高等数学(一)
高等数学 (一)
高等数学= = = = = = = = = = = = 骨头= = = = = = = = = = = = 对象：函数方法：极限思想：以不变代替变消除误差取极限内容：微积分（1）一元函数微积分||空无穷级数|间他们的应用|解|析常微分方程|（2）多元函数微积分（一）一元函数微积分：（1）微分学：函数、极限、连续；导数、微分----中值定理（4个；证明题）----（导数与微分的应用）（2）积分学：不定积分；定积分；定积分的应用↓维数↓增加↓（二）多元函数微积分（1）微分学：函数、极限、连续；偏导、全微分；应用（极值）（2）积分学：****；重积分（二重积分；3重积分、线积分和面积分<数一>）；应用注意：一元函数微积分与多元函数微积分之间的联系和差别肉一、函数1.概念X↔I→→f→→y↔Rf(x)注意：（1）定义域（3点：0不能做除数、负数不能开平方、0和负数不能有对数）（2）函数的表达式与自变量的表示符号无关：y=f（x）与y=f（t）相同（函数关系不变）（3）由实际问题所建立的函数（极限的定义域；导函数的定义域；幂级数的和函数的表达式与定义区间）需要自己建立函数关系确定函数的定义域，根据实际问题<后面加>2.函数的特性（1）奇偶性（从定义来理解和证明应用）f(-x)=f(x)，偶图形关于y轴对称[（y，-x ）>>（y，x）；y1=y2时候x1+x2=0且x1+x2=0时候y1=y2]f（-x）=-f（x），奇图形关于原点对称 [（y，-x ）>>（-y，x）；y1+y2=0时x1+x2=0且x1+x2=0时y1+y2=0] 注意：①奇偶函数运算：两个偶函数的和、差、积为偶函数奇函数与偶函数的积为奇函数两个奇函数的积为偶函数任何一个函数都可以写成一个奇函数和偶函数的和f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]奇偶性在求导积分中的应用（后讲）②周期性f(x+T)=f(x),f(x)以T为周期注意：周期性在求导、函数特性、积分中的应用（画图中的应用）周期性与奇偶性都只能通过定义证明③增减性若x1，x2↔I，x1<x2有f（x1）<f（x2）或者f（x1）>f（x2）则f（x）在I区间内严格单调增或者减注意：（1）在证明不等式的时候常遇到<=或>=，称为不减或者不增，考点也属于增减性（2）函数的增减性与讨论的区间有关（题型：确定函数的增减区间；例如y=x^2）增减区间的交换点，极值（导数值为零）（3）增减性由导数的符号判定（微分学的应用之一）（4）增减性是证明不等式的一个重要工具（后讲）④有界性假定y=f(x)，x↔I,存在M>0，对所有|f(x)|<=M成立则称f（x）有界图形-有界：有上下界注意：（1）有上界（单调减 , f（x）<=M有下界（单调增 , f（x）>=-M（2）有界性与讨论的区间有关（3）有界的讨论与极值有关（后讲）3.函数的分类（1）反函数y=f(x)→x=f^-1(y)条件：单调注意：y=f（x），x=f^-1(y) 代表同一条曲线（图形相同）y=f（x）与y=f ^-1（x）关于一三象限对称（2）基本初等函数①幂函数②指数函数（双曲函数）③对数函数④三角函数⑤反三角函数要求：对这五类基本函数的定义域、值域、特性要非常清楚（1-2，28Min-32Min）(3)复合函数y=f(u),u=w(x)y=f[w(x)]u的值域↔y的定义域注意：①并非所有函数都可以复合②考研：一拆多（4）初等函数经过有限次的四则运算或复合得基本初等函数（5）参数方程{X=x（t）Y=y（t）}得到y=y（x）（6）隐函数F（x，y）=0（易于理解函数，或者难用x表现y或者y表示x<求解函数时使用>）实际上是复合函数(7)分段函数①y=f(x)={f(x),x<=0-f(x),x>0} ②y=|f(x)|③ y=max[f(x),g(x)] x ↔(a,b)真正讨论时需要转化为①类讨论（1-2,41Min-43Min ） ④y=[f(x)]取整函数（1-2，44Min-45Min ）二、极限 1.定义：数列的极限（ε-N 语言）0X Xon lim ()()U Xo ()lim ()()123lim(....)1/2*(1)/^21/2^2^2^2^2lim ()lim ()11sin lim ()()x x f x A f x f x f x f xo n n n n n n n n f x g x x xf xg x →→→∞=∃∞++++=+=⇒若存在，则（）使其内，有界与无关函数的极限（ε-δ语言）lim 00,|f(X)-A|<X XoXn A εδδε→=⇔∀>∃>使0<|X-Xo|<时注意：ε是任给的，N 、δ是存在的但不唯一 δ=δ（a ），N= N （ε）lim 00,n>N |Xn-A|>=x Xn A N εε→∞≠⇔∃>∀>使时（1）极限的结构极限{变化过程，对自变量来讲（自变量的变化过程，δ、N ）； 变化趋势，对函数而言，ε}（1-3，13Min-19Min ） （2）单边极限（分段函数；函数极限） 左极限0(0)lim ()X Xof f x x -→-=右极限0(0)lim ()X Xof f x x+→+=000lim ()(0)(0)X X f x A f f A x x →=⇔-=+=lim ()()lim ()()lim ()()()()()X X X f x f f x f f x f f A f f A→-∞→+∞→∞=-∞=+∞=∞∞=⇔+∞=-∞=2.极限的性质（1）唯一性（2）局部保号性（极限大于零则函数大于零<局部内>；1-3，30Min-35Min ） 注意：0X Xo()()0(0),lim ()A>=0f x f x f x A x x →><=若在=及其附近有定义，且存在，则（3）局部有界性（有极限的函数必有界<局部内>）lim ()U Xo ()x x f x A f x →=∃若存在，则（）使其内，有界注意：上述性质对x →∞也成立，U （Xo ）→|X|充分大3.极限的判别准则（1）单调有界数列必有极限（1-4，8-10MIN ） 注意：单调增有上界 ⇒ 极限存在 单调减油下界 ⇒ 极限存在数列的极限与前有限项无关 X Xolim ()()f x f xo →与无关4.极限的四则运算和差积商的极限与极限的和差积商相等 注意：（1）参加运算的极限只有有限次，且每一项的极限都存在n 123lim(....)1/2*(1)/^21/2^2^2^2^2n n n n n n n n →∞++++=+= （2）极限的和差①lim ()f x 存在，lim ()g x 不存在⇒lim(()())f x g x ±不存在 ②lim ()f x 不存在，lim ()g x 不存在⇒lim(()())f x g x ±有可能存在 ③lim ()f x 存在，lim(()())f x g x ±也存在⇒lim ()g x 存在注意：上述三条在反常积分、无穷级数中的应用 （2）极限的乘积若lim ()f x 存在，lim ()g x 不存在(其中一个极限为0)或lim ()f x 不存在，lim ()g x 也不存在（ 101010101…与010*******…） 但lim ()()f x g x 都有可能存在5.无穷大，无穷小lim ()f x =0 ，()f x 无穷小 lim ()g x =∞，()g x 无穷大注意：① 无穷大于无穷小与过程有关② 同一过程下，无穷大与无穷互为倒数，0除外③ 无穷大属于极限不存在的情况下（也就是说极限的四则运算不适用于无穷大）④ 无穷大一定是无界的，无界不一定是无穷大（如y=11sin x x）(1-4,31-36Min ） 6.无穷小的比较不同的函数趋向于0的速度不一样 （1）假设lim α（x ）=0；lim β（x ）=0 若lim α（x ）/ β（x ）=∂∂≠0的常数，则α（x ）与β（x ）同介 ∂=1，则α（x ）与β（x ）等价表示为则α（x ）～β（x ） （2）反身性；传递性① α（x ）～α（x ）② α（x ）～β（x ）⇔β（x ）～α（x ）③ α（x ）～β（x ），β（x ）～λ（x ）⇔α（x ）～λ（x ） （3）若limf （x ）/g （x ）=a a=0，f （x ）比g （x ）高阶 表示为f （x ）=0（g （x ））（4）∂=∞，f （x ）比g （x ）低阶注意：①若lim f （x ）/ g （x ）=a ≠0 则称f （x ）是 g （x ）的K 阶无穷小 ②limf （x ）=A ⇔f （x ）=A+α 其中lim α（x ）=0③常利用无穷小的等价函数求极限7.