3.如何判断一个数列是等差数列

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直招士官智力测试题(3篇)

直招士官智力测试题(3篇)

第1篇一、语言理解与表达1. 下列哪一项不属于下列词语的近义词?A. 繁荣B. 兴盛C. 荒凉D. 兴旺2. 下列哪一项不属于下列词语的反义词?A. 精神B. 疲倦C. 兴奋D. 疲乏3. 下列哪一项不属于下列词语的派生词?A. 火车B. 火车票C. 火车站D. 火车头4. 下列哪一项不属于下列词语的并列短语?A. 红色衣服B. 水果蔬菜C. 爱国精神D. 青春年华5. 下列哪一项不属于下列词语的偏正短语?A. 伟大的祖国B. 美丽的花园C. 慈祥的母亲D. 坚定的信念二、数学运算1. 下列哪一项的计算结果是6?A. 3 + 3B. 4 + 2C. 5 + 1D. 2 + 42. 下列哪一项的计算结果是24?A. 6 × 4B. 5 × 5C. 4 × 6D. 3 × 83. 下列哪一项的计算结果是-5?A. 2 - 7B. 3 - 8C. 4 - 9D. 5 - 104. 下列哪一项的计算结果是18?A. 6 ÷ 2B. 5 ÷ 3C. 4 ÷ 2D. 3 ÷ 15. 下列哪一项的计算结果是3.6?A. 1.8 × 2B. 1.2 × 3C. 1.5 × 2D. 1.6 × 2三、逻辑推理1. 如果今天下雨,那么明天会打雷。

下列哪一项是正确的?A. 如果今天下雨,那么明天会打雷B. 如果明天打雷,那么今天下雨C. 如果明天不下雨,那么今天也不会打雷D. 如果今天不下雨,那么明天也不会打雷2. 下列哪一项是正确的?A. 所有的鸟都会飞B. 所有的鱼都会游泳C. 所有的狗都会叫D. 所有的猫都会抓老鼠3. 下列哪一项是错误的?A. 狗是哺乳动物B. 鸟是鸟类C. 鱼是两栖动物D. 猫是哺乳动物4. 下列哪一项是正确的?A. 所有的三角形都是等边三角形B. 所有的矩形都是正方形C. 所有的圆都是正圆D. 所有的正方形都是矩形5. 下列哪一项是错误的?A. 所有的三角形都有三个角B. 所有的矩形都有四个角C. 所有的圆都有无数个角D. 所有的正方形都有四个角四、空间感知与观察1. 下列哪一项不属于下列图形的组成部分?A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 五边形2. 下列哪一项不属于下列图形的对称轴?A. 线对称B. 点对称C. 面对称D. 空间对称3. 下列哪一项不属于下列图形的相邻面?A. 面对面B. 面侧面C. 面底面D. 面顶面4. 下列哪一项不属于下列图形的相邻边?A. 相邻边B. 对边C. 相邻角D. 对角5. 下列哪一项不属于下列图形的相邻顶点?A. 相邻顶点B. 对顶点C. 相邻面D. 相邻边五、逻辑思维与判断1. 下列哪一项是正确的?A. 所有的鸟都会飞B. 所有的鱼都会游泳C. 所有的狗都会叫D. 所有的猫都会抓老鼠2. 下列哪一项是错误的?A. 狗是哺乳动物B. 鸟是鸟类C. 鱼是两栖动物D. 猫是哺乳动物3. 下列哪一项是正确的?A. 所有的三角形都是等边三角形B. 所有的矩形都是正方形C. 所有的圆都是正圆D. 所有的正方形都是矩形4. 下列哪一项是错误的?A. 所有的三角形都有三个角B. 所有的矩形都有四个角C. 所有的圆都有无数个角D. 所有的正方形都有四个角5. 下列哪一项是正确的?A. 如果今天下雨,那么明天会打雷B. 如果明天打雷,那么今天下雨C. 如果明天不下雨,那么今天也不会打雷D. 如果今天不下雨,那么明天也不会打雷第2篇一、选择题1. 下列哪个数字与50、60、70、80、90、100构成等差数列?A. 105B. 110C. 115D. 1202. 下列哪个数列的相邻两项之差为1,2,3,4,5...?A. 2,5,10,17,26,37...B. 3,7,13,19,25,31...C. 4,8,12,16,20,24...D. 5,12,19,26,33,40...3. 下列哪个数列的相邻两项之比为1/2,2/3,3/4,4/5...?A. 1,2,3,4,5,6...B. 2,3,4,5,6,7...C. 3,4,5,6,7,8...D. 4,5,6,7,8,9...4. 下列哪个数列的相邻两项之和为4,8,12,16,20,24...?A. 1,3,5,7,9,11...B. 2,4,6,8,10,12...C. 3,6,9,12,15,18... D. 4,8,12,16,20,24...5. 下列哪个数列的相邻两项之差为-1,-2,-3,-4,-5...?A. 2,1,0,-1,-2...B. 3,2,1,0,-1...C. 4,3,2,1,0...D. 5,4,3,2,1...6. 下列哪个数列的相邻两项之比为1/3,1/6,1/9,1/12...?A. 1,1/2,1/3,1/4,1/5...B. 2,1/2,1/3,1/4,1/5...C. 3,1/2,1/3,1/4,1/5...D. 4,1/2,1/3,1/4,1/5...7. 下列哪个数列的相邻两项之比为2/3,4/5,6/7,8/9...?A. 1,2,3,4,5...B. 2,3,4,5,6...C. 3,4,5,6,7...D. 4,5,6,7,8...8. 下列哪个数列的相邻两项之差为2,3,5,7,11...?A. 1,2,3,4,5...B. 2,3,4,5,6...C. 3,4,5,6,7...D. 4,5,6,7,8...9. 下列哪个数列的相邻两项之和为5,9,14,20,27...?A. 1,3,5,7,9...B. 2,4,6,8,10...C. 3,6,9,12,15...D. 4,7,11,16,22...10. 下列哪个数列的相邻两项之比为1/2,1/3,1/4,1/5...?A. 1,2,3,4,5...B. 2,3,4,5,6...C. 3,4,5,6,7...D. 4,5,6,7,8...二、填空题1. 在数列2,4,8,16,32...中,第10项为______。

