北大版高等数学课后习题答案完整版

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高等数学北大版教材答案

高等数学北大版教材答案为了帮助学生更好地学习高等数学北大版教材，下面提供一些常见题目的答案。

请注意，由于篇幅限制，以下仅列举一部分题目的答案。

1. 题目1:求函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$的极限$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$。

解答：首先，我们可以对函数$f(x)$进行简化，将根式进行有理化。

利用差平方公式可得：$f(x) = \frac{(\sqrt{x^2+1})^2-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$接下来，我们考虑当$x\to\infty$时，函数$f(x)$的极限。

由于$x$趋向无穷大，可以忽略1与$x^2$的对比，即$\sqrt{x^2+1}\approx x$。

那么：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{2x} = 0$所以，$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = 0$。

2. 题目2:求函数$f(x)=\int_0^x(2t^2+3t)dt$的原函数$F(x)$。

解答：根据定积分的性质，我们可以通过求导的方式求得函数$f(x)$的原函数$F(x)$。

首先，对被积函数进行求导：$\frac{d}{dx}(2t^2+3t) = 4t+3$得到被积函数的导函数为$4t+3$。

接下来，我们对导函数积分得到原函数：$F(x) = \int (4t+3)dt = 2t^2+\frac{3}{2}t+C$所以，函数$f(x)$的原函数$F(x)$为$2t^2+\frac{3}{2}t+C$。

3. 题目3:已知函数$f(x)$在点$x=1$处的导数为$3$，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程。

高等代数(北大第三版)习题答案完整

P44.4 2) 结果
f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 = ( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 22( x + 2) 2 − 24( x + 2) + 11
3)
f ( x) = x 4 + 2ix 3 − (1 + i ) x 2 + 3 x + 7 + i
= ( x + i − i )4 + 2i ( x + i − i )3 − (1 + i )( x + i − i ) 2 − 3( x + i − i ) + 7 + i = ( x + i ) 4 − 2i( x + i)3 + (1 + i)( x + i ) 2 − 5( x + i ) + 7 + 5i
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
证：设 ( f ( x ) h( x ), g ( x ) h( x )) = m( x ) 由
( f ( x ), g ( x)) h( x ) | f ( x) h( x) ∴ ( f ( x ), g ( x)) h( x ) | m( x )
设 d ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
由 12 题 ( fg , f + g ) = 1 令 g = g1 g 2 … g n
∴ 每个i, ( fi , g ) = 1 ⇒ ( f1 f1 , g ) = 1, ⇒ ( f1 f 2 f3 , g ) = 1 , ⇒ ( f1 f 2

高等代数北大版第章习题参考答案精修订

高等代数北大版第章习题参考答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。

北大版高等数学第一章函数及极限答案习题1.6

习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取。

高等代数北大版(第三版)答案

令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3

北大版高等数学(第二版)习题答案1.1

北京大学出版社高等数学（第二版）习题1.11证明√3为无理数.证明：假设√3是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且√3=m n所以√3n=m ⟹3n2=m2所以3整除m2，即3整除m。

设m=3p，代入3n2=m2得：3n2=9p2⟹n2=3p2所以3整除n2，即3整除n。

由于3能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。

因此√3是无理数。

证毕。

2设p是正的素数，证明√p是无理数.证明：假设√p是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且因为p>0，有√p=m n所以√pn=m ⟹pn2=m2所以p整除m2，即p整除m。

设m=pq，代入pn2=m2得：pn2=p2q2⟹n2=pq2所以p整除n2，即p整除n。

由于p能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。

因此√p是无理数。

证毕。

3解下列不等式：（1）|x|+|x−1|<3解：依[命题2]有|x+y|≤|x|+|y|，且原式|x|+|x−1|<3所以|x+x−1|≤|x|+|x−1|<3所以|2x−1|<3所以（依[命题4]）−3<2x−1<3 ⟹−1<x<2（2）|x2−3|<2解：|x2−3|<2 ⟹−2<x2−3<2 ⟹1<x2<5①考虑x2>1时，有x>1或x<−1②考虑x2<5时，有−√5<x<√5综合①和②，有−√5<x<−1或1<x<√54设a与b为任意实数.（1）证明：|a+b|≥|a|−|b|证明：|a|=|a+b+(−b)|≤|a+b|+|−b|=|a+b|+|b|所以|a|≤|a+b|+|b|所以|a+b|≥|a|−|b|。

证毕。

（2）设|a−b|<1，证明|a|<|b|+1证明：因为|a−b|=|a+(−b)|≥|a|−|−b|=|a|−|b|且因为|a−b|<1所以|a|−|b|<1有|a|<|b|+1。