两个重要的极限（1）0sin lim 1x x x →=（通过图形证明）002(sin )^21cos 12lim lim .1/2^24()^22x x x x x x →→-==2222111cos 112.lim cos 12000n lim(lim lim ()()lim ()lim ()()lim 0y lim lim (0)!lim n cos )(1cos 1)x x x x x x x x x x nn n n x xx f x f f x Xo Xo Xo f x f XnYn a n x x x x a y αβλ→----→→→→→→∞→∞→∞→∞∂℘∈∃∀====⇔====>+- （1）f(Xo)有定义（2）存在（3）求222111( (12)n n n +++++推广型-（第一种重要极限的求极限法：配分母）： lim （*）=0则lim[sin （*）/（*）]=1如002(sin )^21cos 12lim lim .1/2^24()^22x x x x x x →→-==（2-1,18-19Min ） 注意：x →0时，sinx ～x 1-cox ～1/2x^2 tanx ～x （2）10limlim 1(1)(1)xxx x x x→→∞==++推广型-（第二种重要极限的求极限法：拆底数-配指数）:lim （*）=0lim （1+*）^1/*=0 例：2222111cos 112.lim cos 120lim(lim cos )(1cos 1)x x x x x x x x x x x →----→→===+- (2-1，24-25Min)极限的计算方法：四则运算，等价无穷小代换，求极限的两个方法三、连续1.定义 等价定义定义1：设f （x ）在Xo 及其附近有定义△X →y 的增量△y=f （Xo+△X ）- f （Xo ）若00lim ,f x x x x y o ∆→∆=则称（）在=点连续定义2：0lim ()(),()x x x x f x f f x x →=若则称在=点连续（极限值等于函数值）注意：①0lim ()(),()x x x f x f f x Xox -→=若则称在=点左连续若f （Xo+0）=f （Xo ）0()x x f x 则称在=点右连续② 若f （x ）在（a ，b ）内点点都连续，则称f （x ）在（a ，b ）内连续③ 若f （x ）在（a ，b ）内连续，在x=a 点右连续，在x=b 左连续，则称f （x ）在[a ，b]上连续2.连续函数的运算（连续是由极限定义的，因此极限的运算法则可以用在连续上）（2-1,38Min ）注意：基本初等函数在定义域内连续 初等函数在定义区间内连续例：y=arcsin （x^2+1）在x=0点不连续但有定义，因为x=0点附件没有定义 3.间断点00lim ()()lim ()lim ()()x x x f x f f x f x f Xo Xo Xox x →→→=⇔=（1）f(Xo)有定义（2）存在（3）存在定义：若f （x ）在Xo 点，上述三条至少有一条不成立，则称x=Xo 为f （x ）的间断点 注意：间断点的分类 （1）若f （Xo-0），f （Xo+0）都存在则称Xo 为第一类间断点 特例：f （Xo-0）=f （Xo+0）则称Xo 为可去间断点 f （Xo-0）≠f （Xo+0）则称Xo 为跳跃间断点 例1：y=f （x ）={sinx/x,x ≠0;2,x=0} 则x=0为可去间断点（若x=0时y=1，则函数连续） 例2：y=f （x ）={x+1,x<0;x-1,x>0}（x=0处无定义，函数不连续）则x=0为跳跃间断点（2）若f （Xo-0），f （Xo+0）至少有一类不存在则称Xo 为第二类间断点 例1：y=1/x 在x=0处为第二类间断点（无穷间断点）例2：y=sin （1/x ）在x=0点为第二类间断点（震荡型，图形） 注意：无穷间断点与求渐近线；反常积分中的应用例：y =1个，x=-1）（2-2,9-11Min ）4.闭区间上连续函数的性质设y=f （x ）在[a,b]上连续，则（1）y=f （x ）在[a,b]上必有最大值与最小值，即∃X1，X2∈ [a,b],∀x ∈ [a,b]有 f （x ）<=f （X2）（区间上的最大值）f （x ）>=f （X1）（去见上的最小值） 最大值最小值是唯一一个数，但是取得最大值最小值的点可以不止一个；最大值与最小值可以是同一个值，此时函数为常数 （2）介值定理f （x ）必取得最大值和最小值之间的一切值 注意：①闭区间上的连续函数一定是有界的②f （x ）在[a ，b]上连续，f （a ）f （b ）<0，则至少∃℘∈（a ，b ）使得f （℘）=0 例1：设Xn ，Yn 满足lim 0x XnYn →∞=则成立的是A 若Xn 发散，则Yn 必发散 Xn （010203…） Yn(000000…)B 若Xn 无界，则Yn 必有界 Xn （010203…） Yn(102030…)C 若Xn 有界，则Yn 必为无穷小 Yn （010203…） Xn (000000…)D 若1/ Xn 无穷小，则Yn 必为无穷小乘积的极限等于极限的乘积（2-2,31-34Min ） 例2：证明：limlim (0)!nn n n a n a y→∞→∞=>存在（2-2，36-41Min ）证明极限存在：单调有界（有递推关系的首先想到），加别定理(放大一下缩小一下，但是放大缩小后的极限要相同)例3：222n 111lim n(...)12nnnn→∞+++++求（2-2,43-44Min ）例4： 求极限 （1）limx （2-2,47-48Min ）注意：四则运算要求参与运算的极限都存在，因此本题的原型不能使用积商的极限等于极限的积商方法：遇到根号通常进行有理化 （2）3113lim()11x x x →---（2-2, 48-50Min ） 方法：无穷大减无穷大通常进行通分，然后再进行补充（化简） （3）练习x →例5：等价无穷小(2-3，5-7Min)A 1-()ln(1()10B C D +→-当x （）常用的三个等价无穷小1,,ln(1)(1)xx x x x x eαα-++答案：B 例6：已知极限求表达式里的一个常数（2-3，9-12Min ）011lim[()]1a A B C D xx a x xe →--=已知则为（）0（）1（）2（）3答案：C 例7：Xlim 8ax 2a x-ax →∞=+已知求（）现象-分析-方法：1的无穷次大，拆底数配指数 答案：a=ln2 注意：10011111 (i)...a a a a nn n n mm x n nxxx xb x b x b x b x ---→∞-++++++++要看其最高次={00a b,n=m ；∞,n>m;0,n<m} 例8：（2-3,18-23Min ）x sin 0(,0)a+ba xb a b --=>证明方程至少有一正根，且不大于现象-分析-方法：作左方看做函数→函数有零值→介值定理→零值定理 初等函数→连续不大于→≦→分类讨论 例9：（2-3,26-30Min ）()()lim ()()()x f x f x f x →∞-∞+∞-∞+∞设在，连续，且存在，证明在，有界闭区间上连续必有界，有极限的函数必有界（局部有界）导数与微分一、导数1、定义两个实际问题：一曲线在一点的切线，方法----利用割线逼近一点的切线，二是物理上的瞬时速度，先求平均速度然后用时间间隔趋向于零近似的得到瞬时速度 但是他们都有误差，因此要取极限（哲学上讲：是质变），由割线上升到导数，由平均数上升到瞬时速。
高等数学一考试题及答案
高等数学一考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L，意味着：A. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εB. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εC. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当x≠a时，|f(x)-L|<εD. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当x>a时，|f(x)-L|<ε答案：B2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：A4. 微分方程dy/dx = 2x的通解是：A. y = x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x + CD. y = 2x + C答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 答案：D6. 函数f(x) = e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)答案：A7. 以下哪个函数在x=0处有极值？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B8. 以下哪个选项是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C10. 以下哪个函数是单调递增的？A. f(x) = -x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = e^(-x)D. f(x) = ln(x)答案：B二、填空题（每题3分，共5题）1. 函数f(x) = x^3在x=1处的导数是______。
《高等数学一》复习题及答案
