3.如何判断一个数列是等差数列

知识点归纳
判断或证明数列是等差数列的方法有：
()1定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；
【注】①求出的常数即为公差d ;
②n 的范围,1,n n n N a a *
+∈- 12,n n n a a -≥-
()2中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；
()3通项公式法：n a pn q =+（*n N ∈）
n （关于的“一次函数”）⇔{}n a 为等差数列； ()4前n 项求和法：2n S An Bn =+（*n N ∈）
（缺常数项的“二次函数”）⇔{}n a 为等差数列；
例1 ()1在数列{}n a 中,111
1,22,2n
n
n n n n a a a a b +-==+=
,证明:数列{}n b 是等差数列. ()2已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1120n n n n S S S S ---+⋅=()2n ≥，
证明:1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列.
例2 已知正项数列}{n a ()
,0n n N a *∈>的前n 项和为n S ,满足1n a =+, 求证: {}n a 为等差数列. 例
3
已知数列}{n a 的通项公式是21n
n a =-,若数列
{}
n b 满足
()121114441n n b
b b b n a ---=+L (n N *∈),证明: {}n b 是等差数列.
练习:
1. 已知数列{}n a 是等差数列，则使{}n b 为等差数列的数列是( ) （A ）n n a b = （B ）n
n a b 1= （C ）n n a b -= （D ）2
n n a b =
2. 已知为等差数列{}n a 的前项和，. 求证：数列是等差数列.
3. 设为数列{}n a 的前项和，， ⑴求常数的值；
⑵求证：数列是等差数列.
4. 已知函数()31
x
f x x =
+，数列{}n a 满足11a =，()1()*n n a f a n N +=∈ 求证：数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列
5. 已知数列}{n a 中，13
5
a =
，数列112n n a a -=-,()2,*n n N ≥∈,数列{}n b
满足1
1
n n b a =
-（*n N ∈）. ()1求证：数列{}n b 是等差数列；
()2求数列}{n a 的最大项与最小项，并说明理由.
6. 已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式
7.
8.
9. 10. 11.
12.
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n 都有2
)
(1n n a a n S += 证明:{a n }是等差数列.
设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n
a a a n
+++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为
等差数列。