高等数学课件PPT6

r x dx dV h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V
h
0
hr 2 r x dx r x 2 . 3 h 3 0 h
2
2 3
h
例 2 求星形线 x y a ( a 0 ) 绕x 轴旋转 构成旋转体的体积.
1
3
1
2
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
y x3 6x
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x 2 y x
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
y x2
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx ( 2) x [0,3], dA2 ( x 2 x 3 6 x )dx
3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 区间[a , b] 上作定积分，得U 即为所求量U 的积分表达式.
a f ( x )dx ，
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
b
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x 2 )dx
y x2
2 3 x 1 A 0 ( x x )dx x 2 . 3 0 3 3
一、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、 直线 x a 、 x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
n 相应的曲边梯形被分为 个小窄曲边梯形， i 第
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
n i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
i x i
n i 1
（3） 求和，得A的近似值 A f ( i )xi .
（4） 求极限，得A的精确值
在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．

r ( )
d
o 1 面积元素 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .

x
2
例 5
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
x 0
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) 2 y 2 xy 2 xy y
2 积分得 y cx ,
9 因为曲线 y f ( x ) 过点( 2,3) c 2
9 y x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y 2x. 2
练习题
思考题解答
S 2 2S1
y
S1
y f ( x)
( x, y)
S2
S 2 0 f ( x )dx
x
o
x
x
S1 xy S 2 xy 0 f ( x )dx
0 f ( x )dx 2[ xy 0 f ( x )dx ]
3 f ( x )dx 2 xy ,
一、填空题： x 1、由曲线 y e , y e 及 y 轴所围成平面区域的面积 是______________ . 2 2、由曲线 y 3 x 及直线 y 2 x 所围成平面区域的 面积是_____ . 2 3、由曲线 y x 1 x , y 1 , x 1 , x 1 所围成 平面区域的面积是_______ . 4、计算 y 2 2 x 与 y x 4 所围的区域面积时，选用 ____作变量较为简捷 . 5、由曲线 y e x , y e x 与直线x 1 所围成平面区 域的面积是_________ .
x [a , b] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ]，
o
x x dx
x
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
a
b
例 1
连接坐标原点O 及点 P ( h, r ) 的直线、直线
三、 求 抛 物 线 y x 2 4 x 3 及 其 在 点 ( 0 ,3 ) 和 ( 3 , 0 ) 处的切线所围成的图形的面积 . 四、 求位于曲线 y e 下方，该曲线过原点的切线的 左方以及 x 轴 上方之间的图形的面积 .
x
y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形 五、 求由抛物线 面积的最小值 .
6 曲线 y x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ，a 0 ，则当a __时，面积 最小 . S
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y 与直线 y x 及x 2 ； x 2 y x 与直线 y x 及 y 2 x ； 2、 3、 r 2a ( 2 cos ) ； 4、摆线 x a ( t sin t ) , y a (1 cos t ) ( 0 t 2 ) 及 x 轴； 5、 r 3 cos 及r 1 cos 的公共部分； x 3 y 3 3axy . 6、笛卡尔叶形线
y x
A 4 A1
A1
A 4 0

4
1 2 a2 . a cos 2d 2
2 a 2 cos 2
例 6 求心形线r a (1 cos ) 所围平面图形的 面积(a 0) .
1 2 2 解 dA a (1 cos ) d 2
利用对称性知
d
1 2 A 2 a (1 cos ) 2 d 2 0 2 a (1 2 cos cos 2 )d 0 3 2 sin 1 sin 2 3 a 2 . a2 2 4 0 2
x h 及x 轴围成一个直角三角形．将它绕 轴旋 x h 转构成一个底半径为r 、高为 的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
r
o
r y x h
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为
第六章
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
y f ( x)
x 轴与两条直线 x a 、 x b 所围成。
b
o a
b x
A a f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下
n （1）把区间[a , b] 分成 个长度为 x i 的小区间，
于是所求面积 A A1 A2
A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x 2 x 3 6 x )dx
3 2
0
3
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
例 3
计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围
练习题答案
32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 4、 y ； 5、e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、a ； 2 6 3 2 5 2 4、 3a ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
元素法的一般步骤：
x 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 为 [ 积分变量，并确定它的变化区间 a , b] ；
n 2）设想把区间[a , b] 分成 个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x , x dx ] ，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 x 为[a , b]上的一个连续函数在 处的值 f ( x ) 与dx U 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量 的元素且记作 dU ，即dU f ( x )dx ；
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x4
y2 2x y x4
( 2,2), (8,4).
y2 2 x
选 y 为积分变量
y [2, 4]
A dA 18.
4 2
2 y dA y 4 dy 2
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
2
2
A 4 0 ydx 4 b sin td ( a cos t )
2
a
0
4ab sin 2 tdt ab.
0
2
二、极坐标系情形
d
设由曲线 r ( ) 及射线
、 围成一曲边扇 形，求其面积．这里， ( )
y
2 3 2 3 2 3
2 3
2 3
2 3
解 y a x ,
y a x
曲边梯形的面积
Fra Baidu bibliotek
A ( t ) ( t )dt .
t2 t1
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1 ,t 2 ]（或[t 2 ,t1 ]）上 x (t ) 具有连续导数，
y (t ) 连续.
x y 例 4 求椭圆 2 2 1 的面积. a b x a cos t 解 椭圆的参数方程 y b sin t
A lim f ( i )xi f ( x )dx a 0
b
n
i 1
提示 若用A 表示任一小区间
面 积 元 素
y f (x )
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
则 A A ，并取 A f ( x )dx ， 于是 A f ( x )dx
dA
A lim f ( x )dx a f ( x )dx .
b
o a x x dx x b
当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间 a, b 有关
的量；
（2）U 对于区间a, b 具有可加性，就是说， U 如果把区间a, b 分成许多部分区间，则 相 U 应地分成许多部分量，而 等于所有部分量之 和； （3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.
一、直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
o
a
xx
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
三、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
思考题
设曲线 y f ( x ) 过原点及点( 2,3) ，且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线 与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一条平 行线 与 y 轴 和 曲 线 y f ( x ) 围 成 的 面 积 的 两 倍，求曲线方程.