《高等数学〔一〕》一、选择题1、极限lim(x x x )的结果是〔C 〕x2〔A 〕0〔B 〕〔C 〕31〔D 〕不存在22、方程x 3x 1 0在区间(0,1)内〔 B〕〔A 〕无实根〔B 〕有唯一实根〔C 〕有两个实根〔D 〕有三个实根3、f (x )是连续函数, 则f (x )dx 是f (x )的〔 C〕〔A 〕一个原函数；(B) 一个导函数；(C) 全体原函数；(D) 全体导函数；4、由曲线y sin x (0 x )和直线y 0所围的面积是〔C 〕〔A 〕1/2(B)1(C)2(D)5、微分方程y x 满足初始条件y |x 0 2的特解是( D)〔A 〕x〔B 〕3211 x 3〔C 〕x 32〔D 〕x 32336、以下变量中，是无穷小量的为〔A 〕(A)ln x (x 1)(B)ln 7、极限lim(x sin x 01x 2(x 0 )(C) cos x (x 0)(D) 2(x 2)xx 411sin x )的结果是〔 C〕x x〔A 〕0〔B 〕1〔C 〕 1〔D 〕不存在8、函数y e arctan x 在区间 1,1上〔A〕〔A 〕单调增加〔B 〕单调减小〔C 〕无最大值〔D 〕无最小值9、不定积分xxx21dx =〔 D〕22(A)arctan x C (B)ln(x 1) C (C)11arctan x C (D)ln(x 2 1) C 22x10、由曲线y e (0 x 1)和直线y 0所围的面积是〔A〕〔A 〕e 1(B)1(C) 2(D)e11、微分方程dyxy 的通解为〔B〕dx〔A 〕y Ce〔B 〕y Ce2x12x 2Cxx 〔C 〕y e〔D 〕y Ce2212、以下函数中哪一个是微分方程y 3x 0的解( D )〔A 〕yx 〔B 〕y x 〔C 〕y 3x 〔D 〕yx 13、函数y sin x cos x 1是〔C〕(A) 奇函数；(B) 偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)既是奇函数又是偶函数. 14、当x 0时，以下是无穷小量的是〔B 〕〔A 〕e x 12323(B)ln(x 1)(C) sin(x 1)(D)x 115、当x 时，以下函数中有极限的是〔A〕〔A 〕x 11cos x (B) (C)(D)arctan xx 21ex 316、方程x px 1 0(p 0)的实根个数是〔B 〕〔A 〕零个〔B 〕一个〔C 〕二个〔D 〕三个11 x 2) dx 〔B 〕11〔A 〕〔B 〕 C 〔C 〕arctan x〔D 〕arctan x c 221 x 1 x17、(18、定积分baf (x )dx 是〔C〕〔A 〕一个函数族〔B 〕f (x )的的一个原函数〔C 〕一个常数〔D 〕一个非负常数19、函数y ln x 〔A 〕奇函数x 2 1是〔A〕〔C 〕非奇非偶函数〔D 〕既是奇函数又是偶函数〔B 〕偶函数20、设函数f x 在区间 0,1 上连续，在开区间 0,1 内可导，且f x 0，则( B ) (A)f 0 0(B)f 1 f 0 (C)f 1 0(D)f 1 f 021、设曲线y21 ex2则以下选项成立的是〔C 〕，(A) 没有渐近线(B)仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(D) 仅有水平渐近线22、(cos x sin x )dx ( D )〔A 〕sin x cos x C〔B 〕sin x cos x C〔C 〕sin x cos x C〔D 〕sin x cos x Cn ( 1)n}的极限为〔A 〕23、数列{n〔A 〕1(B) 1(C) 0(D) 不存在24、以下命题中正确的选项是〔B 〕〔A 〕有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量〔B 〕有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量〔C 〕两无穷大量的和仍为无穷大量〔D 〕两无穷大量的差为零25、假设f (x ) g (x )，则以下式子肯定成立的有〔C 〕(A)f (x ) g (x )(B)df (x ) dg (x )(C)(df (x )) (dg (x ))(D)f (x )g (x ) 126、以下曲线有斜渐近线的是( C )(A)y x sin x (B)y x sin x(C)y x sin 二、填空题1、lim 2112(D)y x sinxx1 cos x 12x 0x22x2、假设f (x ) e3、 2，则f '(0) 211(x 3cos x 5x 1)dx 2t 4、e t dxe x C5、微分方程y y 0满足初始条件y |x 0 2的特解为y 2e xx 2 40 6、lim x 2x 3x 2 x 237、极限lim x 2x 2 448、设yx sin x 1,则f () 1 29、11(x cos x 1)dx 2 10、31 x 2dx3arctan x C2211、微分方程ydy xdx 的通解为y x C12、115x 4dx 2x sin 2x1x2213、lim x 14、设y cos x ，则dy2x sin x dx 15、设y x cos x 3,则f ( ) -1 16、不定积分e x de x12xe C 21 2xe C217、微分方程y e2x的通解为y x 18、微分方程ln y x 的通解是y e C19、lim (1 )＝e 3xx 2x620、设函数y x x ,则yx x (ln x 1)112n 21、lim (2 2 2)的值是n n 2n nx (x 1)(x 2)1 22、lim 3x 2x x 3223、设函数y x x ,则dyx x (ln x 1)dx2x 23x 124、lim x 0x 425、假设f (x ) e 2x14sin 6，则f '(0)226、a 2 a(1 sin 5x )dx2(a 为任意实数).xe x dx __________.27、设y ln(e 1)，则微分dy ______xe 1x 328、(cos x )d x22 1 x 22三、解答题1、〔此题总分值9分〕求函数y解：由题意可得，x 1 62 x 的定义域。
高等数学(一)试题(附答案)
高等数学（一）试题（附答案）一、填空题（每小题１分，共１０分）_________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋──────的定义域为_______________。
_________√１－ｘ2２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────＝___。
h→o h４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是___。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为_______。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞∞１０．设级数∑ａn发散，则级数∑ａn_______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的○内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝( )ｘ１１１①１－──②１＋──③────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是( )ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是( )①若ｆ（X ）在X＝Xo连续，则ｆ（X ）在X＝Xo可导②若ｆ（X ）在X＝Xo不可导，则ｆ（X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（X ）在X＝Xo不可微，则ｆ（X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（X ）在X＝Xo不连续，则ｆ（X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为( ) ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则( )①Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝( )-1①０②１③２④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是( )①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝( )１①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn( )n→∞ａn=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是( )①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是( )①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使( )①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在X＝Xo 