北大版高等数学习题答案6.4

习题6.4223331111.:(1)ln((2),.(3),ln ln .1ln ,(l yx y y y y z x z x z y z zx y xz xy y z x z x x zyx x x z yx z x ---=+∂==∂∂==∂=∂==∂∂=-∂==∂=+=∂求下列函数的一阶偏导数12222222n ),1ln ln ,(ln ).(4).,()().()()(5)arcsin((6).()(1y y y xy xy xy xy x x z zx x x z x x z y yxyz x y z x y x y y x x y x y z x y y x x y x y x y z z z x y z xe z e xe y e xy x -----+∂∂==∂∂=-⎛⎫∂---== ⎪∂--⎝⎭⎛⎫∂-+== ⎪∂--⎝⎭=∂∂==∂∂=∂=+-=-∂2222),.(7).111,,.xy zx e yy z x u x y z u y u z u x x x z y x y z y z -∂=-∂=+-∂∂∂=--=-=+∂∂∂11(8)().(),(),().ln()z z z zu xy u u u yz xy xz xy xy xy x y z --=∂∂∂===∂∂∂ (0,1)(0,1)2(0,1)0(0,1)12arccos(1)(1)cos (1),.1sin sin(1)1sin cos 1,1sin (1sin )(1)(1sin(1))(1)cos(1)1sin(1)(1s x x y x y y x z zz x y x y z d x d x x x x dx xdx x z d y d y y y y dy y dy ===---∂∂=++-∂∂∂+-===∂++∂---+-+--==∂+-+求下列函数在指定点的偏导数:求及21(,1)(,1)22222(,1)(,1)221.in(1))2(2),.cos 2sin cos 2cos ,2(cos )(cos )(cos )2,0.(3)(,,)ln(),(2,1,0),(2,1,0),(2,1,0).(,,)y x y z x y y z zz y x x y z y x z y x y xx y x y y x y x z zx y f x y z xy z f f f f x y z ππππ==--∂∂=+∂∂∂∂+-==⨯=∂+∂++∂∂==∂∂=+求及求1,(,,),(,,).11(2,1,0),(2,1,0)1,(,,).22y z x y z y x f x y z f x y z xy z xy z xy z f f f x y z ===+++===222220,(,)(0,0),3.(,)||||0, (,)(0,0)(0,0),(0,0).(,)|||||0((,)(0,0)),||||(,)(0,0)0((,)(0,0)),(,)(0,0)|(0,0)lim x x x x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y x y f x y f x y f x y x f ∆→⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩+=≤+→→+→=→∆∆=证明函数在连续但是不存在在连续.证|0|lim .||x x x x x ∆→∆=∆∆不存在24..21,,.2y z z zz x yx x yz y y y z yx x x x y x xz z y y y y zx yx y x x x x∂∂=+=∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+-=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂+=+==∂∂设,证明为齐次函数根据关于齐次函数微分的一个定理立得结论直接计算如下证1/2,,..22322225.:(1)(,)ln(23).26,.23(23)(2)(,)sin .cos ,cos .(3)(,)4ln(1).2112,2.1(4)(,)ln()ln ln .ln ln 1xy x xy x x x xy x xy x f f x y x y f f x y x y f x y y x e f y x e f x f x y x xy x x xf y x f y x f x y x xy x x x y f y x =+-==++=+=+==++-+=++-=+==+=++求下列函数的二阶混合偏导数2232223322332222222221,.6.cos3,Laplace 0.3sin 3,9cos3,3cos3,9cos3,0.7.(,)4cos(33)xy yyy yy x ctf yu uu ex u u x yu u e x e x x x u u e x e x y y u u u x yu u u x t e x ct c t -----+=∂∂=∆=+=∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂=-=∂∂∂∂∴∆=+=∂∂∂∂=++=∂ 设证明满足平面方程证明函数满足波动方程证222222222222.12sin(33),36cos(33),12sin(33),36cos(33),.8.(,)(,),.x ct x ct x ctx ct x u u ce c x ct c e c x ct t t u u e x ct e x ct x xu u c t x u u x y v v x y D u u u v u v D x y y x++++∂∂∂=-+=-+∂∂∂∂=-+=-+∂∂∂∂=∂∂==∂∂∂∂==-∂∂∂∂故设及在内又连续的二阶偏导数,且满足方程组证明及在内证2222Laplace 0,.u v u u x y∆=∆=∂∂∆=+∂∂满足平面方程其中 222222222,(),0.0.u v v u v v v v vx x y x y y y x y x x y y x x y u v ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∆=∆=和连续故类似证证2222/19.(,)sin (0,)2sin .111sin sin ln(1),11(0,)2sin ,(,)sin ln |1|2sin 1(2)sin ln |1|.10.:(1).y x z z x y y z y y y z x xyy dx x y xy C xy y z y C y y z x y x y xy y y yx y y xy y z e d ∂=-+=+∂-⎛⎫-+=---+ ⎪-⎝⎭==+=---++=-+--=⎰已知函数满足以及.试求的表达式求下列函数的全微分解z=//222222.()()()()(2)(2))(2)..()()(3)arctan arctan arctan arccot ,0.2(4)y x y x y xdy ydx z e de x x x y dx dy x y x y dx dy y dx x dy z dz x y x y x y y x y y z dz x y x x u du π-==++--+--+===---=+=+=====334223433422343344234223223411.(,)(4103)(15125),(,).4103,15125.(4103)53(),1512()15125,()z x y dz x xy y dx x y xy y dy f x y z zx xy y x y xy y x y z x xy y dx x x y xy C y zx y xy C y x y xy y yC y =+-+-+∂∂=+-=-+∂∂=+-=+-+∂'=-+=-+∂'=⎰已知函数的全微分求的表达式解454234522222222222222225,().(,)53.12.(,)(),(,).()11()()2211y C y y C f x y x x y xy y C z f x y y x dz x dx y dy z x y x y x y y x dz x dx y dy x y x y xdy ydx xdx ydy x y xdy ydxyd x x d x y d x y yx =+=+-++=⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭-=+++-=++=+++已知函数的全微分求的表达式解22222221()arctan 21()arctan .21()arctan .2y d x y d x y xy d x y x y z x y C x=+++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+++ 222000000000000013.(,):{()()}0,0.:(,).(,),(,)(,)[(,)(,)][(,)(,)](,)()(,)()0.(,)(,),(,).x y f fz f x y D x x y y R f x y x yx y D f x y f x y f x y f x y f x y f x y f y x x f x y y f x y f x y x y D ξη∂∂=-+-<==∂∂∀∈-=-+-=-+-==∈证明在区域上恒等于常数证14.:(,)(0,0),(0,0),(0,0),(,)(0,0).(,)|0(0,0)((,)(0,0)),(,)(0,0)(0,0)0,(0,0)0.(,)(0,0)0),(,)x y x y o f x y f f f x y f x y f x y f x y f f f x y f x x ==→=→===→证明函数处连续存在但在处不可微处连续.若在处可微, 将有f(x,y)=特别应有证||||)(0),.o x x x ==→但此式显然不成立12222115.(,)(,)(,),,()..(,)(,).,.,,,(),(),,.P x y dx Q x y dy D u x y P Q C D P Q y xu udu P x y dx Q x y dy P Q x y P u u Q u uy y x y x x x y x yP Q u u P QP Q C D C D y x y x x y y x+∈∂∂=∂∂∂∂=+==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∈∈==∂∂∂∂∂∂∂∂设在区域中是某个函数之全微分且证明由假设由得故即证22222(),(,)(0,0)16.(,)0 (,)(0,0).(1)(0,)(0);(2)(0,0)0;(3)(0,0)1;(4)(,0),(0,0) 1.[2((1)0,(,)x x xy y yx x x y xyx y f x y x y x y f y y f f f x f x y x y f x y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩≠==-=+≠=设函数计算根据偏导数定义证明在上述结果的基础上证明重复上述步骤于并证明设则证2222222225402222222222)]()2(),()(0,).(2)(,0)0,(0,0)0.(3)(0,0)()| 1.[2()]()2()(4)0,(,),()(,0).(0,)0,(0,0)0.(0,0)x x xy y y y y yx y y x y x x y xyx y y f y y yf x f f y xy x y x x y y x y xyx f x y x y f x x f y f f x =-+--+-==-=='=-=--+-+--≠=+'====设则03332232322322| 1.17.ln(),.11ln()ln()1,,,11,.x z zz x xy x x yz y z z xy x xy x xy x x x x z z x y y x y y ==∂∂=∂∂∂∂∂∂=+=+==-∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂设求解。