等差数列及性质

等差数列及性质

等差数列及性质一、知识梳理:1.等差数列的定义(1)前提条件:①从第2项起.②每一项与它的前一项的差等于同一个常数.(2)结论:这个数列是等差数列.(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的公差,常用字母d表示.2.等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.(2)结论:A叫做a,b的等差中项.(3)满足的关系式:2A=a+b.34.等差数列通项公式的推广5.等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则:a m+a n=a p+a q.特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,a m+a n=2a k.(2)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+a n =a2+a n-1=…=a k+a n-k+1=….(3)若{a n}是公差为d的等差数列,则①{c+a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;③{a n+a n+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列.(4)若{a n},{b n}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pa n+qb n}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.(5).等差数列的图象由a n=d n+(a1-d),可知其图像是直线上的一些等间隔的点,其中是该直线的斜率.(6).等差数列的单调性:对于a n=d n+(a1-d),(1)当d>0时,{a n}为;(2)当d<0时,{a n}为;(3)当d=0时,{a n}为.二、题型探究:探究一:等差数列的通项公式及其应用例1.(1)已知等差数列{a n}:3,7,11,15,….①135,4m+19(m∈N*)是{a n}中的项吗?试说明理由.②若a p,a q(p,q∈N*)是数列{a n}中的项,则2a p+3a q是数列{a n}中的项吗?并说明你的理由.(2)在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________.1.(1)若数列{a n }为等差数列,a p =q ,a q =p (p ≠q ),则a p +q =________.(2)已知等差数列{a n }中,a 15=33,a 61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?探究二:等差数列的判定例2.(1)已知函数f (x )=3xx +3,数列{x n }的通项由x n =f (x n -1)(n ≥2且x ∈N *)确定.①求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列;②当x 1=12时,求x 2 015.(2)已知1b +c ,1c +a ,1a +b 成等差数列,证明:a 2,b 2,c 2也成等差数列.等差数列的判定方法有以下三种:(1)定义法:a n +1-a n =d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列; (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列;(3)通项公式法:a n =an +b (a ,b 是常数,n ∈N *)⇔{a n }为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.2.(1)判断下列数列是否为等差数列:①在数列{a n }中a n =3n +2; ②在数列{a n }中a n =n 2+n .(2)已知c n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n -5,n ≥2,则数列{c n }________等差数列(填“是”或“不是”).(3)已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=2a n a n +2,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列?说明理由.探究三:等差中项的应用例3.一个等差数列由三个数组成,三个数的和为9,三个数的平方和为35,求这三个数.[互动探究]若将题中的三个数改为四个数成等差数列,且四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,方法一:可设出首项a1和公差d,列方程组求解.方法二:采用对称的设法,三个数时,设为a-d,a,a+d;四个数时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.3.(1)方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为()A.1 B.2C.3 D.4(2)已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{a n}的通项公式.探究四:等差数列性质的应用例4.在等差数列{a n}中:(1)若a5=a,a10=b,求a15;(2)若a3+a8=m,求a5+a6.(3)若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.(1)利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法.(2)巧妙地利用等差数列的性质,可以大大简化解题过程.4.(1)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( ) A .a 1+a 101>0 B .a 2+a 101<0 C .a 3+a 99=0 D .a 51=51(2)若x ≠y ,且两个数列x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各成等差数列,那么a 1-a 2b 1-b 2等于( )A .1 B.23C.34D.43探究五:等差数列的综合问题例5.在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1,a 2为方程x 2-a 3x +a 4=0的根,求数列{a n }的通项公式.例6.在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *).(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)若λa n +1a n +1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.5.(1)数列{a n }中,a 1=1,a 2=23,且1a n -1+1a n +1=2a n ,则a n =________.(2)已知数列{a n }满足(a n +1-a n )(a n +1+a n )=16,且a 1=1,a n >0.①求证:数列{a 2n }为等差数列; ②求a n .例7.已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,且a 11=-26,a 51=54,求a 14的值.你能判断该数列从第几项开始为正数吗?[解] 由等差数列通项公式a n =a 1+(n -1)d ,列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1+10d =-26,a 1+50d =54,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-46,d =2.∴a 14=-46+13×2=-20.∴a n =-46+(n -1)×2=2n -48. 令a n ≥0,得2n -48≥0⇒n ≥24, ∴从第25项开始,各项为正数.[错因与防范] (1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解,误认为n =24也满足条件.(2)由通项公式计算时,易把公式写成a n =a 1+nd ,导致结果错误.(3)等差数列通项公式中有a 1,a n ,n ,d 四个量,知三求一,一定要准确应用公式.7.(1)首项为24的等差数列,从第10项开始为负数,则公差d 的取值范围是________. (2)一个等差数列的首项为125,公差d >0,从第10项起每一项都大于1,求公差d 的范围.例8.(本题满分12分)两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n },c 1=11.2分 又等差数列5,8,11,…的通项公式为a n =3n +2,4分 等差数列3,7,11,…的通项公式为b n =4n -1.6分 所以数列{c n }为等差数列,且公差d =12,①8分 所以c n =11+(n -1)×12=12n -1.10分又a 100=302,b 100=399,c n =12n -1≤302,②得n ≤2514,可见已知两数列共有25个相同的项.12分[规范与警示] (1)解题过程中①处易出现令3n +2=4n -1,解得n =3的错误,这实际上是混淆了两个n 的取值而导致的错误,也是常犯错误,解题过程中②处易出现c n =12n -1≤399,导致错误.这是对题意不理解造成的,两个数列的公共项应以较小的为基准求解.(2)在解决数列的问题时弄清公式中各量的含义,不同的数列中同一量的意义是相同的,但是并不一定对应.如本例中项数n 在数列{a n }和数列{b n }中的意义,当项相同时,对应的序号n 不一定相同.巩固练习:1.(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是( )A .若a ,b ,c 成等差数列,则a 2,b 2,c 2成等差数列B .若a ,b ,c 成等差数列,则log 2a ,log 2b ,log 2c 成等差数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则a +2,b +2,c +2成等差数列D .若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 成等差数列2.已知x ≠y ,且两个数列x ,a 1,a 2,…,a m ,y 与x ,b 1,b 2,…,b n ,y 各自都成等差数列,则a 2-a 1b 2-b 1等于( )A.m nB.m +1n +1C.n mD.n +1m +13.(2014·高考重庆卷)在等差数列{a n }中,a 1=2,a 3+a 5=10,则a 7=( ) A .5 B .8C .10 D .144.设{a n },{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37=( ) A .0 B .37C .100 D .-37 5.(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列,则( ) A .d <0B .d >0C .a 1d <0 D .a 1d >0 6.(2015·泰安高二检测)在等差数列{a n }中,a 3,a 10是方程x 2-3x -5=0的根,则a 5+a 8=________.7.(2015·河北省石家庄市月考)在等差数列{a n }中,若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=100,则3a 9-a 13的值为________.8.已知数列{a n }满足a 1=1,若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ,a n +1n +1在直线x -y +1=0上,则a n=________.9.已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为________.10.在等差数列{a n }中,(1)已知a 5=-1,a 8=2,求a 1与d ; (2)已知a 1+a 6=12,a 4=7,求a 9.11.数列{a n }为等差数列,b n =⎝⎛⎭⎫12a n,又已知b 1+b 2+b 3=218,b 1b 2b 3=18,求{a n }的通项公式.12.已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-4a n -1(n >1),记b n =1a n -2.(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.备选:《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共为4升,则第5节的容积为________升.巩固练习答案:1.解析:选C.因为a ,b ,c 成等差数列,则2b =a +c , 所以2b +4=a +c +4,即2(b +2)=(a +2)+(c +2), 所以a +2,b +2,c +2成等差数列.2.解析:选D.设这两个等差数列公差分别是d 1,d 2,则a 2-a 1=d 1,b 2-b 1=d 2.第一个数列共(m +2)项,∴d 1=y -x m +1;第二个数列共(n +2)项,∴d 2=y -x n +1.这样可求出a 2-a 1b 2-b 1=d 1d 2=n +1m +1. 3.解析:选B.法一:设等差数列的公差为d ,则a 3+a 5=2a 1+6d =4+6d =10,所以d =1,a 7=a 1+6d =2+6=8.法二:由等差数列的性质可得a 1+a 7=a 3+a 5=10,又a 1=2,所以a 7=8. 4.解析:选C.设c n =a n +b n ,由于{a n },{b n }都是等差数列,则{c n }也是等差数列,且c 1=a 1+b 1=25+75=100,c 2=a 2+b 2=100, ∴{c n }的公差d =c 2-c 1=0.∴c 37=100,即a 37+b 37=100.5.解析:选C.设b n =2a 1a n ,则b n +1=2a 1a n +1,由于{2a 1a n }是递减数列,则b n >b n +1,即2a 1a n >2a 1a n +1.∵y =2x 是单调增函数,∴a 1a n >a 1a n +1,∴a 1a n -a 1(a n +d )>0,∴a 1(a n -a n -d )>0,即a 1(-d )>0,∴a 1d <0.6.解析:由已知得a 3+a 10=3.又数列{a n }为等差数列,∴a 5+a 8=a 3+a 10=3. 答案:37.解析:由等差数列的性质可知,a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=(a 3+a 11)+(a 5+a 9)+a 7=5a 7=100,∴a 7=20.∴3a 9-a 13=2a 9+a 9-a 13=(a 5+a 13)+a 9-a 13=a 5+a 9=2a 7=40.答案:408.解析:由题设可得a n n -a n +1n +1+1=0,即a n +1n +1-a n n =1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式a nn=n ,所以a n =n 2.答案:n 29.解析:由于三边长构成公差为4的等差数列,故可设三边长分别为x -4,x ,x +4. 由一个内角为120°,知其必是最长边x +4所对的角. 由余弦定理得,(x +4)2=x 2+(x -4)2-2x (x -4)·cos 120°, ∴2x 2-20x =0,∴x =0(舍去)或x =10, ∴S △ABC =12×(10-4)×10×sin 120°=15 3.答案:15 310.解:(1)∵a 5=-1,a 8=2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+4d =-1a 1+7d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-5d =1. (2)设数列{a n }的公差为d .由已知得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1+5d =12a 1+3d =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1d =2.∴a n =1+(n -1)×2=2n -1,∴a 9=2×9-1=17.11.解:∵b 1+b 2+b 3=⎝⎛⎭⎫12a 1+⎝⎛⎭⎫12a 2+⎝⎛⎭⎫12a 3=218,b 1b 2b 3=⎝⎛⎭⎫12a 1+a 2+a 3=18,∴a 1+a 2+a 3=3. ∵a 1,a 2,a 3成等差数列,可设a 1=a 2-d ,a 3=a 2+d ,∴a 2=1. 由⎝⎛⎭⎫121-d+12+⎝⎛⎭⎫121+d =218,得2d +2-d =174,解得d =2或d =-2. 当d =2时,a 1=1-d =-1,a n =-1+2(n -1)=2n -3;当d =-2时,a 1=1-d =3,a n =3-2(n -1)=-2n +5. 12.解:(1)证明:b n +1-b n =1a n +1-2-1a n -2=1(4-4a n)-2-1a n -2=a n 2(a n -2)-1a n -2=a n -22(a n -2)=12.又b 1=1a 1-2=12,∴数列{b n }是首项为12,公差为12的等差数列.(2)由(1)知b n =12+(n -1)×12=12n .∵b n =1a n -2,∴a n =1b n +2=2n +2.∴数列{a n }的通项公式为a n =2n+2.备选:解析:设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=4a 1+6d =3,a 7+a 8+a 9=3a 1+21d =4.解得⎩⎨⎧a 1=1322,d =766,故a 5=a 1+4d =6766. 答案:67667(1)解析:a n =24+(n -1)d ,由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧a 10<0,a 9≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧24+9d <0,24+8d ≥0,解得-3≤d <-83.答案:⎣⎡⎭⎫-3,-83 (2)解:设等差数列为{a n },由d >0,知a 1<a 2<…<a 9<a 10<a 11…,依题意,有⎩⎪⎨⎪⎧1<a 10<a 11<…,a 1<a 2<…<a 9≤1,即⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1⇔⎩⎨⎧125+(10-1)d >1,125+(9-1)d ≤1,解得875<d ≤325,即公差d 的取值范围是⎝⎛⎦⎤875,325.。

第二节 等差数列及其前n项和

第二节  等差数列及其前n项和

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等差数列及其前n项和
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[解] (1)证明:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,① ∴Sn(1+2Sn-1)=Sn-1. 由上式知若 Sn-1≠0,则 Sn≠0. ∵S1=a1≠0, 由递推关系知 Sn≠0(n∈N*), 1 1 由①式得S - =2(n≥2). Sn-1 n
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等差数列及其前n项和
结束
解析:根据已知条件,得到 am 和 am+1,再根据等差数列的定义 得到公差 d,最后建立关于 a1 和 m 的方程组求解.由 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得 am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1 -Sm=3,所以等差数列的公差为 d=am+1-am=3-2=1, am=a1+m-1d=2, 由 1 S =a1m+2mm-1d=0, m a1+m-1=2, a1=-2, 得 解得 1 a1m+2mm-1=0, m=5. 答案:C
结束
[类题通法]
1.判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法,而 通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的 简单判断. 2.用定义证明等差数列时,常采用两个式子 an+1-an=d 和 an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”, 否则 n=1 时,a0 无定义.
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第二节
等差数列及其前n项和
结束
1.要注意概念中的“从第 2 项起”.如果一个数列不是从 第 2 项起, 而是从第 3 项或第 4 项起, 每一项与它前一项的差是 同一个常数,那么此数列不是等差数列.
2.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别.