可导的( )①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝( )ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝( )①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝( )x→0ｘ30１①０②１③──④∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝( )x→0ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③∞④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是( )①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝─────ｐｄｙ∞∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│ ( ) n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝( )D ｘ1 1 ｓｉｎｘ①∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ1 √yｓｉｎｘ②∫ ｄｙ∫─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③∫ ｄｘ∫─────ｄｙ0 x ｘ__1 √xｓｉｎｘ④∫ ｄｙ∫─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／──────求ｙ' 。
高等数学(一)学习笔记
π ,n ∈ Z)},为奇函数， π 为周期, 2
周期内单
π ， 2
π ],则 y=arc sinx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反正弦函数。)单加 2 反余弦函数：y=Arccosx 定义域 D={ x 一 1 ≤ x ≤ 1},为多值函数，2 π 为周期。若限制值域为[0， + π ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反余弦函数。)单减 反正切函数：y=Arctgx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数， π 为周期。若限制值域为[-
x → x0
定理一：如果 lim
x → x0
f ( x) = A ，而且 A>0(或 A<0),那幺就存在着点 x0 的某一去心邻域，当 x 在该邻 f ( x ) = A , 那幺 A ≥ 0(或 A ≤ 0).
域时，就有 f(x)>0(或 f(x)<0). 定理二：如果在点 x0 的某一去心邻域内 f(x) ≥ 0(或 f(x ≤ 0), 而且 lim 可证明：f( x0 -0)=f( x0 +0)为 lim
x →∞
7、无穷小和无穷大 (1)、无穷小，极限为 0，则称函数为无穷小(当 x →
x0 或 x → ∞ ). x0 或 x → ∞ )，具有极限
A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x →
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数 即为这函数的极限。 B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷 小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小) C、无穷小的比较：
高等数学一
高等数学一
高等数学一是大学数学课程的一部分，它主要包括以下内容：
1. 函数与极限：研究函数的性质、变化规律以及极限的存
在与计算方法。
2. 导数与微分：学习导数的概念、性质和计算方法，以及
微分的应用。
3. 积分与定积分：学习积分的概念、性质和计算方法，以
及定积分的应用。
4. 微分方程：学习一阶和二阶微分方程的基本概念和解法。
5. 多元函数微分学：学习多变量函数的概念、偏导数、全
微分和方向导数，以及多元函数的极值问题。
6. 无穷级数与幂级数：学习无穷级数和幂级数的概念、性
质和收敛条件。
7. 空间解析几何：学习空间中直线、平面等基本几何元素的性质和相互关系。
高等数学一是大学数学的入门课程，主要用于培养学生对数学的思维能力和分析问题的能力，并为后续更深入的数学学习打下基础。
高等数学(一)考试大纲
高等数学（一）考试大纲一、考试性质二、考试目标《高等数学》专升本入学考试注重考察学生基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力。
三、考试内容和基本要求一、函数、极限与连续（一）考试内容函数的概念与基本特性；数列、函数极限；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小的概念与阶的比较；函数的连续性和间断点；闭区间上连续函数的性质。
（二）考试要求1．理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。
了解反函数的概念；理解复合函数的概念。
理解初等函数的概念。
会建立简单实际问题的函数关系。
2．理解数列极限、函数极限的概念（不要求做给出ε，求N或δ的习题）；了解极限性质（唯一性、有界性、保号性）和极限的两个存在准则（夹逼准则和单调有界准则）。
3．掌握函数极限的运算法则；熟练掌握极限计算方法。
掌握两个重要极限，并会用两个重要极限求极限。
4．了解无穷小、无穷大、高阶无穷小、等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。
5．理解函数连续的概念；了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型（第一类与第二类）。
6．了解初等函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质，会用性质证明一些简单结论。
二、导数与微分（一）考试内容导数概念及求导法则；隐函数与参数方程所确定函数的导数；高阶导数；微分的概念与运算法则。
（二）考试要求1．理解导数的概念及几何意义，了解函数可导与连续的关系，会求平面曲线的切、法线方程；2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的求导公式，会熟练求函数的导数。
3．掌握隐函数与参数方程所确定函数的求导方法（一阶）；掌握取对数求导法。
3．了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法。
会求简单函数的n 阶导数。
4．理解微分的概念，了解微分的运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。
三、中值定理与导数应用（一）考试内容罗尔中值定理、拉格朗日中值定理；洛必达法则；函数单调性与极值、曲线凹凸性与拐点。
自考高数(一)试题及答案
自考高数(一)试题及答案自考高等数学（一）试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是基本初等函数？A. 正弦函数B. 常数函数C. 指数函数D. 绝对值函数答案：D2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间（-∞，-2）上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 不确定D. 非单调答案：B3. 微积分基本定理指出：A. 定积分可以转化为不定积分求解B. 不定积分是定积分的基础C. 定积分的值等于其原函数的不定积分的差值D. 所有连续函数都有原函数答案：C4. 曲线y = x^3在点（1，1）处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 2答案：C5. 以下哪个级数是发散的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. (1/2) + (1/4) + (1/8) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...答案：A6. 微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解的形式是：A. y = x^2B. y = C/xC. y = x + CD. y = Cx^2答案：B7. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式的前两项是：A. 1 + xB. 1 - xC. 1 + x^2D. 1 + x + x^2答案：A8. 以下哪个选项是二元函数f(x, y) = x^2 + y^2的极值点？A. (0, 0)B. (1, 1)C. (-1, -1)D. (2, -2)答案：A9. 曲线积分∮(x^2 + y^2) ds 在圆周x^2 + y^2 = 1上的值是：A. 0B. 1C. 2πD. 4π答案：D10. 以下哪个选项是函数f(x) = sin(x)的傅里叶变换？A. 1/2B. 1/2δ(x - π)C. 1/2δ(x)D. δ(x - π)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim (x→0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