完整word高等代数北大版第6章习题参考答案

第六章线性空间1.设M N , 证明：M I NM , M U N N 。

证任取M , 由M N , 得N , 所以MN , 即证M N I M 。

又因M NM , 故M I NM 。

再证第二式，任取M 或N , 但M N , 因此无论哪一种情形，都有N , 此即。

但NM N , 所以M U NN 。

2.M ( N L ) (M N ) (M L)，M (N L) ( M N ) ( M L)。

证明证x M ( N L), 则x M 且x N L. 在后一情形，于是x M N或x M L.所以x (M N ) (M L) ，由此得M( N L) (MN ) (ML) 。

反之，若x (M N ) ( ML) ，则x M N或x M L. 在前一情形，xM , x N , 因此x N L. 故得x M ( N L), 在后一情形，因而x M , x L, xN U L ，得x M ( N L), 故( M N ) ( M L)M (N L),于是M ( N L) (M N ) (M L ) 。

若x M U（N I L），则x M ，x N I L 。

在前一情形XxM U N ，且X M U L，因而x （M U N）。

I（MU L）在后一情形，xN ,x 因而x M U N, 且，即X （M N）（M L）所以L, X M U L U I U（M U N）I（MU L）M U（NU L）故M U（N I L）=（M U N）I（MU L）即证3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算（a1，b1）（ab （a1 a2，b1 b2a1 a2）（kk1） 2k。

高等代数北大版习题参考答案

高等代数北大版习题参考答案GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

高等代数北大版习题参考答案

高等代数北大版习题参考答案CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

高等代数北大版课后答案完整版

高等代数（北大高等代数（北大**第三版）答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。

解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。

解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。

解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。

4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。

北大版高等数学课后习题答案_完整版

3. 解下列不等式 : (1) | x | | x 1| 3.\;(2) | x 2 3 | 2. 解 (1)若x 0, 则 x 1 x 3, 2 x 2, x 1, (1, 0); 若0 x 1, 则x 1 x 3,1 3, (0,1); 若x 1, 则x x 1 3, x 3 / 2, (1,3 / 2). X (1, 0) (0,1) (1,3 / 2). (2) 2 x 2 3 2,1 x 2 5,1 | x |2 5,1 | x | 5, x (1, 5) ( 5, 1). 4. 设a, b为任意实数,(1)证明 | a b || a | | b |;(2)设 | a b | 1, 证明 | a || b | 1. 证(1) | a || a b (b) || a b | | b || a b | | b |,| a b || a | | b | . (2) | a || b (a b) || b | | a b || b | 1. 5. 解下列不等式 : (1) | x 6 | 0.1;(2) | x a | l. 解(1)x 6 0.1或x 6 0.1.x 5.9或x 6.1. X (, 6.1) (5.9, ). (2)若l 0, X (a l , ) (, a l ); 若l 0, x a; 若l 0, X (, ). 6. 若a 1, 证明0 n a 1 a 1 , 其中n为自然数. n
x4
1 2x 3 ( 1 2 x 3)( x 2)( 1 2 x 3) lim x 4 x 2 ( x 2)( x 2)( 1 2 x 3)
lim

高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析

第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+L 的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