【课件】等差数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二下人教A(2019)选择性必修第二册

【课件】等差数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二下人教A(2019)选择性必修第二册
a
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列,忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗?
设数列an 的首项为 a1 ,公差为 d ,则由定义可得:
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式,推导出等差数列的通项公式吗?
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故

如何判断一个数列是等差数列

如何判断一个数列是等差数列

一轮复习 如何判断一个数列是等差数列知识点归纳判断或证明数列是等差数列的方法有:()1定义法:1n n a a +-=常数(*n N ∈)⇔{}n a 为等差数列;【注】①求出的常数即为公差d ;②n 的范围,1,n n n N a a *+∈- 12,n n n a a -≥-()2中项公式法:122n n n a a a ++=+(*n N ∈)⇔{}n a 为等差数列;()3通项公式法:n a pn q =+(*n N ∈)n (关于的“一次函数”)⇔{}n a 为等差数列; ()4前n 项求和法:2n S An Bn =+(*n N ∈)(缺常数项的“二次函数”)⇔{}n a 为等差数列;例1 ()1在数列{}n a 中,1111,22,2nnn n n n a a a a b +-==+=,证明:数列{}n b 是等差数列. ()2已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且1120n n n n S S S S ---+⋅=()2n ≥,证明:1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.例2 已知正项数列}{n a (),0n n N a *∈>的前n 项和为n S ,满足1n a =+, 求证: {}n a 为等差数列. 例3已知数列}{n a 的通项公式是21nn a =-,若数列{}n b 满足()121114441n n bb b b n a ---=+(n N *∈),证明: {}n b 是等差数列.练习:1. 已知数列{}n a 是等差数列,则使{}n b 为等差数列的数列是( ) (A )n n a b = (B )nn a b 1= (C )n n a b -= (D )2n n a b =2. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(+∈=N n nS b nn . 求证:数列{}n b 是等差数列.3. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,)(+∈=N n pna S n n ,.21a a = ⑴求常数p 的值;⑵求证:数列{}n a 是等差数列.4. 已知函数()31xf x x =+,数列{}n a 满足11a =,()1()*n n a f a n N +=∈ 求证:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列5. 已知数列}{n a 中,135a =,数列112n n a a -=-,()2,*n n N ≥∈,数列{}n b满足11n n b a =-(*n N ∈). ()1求证:数列{}n b 是等差数列;()2求数列}{n a 的最大项与最小项,并说明理由.6. 已知数列{a n },a 1=1,a n =λa n -1+λ-2(n ≥2).当λ为何值时,数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列,并求其通项公式7.8.9. 10.11. 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的正整数n 都有2)(1n n a a n S += 证明:{a n }是等差数列.设{}n a 是等差数列,求证:以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理

高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理

高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理第一讲 等差数列与等比数列1.等差数列的定义.数列{a n }满足a n +1-a n =d (其中n∈N *,d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列. 2.等差数列的通项公式.若等差数列的首项为a 1,公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). 3.等差中项.若x ,A ,y 成等差数列,则A =x +y2,其中A 为x ,y 的等差中项.4.等差数列的前n 项和公式.若等差数列首项为a 1,公差为d ,则其前n 项和S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)d2.1.等比数列的定义. 数列{a n }满足a n +1a n=q (其中a n ≠0,q 是与n 值无关且不为零的常数,n ∈N *)⇔{a n }为等比数列.2.等比数列的通项公式.若等比数列的首项为a 1,公比为q ,则a n =a 1·q n -1=a m ·qn -m(n ,m ∈N *).3.等比中项.若x ,G ,y 成等比数列,则G 2=xy ,其中G 为x ,y 的等比中项,G 值有两个. 4.等比数列的前n 项和公式.设等比数列的首项为a 1,公比为q ,则S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q ,q ≠1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.(×) (4)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.(×) (5)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .(×) (6)1+b +b 2+b 3+b 4+b 5=1-b51-b.(×)1.在等差数列{a n }中,a 2=1,a 4=5,则数列{a n }的前5项和S 5=(B ) A .7 B .15 C .20 D .25解析:2d =a 4-a 2=5-1=4⇒d =2,a 1=a 2-d =1-2=-1,a 5=a 2+3d =1+6=7,故S 5=(a 1+a 5)×52=6×52=15.2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是(C ) A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0 B .若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0 C .若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3 D .若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0解析:设等差数列{a n}的公差为d,若a1+a2>0,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,由于d正负不确定,因而a2+a3符号不确定,故选项A错;若a1+a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d,由于d正负不确定,因而a1+a2符号不确定,故选项B错;若0<a1<a2,可知a1>0,d>0,a2>0,a3>0,∴a22-a1a3=(a1+d)2-a1(a1+2d)=d2>0,∴a2>a1a3,故选项C正确;若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)=d·(-d)=-d2≤0,故选项D错.3.(2015·新课标Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(B)A.21 B.42C.63 D.84解析:∵ a1=3,a1+a3+a5=21,∴ 3+3q2+3q4=21.∴ 1+q2+q4=7.解得q2=2或q2=-3(舍去).∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选B.4.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是(B)A.90 B.100C.145 D.190解析:设公差为d,则(1+d)2=1·(1+4d).∵d≠0,解得d=2,∴S10=100.一、选择题1.已知等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a3+a9=6,则S11=(B)A.12 B.33 C.66 D.99解析:∵{a n}为等差数列且a3+a9=6,∴a 6+a 6=a 3+a 9=6. ∴a 6=3. ∴S 11=a 1+a 112×11=a 6+a 62×11=11a 6=11×3=33.2.在等比数列{a n }中,若a 1+a 2=20,a 3+a 4=40,则数列{a n }的前6项和S 6=(B ) A .120 B .140 C .160 D .180 解析:∵{a n }为等比数列,∴a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6为等比数列. ∴(a 3+a 4)2=(a 1+a 2)(a 5+a 6). 即a 5+a 6=(a 3+a 4)2a 1+a 2=40220=80.∴S 6=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=20+40+80=140.3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n -1,则a 3+a 17=(C ) A .15 B .17 C .34 D .398 解析:∵S n =n 2-2n -1, ∴a 1=S 1=12-2-1=-2. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-2n -1-[(n -1)2-2(n -1)-1] =n 2-(n -1)2+2(n -1)-2n -1+1 =n 2-n 2+2n -1+2n -2-2n =2n -3.∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧-2,n =1,2n -3,n ≥2.∴a 3+a 17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34. 4.(2014·陕西卷)原命题为“若a n +a n +12<a n ,n ∈N *,则{a n }为递减数列”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(A )A .真,真,真B .假,假,真C .真,真,假D .假,假,假 解析:由a n +a n +12<a n ⇒a n +1<a n ⇒{a n }为递减数列,所以原命题为真命题;逆命题:若{a n }为递减数列,则a n +a n +12<a n ,n ∈N +;若{a n }为递减数列,则a n +1<a n ,即a n +a n +12<a n ,所以逆命题为真;否命题:若a n +a n +12≥a n ,n ∈N +,则{a n }不为递减数列;由a n +a n +12≥a n ⇒a n ≤a n +1⇒{a n }不为递减数列,所以否命题为真;因为逆否命题的真假为原命题的真假相同,所以逆否命题也为真命题. 故选A.5.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为(C )A .5B .7C .9D .11解析:由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入m =9,因此选C.二、填空题6.(2015·安徽卷)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于27.解析:由a 1=1,a n =a n -1+12(n ≥2),可知数列{a n }是首项为1,公差为12的等差数列,故S 9=9a 1+9×(9-1)2×12=9+18=27.7.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则q =32. 解析:将S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2两个式子全部转化成用a 1,q 表示的式子,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q =3a 1q +2,a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=3a 1q 3+2,两式作差得:a 1q 2+a 1q 3=3a 1q (q 2-1),即:2q 2-q -3=0,解得q =32或q =-1(舍去).8.(2014·广东卷)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=5.解析:由题意知a 1a 5=a 23=4,且数列{a n }的各项均为正数,所以a 3=2, ∴a 1a 2a 3a 4a 5=(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3=(a 23)2·a 3=a 53=25,∴log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)=log 225=5. 三、解答题9.已知数列{a n }满足,a 1=1,a 2=2,a n +2 =a n +a n +12,n ∈N *.(1)令b n =a n +1-a n ,证明:{b n }是等比数列; (2)求{a n }的通项公式. 解析:(1)b 1=a 2-a 1=1, 当n ≥2时,b n =a n +1-a n =a n -1+a n2-a n =-12(a n -a n -1)=-12b n -1,所以{b n }是以1为首项,-12为公比的等比数列.(2)由(1)知b n =a n +1-a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1,当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+1+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -2=1+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -11-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=1+23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1=53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1, 当n =1时,53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-121-1=1=a 1.所以a n =53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1(n ∈N *).10.(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =a n +1S n S n +1,求数列{b n }的前n 项和T n . 解析:(1)由题设知a 1·a 4=a 2·a 3=8,又a 1+a 4=9,可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 4=8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,a 4=1(舍去). 由a 4=a 1q 3得公比q =2,故a n =a 1qn -1=2n -1.(2)S n =a 1(1-q n )1-q=2n-1.又b n =a n +1S n S n +1=S n +1-S n S n S n +1=1S n -1S n +1, 所以T n =b 1+b 2+…+b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1-1S 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2-1S 3+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n -1S n +1=1S 1-1S n +1=1-12n +1-1.。