知识点总结高数一
知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。
数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。
函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。
极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。
2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。
3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。
无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。
在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。
4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。
连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。
二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。
求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。
微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。
4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。
高等数学考研(数学一)公式大全
高等数学公式大全导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222212211cos 12sin udu dx x tg u uu x uu x +==+-=+=， ， ， ax x a a a x x x x x x x x x x a xxln 1)(logln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec cscsinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxCctgx x xdx Ctgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sincostancot-α -sinα cosα -tan α -cot α 90°-α cosα sinαcot αtan α90°+α cosα -sinα -cot α -tan α 180°-α sinα-c osα -tan α -cot α180°+α -sinα -cosα tan α cot α 270°-α -cosα -sinα cot α tan α270°+α -cosα sinα -cot α -tan α 360°-α -sinα cosα -tan α -cot α 360°+αsinαcosαtan αcot α·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos 2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=± xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R CcBb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学(数一)知识重点及复习计划
函数的概念,常见的函数〔有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数〕、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式习题 1－1：4,5,8,9,15,16数列极限的定义,数列极限的性质<惟一性、有界性、保号性习题 1－2：1,4,5,6函数极限的定义与基本性质〔极限的保号性、极限的惟一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等〕习题 1－3：1,2,4无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以与与极限的关系习题 1－4：4,6,7极限的运算法则<6 个定理以与一些推论>习题 1－5：1,2,3,4,5两个重要极限〔要牢记在心,要注意极限成立的条件, 不要混淆,应熟悉等价表达式〕 ,函数极限的存在问题〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕 ,利用函数极限求数列极限,利用夹逼准则求极限,求递归数列的极限.习题 1－6：1,2,4无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无1．理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数与分段函数的概念,了解反函数与隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质与其图形,了解初等函数的概念.5．理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以与函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质与四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限 , 掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷穷小、 k 阶无穷小〕 ,重要的等价无穷小〔特别重要, 一定要烂熟于心〕以与它们的重要性质和确定方法. 习题 1－7：1,2,3,4函数的连续性,间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕 ,判断函数的连续性〔连续性的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性〕和间断点的类型.习题 1－8：2,3,4,5连续函数的运算与初等函数的连续性<包括和,差, 积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性>习题 1－9：3,4,5,6理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理<零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法习题 1－10：1,2,5总复习题一： 1,2,3,4,5,9,10,11,12导数的定义、几何意义,单侧与双侧可导的关系,可导与连续之间的关系〔非常重要,时常会浮现在选择题中〕 ,函数的可导性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质,按照定义求导与其合用的情形,利用导数定义求极限. 会求平面曲线的切线方程和法线方.习题 2－1：6,7,9,11,14,15,16,17,18,19,20复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数,由复合函数求导法则导出的微分法则, 〔幂、指数函数求导法,反函数求导法〕 ,分段函数求导法. 大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念〔含左连续与右连续〕 ,会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕,并会应用这些性质．1.