高等数学第二版(北大版)第2章答案

习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x ∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33303223322200002.,:(1);(2)0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.(2)lim limlimx x x x x x y ax y p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xy x∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000lim lim5(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x xx x xy xxx x x x x x x ∆→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆ 5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R r g r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导 227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e e y x y x x xx x x y x x y x x x x xy e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+= in cos ).x x + 00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)limlim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()lim xx x x x x x x x x xx f x e x x x x e e f f x e x ef x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=+⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==54422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin(211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-2222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa xy a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>=='=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=+ 求下列函数的导函数csin (0),x a a >22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'===+=+>⎛⎫'=+===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=⎡⎤'=+'=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'====-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+ 11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+ 2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→ 当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x-1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-= 求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--222222222(3)arctan ,,,.1(4)sin cos()0sin cos sin()(1)0,cos sin().sin()sin 9.(1)2yxy y x yy xy y x yy x y x x xy y x yy y x y x y x y x y y x y x x y y x y x x y y y x x y y x y xM y ='-+'''+-++'''==-=+=+++-⎛⎫+ ⎪⎝⎭--=''++--=+-'=---求下列隐函数在指定的点的导数:222222222422240,(3,7)17319222220,,(3).73420(2)50,,.10202010()1050,,0.51051010010.()xyxyxy xyxy x x M y x yy y xy x y y y x e e x y M e e xy ye e e e y xy xy x y y y e e xe x e y f x -+-=+-+-''''---+====--⎛⎫-= ⎪⎝⎭-⎛⎫-''''+--==== ⎪-⎝⎭-= 设由下列参数方232:2(1)3333(1).(1).222ln (2),1/.ln 1(3)ttdyy dxx t t y t t dy t t t dx t x t t dy e t e dx t y e x y dy dx'=⎧=-⎪⎨=-⎪⎩-==+≠-=⎧=≠⎨+=⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=程给出,求sgn(),0.t t =≠220002211.1(,),.x y M x y a bM +=试求椭圆周上一点处的切线方程与法线方程.并证明:从椭圆的一个焦点向椭圆周上任一点发射的光线其反射线必通过椭圆的另一个焦点 222220000022202222200000002022,.(), 1.(),()x yy b x y a b a yb x x x y y y y x x a y a b a y y y x x a y x b x y a b x y b x ''+=-⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭切线方程：法线方程：22221102000112200200222200000222220020000200222022200(,0),(,0),().0..,.()tan 1()1()b x F c F c c a b a b y k a y y yMF k MF k x c x cb x ya y x cb x xc a y k k F MQ b x y kk a y x c b x y a y x c a b b cx a b x y a -=->≠=-==+-----+-∠===-+-----=---焦点设切线斜率的斜率的斜率2222200222000000020022220000011222001000020022222220022222000000()();()()tan 1()1()(()b a cx b a cx b cy c x y a cy cy a cx cy b x y a y x c b x x c a y k kPMF b x y kk a y x c b x y a y x ca b b cx b a cx b a a b x y a cy c x y a cy --=-==--++++-∠===-++--++++===-++2022*******)tan .(),,.22cx b F MQ cy a cx cy PMF F MQ PMF F MQ ππ==∠+⎛⎫∠∠-∠=∠ ⎪⎝⎭和都在区间故习题2.4()()1()11()11(1),!.(2),.1(1)!(3)(1)(1).(1)(11)(11)(1).1(1)11111(4),(1)!.(1)1(1)n n x n n n n n n n n n n ny x y n y e y e n y x x y n x x x y y n x x x x x x ---+++====-==+≠-=-----++=++⎛⎫==-=-- ⎪+++⎝⎭2.()cos ,220.cos sin (cos sin ),(cos sin )(sin cos )(2sin ),22(2sin )2(cos sin )2cos 0,x x x x x x x x x x y x e x y y y e x e x e x x y e x x e x x e x y y y e x e x x e x '''=-+='-=-''=-+--=-'''-+=---+=设证明证y =2232243433.(4),2(1).4377141,,.44(4)(4)98714982,(1)2.(4)4(4)(4)x y x y y y x x y y y x x x x y y y y x x x x -'''=≠-=-+-'''==-==-++++⎛⎫⎛⎫''''=-=--== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭设证明证23(6)(7)(6)(7)22234.(1)(21)(31),,.6!(108),0.5.0(,),?,,()0,0,0.6.x x x x x y x x x y y y y y e y py qy p q y e y e y py qy p q e e p q t λλλλλλλλλλλλλθθ=-+-=-='''=++=''''''==++=++=≠++==- 设求要使满足方程其中为常数该取哪些值该取方程的根飞轮绕一定轴转动,转过的角度与时间t的关系为解解22()()()231343,6 4.17.