等差与等比数列的判定(第三讲)

等差与等比数列的判定(第三讲)

当n 5时,Tn Sn 9n n2
当n 6时,
Tn a1 a2 a5 a6 an a1 a2 a5 a6 a7 an
Tn
9n n2 n2 9n 40
Sn 2S5
n2 9n 2 (20)
n2 9n 40
(n 5) (n 6)
③通项公式法:
a2 n1
an
an2
(an 0) an 为等比数列;
③通项公式法:
an kn b (k,b为常数) an 是等差数列
④前n 项和公式法:
an k q n (k, q为常数) an 为等比数列;
④前n 项和法:
Sn An 2 Bn ( A, B为常数) an 是等差数列 Sn k(1 qn ) (k, q为常数) an 为等比数列。
是以
S1
1 为首项,2 为公差的等差数列。
bn
Sn 2n 1
1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn 3
(1 3
1) 5
(1 2n 1
1 2n
1)
1 (1 1 ) n 2 2n 1 2n 1
变式、数列 an 的前 n 项和 S n =2 an -1,数列 bn 满足:b1 3,bn1 an bn (n N )
⑵: ①证明:当 n 2 时,
Sn2
an (Sn
1) 2
(Sn
Sn1 )(Sn
1) 2
所以 S n
S n1
1 2
(S n1
Sn )
即 1 1 2 S n S n1
②:由 ①得
1 1 (n 1) d 1 (n 1) 2 Sn S1 2n 1
所以