理解导数和微分的概念, 理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,程习题 2－2：2,3,5,7,8,10,11,14高阶导数求法〔归纳法,分解法,用莱布尼兹法则〕习题 2－3：2,3,10,11,12由参数方程确定的函数的求导法,隐函数的求导法, 相关变化率习题 2－4：,1-11函数微分的定义,微分的几何意义,微分运算法则习题 2－5：2,3,4总复习题二： 1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念, 会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数, 会求隐函数和由参数方程所确定的函数以与反函数的导.微分中值定理与其应用〔费马定理与其几何意义,罗尔定理与其几何意义,拉格朗日定理与其几何意义、柯西定理与其几何意义〕习题 3－1：5－12洛比达法则与其应用习题 3－2：1－4泰勒中值定理,麦克劳林展开式习题 3－3：1－7,10求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐进习题 3－4：1,2,4,5,8,9, 12,13,14,15函数的极值,<一个必要条件,两个充分条件>,最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题,与最值问题有关的综合题习题 3-5:1,4,5,6,7简单了解利用导数作函数图形〔普通出选择题与判断1．理解并会用罗尔<Rolle> 定理、拉格朗日 <Lagrange> 中值定理和泰勒 <Taylor>定理,了解并会用柯西<Cauchy> 中值定理．2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．3．理解函数的极值概念, 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法与其应用．4．会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的数.图形题〕 ,对其中的渐进线和间断点要熟练掌握.习题 3－6：2,4弧微分,曲率的概念,曲率圆与曲率半径习题 3-7：1-5总复习题三： 1,2,4,6,7,8,10,11,12,20原函数与不定积分的概念与基本性质〔它们各自的定义,之间的关系,求不定积分与求微分或者导数的关系〕 ,基本的积分公式,原函数的存在性习题 4－1：1,7换元积分法习题 4－2 全部分部积分法习题 4－3 全部有理函数的积分习题 4－4 全部积分表的使用总习题四全部定积分的概念与性质<可积累在定理><定积分的7 个性质习题5－1：4,10,13微积分的基本公式积分上限函数与其导数牛顿－莱布尼兹公式习题5－2：1－12定积分的换元法与分部积分法习题5－3：1,2,3,4,6,7反常积分无界函数反常积分与无穷限反常积分拐点以与水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形．5．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径．1．理解原函数的概念 , 理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质与定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．1．理解定积分的概念．2．掌握定积分的基本公式 , 掌握定积分的性质与定积分中值定理,3．理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿－莱布尼茨公式．4．掌握换元积分法与分部积分法．.习题：5－4：1－3反常积分的审敛法总复习题五：1,3,4,5,6,7,10,13定积分元素法定积分的几何应用〔求平面曲线的弧长 ,求平面图形的面积,求旋转体的体积 ,求平行截面为已知的立体体积,求旋转曲面的面积〕习题 6－2：1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,15,16,21,22定积分在物理学上的应用〔变力沿直线所做的功 ,水压力,引力〕习题 6-3：1-12总复习题六： 1－6微分方程的基本概念〔微分方程与其阶、解、通解、初始条件和特解〕习题 7-1：1,2,3,4,5可分离变量的微分方程<可分离变量的微分方程的概念与其解法 >习题 7-2：1,2齐次方程〔一阶齐次微分方程的形式与其解法〕习题 7－3：1,2一阶线性微分方程,伯努利方程习题 7—4：1,2可降阶的高阶微分方程习题1,2高阶线性微分方程〔微分方程的特解、通解〕习题 7-6：1-4常系数齐次线性微分方程〔特征方程,微分方程通解5．了解广义反常积分的概念, 会计算广义反常积分．会用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积与侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等1．了解微分方程与其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2．掌握变量可分离的微分方程与一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程．4．会解二阶可降解的微分方程．5．理解线性微分方程解.中对应项〕习题 7-7：1,2常系数非齐次线性微分方程〔会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以与它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程〕的性质与解的结构．6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.习题 7-8：1,27．会解自由项为多项式、欧拉方程习题 7-9指数函数、正弦函数、余弦函数以与它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．总复习题七： 3,4,5,7,10 8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．向量与其线性运算习题 8-1: 1-19数量积、向量积、混合积习题 8-2：1,2,3,6,7,9曲面与其方程习题 8－3：1-11空间曲线与其方程习题 8-41-8平面与其方程习题 8-51-9 1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念与其表示.2.掌握向量的运算〔线性运算、数量积、向量积、混合积〕,了解两个向量垂直、平行的条.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式, 掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程与其求法.5．会求平面与平面、平面与件直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相空间直线与其方程习题 8-61-15总习题八： 1-21 互关系〔平行、垂直、相交等〕解决有关问题.6．会求点到直线以与点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程与其图形,会求简单的柱面和旋转曲面的方程.9.了解空间曲线的参数方程和普通方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程.多元函数的基本概念〔二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理〕习题 9— 1：5,6,7,8偏导数<偏导数的概念,二阶偏导数的求解 >,习题 9—2：1,2,3,4,6,7,8,9全微分〔全微分的定义,可微分的必要条件和充分条件〕 ,习题 9—3：1,2,3,5多元复合函数的求导法则〔多元复合函数求导,全微分形式的不变性〕习题 9—4：1—12隐函数的求导公式〔隐函数存在的 3 个定理〕习题 9—5：1—101．理解多元函数的概念, 理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续的概念以与有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念 ,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性.4．理解方向导数与梯度多元函数微分学的几何应用〔空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线〕习题 9—6：4—12方向导数与梯度习题 9—7：1-8,10多元函数的极值与其求法〔多元函数极值与最值的概念,二元函数极值存在的必要条件和充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值〕习题 9—8：1—12总复习题九： 1-18二重积分的概念与性质〔二重积分的定义与 6 个性,习题 10－1：1,4,5二重积分的计算法〔会利用直角坐标计算二重积分, 会利用极坐标计算二重积分〕 ,习题 10－2：1,2, 4,6,7,8,11,12,13,14,15三重积分的概念,三重积分的计算〔会利用直角坐标计算三重积分,会利用柱面坐标计算三重积分,会利用球面坐标计算三重积分〕的概念,并掌握其计算方法.5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6．