(),,(),(1)1()(1),()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),(0)(1)((1)k nn k n k k nk n kt t t t t f x n f x k x f x x f x n n n k x x n n n k f n n n x θθ---++-'''=-+=-=-==-=-----+---++-==+- ,求飞轮转动的角速度与角加速度.角速度角加速度设其中为一个正整数求为一个正整数.解解1).k +-2(50)8.ln(1),.Leibniz y x x y =+设求由公式,解()()()()()()(50)(49)(48)(50)2(49)(48)(47)2111250495049ln(1)50(2)ln(1)2ln(1)25049(1)50(2)(1)2(1)2(1)(2)(1491)(1)100(1)(2)(1481)(1)2450(1)(2)(1471)(1y x x x x x x x x x x x x x x -----=+++++=+++++=----+++----+++----+ 482504948250)247!49!(1)10048!(1)245047!(1)(501225).(1)x x x x x x x x ----+-=-+++-+=+++12122212121212221212129.()()0.,(),()()()()0.1ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx y C e C e C C y a b y aby y C e C e C ae C be y C ae C be C a e C b e y a b y aby C a e C b e a b C ae C be ab C e C e '''=+-++='''''++=+=+'''-++=+-++++=验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=()=()212121211211222112112122211210.()()20.()()(),()()(2),2(2)2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax y C x C e C C y ay a y y C x C e C e a C x C e e aC x C aC y e a aC x C aC e aC e a C x a C aC y ay a ye a C x a C aC ae '''=+-+=''+=++=++''=+++=++'''-+=++-验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=211212212121222221212()()0.cos sin ()0.sin cos ,cos sin (cos sin ).ax aC x C aC a C x C e y C t C t C C y y y C t C t y C t C t C t C t y ωωωωωωωωωωωωωωω++++=''=++='''+=--=-+=-验证函数其中与为任意常数是微分方程的解证=-习题2.55/3223/22222222222:91.32.5412.(1(1).323.sec tan.4.tan(sec1)tan.5.cot(csc1)cot1.326.111b b Cdx x Cx xdx x dx x x x Ca xdx a x Cxdx x dx x x Cd d Cxdxx xϕϕϕϕϕ-+=++++=++=+++=+=-=-+=-=--++⎛=+++⎝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列不定积分2225/43/27/423222arctan.7.4arcsin.8.(1cos)sec(sec1)tan.4249.(1)5371232610.ln||.11.dx x x Cdx x Cxxdx x dx x x Cdx x x x x Cdx x Cx x x x x⎫=++⎪⎭⎛⎫+=+++=+=++=+=++++⎛⎫++=--+⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()24/31/32/34/31/32/35/3223/21/21/2225/23/222122333.512.(2cosh sinh)2sinh cosh.31113.321243.53114.sin cosx xdx x x x dxxx x x Cx x dx x x Cxdx x x x dxx xx x x Cxx-----+==-+=--++-=-+⎛-⎛⎫+=-+++⎪⎝⎭⎝=++++⎰⎰⎰⎰⎰2212222211cot tan.sin cos2311115.263921112/ln3/ln2.392111116.arctan.(1)1x xx xxx xdx dx x x Cx xdx dxCdx dx x Cx x x x x+-⎛⎫=+=-++⎪⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-=--+⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰121122234317.()(,).(),1().218.()()()1,().1(())1,()1,41()1.4x x x x x y x a be a b a be dx ax be C yax be C dx ax be C x C f x xf x f x x f x xf x x xf x x dx x x C C f x x x-----''=+'+=-+=-+=+++'+=+'=+=+=++=++⎰⎰⎰求解微分方程为常数设满足方程求解y =解习题2.6122112222121.(1)lim lim ()().()()(2)lim (lim(())11(1)()()lim()()()lim2()()li nbi a i nnn n i i nn n i kdx k x k b a k b a i b a b ab a a a b a i n n n n n a b a b a i a b a b a nn a b a b a λλ→→=→∞→∞==→∞→∞==∆=-=----+=-++=-+-=-+-=-+-∑⎰∑∑∑根据定积分的定义直接求下列积分:222(11/)()m ().2222.()[,]()0.(),,;0,()[,],()(),()(),(),().n dbcan b a b a a b a x y c d y x y y c y d y c x y c d y dy x dx y x x y a c b b ϕϕϕϕϕψψϕϕϕ→∞+--=-+==>===≥=+====⎰⎰设函数在上连续且试用定积分表示曲线及轴所围的图形的面积又设函数在上严格递增试求积分和其中是的反函数()()dbcay dy x ϕψ+⎰⎰解221230203.[0,1]Riemann .Riemann 111111(1)(21)12().6634..,0,0,1, 1.2,31i n n i y x n n i s n n n n nn n n n x y x y x y ξ-==→∞⎛⎫⎛⎫==--=--→→∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭======∑⎰⎰ 写出函数在区间上的和,其中分割为等分,中间点为分割小区间的左端点求出当时和的极限.]求定积分当时当时由题解解y =120/2/2/2/2/2212121.335.(1)(1sin ).2(1sin )(1).(1sin )(2).23.22(1)(2)0,1, 2.(,1/2),y dy x dx x dx dx x dx dx x x x x x x x πππππππππ-=-=<+<+>=+<=<<+-=+-==-=∈-∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明下列不等式当时证证21100/2/22200100.(1/2,)3.26.:(1).(2)(sin).(3).7.()[,],().x xxe dx e dxx dx x dxxdxy f x a b y f xππ∈+∞=<<=>><==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当时判断下列各题中两个积分值之大小设函数在上有定义并且假定在任何闭子区间上有最大值和最小值对于012111()()11()0()01::()[,],()[,]()[,]lim lim.()[,]lim lim(n ni i i i i in ni i i iT Ti ini i iT Ti iT x a x x x x b m f x x x M f x x xy f x a b m x M x y f x a b m x fλλλλξ---→→==→→==<<<<<==∆∆=∆=∑∑∑任意一个分割记为在中的最小值为在中的最大值.证明在上可积的充要条件是极限与存在并且相等设在上可积,则证1()0()011()0()011111()01)(),lim lim()().lim lim,(),lim().n bi an n bi i i i aT Ti in ni i iT Ti in n ni i i i ii i ini iTix f x dx M x f x f x dxm x M x Im x f x M xf x Iλλλλληξξ=→→==→→=====→=∆=∆=∆=∆=∆=∆≤∆≤∆∆=∑⎰∑∑⎰∑∑∑∑∑∑设则由夹挤定理,习题2.72222222211222012201.1(1)()().11(2)()sin ,()2sin(1).(3)()cos ,()cos .(4)(),()2.2.()[,].