0x y x y +⋅-=，所以22

3340x y -+=． …….12分

所以22

2(91)

4013k k

+-=+

．解得k =±． …….13分 故直线l

的方程为2)y x =-． ……… 14分

注：若只求得一解，扣1分.

（Ⅱ）解法二：

由直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为2x ty =+，

点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --， …….6分

由22

1,622,x y x ty ⎧+

=⎪⎨⎪=+⎩

得()223420t y ty ++-=， …….7分 所以122

43

t

y y t +=-

+， 因为()1212212

43

x x t y y t +=++=+， 注：或22

262233D D t x ty t t t ⎛

⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭

. 所以AB 中点2262(

,)33

t

D t t -++． …….9分

注：中点的横、纵坐标各1分.

直线OD 方程为30tx y +=， …….10分 由2230,

1,6

2tx y x y +=⎧⎪⎨+=⎪

⎩ 解得33,3t y x =- 2

32

183x t =+． …….11分 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r

，

即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以22

3340x y --=． …….12分

或：

因为四边形12MF NF 为矩形，所以1

20FM F M ⋅=u u u u r u u u u r

， 即()()33332,2,0x y x y +⋅-=，所以22

3340x y -+=． …….12分

所以22

2(9)

403

t t +-=+

．解得t =． …….13分 故直线l

的方程为2x =+

即(2)3y x =±-

……… 14分 注：若只求得一解，扣1分.