了解隐函数存在定理, 会求多元隐函数的偏导数.7．了解空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线的概念 ,会求它们的方.8．理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值 ,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.1．理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质, 了解二重积分的中值定.2．掌握二重积分的计算方法〔直角坐标、极坐标〕 , 会计算三重积分〔直角坐标、柱面坐标、球面坐标〕 .理程质〕习题 10－3：4-11 3．会用重积分求一些几何量与物理量〔平面图形的面积、重积分的应用〔会计算曲面的面积,质心,转动惯量,体积、曲面面积、弧长、质量、引力〕质心、形心、转动惯量、引力、习题 10－4：1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,13,14功等〕 .对弧长的曲线积分〔对弧长的曲线积分的概念与性质,对弧长的曲线积分的计算〕习题 11－1：3对坐标的曲线积分〔对坐标的曲线积分的概念与性质,对坐标的曲线积分的计算,两类曲线积分之间的联系〕习题 11－2：3,4,7,8格林公式与其应用〔格林公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微分求积,全微分方程〕习题 11－3：1-6对面积的曲面积分〔对面积的曲面积分的概念与性质,对面积的曲面积分的计算,〕习题 11－4：4-8 对坐标的曲面积分〔对坐标的曲面积分的概念与性质,对坐标的曲面积分计算,两类曲面积分之间的联系〕习题 11－5：3,4高斯公式〔会用高斯公式,会计算通量与散度〕习题 11－6：1,2,3斯托克斯公式〔会用斯托克斯公式,会计算环流量与旋度〕习题 11－7：2,31．理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质与两类曲线积分的关系.2．掌握计算两类曲线积分的方法.3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数.4．了解两类曲面积分的概念、性质与两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,掌握用高斯公式计算曲面积分的方法,并会用斯托克斯公式计算曲线积分.5．了解散度与旋度的概念,并会计算.总习题十一： 1-5.常数项级数的概念和性质〔常数项级数的概念,收敛级数的基本性质〕习题 12－1：1-4常数项级数的审敛法〔正项级数与其审敛法,交织级数与其审敛法,绝对收敛与条件收敛〕习题 12－2：1-5幂级数〔幂级数与其收敛性,幂级数的运算〕习题 12－3：1.2.傅里叶级数〔函数展开成傅里叶级数,正弦级数,余弦级数〕习题 12-7:1-6 1．理解常数项级数收敛、发散以与收敛级数的和的概念, 掌握级数的基本性质与收敛的必要条件.2．掌握几何级数与P-级数的收敛与发散的条件.3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法.4．掌握交织级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以与绝对收敛与收敛的关系.6．了解函数项级数的收敛域与和函数的概念.7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半.普通周期函数的傅里叶级数〔周期为 2L 的周期函数的傅里叶级数〕习题 12-7:1,2总习题十二： 1-12 径、收敛区间与收敛域的求法.8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质〔和函数的连续性、逐项求导和逐项积分〕, 会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和.9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10．掌握e x ,sin x ,cos x ,ln(1+ x) 与(1+ x)a 的麦克劳林〔Maclaurin〕展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在[一l, l] 上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在[0,l] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式.11 / 11。
(完整word版)高等数学讲义(一)
高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。
用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。
“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。
时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。
变量可以视为实属集合（不止一个元素）。
二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
高等数学1
3、函数的奇偶性:
设D关于原点对称 若对于 x D, 有 - x Î D， ,
f ( x ) f ( x )
则称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
偶函数
设D关于原点对称 若对于 x D, 有 ,
f ( x ) f ( x )
(6) xy x y ;
x x ( 7 ) ( y 0). y y
一、概念
1、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b]
有限区间
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D } 称为函数的值域 .
注意：
(1)上述定义中, 法则 f 确定了变量x与变量y之间 的对应关系, 这种对应关系也称为函数关系. (2)函数的两要素:
(
定义域 D( f ) 与对应法则 f.
x
y
D
对应法则f
x0 )
自变量
(
高等数学(一)复习题参考答案
高等数学（一）复习题参考答案一、选择题1A 2B 3C 4C 5C 6A 7B 8C 9A 10A 二、填空题1、x>32、e x-23、-2xsinx 44、-cos （x+5）5、36、67、2x+y+3z=0 三、计算解答题1、1、f （x ）在x=0处有定义，且f （0）=0，（x 0=0，Δx=x ）当x →0时，Δy=f （x ）-f （0）=（x ）αsin x 1只有当α>0时，有0lim →x Δy=0，故当α>0时f （x ）在x=0处连续；又当x →0时，x y x ∆∆→∆0lim=x α-1sin x1只有当α>1时，x y x ∆∆→∆0lim =x α-1sin x1存在，故当α>1时f （x ）在x=0处连续可导。
2、原式=5406sin 2lim xx x x →=313、原式=20sin 2lim x e e x x x -+-→=20cos 2lim x x e e x x x -→-=2220sin 4cos 2lim x x x e e x x x -+-→=14、由于x 1→时，1-x 0→，故0lim21=++→）（b ax x x ∴a=-b-1，代入原极限有：511lim21=-+--+→xbx b x x ）（ 即511lim1=----→xb x x x ））（（解得：b=6，a=-75、由x 2-5x+6=0得x 1=2，x 2=3为其间断点在x=2处，）（x f x 2lim →=））（（322lim 2---→x x x x =-1在x=3处，）（x f x 2lim →=））（（322lim 2---→x x x x =∞∴x=2为可去间断点，x=3为无穷型间断点补充定义：f （2）=-1，则f （x ）在x=2处连续6、y '=221a x x ++（x+22a x +）ˊ=221ax x ++（1+221ax +）=221ax +7、提示：1。
高等数学1教材同济版
高等数学1教材同济版高等数学是大学数学的重要组成部分，也是各个理工科专业的基础课程之一。
作为一门理论性较强的学科，高等数学需要学生具备扎实的数学基础和严密的逻辑思维能力。
同济大学编写的《高等数学1》教材是目前国内高等数学教材的重要代表之一，其系统性、严谨性以及实用性备受广大学生的认可。
本文将就《高等数学1》教材的主要内容、特点以及学习方法进行探讨。