()()x x xx t x x xxadt F x F x t x G x t dt G x x x H x t tdt H x x x L x e dt L x xe e y f x a b F x f t +---'==++'==+'==-'==-==⎰⎰⎰⎰求下列变上(下)限积分所定义的函数的导函数:设在上连续证明00,()().()()11()()()()()(0)()().a x a dt a F a f a F a x F a f t dt f x a a x x x xf f a x F a f a ξξξ++∆+'=+∆-==∆≤≤+∆∆∆∆'=→∆→+=⎰⎰在处有右导数且故证3.()[,].()()(()0.()().().()0,,()().()(),()0.(()())()()()()0,()(),[,].()()0,xaxax a b f x F x F a a x b F x f t dt f t dt G a G x f x F x f x F a G x F x G x F x f x f x G x F x C x a b C F a G a =≤≤=''===='''-=-=-=-=∈=-=⎰⎰设f 在上连续假定有一个原函数且证明当时由变上限积分求导定理证G(x)=()()(),[,].xa F x G x f t dt x ab ==∈⎰()11111124.:(0,),ln .11ln ,,(0,),ln10,ln .5.()[,]|()|,([,]),.()()[,]Lipschiz :|()(xx x xadt x x dt tdt dt dt x dt x dt x dt x t xt t y f x a b f x L x a b uqz L F x f t dt a b F x F x ∈+∞='⎛⎫'==∈+∞=== ⎪⎝⎭=≤∀∈=-⎰⎰⎰⎰⎰证明当时由于故设在上可积,且其中为常数证明变上限积分在上满足条件证2122211112121212210)|||,(,[,]).,|()()|()()()().6.()sin .()sin ,()sin sin (1cos )x x x x x a ax x x x t tx x x x L x x x x a b x x F x F x f t dt f t dt f t dt f t dt Ldt x x G x ezdzdt G x e zdz G x zdz e x x e ≤-∈<-=-=≤≤==='''==+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰不妨设求函数的二阶导数x x 证解e e sin .x x习题2.8Newton-Leibniz (1)4.将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:14130033002211443064215301.Newton-Leibniz :1(1).44(2).(3)sin cos | 2.(4)ln |ln 2.(5)(2sin )2cos 4.4411(6)(1)326124bb xx b a aa x x dx e dx ee e xdx x dx x xx x x dx x x x x x x x dx x πππππ====-=-===⎡⎤+=-+=+⎢⎥⎣⎦⎡+++=+++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰用公式计算下列定积分()10422221122112212222422223.211112..2111:?21111111,2221112x x x dx x x x x dx x x x x x x x x x x x x x x x x dx x x x ----⎤=⎢⎥⎦⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎛⎫⎛⎫'-=-=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰验证是的一个原函数并计算定积分试问下式是否成立为什么故是的一个原函数.解4112221125.41111.[1,1]2x dx x x x x x --=⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰不成立因为在不可积.1100113341340110113.Riemann Newton-Leibniz 1(1)lim sin sin cos |1cos1.11(2)lim lim .44111(3)lim lim 1/nn k nn n n k k nn n n k k kxdx x n n k k x x dx n n n dx n k n k n →∞=→∞→∞==→∞→∞====-=-⎛⎫==== ⎪⎝⎭==++∑⎰∑∑⎰∑∑将下列极限中的和式视作适当函数的和,然后使用公式求出其值:1100ln(`1)|ln 2.1x x =+=+⎰1221110111110111/21001/21/22304.Newton-Leibniz (1)|| 1.22(2)sgn 1(1)110.111(3)22243x x x dx xdx xdx xdx dx dx x x dx x x dx x x dxx x x -----=-=-==+-=-=⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:1321/22220021222121011111111.3416243424168(4)|sin |sin sin cos |cos |22 4.(5)([])(1)2211( 1.22x x dx xdx xdx x x x x x x dx xdx x dx x πππππππ⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭=-=-+=+=⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.()[,]().[,],()()()().()()()(Newton-Leibniz )()()().ba F x ab F xc a b F b F a F c b a F b F a F x dx F c b a '∈'-=-'-='=-⎰设在上有连续的导函数试证明:存在一点使得公式定积分中指中值公式证第二章总练习题2211211|3| 11.().313,14243131()(10)lim 2;424(10)lim |3|2(10)(1),1.313(1)(3)|1,(1)4242x x x x x x f x x x x x x f x f x f x f f f x x x f x f x →→+=-=-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩⎛⎫≠-=-+= ⎪⎝⎭+-==-=='⎛⎫'''=-=-=-+= ⎪⎝⎭时讨论函数的连续性和可导性时时可导.=在连续解132131(1),(1) 1.212 2 12.(), 1157 1,,,,()(,).(10)lim(2x x f f f x x x f x Ax Bx Cx D x x x A B C D f x f x +=→-⎛⎫''-=-==- ⎪⎝⎭=-<-⎧⎪=+++-≤≤⎨⎪+>⎩-∞+∞--在可导.时设函数时时试确定常数的值使在可导解=3211212)4(1).(1)(22)|2(1)()|(32)|32.(10)(10)12,(1)32(1) 5.43221232 5.{ x x x f A B C D f x f Ax Bx Cx D Ax Bx C A B C f A B C D f f A B C f A B C D A B C A B C D A B C A -=-+=-=--+-=-=-=-+-+''''-=-==-=+++=++=-+-=+++=+=''=++==-+-+=-⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++=⎩= -9/4, 3/4, 41/4, 13/4}.B C D ===223.()(sin 2)(),()0.()0,,(0).()(0)()sin 222(0)(0),(0)2(0).2sin cos 4.?()() 1.5,.()[1,1],g x x f x f x x g x x g g x g f x xf xg f x x xf xg x f x ==='∆-∆∆'=→∆→=∆∆+--=-222设函数其中在连续问在是否可导若可导求出x 问函数f(x)=与g(x)=为什么有相同得导数1+x 1+x因为设函数在上有定义解x解22(),[1,1]. 1.(0)0,(0)0.0,()(0)()11(00),(0)1,(0)1,(0) 1.x f x x x x f f x f x f f x x xx x f f x x x f +-≤≤+∈-≤≤=∆>∆-∆∆+∆''=≤=∆+→∆→+==∆∆∆'=且满足证明存在且等于类似故证02222222222236.()|4|,().||2,()4,()2.(2)(4)|4,(2)(4)|4,(2),(2)1,.12241,,.1(1)(1)8.()(,),x x f x x f x x f x x f x x f x f x f f x d yy x dxdy d y y x dx x dx x f x +=-='=-'''>=-==-=''''=-=--+=-+==-----∞+∞设求时不存在同理不存在.7.设求设函数在上有定义且满足下解解=-2:(1)()()()(,);(2)(0)1;(3)0.:(,)()(0)().()()()()()(0)()(0)()(0)()(0),()(0)().1/2, 1/2,9.()0n n f a b f a f b a b f x x f x f f x f x x f x f x f x f x f x x f x f f x f f x x f x f f x x x f x +===''∈-∞+∞=+∆-∆-=∆∆∆-'''=→∆→=∆== 列性质为任意实数在处可导证明对于任意都有设证1201/2, 1/2,(1,2,);()(1,2,);, 1/20, 1/2()0?