高中数学人教A版浙江专版必修5讲义第二章2.2等差数列含答案

高中数学人教A版浙江专版必修5讲义第二章2.2等差数列含答案

等差数列第一课时 等差数列的概念及通项公式[新知初探]1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了:①作差的顺序;②这两项必须相邻.(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.2.等差中项如果三个数a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.这三个数满足的关系式是A =a +b2. 3.等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d .[点睛] 由等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 可得a n =dn +(a 1-d ),如果设p =d ,q =a 1-d ,那么a n =pn +q ,其中p ,q 是常数.当p ≠0时,a n 是关于n 的一次函数;当p =0时,a n =q ,等差数列为常数列.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ,b ,c 满足2b =a +c ,则a ,b ,c 一定是等差数列( )解析:(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,则这个数列就不是等差数列.(2)正确.当d >0时为递增数列;d =0时为常数列;d <0时为递减数列. (3)正确.只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项.(4)正确.若a ,b ,c 满足2b =a +c ,即b -a =c -b ,故a ,b ,c 为等差数列. 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√2.等差数列{a n }中,a 1=1,d =3,a n =298,则n 的值等于( ) A .98 B .100 C .99D .101解析:选B a n =a 1+(n -1)d =3n -2,令a n =298,即3n -2=298⇒n =100. 3.在等差数列{a n }中,若a 1·a 3=8,a 2=3,则公差d =( ) A .1 B .-1 C .±1D .±2解析:选C 由已知得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1+2d )=8,a 1+d =3,解得d =±1.4.若log 32,log 3(2x -1),log 3(2x +11)成等差数列.则x 的值为________.解析:由log 3(2x +11)-log 3(2x -1)=log 3(2x -1)-log 32,得:(2x )2-4·2x -21=0,∴2x=7,∴x =log 27.答案:log 27[典例] n(1)已知a 5=-1,a 8=2,求a 1与d ; (2)已知a 1+a 6=12,a 4=7,求a 9. [解] (1)∵a 5=-1,a 8=2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+4d =-1,a 1+7d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-5,d =1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得,⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 1+5d =12,a 1+3d =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2.∴a n =1+(n -1)×2=2n -1, ∴a 9=2×9-1=17.[活学活用]1.2 016是等差数列4,6,8,…的( ) A .第1 006项 B .第1 007项 C .第1 008项D .第1 009项解析:选B ∵此等差数列的公差d =2,∴a n =4+(n -1)×2,a n =2n +2,即2 016=2n +2,∴n =1 007.2.已知等差数列{a n }中,a 15=33,a 61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?解:设首项为a 1,公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d ,由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(15-1)d =33,a 1+(61-1)d =217,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-23,d =4.所以a n =-23+(n -1)×4=4n -27,令a n =153,即4n -27=153,解得n =45∈N *,所以153是所给数列的第45项.[典例] 已知等差数列{a n },满足a 2+a 3+a 4=18,a 2a 3a 4=66.求数列{a n }的通项公式.[解] 在等差数列{a n }中,∵ a 2+a 3+a 4=18,∴3a 3=18,a 3=6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2+a 4=12,a 2·a 4=11,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=11,a 4=1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2=1,a 4=11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2=11,a 4=1时,a 1=16,d =-5. a n =a 1+(n -1)d =16+(n -1)·(-5)=-5n +21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2=1,a 4=11时,a 1=-4,d =5. a n =a 1+(n -1)d =-4+(n -1)·5=5n -9.三数a ,b ,[活学活用]1.已知数列8,a,2,b ,c 是等差数列,则a ,b ,c 的值分别为________,________,________.解析:因为8,a,2,b ,c 是等差数列, 所以⎩⎪⎨⎪⎧8+2=2a ,a +b =2×2,2+c =2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =-1,c =-4.答案:5 -1 -42.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n +1为等差数列,则a 5=________.解析:由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n +1为等差数列,则有1a 3+1+1a 7+1=2a 5+1,可解得a 5=75.答案:75[典例] 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-4a n -1(n >1),记b n =1a n -2.求证:数列{b n }是等差数列.证明:[法一 定义法]∵b n +1=1a n +1-2=1⎝⎛⎭⎫4-4a n -2=a n 2(a n -2),∴b n +1-b n =a n 2(a n -2)-1a n -2=a n -22(a n -2)=12,为常数(n ∈N *).又b 1=1a 1-2=12, ∴数列{b n }是首项为12,公差为12的等差数列.[法二 等差中项法] ∵b n =1a n -2, ∴b n +1=1a n +1-2=1⎝⎛⎭⎫4-4a n -2=a n 2(a n -2).∴b n +2=a n +12(a n +1-2)=4-4a n 2⎝⎛⎭⎫4-4a n -2=a n -1a n -2.∴b n +b n +2-2b n +1=1a n -2+a n -1a n -2-2×a n 2(a n -2)=0. ∴b n +b n +2=2b n +1(n ∈N *), ∴数列{b n }是等差数列.[活学活用]已知1a ,1b ,1c 成等差数列,并且a +c ,a -c ,a +c -2b 均为正数,求证:lg(a +c ),lg(a -c ),lg(a +c -2b )也成等差数列.解:∵1a ,1b ,1c 成等差数列,∴2b =1a +1c , ∴2b =a +cac ,即2ac =b (a +c ).(a +c )(a +c -2b )=(a +c )2-2b (a +c )=(a +c )2-2×2ac =a 2+c 2+2ac -4ac =(a -c )2. ∵a +c ,a +c -2b ,a -c 均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[(a +c )(a +c -2b )]=lg(a -c )2,即lg(a +c )+lg(a +c -2b )=2lg(a -c ),∴lg(a +c ),lg(a -c ),lg(a +c -2b )成等差数列.层级一 学业水平达标1.已知等差数列{a n }的通项公式为a n =3-2n ,则它的公差为( ) A .2 B .3 C .-2D .-3解析:选C ∵a n =3-2n =1+(n -1)×(-2),∴d =-2,故选C. 2.若等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 2+a 5=4,a n =35,则n =( )A .50B .51C .52D .53解析:选D 依题意,a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =4,代入a 1=13,得d =23.所以a n =a 1+(n -1)d =13+(n -1)×23=23n -13,令a n =35,解得n =53.3.设x 是a 与b 的等差中项,x 2是a 2与-b 2的等差中项,则a ,b 的关系是( ) A .a =-b B .a =3b C .a =-b 或a =3bD .a =b =0 解析:选C 由等差中项的定义知:x =a +b2, x 2=a 2-b 22,∴a 2-b 22=⎝⎛⎭⎫a +b 22,即a 2-2ab -3b 2=0.故a =-b 或a =3b .4.数列{a n }中,a 1=2,2a n +1=2a n +1,则a 2 015的值是( ) A .1 006 B .1 007 C .1 008D .1 009解析:选D 由2a n +1=2a n +1,得a n +1-a n =12,所以{a n }是等差数列,首项a 1=2,公差d =12,所以a n =2+12(n -1)=n +32,所以a 2 015=2 015+32=1 009.5.等差数列{a n }的首项为70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项为( )A .a 8B .a 9C .a 10D .a 11解析:选B |a n |=|70+(n -1)×(-9)|=|79-9n |=9⎪⎪⎪⎪879-n ,∴n =9时,|a n |最小. 6.在等差数列{a n }中,a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6=________. 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =7,a 1+4d =a 1+d +6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =2.∴a n =a 1+(n -1)d =3+(n -1)×2=2n +1. ∴a 6=2×6+1=13. 答案:137.已知{a n }为等差数列,且a 7-2a 4=-1,a 3=0,则公差d =________. 解析:根据题意得:a 7-2a 4=a 1+6d -2(a 1+3d )=-a 1=-1, ∴a 1=1.又a 3=a 1+2d =1+2d =0, ∴d =-12.答案:-128.已知数列{a n }满足:a 2n +1=a 2n +4,且a 1=1,a n >0,则a n =________. 解析:根据已知条件a 2n +1=a 2n +4,即a 2n +1-a 2n =4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列,则a 2n =a 21+(n -1)×4=4n -3.∵a n >0,∴a n =4n -3. 答案:4n -39.已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=2a na n +2,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列?说明理由.解:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,理由如下:因为a 1=2,a n +1=2a na n +2, 所以1a n +1=a n +22a n =12+1a n,所以1a n +1-1a n =12(常数). 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1=12为首项,公差为12的等差数列.10.若1b +c ,1a +c ,1a +b是等差数列,求证:a 2,b 2,c 2成等差数列. 证明:由已知得1b +c +1a +b =2a +c ,通分有2b +a +c (b +c )(a +b )=2a +c. 进一步变形有2(b +c )(a +b )=(2b +a +c )(a +c ),整理,得a 2+c 2=2b 2, 所以a 2,b 2,c 2成等差数列.层级二 应试能力达标1.若数列{a n }为等差数列,a p =q ,a q =p (p ≠q ),则a p +q 为( ) A .p +q B .0 C .-(p +q )D.p +q2解析:选B ∵a p =a 1+(p -1)d ,a q =a 1+(q -1)d ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(p -1)d =q , ①a 1+(q -1)d =p . ②①-②,得(p -q )d =q -p . ∵p ≠q ,∴d =-1.代入①,有a 1+(p -1)×(-1)=q ,∴a 1=p +q -1. ∴a p +q =a 1+(p +q -1)d =p +q -1+(p +q -1)×(-1)=0.2.已知x ≠y ,且两个数列x ,a 1,a 2,…,a m ,y 与x ,b 1,b 2,…,b n ,y 各自都成等差数列,则a 2-a 1b 2-b 1等于( )A.m nB.m +1n +1C.n mD.n +1m +1解析:选D 设这两个等差数列公差分别是d 1,d 2,则a 2-a 1=d 1,b 2-b 1=d 2.第一个数列共(m +2)项,∴d 1=y -x m +1;第二个数列共(n +2)项,∴d 2=y -x n +1.这样可求出a 2-a 1b 2-b 1=d 1d 2=n +1m +1. 3.已知数列{a n },对任意的n ∈N *,点P n (n ,a n )都在直线y =2x +1上,则{a n }为( ) A .公差为2的等差数列 B .公差为1的等差数列 C .公差为-2的等差数列D .非等差数列解析:选A 由题意知a n =2n +1,∴a n +1-a n =2,应选A.4.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,且公差d ≠0,则( ) A .a 3a 6>a 4a 5 B .a 3a 6<a 4a 5 C .a 3+a 6>a 4+a 5D .a 3a 6=a 4a 5解析:选B 由通项公式,得a 3=a 1+2d ,a 6=a 1+5d ,那么a 3+a 6=2a 1+7d ,a 3a 6=(a 1+2d )(a 1+5d )=a 21+7a 1d +10d 2,同理a 4+a 5=2a 1+7d ,a 4a 5=a 21+7a 1d +12d 2,显然a 3a 6-a 4a 5=-2d 2<0,故选B.5.数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,数列{b n }是首项为-2,公差为4的等差数列.若a n =b n ,则n 的值为________.解析:a n =2+(n -1)×3=3n -1, b n =-2+(n -1)×4=4n -6, 令a n =b n ,得3n -1=4n -6,∴n =5. 答案:56.在数列{a n }中,a 1=3,且对于任意大于1的正整数n ,点(a n , a n -1)都在直线x-y -3=0上,则a n =________.解析:由题意得a n -a n -1=3,所以数列{a n }是首项为3,公差为3的等差数列,所以a n =3n ,a n =3n 2.答案:3n 27.已知数列{a n }满足a 1=1,且a n =2a n -1+2n (n ≥2,且∈N *). (1)求a 2,a 3;(2)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列;(3)求数列{a n }的通项公式a n .解:(1)a 2=2a 1+22=6,a 3=2a 2+23=20. (2)证明:∵a n =2a n -1+2n (n ≥2,且n ∈N *), ∴a n 2n =a n -12n -1+1(n ≥2,且n ∈N *), 即a n 2n -a n -12n -1=1(n ≥2,且n ∈N *), ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121=12,公差d =1的等差数列.(3)由(2),得a n 2n =12+(n -1)×1=n -12,∴a n =⎝⎛⎭⎫n -12·2n.8.数列{a n }满足a 1=2,a n +1=(λ-3)a n +2n (n ∈N *). (1)当a 2=-1时,求λ及a 3的值;(2)是否存在λ的值,使数列{a n }为等差数列?若存在求其通项公式;若不存在说明理由. 解:(1)∵a 1=2,a 2=-1,a 2=(λ-3)a 1+2,∴λ=32.∴a 3=-32a 2+22,∴a 3=112.(2)∵a 1=2,a n +1=(λ-3)a n +2n , ∴a 2=(λ-3)a 1+2=2λ-4. a 3=(λ-3)a 2+4=2λ2-10λ+16. 若数列{a n }为等差数列,则a 1+a 3=2a 2. 即λ2-7λ+13=0.∵Δ=49-4×13<0,∴方程无实数解.∴λ值不存在.∴不存在λ的值使{a n }成等差数列.第二课时 等差数列的性质[新知初探]1.等差数列通项公式的推广2.若{a n }是公差为d 的等差数列,正整数m ,n ,p ,q 满足m +n =p +q ,则a m +a n =a p+a q .(1)特别地,当m +n =2k (m ,n ,k ∈N *)时,a m +a n =2a k .(2)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a 1+a n=a2+a n-1=…=a k+a n-k+1=….(3)若{a n}是公差为d的等差数列,则①{c+a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;③{a n+a n+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列.(4)若{a n},{b n}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pa n+qb n}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列,则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列,则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列,则对任意n∈N*都有2a n+1=a n+a n+2()(4)数列{a n}的通项公式为a n=3n+5,则数列{a n}的公差与函数y=3x+5的图象的斜率相等()解析:(1)错误.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.(2)错误.如数列-1,2,-3,4,-5其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列.(3)正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*,都有2a n+1=a n+a n+2成立.(4)正确.因为a n=3n+5的公差d=3,而直线y=3x+5的斜率也是3.答案:(1)×(2)×(3)√(4)√2.在等差数列{a n}中,若a5=6,a8=15,则a14等于()A.32B.33C.-33 D.29解析:选B∵数列{a n}是等差数列,∴a5,a8,a11,a14也成等差数列且公差为9,∴a14=6+9×3=33.3.在等差数列{a n}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=()A.90 B.270C.180 D.360解析:选C因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,所以a5=90,所以a2+a8=2a5=2×90=180.4.在等差数列{a n}中,已知a2+2a8+a14=120,则2a9-a10的值为________.解析:∵a2+a14=2a8,∴a2+2a8+a14=4a8=120,∴a8=30.∴2a9-a10=(a8+a10)-a10=a8=30.答案:30[典例] (1)已知等差数列{a n }中,a 2+a 4=6,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=( ) A .30 B .15 C .5 6D .10 6(2)设{a n },{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37=( ) A .0 B .37 C .100D .-37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列,∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=(a 1+a 5)+(a 2+a 4)+a 3=52(a 2+a 4)=52×6=15.(2)设c n =a n +b n ,由于{a n },{b n }都是等差数列, 则{c n }也是等差数列,且c 1=a 1+b 1=25+75=100, c 2=a 2+b 2=100, ∴{c n }的公差d =c 2-c 1=0. ∴c 37=100,即a 37+b 37=100. [答案] (1)B (2)C[活学活用]1.已知{a n }为等差数列,若a 1+a 5+a 9=π,则cos(a 2+a 8)的值为( ) A .-12B .-32C.12D.32解析:选A a 1+a 5+a 9=3a 5=π,所以a 5=π3,而a 2+a 8=2a 5=2π3,所以cos(a 2+a 8)=cos2π3=-12,故选A. 2.在等差数列{a n }中,已知a 3+a 8=10,则3a 5+a 7=( ) A .10 B .18 C .20D .28解析:选C 由等差数列的性质得:3a 5+a 7=2a 5+(a 5+a 7)=2a 5+(2a 6)=2(a 5+a 6)=2(a 3+a 8)=20,故选C.[典例] (1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数. (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. [解] (1)设这三个数依次为a -d ,a ,a +d ,则⎩⎪⎨⎪⎧(a -d )+a +(a +d )=9,(a -d )a =6(a +d ), 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,d =-1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一:设这四个数为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d (公差为2d ), 依题意,2a =2,且(a -3d )(a +3d )=-8, 即a =1,a 2-9d 2=-8, ∴d 2=1,∴d =1或d =-1.又四个数成递增等差数列,所以d >0, ∴d =1,故所求的四个数为-2,0,2,4.法二:若设这四个数为a ,a +d ,a +2d ,a +3d (公差为d ), 依题意,2a +3d =2,且a (a +3d )=-8, 把a =1-32d 代入a (a +3d )=-8,得⎝⎛⎭⎫1-32d ⎝⎛⎭⎫1+32d =-8, 即1-94d 2=-8,化简得d 2=4,所以d =2或-2.又四个数成递增等差数列,所以d >0,所以d =2, a =-2.故所求的四个数为-2,0,2,4.[活学活用]已知成等差数列的四个数,四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列.解:设这四个数依次为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d (公差为2d ). 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a -3d )+(a -d )+(a +d )+(a +3d )=26,(a -d )(a +d )=40, 解得⎩⎨⎧a =132,d =32或⎩⎨⎧a =132,d =-32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?[解] 设从第一年起,第n 年的利润为a n 万元, 则a 1=200,a n +1-a n =-20(n ∈N *), ∴每年的利润构成一个等差数列{a n },从而a n =a 1+(n -1)d =200+(n -1)×(-20)=220-20n . 若a n <0,则该公司经销这一产品将亏损. ∴由a n =220-20n <0,得n >11,即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费________元.解析:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费.令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14 km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).答案:23.2层级一学业水平达标1.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20 D.24解析:选B因为数列{a n}是等差数列,所以a2+a10=a4+a8=16.2.在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为()A.5 B.6C.8 D.10解析:选A由等差数列的性质,得a1+a9=2a5,又∵a1+a9=10,即2a5=10,∴a5=5.3.下列说法中正确的是()A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列解析:选C因为a,b,c成等差数列,则2b=a+c,所以2b+4=a+c+4,即2(b+2)=(a+2)+(c+2),所以a +2,b +2,c +2成等差数列.4.在等差数列{a n }中,a 1=2,a 3+a 5=10,则a 7=( ) A .5 B .8 C .10D .14解析:选B 由等差数列的性质可得a 1+a 7=a 3+a 5=10,又a 1=2,所以a 7=8. 5.等差数列{a n }中, a 2+a 5+a 8=9,那么方程x 2+(a 4+a 6)x +10=0的根的情况( ) A .没有实根 B .两个相等实根 C .两个不等实根D .无法判断解析:选A 由a 2+a 5+a 8=9得a 5=3,∴a 4+a 6=6,方程转化为x 2+6x +10=0.因为Δ<0,所以方程没有实根.6.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________. 解析:设这三个数为a -d ,a ,a +d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a -d +a +a +d =9,(a -d )2+a 2+(a +d )2=59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =3,d =4或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,d =-4.∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1.∴它们的积为-21. 答案:-217.若a ,b ,c 成等差数列,则二次函数y =ax 2-2bx +c 的图象与x 轴的交点的个数为________.解析:∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c , ∴Δ=4b 2-4ac =(a +c )2-4ac =(a -c )2≥0.∴二次函数y =ax 2-2bx +c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案:1或28.已知等差数列{a n }满足a m -1+a m +1-a 2m -1=0,且m >1,则a 1+a 2m -1=________. 解析:因为数列{a n }为等差数列,则 a m -1+a m +1=2a m ,则a m -1+a m +1-a 2m -1=0可化为2a m -a 2m -1=0,解得a m =1,所以a 1+a 2m -1=2a m =2.答案:29.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+…+a 5=30,a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.解:法一:由等差数列的性质得a 1+a 11=2a 6,a 2+a 12=2a 7,…,a 5+a 15=2a 10.∴(a 1+a 2+…+a 5)+(a 11+a 12+…+a 15)=2(a 6+a 7+…+a 10).∴a 11+a 12+…+a 15=2(a 6+a 7+…+a 10)-(a 1+a 2+…+a 5)=2×80-30=130.法二:∵数列{a n}是等差数列,∴a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差数列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差数列.∴30+(a11+a12+…+a15)=2×80,∴a11+a12+…+a15=130.10.有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类影碟机,问去哪家商场买花费较少.解:设单位需购买影碟机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元,售价依台数n 成等差数列.设该数列为{a n}.a n=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式a n≥440,即800-20n≥440,得n≤18.当购买台数小于等于18台时,每台售价为(800-20n)元,当台数大于18台时,每台售价为440元.到乙商场购买,每台售价为800×75%=600元.作差:(800-20n)n-600n=20n(10-n),当n<10时,600n<(800-20n)n,当n=10时,600n=(800-20n)n,当10<n≤18时,(800-20n)n<600n,当n>18时,440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少,当购买10台时到两商场购买花费相同,当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.层级二应试能力达标1.已知等差数列{a n}:1,0,-1,-2,…;等差数列{b n}:0,20,40,60,…,则数列{a n +b n}是()A.公差为-1的等差数列B.公差为20的等差数列C.公差为-20的等差数列D.公差为19的等差数列解析:选D(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.2.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()A. 3 B.±3C.-33D.- 3解析:选D由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,∴a7=4π3.∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan 8π3=tan2π3=- 3.3.若方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m -n |=( )A .1 B.34 C.12D.38解析:选C 设方程的四个根a 1,a 2,a 3,a 4依次成等差数列,则a 1+a 4=a 2+a 3=2, 再设此等差数列的公差为d ,则2a 1+3d =2, ∵a 1=14,∴d =12,∴a 2=14+12=34,a 3=14+1=54,a 4=14+32=74,∴|m -n |=|a 1a 4-a 2a 3| =⎪⎪⎪⎪14×74-34×54=12.4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )A .1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 解析:选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4, 即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =3,3a 1+21d =4.解得⎩⎨⎧a 1=1322,d =766,则a 5=a 1+4d =6766, 故第5节的容积为6766升.5.已知{a n }为等差数列,且a 6=4,则a 4a 7的最大值为________.解析:设等差数列的公差为d ,则a 4a 7=(a 6-2d )(a 6+d )=(4-2d )(4+d )=-2(d +1)2+18,即a 4a 7的最大值为18.答案:186.已知数列{a n }满足a 1=1,若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ,a n +1n +1在直线x -y +1=0上,则a n=________.解析:由题设可得a n n -a n +1n +1+1=0,即a n +1n +1-a n n =1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式a nn =n ,所以a n =n 2.答案:n 27.数列{a n }为等差数列,b n =⎝⎛⎭⎫12a n ,又已知b 1+b 2+b 3=218,b 1b 2b 3=18,求数列{a n }的通项公式.解:∵b 1+b 2+b 3=⎝⎛⎭⎫12a 1+⎝⎛⎭⎫12a 2+⎝⎛⎭⎫12a 3=218,b 1b 2b 3=⎝⎛⎭⎫12a 1+a 2+a 3=18,∴a 1+a 2+a 3=3.∵a 1,a 2,a 3成等差数列,∴a 2=1,故可设a 1=1-d ,a 3=1+d , 由⎝⎛⎭⎫121-d +12+⎝⎛⎭⎫121+d =218,得2d +2-d =174,解得d =2或d =-2.当d =2时,a 1=1-d =-1,a n =-1+2(n -1)=2n -3; 当d =-2时,a 1=1-d =3,a n =3-2(n -1)=-2n +5.8.下表是一个“等差数阵”:ij (1)写出a 45的值;(2)写出a ij 的计算公式,以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置. 解:通过每行、每列都是等差数列求解. (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数.先看第1行,由题意4,7,…,a 15,…成等差数列, 公差d =7-4=3,则a 15=4+(5-1)×3=16. 再看第2行,同理可得a 25=27.最后看第5列,由题意a 15,a 25,…,a 45成等差数列,所以a 45=a 15+3d =16+3×(27-16)=49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4,公差为3的等差数列a 1j =4+3(j -1); 第2行是首项为7,公差为5的等差数列a 2j =7+5(j -1); …第i 行是首项为4+3(i -1),公差为2i +1的等差数列, ∴a ij =4+3(i -1)+(2i +1)(j -1) =2ij +i +j =i (2j +1)+j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置,也就是要找正整数i ,j ,使得i (2j +1)+j =2 017, ∴j =2 017-i 2i +1.又∵j ∈N *,∴当i =1时,得j =672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列.。