()0?(1/2)(0)1/210(),1/21/22()(0)()(0)00(1/2,0).lim 0,(0)n n n nn n n nn n x x n g x n x x f x x g x x f f n f x f f x f x x f x x+→⎧⎧=⎪⎪===⎨⎨≠≠⎪⎪⎩⎩==-==→→∞--'=→≠→= 问在处是否可导在处是否可导解()()102222220.(1/2)(0)1/211(),1/21/222()(0)()(0)00(1/2,0),lim .(0).10.()()[,],()()()().[()()]()2()n n n nn x bb baaab baag g n g x g g x g x x g x xy f x y g x a b f x g x dxf x dxg xdx f x tg x dx g x dx t f x g +→=-==→→∞--'=→≠→==≤+=+⎰⎰⎰⎰⎰不存在设及在上连续证明:证()()()()222222222()()0(*),()0,()0,[,],0.()0,2()()4()()0,()()()().bbaab aba bbba aab b baaax dx t f x dx g x dx g g x x a b g x dx f x g x dx g x dxf x dx f xg x dxf x dxg xdx +≥==∈>-≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰如果则由的连续性不等式两端都是如果(*)左端的二次函数恒非负,故其判别式非正,2212122111.111()222/2(/2)1,()(),(1),1/2222.222122(),(1).2222212./2(/2)(),1/2(1()n n n n n n n n n f x x x x x x x f x f x f x n n n nf x x x f x x f x x f x +-+=+++-'==-++++=-''=+++=+++-=-'= 求出函数在点的导数再将函数写成的形式再求由此证明下列等式:1212由类似上题的办法证明证1211221210/2(1)(/2)(1/2))(1/2)(1/2)(/2(/2)),(1/2)(1/2(1)(1/2))(1/2)(1/2)(1/21/2)(1)1/22(1(1)/2)11/22.21(1)(1)(1)113.()[0,1]()()n n n n n n n n n n x x x x x n f n n n x nx x x y f x f x d f x ++++-+-+---++-'=+=-++-=--++≠-=⎰设在连续且>0证明11111.()1().()14.ln 111()ln 1(0)1111111()ln 1;23231nx f x dxdx f x dx dx f x dt x t a n n n n b n n n ≥=≤=⎛⎫<+<> ⎪+⎝⎭+++<<++++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1证1=111111/11/11/1111()1.111(1)ln 1.111/1231111(2)ln ln ln 111,121121111ln ln 11.12nn n n n c ee n dt dtdt n n n t n n n n n n n n n -++++⎛⎫<+< ⎪⎝⎭⎛⎫=+=<= ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫==++++<+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰证11111/11/11/111l 1()1.111(1)ln 1.111/1231111(2)ln ln ln 111,121121111ln ln 11.121(3)1nn n n n nn c ee n dt dtdt n n n tn n n n n n n n n e n -++++⎛⎫<+< ⎪⎝⎭⎛⎫=+=<= ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫==++++<+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 证111n 1111.n nn n e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭++>=第二章总练习题2211211|3| 11.().313,14243131()(10)lim 2;424(10)lim |3|2(10)(1),1.313(1)(3)|1,(1)4242x x x x x x f x x x x x x f x f x f x f f f x x x f x f x →→+=-=-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩⎛⎫≠-=-+= ⎪⎝⎭+-==-=='⎛⎫'''=-=-=-+= ⎪⎝⎭时讨论函数的连续性和可导性时时可导.=在连续解132131(1),(1) 1.212 2 12.(), 1157 1,,,,()(,).(10)lim(2x x f f f x x x f x Ax Bx Cx D x x x A B C D f x f x +=→-⎛⎫''-=-==- ⎪⎝⎭=-<-⎧⎪=+++-≤≤⎨⎪+>⎩-∞+∞--在可导.时设函数时时试确定常数的值使在可导解=3211212)4(1).(1)(22)|2(1)()|(32)|32.(10)(10)12,(1)32(1) 5.43221232 5.{ x x x f A B C D f x f Ax Bx Cx D Ax Bx C A B C f A B C D f f A B C f A B C D A B C A B C D A B C A -=-+=-=--+-=-=-=-+-+''''-=-==-=+++=++=-+-=+++=+=''=++==-+-+=-⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++=⎩= -9/4, 3/4, 41/4, 13/4}.B C D ===223.()(sin 2)(),()0.()0,,(0).()(0)()sin 222(0)(0),(0)2(0).2sin cos 4.?()() 1.5,.()[1,1],g x x f x f x x g x x g g x g f x xf xg f x x xf xg x f x ==='∆-∆∆'=→∆→=∆∆+--=-222设函数其中在连续问在是否可导若可导求出x 问函数f(x)=与g(x)=为什么有相同得导数1+x 1+x因为设函数在上有定义解x解22(),[1,1]. 1.(0)0,(0)0.0,()(0)()11(00),(0)1,(0)1,(0) 1.x f x x x x f f x f x f f x x xx x f f x x x f +-≤≤+∈-≤≤=∆>∆-∆∆+∆''=≤=∆+→∆→+==∆∆∆'=且满足证明存在且等于类似故证02222222222236.()|4|,().||2,()4,()2.(2)(4)|4,(2)(4)|4,(2),(2)1,.12241,,.1(1)(1)8.()(,),x x f x x f x x f x x f x x f x f x f f x d yy x dxdy d y y x dx x dx x f x +=-='=-'''>=-==-=''''=-=--+=-+==-----∞+∞设求时不存在同理不存在.7.设求设函数在上有定义且满足下解解=-2:(1)()()()(,);(2)(0)1;(3)0.:(,)()(0)().()()()()()(0)()(0)()(0)()(0),()(0)().1/2, 1/2,9.()0n n f a b f a f b a b f x x f x f f x f x x f x f x f x f x f x x f x f f x f f x x f x f f x x x f x +===''∈-∞+∞=+∆-∆-=∆∆∆-'''=→∆→=∆== 列性质为任意实数在处可导证明对于任意都有设证1201/2, 1/2,(1,2,);()(1,2,);, 1/20, 1/2()0?()0?(1/2)(0)1/210(),1/21/22()(0)()(0)00(1/2,0).lim 0,(0)n n n nn n n nn n x x n g x n x x f x x g x x f f n f x f f x f x x f x x+→⎧⎧=⎪⎪===⎨⎨≠≠⎪⎪⎩⎩==-==→→∞--'=→≠→= 问在处是否可导在处是否可导解()()102222220.(1/2)(0)1/211(),1/21/222()(0)()(0)00(1/2,0),lim .(0).10.()()[,],()()()().[()()]()2()n n n nn x bb baaab baag g n g x g g x g x x g x xy f x y g x a b f x g x dxf x dxg xdx f x tg x dx g x dx t f x g +→=-==→→∞--'=→≠→==≤+=+⎰⎰⎰⎰⎰不存在设及在上连续证明:证()()()()222222222()()0(*),()0,()0,[,],0.()0,2()()4()()0,()()()().bbaab aba bbba aab b baaax dx t f x dx g x dx g g x x a b g x dx f x g x dx g x dxf x dx f xg x dxf x dxg xdx +≥==∈>-≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰如果则由的连续性不等式两端都是如果(*)左端的二次函数恒非负,故其判别式非正,。