等差数列及前n项和公式

等差数列及前n项和公式

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【思路启迪】 (1)可利用定义证明 bn-bn-1(n≥2)为常数 来证明数列 {bn}是等差数列. (2)通过{bn}是等差数列,求得{an}的通项,然后从函数的 观点解决数列的最大项和最小项的问题.
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答案:B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3.(2012 年辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 该数列前 11 项和 S11= A.58 C.143 B.88 D.176 ( )
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答案:20
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(对应学生用书 P123)
1.等差数列的判定通常有两种方法: 第一种是利用定义,an -an-1 =d(常数)(n≥2) ,第二种是 利用等差中项,即 2an=an+1+an-1(n≥2).
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如果
a+b A= 2
,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
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数学(文)
4.等差数列的前 n 项和 (1)公式的推导: 等差数列的前 n 项和公式是用倒序相加法 求得的.
na1+an (2)等差数列{an}的前 n 项和公式:Sn= = 2 nn-1d na1+ . 2

如何证明等差数列的方法

如何证明等差数列的方法

如何证明等差数列的方法要证明等差数列的方法是数学中一个重要的知识点。

等差数列具有一定的结构和特性,公式可以帮助我们更容易地证明等差数列。

本文将详细地介绍如何证明等差数列的具体方法,这对于掌握等差数列的概念及其应用有很大的帮助。

首先,我们需要先了解等差数列的定义及其特点。

等差数列是指首项、公差全都相同的一组数字组成的数列,每一项与直接前项之差是一个常数,叫做公差。

一般可以用如下形式表示:an = a1 + (n-1)d其中,a1是等差数列的第一项,d是公差,n是任意整数,an表示等差数列的第n项。

因此,一个等差数列可以表示如下:a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,…,an。

等差数列的具体特征有以下几点:1、任意一项减去它的前一项等于公差d;2、每一项与前项的和等于它的后项;3、任意一项与它的后项的差等于公差d;4、任意两项的积等于它们相邻三项的积。

接下来,我们来看看如何证明等差数列:1、比较邻项差等于公差:即将每一项减去前一项,看看结果是否相等;2、使用奥卡姆剃刀原理:若给定一组数,它们的三项之积与两项之积相等,则称它们符合等差数列的性质;3、用公式法:可以用上面提到的an = a1 + (n-1)d的公式进行推导。

首先,将a1代入公式,得到a2 = a1+d;由此可以得出a3 = a1 + 2d,继续这样做,可以得出结果:an = a1 + (n-1)d,显然,前面的数都相等,差值都为公差d,故该数列为等差数列。

最后,常用公差求和公式来求出等差数列的和。

总和=(首项+末项)×总项数÷2。

综上所述,要证明等差数列,可以从比较邻项差等于公差、使用奥卡姆剃刀原理和用公式法等方法去判断。

本文所介绍的方法,只要深入了解,在学习中就可以熟悉掌握。

总之,在研究等差数列的时候,要熟悉常用的式子及其证明方法,只有这样才能得到正确的结果。

归纳等差数列与等比数列中二级结论

归纳等差数列与等比数列中二级结论

归纳等差数列与等比数列中二级结论一、等差数列常见结论1、判断给定的数列{}n a 是等差数列的方法(1)定义法:1n n a a d +-=是常数*()n N ∈⇔数列{}n a 是等差数列;(2)通项公式法:(,)n a kn b k b =+是常数⇔数列{}n a 是等差数列;(3)前n 项和法:数列{}n a 的前n 项和 222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ⇔数列{}n a 是等差数列;(4)等差中项法:*212()n n n n N a a a +++=∈⇔数列{}n a 是等差数列;2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式:*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈*(,,)n m a a d n m N n m n m-⇒=∈≠-; 3、若A 是a 与b 的等差中项2A a b ⇔=+4、列{}n a ,{}n b 都是等差数列且项数相同,则{},{},{},{}n n n n n n n kb a b a b pa qb +-+都是等差数列;5、数列{}n a 中,若项数成等差数列,则对应的项也成等差数列;6、数列{}n a 中,隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列;7、若数列{}n a 是等差数列,且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+,反之也成立;当p q =时,2m n p a a a +=,即p m n a a a 是和的等差中项;8、若数列{}n a 是等差数列的充要条件是前n 项和公式()n S f n =,是n 的二次函数或一次函数且不含常数项,即222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ;9、若数列{}n a 的前n 项和2(,)n An Bn C A B s =++≠是常数,C 0,则数列{}n a 从第二项起是等差数列;10、若数列{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,则{}n S n 也是等差数列,其首项和{}n a 的首项相同,公差是{}n a 公差的12;11、若数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,其前n 项和分别为,n n S T ,则2121n n n n a S b T --=; 12、若三个数成等差数列,则通常可设这三个数分别为,,x d x x d -+;若四个数成等差数列,则通常可设这四个数分别为3,,,3x d x d x d x d --++;13、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且234,,,m m m m S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为数列{}n a 的前m 项,2m 项,3m 项,4m 项,……的和,则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等差数列(等差数列的片段和性质);14等差数列{}n a 中,若项数n 为奇数,设奇数项的和和偶数项的和分别为S S 奇偶,,则11S n S n +=-奇偶;若项数n 为偶数,221nn a S S a =+奇偶; 15、在等差数列{}n a 中,若公差0d >,则等差数列{}n a 为递增数列;若公差0d <,则等差数列{}n a 为递减数列;若公差0d =,则等差数列{}n a 为常数列;16.有关等差数列{}n a 的前n 项和为n S 的最值问题:(1)何时存在最大值和最小值①若10,0a d ><,则前n 项和为n S 存在最大值②若10,0a d <>,则前n 项和为n S 存在最小值(2)如何求最值①方法一:(任何数列都通用)通过100n n a a +≥⎧⎨≤⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最大值;通过100n n a a +≤⎧⎨≥⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最小值; ②方法二:利用等差数列前n 项和n S 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0(若为一次函数,数列为常数列,则前n 项和n S 不存在最值),利用二次函数求最值的方法进行求解;有以下三种可能:若对称轴n 正好取得正整数,则此时n 就取对称轴;若对称轴不是正整数,而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值,则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数;若对称轴即不是正整数,又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值,则n 就取靠近对称轴的那个正整数;17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题,对于1,,,,n n a n S a d 这五个量,知任意三个可以求出其它的两个,即“知三求二”二、【等比数列】中的二级结论1、对等比数列定义的理解(1)是从第二项开始,每一项与前一项的比(2)每一项与前一项的比试同一个常数,且这个常数不为0(3)等比数列中任何一项都不为0(4)符号语言的描述:若数列{}n a 中满足1n n a q a +=(不为0的常数),则数列{}n a 为等比数列;2、当且仅当两个数a 和b同号是才存在等比中项,且等比中项为G =3、若,,a G b 成等比数列,则2G ab =4、判断给定的数列{}n a 是等比数列的方法(1)定义法:1n na q a +=(不为0的常数)⇔数列{}n a 为等比数列; (2)中项法:221n n n a a a ++=⇔数列{}n a 为等比数列;(3)前n 项和法:数列{}n a 的前n 项和=A-Aq nn S (A 是常数,0,0,1A q q ≠≠≠)⇔数列{}n a 为等比数列;5、等比数列通项公式的推广:若{}n a 为等比数列,则*(,)n m n m a a q n m N -=∈6、若数列{}n a 是等比数列,且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+,则m n p q a a a a =,反之也成立;当p q =时,2m n p a a a =,即p m n a a a 是和的等比中项;7、等比数列{}n a 中,若项数成等差数列,则对应的项也等比数列;8、等比数列{}n a 中,隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列;9、若数列{}n a ,{}n b 都是等比数列且项数相同,则2{}(0),{},{}{}n n n n n na ka k ab a b ≠,都是等比数列; 10、若等比数列{}n a 的公比q 为参数,则在求前n 项和n S 时应分1q =和1q ≠两种情况讨论,即111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩;当1q ≠时1(1)(,0,0,1)1n n a S A q A A q q q=-=≠≠≠- 11、若三个数成等比数列,通常可设这三个数分别为,,x x xq q ; 12、(等比数列的片段和性质)公比不为1-的等比数列{}n a 前n 项和为n S ,则232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列;13、用方程思想处理等比数列相关参数问题,对于1,,,,n n a n S a q 这五个量,知任意三个可以求出其它的两个,即“知三求二”;三、等差与等比数列综合二级结论1、若正项数列{}n a 为等比数列,则数列{log }an a 为等差数列; 2、若数列{}n a 为等差数列,则数列{}n a b 为等比数列; 3、任意两数,a b 都存在等差中项为2a b +,但不一定都存在等比中项,当且仅当,a b 同号时才存在等比中项为4、任意常数列都是等差数列,但不一定都是等比数列,当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列;。

等差数列

等差数列
等差数列
观察下列数列各项间的关系,找出规律, 填补空缺项,使之符合原来的规律:
① 50, (48), 46, 44, 42, 40.
1 ② 21, 21 2
1 1 22,22 , (23),23 , 2 2
24, …
③ 1, 1, ( 1 ), 1, 1, 1, 1, … ④ 3, 0, -3, -6, (-9), -12, …
自测自评
等差数列{an}中 ①已知a1 =2,d=3,n=10,求 an ②已知d = - 0.5,a7 =8,求 a1 ③已知a1 = 12,a6 = 27,求 d ④已知a1 = 3,an = 21,d = 2,求n ①a10 =29 ②a1 = 11 ③d=3 ④n=10
通项公式an a1 (n 1 )d中 已知a1,an,n,d中任意三个,可求另外 一个
①. 9 ,7,5,3,……, -2n+11, ……; ②. -1,11,23,35,……,12n-13,……; ③. 1,2,1,2,………………;
√ √
×
× √
④. 1,2,4,6,8,10, ……;
⑤. a, a, a, a, ……, a,…… ;
性质一
已知等差数列{an}中,am、公差d 是常数,试求出
A-a=b-A

ab A= 2
这时,A就称为a与b的等差中项.
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a 等于( B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
提示1:
2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)
性质3
自主探究三 等差数列的性质 数列an 是等差数列,m, n, p, q N , 且m n p q,

数列与等差数列综合(有答案精品绝对好)【精选】

数列与等差数列综合(有答案精品绝对好)【精选】

数列的概念与等差数列综合(131025)一.等差数列的有关概念:(1)等差数列的判断方法:定义法1(n n a a d d +-=为常数)或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

例1.设是等差数列,求证:以b n =, *n N ∈为通项公式的数列{b n }为等差数列。

{}n a na a a n +++ 21(2)等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

例2.(1)等差数列{}n a 中,1030a =,2050a =,则通项n a = (2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______(3)等差数列的前n 项和:1()2n n n a a S +=,1(1)2n n n S na d-=+。

例3.(1)数列中,*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈,32n a =,前n 项和152n S =-,则1a =_,n =_{}n a (2)已知等差数列{a n }中,S 3=21,S 6=64,求数列{|a n |}的前n 项和T n .(4)等差中项:若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且2a b A +=。

提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。

(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d );偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(公差为2d )例4.四个数成等差数列,这四个数的平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求此四个数。

等差数列判定方法

等差数列判定方法

等差数列判定方法等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。

判定一个数列是否为等差数列,可以通过以下几种方法进行判断。

方法一:观察法最直观的判断等差数列的方法是观察数列中相邻两项之间的差值。

如果这些差值是恒定的,那么数列就是等差数列。

例如,给定一个数列:3, 5, 7, 9, 11。

我们可以观察到,相邻两项之间的差值恒为2,因此可以判断该数列是一个等差数列。

方法二:通项公式法等差数列的通项公式可以写作:an = a1 + (n-1)d,其中an表示数列的第n项,a1为数列的首项,d为数列的公差,n为项数。

通过使用通项公式,我们可以计算出数列中任意一项的值。

如果计算出来的值与数列中对应的项相等,那么可以判断数列是等差数列。

例如,给定一个数列:1, 4, 7, 10, 13。

我们可以使用通项公式计算出第2项、第3项和第4项的值:a2 = a1 + (2-1)d = 1 + 3 = 4,a3 = a1 + (3-1)d = 1 + 6 = 7,a4 = a1 + (4-1)d = 1 + 9 = 10。

可以发现计算出的值与数列中对应的项完全相等,因此可以判断该数列是一个等差数列。

方法三:差值相等法通过计算数列中相邻三项之间的差值,如果这些差值相等,那么可以判断数列是等差数列。

例如,给定一个数列:2, 5, 8, 11, 14。

我们可以计算出相邻三项之间的差值:5 - 2 = 3,8 - 5 = 3,11 - 8 = 3,14 - 11 = 3。

可以发现这些差值相等,因此可以判断该数列是一个等差数列。

方法四:附加项法如果给定的数列中有一个或多个附加项,可以将这些附加项去除,判断剩余的数列是否为等差数列。

例如,给定一个数列:1, 2, 4, 7, 11。

我们可以观察到数列中的附加项为4和7,将这两项去除后得到数列:1, 2, 11。

通过使用方法二或方法三的判定方法,可以判断剩余的数列是一个等差数列,因此可以得出原数列也是等差数列。

等差数列的概念与等差数列的通项公式高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)