北大版高数答案 (1)

x0 sin 5x
x0 sin 5x x0 sin 5x 5 5 5
(4) lim x lim x 2. x0 1 cos x x0 2 sin x 2
(5) lim sin
x sin sin 2
xa 2
cos a.
xa x a
xa
1 x x
13.研究函数y

x6
x4 1 x6
x2
在(, )内是否有界.
解|
x | 1时,x6
x4 1 x6
x2
3,|
x | 1时,
x6
x4 1 x6
x2

3x6 x6
3,
| y | y 3, x (, ).
1 (x 1). 2 1
证取自然数n
满足1/10n b a.考虑无理数集合An {
2

m 10n
|
m Z}.
以下仿8题.
习题 1.2
-1-
13.证明函数y 1 x x在(1, )内是有界函数.
证y 1 x x ( 1 x x )( 1 x x )
1

1 x x
b0
a0 / b0 , m n 0) 0, n m
, m n.
(14) lim x
x4 8 x2 1

lim
x
18/ x4 11/ x2
1.
3 1 3x 3 1 2x
(15) lim x0
x x2

lim
x0
(
3
1

3x (x

xa
2
(6)

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习题 1.12222222222222222223.33,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11n nn n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.:6.120000(1)(1)(1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=+∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.1(1,)(1)(1)111(1).112113.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).y x x x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x xy y x =+-+∞+-++=+-==<>+++++++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数在内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题 1.4221.-(1)lim(0);(2)lim ;(3)lim ;(4)lim cos cos .|-||-||-|1)0,||,,||,||.,||,||,lim.(2)0x a x ax ax ax ax a x a a x a e e x a x a x a x a x a x a x a ax a x a a a x a x a x a aεδεεεεδεδεε→→→→→=>===∀>-=<<-+-<-<=-<-<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使由于只需取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim (3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x a ax a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a a a x a x a x a e e e e e eεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln 1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim 0,|cos cos |2sinsin 2sin sin ||,2222,|,|cos cos x a ax a a x a x a x a x a x a x ae e x a x a e e e a e e e e e e x a x a x a x ax a x a x a x a εεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-< ⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时. ..(4)20|,lim cos cos .2.lim (),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)limlim 2x ax ax x x a f x l a a a a a u f x x a f x l f x f x l l f x l l l M x x εδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证 3.:2002222200002212202lim(1) 1.222sin sin 1cos 11122(2)lim lim lim 1.22221(3)limlim(0).()222(4)lim .22332(5)lim 22x x x x x x x x x x xx x x x x x x x a axa xx x a a ax x x x x x x x →→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪==== ⎪⎪⎝⎭+-==>++---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2112(7)limlim 1.(11)13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==++--==++--+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3123(123)(2)(123)(9)limlim 2(2)(2)(123)(28)(2)244lim.63(4)(123)(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nn n x y y x x x x x x x x x x x x x x x x n n ny y y x y n x y yx →-→→→→→→→∞--==--++-+-+++=--+++-+===-++-+++-+-===-()22221011001001010010142211lim 0.11(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .818(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n n x nx x x x x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b x b x b m n x x →∞--→--→∞→∞→∞+--==++-+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩++=+42/ 1.11/x x =+332022333333222333322333322033331312(15)lim(1312)(13131212)lim()(13131212)5lim(1)(13131212)55lim .3(1)(13131212)(16)0,l x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x a →→→→+--++--+++-+-=++++-+-=++++-+-==++++-+->22220001im lim ()()1lim ()x a x a x a x a x ax a x a x a x a x a x a x a x a x a x a →+→+→+⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎛⎫-+=+ ⎪⎪+-++⎝⎭00()1lim ()11lim .()2x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a →+→+⎛⎫-=+ ⎪+-++⎝⎭⎛⎫-=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim lim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2.1cos 2sin2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x x xxx x a x a x a a x a x ak k k e x x x y →+→+→→----→∞→∞→∞→=-===-+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.52222222222221.(1)10(2)sin 5.(1)0,|110|.,1111,||,,|||110|,10555()(2)(1)0,|sin 5sin 5|2|cos ||sin |.22x x x x a x x x x x x x x x x x x x a x a x a εδεεεεδεδεεε-+==∀>+-+=<≤++++<<=<+-+<+=+-∀>-=<试用说法证明在连续在任意一点连续要使由于只需取则当时有故在连续.要使由于证000000555()2|cos ||sin |5||,5||,||,225,|||sin 5sin 5|,sin 55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x a x a x a x a x a x a x x a y f x x f x x x f x f x x f x x x f x εεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000)()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f x f x a b f x a b x a b f x x x f x f x f x f x f x f x f x εδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-< 于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证 220001,,(),()|11,ln(1), 1,1,0,(1)()(2)()arccos , 1. 0;lim ()lim 11(0),lim ()(0)x x x x f x f x x a x x x x f x f x a x x a x x f x x f f x f π→-→-→+⎧=≡⎨-⎩⎧+≥⎧⎪+<==⎨⎨<+≥⎩⎪⎩=+====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)0111122sin 2limsin301.(2)lim ()lim ln(1)ln 2(1),lim ()lim arccos (1)ln 2,ln 2.5.3:11(1)lim coscos lim cos 0 1.(2)lim 2.(3)lim x x x x x x x xx x xx a f x x f f x a x a f a x x x xx x xeeπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-+-+-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin 22sin334422.88(4)lim arctan arctan lim arctan1.114xx x x e x x x x π→∞→∞=++===++22222222()()(ln ())()(5)lim (12)||lim (12)||3||33lim lim .21211/12/6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x x x x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x x x x x x x x x x x x f x a g x b f x a f x e →∞→∞→∞→∞→→→→→⎡⎤+--=+--⎣⎦⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥++-++-⎣⎦⎣⎦=>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.11.21. 212,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩+<+≥-+<++<++>≥-≠+++++=-+==++求出满足不等式的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求00223,(2);2(2)()0?(3)()2?391(1)(0)[14]14,1467.(2)[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).lim ()12,lim ()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+→+→-⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在处是否连续连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限2222 2222221111lim1111234111111112341324351111().2233442210.()lim(00,()limnnnnnn n nnn n nnxf x anx axnxf xnx a→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a bM f x M x a bM N f x N x a b M M Nf x M x a bM f x M x a b M f x M x a b<∀∈≤≤∀∈=+ <∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|, |()()||()||()|,[,].113.:()cos0y f x y g x a b f x g x f x g xa bM M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a bf x xx xπ==+<<∀∈+≤+<+ =<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().nx f xM n n M f n Mn nf x f x n nnx f xδδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证2220011/1112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1(4)lim()lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x x y n n x x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→-→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解333032233222000002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xp x x px x x xy p x xx p ∆→∆→∆→∆→∆→∆→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆+∆-+∆-'==∆∆+∆=根据定义求下列函数的导函数解0000000)()2lim()()212lim.25(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x x x x xp x x x x x x x x p p x x x xx x xx x xy xxx x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→-+∆+∆=∆+∆+∆+∆+==+∆++∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴200022222222,,().22(),.,2222,.222,.p p py px y M PMN Y y X x yy px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x pxp p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++=+=+=∠=∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim limlim (0),(0)0.()()11.(),lim22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f xx x f x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解y =x 21/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()()()()2222222222222221.,:sin (1)(cos )sin ,.(cos )sin .2111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)112,.111121121xx x x x x xx x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x '''=-=-=-'''-=-=-=---'''⎡⎤+=+=⎣⎦+'''⎡⎤+=+++=++⎣⎦+=++下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错332222222()2223.111(4)ln |2sin |(14sin )cos ,.2sin 1ln |2sin |(14sin cos ).2sin 2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin );(2)(),(sin );(3)u g x x x xxx x x x x x x x x x x x f g x f u f x x f x f f x f x d d f x f x dx dx=+=++'⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin )2sin .(2)()()224.(sin )(sin )(sin )2sin cos sin 2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g x f x x f f x x f x x df x f x x x x x dxdf x f x x x x x dxf g x f g x f g x f g x g x ''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec ,(cos )(cos )(cos )(cos )(sin )tan sec .(3)sin 3cos5,3cos35sin 5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin 33sin x x y y x x x y x y x x x x x x x y x x y x x y x x y x x x x x ---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin 3)3sin cos 4.x x x x x x x -=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==524222422222in cos (sin cos ).(8)cos 1,5cos 1(sin 1)15cos 1sin 1.111(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx x y x y x x x x x x xx x y y x x x x ππππππ+=+'=+=+-++++=-+⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-2222222222222224.:111(1)arcsin (0),.111111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos .11111(4)arctan ,.111(5)ar 22xy a y aa a x x a x y a y a a a a a x x a xy x x x y x x xy y x x x xx a y a x '=>==-⎛⎫- ⎪⎝⎭'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=---'===-++=-+求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222222222222222222222222222222222222121122211.2(6)ln (0)221112221.2222(7)arcsin ,1x x a y a x a a x x a x a a x a x a x a x x a x x a y x a a a x xa x y x a x a x x a x a x a x a x a x a x a xy x x -'=-++-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+=---++=++>⎛⎫'=++++ ⎪++++⎝⎭=+++=+++=≠±+222222222222222222221.12(1)22112sgn(1)2.(1)11141(1)2(8)arctan tan (0).2211sec 221tan 211sec 2()tan ()cos ()s 22x x x x x y x x x x xx a b x y a b a b a b a b x y a b x a ba b a b x x x a b a b a b a b +---'===+++--+⎛⎫-=>≥ ⎪ ⎪+-⎝⎭-⎛⎫'= ⎪-+⎝⎭-++==++-++-2222222in 21.cos (9)(1)(12)(13),ln ln(1)ln(12)ln(13)123/,2(1)2(12)22(13)3123.2(1)2(12)22(13)314(10)12,.212(11),.(12)x a b xy x x x y x x x y y x xx x x xy y x x x x x x xy x x y x x xy x a y x a =+=+++=+++++'=+++++⎡⎤'=++⎢⎥+++⎣⎦+'=++=++'=+=+2222,.xy a x y a x-'=-=-222222222311(13)ln(),1.21(14)(1)(31)(2).ln ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e x y x x a y x x a x a x ay x x x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=++=+= ⎪++++⎝⎭=-+-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?2220()2cos8364sin 8,8sin8cos8(8)()16sin8,2364sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t t t x t t t t t t x πππππππππαπππ=+--'=-+-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.3。

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