等差数列的概念与等差数列的通项公式高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)

4.2.1&4.2.2 等差数列的概念与等差数列的通项公式一、等差数列的定义1、文字语言:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.2、符号语言:若()12n n a a d n --=≥,则数列{}n a 为等差数列(通常可称为AP 数列) 【注意】(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合. (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了:①作差的顺序; ②这两项必须相邻.(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式已知等差数列{}n a 的首项为a 1,公差为d ,则通项公式为:()()11n a a n d n N *=+-∈等差数列通项公式的推导过程:如果等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,根据等差数列的定义得到:21a a d -=,32a a d -=,43a a d -=,…所以21a a d =+,32112a a d a d d a d =+=++=+, 431123a a d a d d a d =+=++=+, ……由此归纳出等差数列的通项公式为()11n a a n d =+-. 2、等差中项如果三个数a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 这三个数满足的关系式是A =a +b2. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法1、定义法:1n n a a d +-=(常数)()n N *∈⇒{}n a 是等差数列;2、中项法:122n n n a a a ++=+()n N *∈⇒{}n a 是等差数列;3、通项公式法:n a kn b =+(k ,b 为常数){}n a ⇒是等差数列。

等差数列四种判定方法

等差数列四种判定方法

等差数列四种判定方法等差数列是数学中的一个重要的概念,在高中数学中也经常涉及到。

在判断等差数列的时候,常常有四种方法。

这篇文章将为大家介绍等差数列的四种判定方法,分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

掌握这些方法,可以更加准确的判断一个数列是否为等差数列。

一、通项公式等差数列通项公式为:an = a1 + (n - 1)dan表示第n项,a1表示第一项,d表示公差。

在使用通项公式判断等差数列时,可以先求出前几项的值,然后利用通项公式求出后面的项,再与实际值进行比较,判断是否为等差数列。

已知一个数列的前五项为1、3、5、7、9,要判断它是否为等差数列。

首先可以看出,这个数列的公差为2,于是可以利用通项公式求出后面的项:a6 = a1 + (6 - 1)d = 1 + 5 × 2 = 11将求得的a6、a7与实际值比较,发现它们与数列中的后两项9、11并不相等,因此这个数列不是等差数列。

二、公差公差是等差数列中相邻两项之差的固定值。

在判断一个数列是否为等差数列时,可以先求出前两项的差,然后比较后面各项之间的差,看是否相等。

如果相等,则说明这个数列是等差数列。

然后比较后面各项之间的差:a3 - a2 = 2发现它们之间的差都是2,因此这个数列是等差数列。

三、前两项差总结等差数列的判定方法有四种,分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

不同的方法在不同的情况下使用,可以选择合适的方法进行判断。

在求等差数列的和、第n项等问题时,也可根据不同的情况选择不同的方法求解。

除了判定等差数列的四种方法以外,还有一些其他的相关内容需要了解。

一、等差数列的求和公式对于一个等差数列a1,a2,……,an,它们的和Sn可以通过下列公式求得:Sn = (a1 + an)×n/2a1为数列的首项,an为数列的末项,n为数列的项数。

应用等差数列求和公式可以快速计算等差数列的和,节省手工计算的时间。

已知一个等差数列的首项a1为1,公差d为2,项数n为10,要求这个数列的和。

等差数列、等比数列、求通项方法、求和方法总结

等差数列、等比数列、求通项方法、求和方法总结

等差数列1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

例:等差数列12-=n a n ,=--1n n a a 2、等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-;说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性:d 0>为递增数列,0d =为常数列,0d < 为递减数列。

例:1.已知等差数列{}n a 中,12497116a a a a ,则,==+等于( ) A .15 B .30 C .31 D .642.{}n a 是首项11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 (A )667 (B )668 (C )669 (D )6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ,则n a 为 n b 为 (填“递增数列”或“递减数列”)3、等差中项的概念:定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a bA += a ,A ,b 成等差数列⇔2a bA +=即:212+++=n n n a a a (m n m n n a a a +-+=2) 例:1.设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++= ( )A .120B .105C .90D .752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( ) A .1 B.2 C.4 D.84、等差数列的性质:(1)在等差数列{}n a 中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列{}n a 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列{}n a 中,对任意m ,n N +∈,()n m a a n m d =+-,n ma a d n m-=-()m n ≠;(4)在等差数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; 5、等差数列的前n 和的求和公式:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da )(2n 2112-+=。

高中数学讲义:等差数列性质

高中数学讲义:等差数列性质

等差数列性质一、基础知识:1、定义:数列{}n a 若从第二项开始,每一项与前一项的差是同一个常数,则称{}n a 是等差数列,这个常数称为{}n a 的公差,通常用d 表示2、等差数列的通项公式:()11n a a n d =+-,此通项公式存在以下几种变形:(1)()n m a a n m d =+-,其中m n ¹:已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式(2)n ma a d n m -=-:已知等差数列的两项即可求出公差,即项的差除以对应序数的差(3)11n a a n d-=+:已知首项,末项,公差即可计算出项数3、等差中项:如果,,a b c 成等差数列,则b 称为,a c 的等差中项(1)等差中项的性质:若b 为,a c 的等差中项,则有c b b a -=-即2b a c =+(2)如果{}n a 为等差数列,则2,n n N *"³Î,n a 均为11,n n a a -+的等差中项(3)如果{}n a 为等差数列,则m n p q a a a a m n p q+=+Û+=+注:①一般情况下,等式左右所参与项的个数可以是多个,但要求两边参与项的个数相等。

比如m n p q s +=++,则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。

例如:478920a a a a +++=,可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==,即可得到75a =,这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系:()111n a a n d d n a d =+-=×+-,所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数,从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。

例如:0d >,{}n a 递增;0d <,{}n a 递减。

数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案理

数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案理

6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1。

等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的 ,公差通常用字母d 表示。

数学语言表示为a n+1-a n =d (n ∈N +),d 为常数。

(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是 ,其中A 叫作a ,b 的 .(3)等差数列{a n }的通项公式:a n = ,可推广为a n =a m +(n —m )d.(4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (n1+n n )2=na 1+n (n -1)2d.2。

等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)a n =a 1+(n-1)d 可化为a n =dn+a 1—d 的形式。

当d ≠0时,a n 是关于n 的一次函数;当d 〉0时,数列为递增数列;当d 〈0时,数列为递减数列。

(2)数列{a n }是等差数列,且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)。

1.已知{a n }为等差数列,d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1)在等差数列{a n }中,当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N+)。

特别地,若m+n=2p,则2a p=a m+a n(m,n,p∈N+)。

(2)a k,a k+m,a k+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N+)。

(3)S n,S2n-S n,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d. (4)若{a n},{b n}是等差数列,则{pa n+qb n}也是等差数列.(5)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(a n+a n+1);S偶—S奇=nd;S奇S偶=a na n+1。

(6)若项数为奇数2n—1,则S2n-1=(2n—1)a n;S奇-S偶=a n;S奇S偶=nn-1。

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知识点归纳
判断或证明数列是等差数列的方法有:
()1定义法:1n n a a +-=常数(*n N ∈)⇔{}n a 为等差数列;
【注】①求出的常数即为公差d ;
②n 的范围,1,n n n N a a *
+∈- 12,n n n a a -≥-
()2中项公式法:122n n n a a a ++=+(*n N ∈)⇔{}n a 为等差数列;
()3通项公式法:n a pn q =+(*n N ∈)
n (关于的“一次函数”)⇔{}n a 为等差数列; ()4前n 项求和法:2n S An Bn =+(*n N ∈)
(缺常数项的“二次函数”)⇔{}n a 为等差数列;
例1 ()1在数列{}n a 中,111
1,22,2n
n
n n n n a a a a b +-==+=
,证明:数列{}n b 是等差数列. ()2已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且1120n n n n S S S S ---+⋅=()2n ≥,
证明:1n S ⎧⎫

⎬⎩⎭
为等差数列.
例2 已知正项数列}{n a ()
,0n n N a *∈>的前n 项和为n S ,满足1n a =+, 求证: {}n a 为等差数列. 例
3
已知数列}{n a 的通项公式是21n
n a =-,若数列
{}
n b 满足
()121114441n n b
b b b n a ---=+L (n N *∈),证明: {}n b 是等差数列.
练习:
1. 已知数列{}n a 是等差数列,则使{}n b 为等差数列的数列是( ) (A )n n a b = (B )n
n a b 1= (C )n n a b -= (D )2
n n a b =
2. 已知为等差数列{}n a 的前项和,. 求证:数列是等差数列.
3. 设为数列{}n a 的前项和,, ⑴求常数的值;
⑵求证:数列是等差数列.
4. 已知函数()31
x
f x x =
+,数列{}n a 满足11a =,()1()*n n a f a n N +=∈ 求证:数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列
5. 已知数列}{n a 中,13
5
a =
,数列112n n a a -=-,()2,*n n N ≥∈,数列{}n b
满足1
1
n n b a =
-(*n N ∈). ()1求证:数列{}n b 是等差数列;
()2求数列}{n a 的最大项与最小项,并说明理由.
6. 已知数列{a n },a 1=1,a n =λa n -1+λ-2(n ≥2).当λ为何值时,数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列,并求其通项公式
7.
8.
9. 10. 11.
12.
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的正整数n 都有2
)
(1n n a a n S += 证明:{a n }是等差数列.
设{}n a 是等差数列,求证:以b n =n
a a a n
+++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为
等差数列。

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