一、教材内容概述《高等数学1》教材主要包含了数列与极限、函数与极限、连续与间断、导数与微分以及微分学中的应用等内容。
在数列与极限部分，教材对常用的数列有着详细的介绍，并引入了极限的概念，强调了极限的重要性。
在函数与极限部分，教材着重讲解了函数的性质以及各种常见函数的极限计算方法。
在连续与间断部分，教材围绕函数的连续性展开，同时引入了间断点和间断型的分类和判断方法。
在导数与微分部分，教材重点介绍了导数的定义、求导法则以及常见函数的导数，以及微分的概念和运算法则。
最后，在微分学中的应用部分，教材阐述了微分的几何应用和物理应用，使学生更深入地理解高等数学的应用领域。
二、教材特点分析1. 理论与实践结合：《高等数学1》教材注重理论与实践的结合，通过引入具体的例子和丰富的应用问题，使学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。
2. 可读性强：教材的语言通俗易懂，结构严谨清晰，各个章节之间的联系紧密，并有大量的例题和习题供学生练习巩固。
3. 知识渗透性强：教材中的各个章节不是孤立的，知识之间相互渗透，形成了一个完整的数学体系，有助于学生形成知识之间的联系，提升数学思维的整体性。
三、学习方法与建议1.全面掌握基础知识：高等数学是建立在初等数学的基础上，对于学生而言，全面掌握初等数学的基本概念和解题技巧是非常重要的。
因此，在学习《高等数学1》之前，要先修习好初等数学课程，确保基础扎实。
2.积极思考与动手实践：在学习数学的过程中，要避免死记硬背，而是要注重理解，并运用所学知识进行思考和实践。
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高等数学(一)第二篇 网络助学平台测试题汇编■阶段测验一 一、单选题1．确定24x y -=的定义域为( )。
A ．[-2,2]B ．[-1,1]C ．[-1,0]D ．[0,2]2．已知f(x)=x 2-x+5，那么f{f(x)}等于 ( )。
A ．(x 2-x+5)2 -(x 2-x+5)-5 B ．(x 2-x+5)2 -(X 2-x+5)+5 C ．(x 2-x+5)2-(X 2+x+5)+5 D ．(x 2+x-5)2-(x 2-x+5)+53．已知函数221)1(x x x x f +=+，那么f(x)=( )。
A ．X 2-xB ．x 2-1C ．X 2+xD ．X 2-2 4．设A={0，1，2}，B={-1，1}，那么A U B 等于( )。
A ．{-2，-1，0，1} B ．{-1，1，2，3} C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2} 5．以下说法错误的是( )。
A ．y=sinx 是奇函数B ．y=cosx 是偶函数C ．y=cosx+1是偶函数D ．y=cosx-sinx 是偶函数 6．由函数y=u 3，u=tanx 复合而成的函数为( )。
A ．y=tan 3xB ．y=tan -3xC ．y=cotx 3D ．y=arctanx 7．下列各对函数相同的是( )。
A. xy x y ,== B ．2ln ,ln 2x y x y ==C ．xy x y 2cos 1,sin -== D.22,v u x y ==8．函数11)(+-=x x a a x f ( )。
A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断 9．函数f(x)=sin(1／3)x+tan(1／4)x 的周期( )。
A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π 10．以下说法错误的是( )。
A ．反正弦函数y=arcsinx ，定义域D=[-1,1],值域G=[2,2ππ-]B ．反余弦函数y=arccosx ，定义域D=[-1,1]．，值域G=[0，π] C.反正切函数y=arctgX,定义域D=（-∞，+∞），值域G=（2,2ππ-）D ．反余切函数y=arctgX,定义域D=（-∞，+∞），值域G=（0，2π） 11.=+=)f(x ,2)(22则x x x f （ ）。
A ．x 3+2x 2 B.x 4+2x C.x 2+2x D. x 4+2x 2 12.在R 上，下列函数中为有界函数的是（ ）。
A.e xB. 1+sinxC. lnxD. tanx 13.设函数)227sin()(π-=x x f ，则对所有的x ，=)(x f （ ）。
A. sinx B.-sinx C. cosx D.-cosx14.设集合)02(),043(2=--==--x x x N x x x M 则N M ⋂等于（ ）。
A.｛4，-1，-2｝B.｛4，-1｝C.｛-2，-1｝D.｛-1｝ 15．下列函数中，图形关于y 轴对称的是( )。
A ．y=sinxB ．y=xsinxC ．y=e xD ．y=lnx 16.极限xxx arcsin lim0→等于（ ）。
17. 极限)1ln()1ln(tan limx x x simx x ++→( ) 。
A. -2B. -1C.0D. 118. 极限)1(lim 0+→n n ( )A. -1B. 0C.1D. 2 19. 极限=-→)12(lim 1x x （ ）。
A. 1B. 2C. 3D. 5 20．极限n n a →∞lim （a>0）=( )。
A. -1B. 0C. 1D. 2 21．计算=+→xx x sin 1)sin 21(lim ( )。
A ．e -2B ．e -1C ．eD ．e 222．当x →0时，将下列无穷小量与x 进行比较，下列哪个是X 的高阶无穷小( )。
A ．X 2+x 3B ．2x+x 2 C. Sinx D tanx23．分段函数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,2sin )(x x x x x f 的连续区间为（ ）。
A. f(x)在(-∞，1）上连续 B. f(x)在(-1，+∞）上连续 C. f(x)在(-∞，0） (0，+∞）上连续 D. f(x)在(-∞，+∞）上连续24. 计算=----→)cos 1)(131()1ln()2(sin lim 20x x x x x ( )。
A ．-2 B.38C. -1D. 1 25．计算=---→)1113(lim 30xx x ( ) 。
A ．-lB ．0C ．1D ．226. 计算=--→1cos 1lim20x e x x ( ) 。
A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 27．=-+∞→n n n n 2lim （ ）。
A ．21B ．1C ．+∞D ．028. 13lim -=∞→x x e =（ ）。
A ．不存在 B. ∞ C.0 D. 129．32224lim 22++--=→∞x x x x x ( )。
A ．0 B. ∞ C.2 D. -230．函数xx x x x x f 653)(2323--+-的间断点是（ ）。
A ．x=6、x=-1B ．x=0、x=6C ．x=0、x=6、X=-1D ．x=-1、x=0 二、计算题1．)0()1(lim 12≠-+→∞k xkx x2．)2sin 1ln(1lim 20x e x x +--→+三、证明题证明方程x·2x 一1=0在(0，1)内至少有一根.四、应用题某厂生产某种产品，固定成本为400万元，多生产一个单位产品，成本增加10万元。
该产品产产销平衡且产品需求函数为x=1000—50P(x 产量，P 为价格)。
该厂生产多少单位产品所获利润最大?最大利润是多少?阶段测验二一、单选题1．若A ax a f x f ax =--→)()(lim,A 为常数，则有（ ）A.f (x)在x=a 处无意义；B.f (x)在x=a 处不连续C.)(lim x f ax →存在； D.f (x)=f (a)＋f (x －a)2. 已知函数y=x 3＋ax 2＋bx ＋c 的拐点为（1，-1），在x=0取得极大值，那么a,b,c=( )A 、a=3,b=1,c=-3B 、a=-1,b=2,c=3C 、a=-3,b=2,c=1D 、a=-3,b=1,c=-2 3.f (x)为偶函数，且 )0(f '存在，则)0(f '=（ ） A 、 3 B 、2 C 、1 D 、0 4.函数f (x)=(x-5)32x 的增区间（ ） A 、 ),2)(0,(+∞-∞是减少区间 B 、 （0，2）是增区间 C 、 ),2)(2,(+∞-∞是减少区间D 、 ),2)(2,(+∞-∞增加区间，（0，2）是减少区间 5. x x y arccos arcsin +=，则='y （ ） A 、1 B 、0 C 、x D 、211x-6.函数⎩⎨⎧≥<=0,,)(x xe o x x x f x 在x=0处（ ）。
A 、不连续B 、可导C 、不可微D 、连续但不可导 7.若y x e xy +=，则()='y A 、x xy xy y -- B 、xe xy y y x +-+ C 、x xy xy y +- D 、x xy xy y -+ 8.计算xx ex 201lim-→等于（ ）A 、－3/2B 、－1/2C 、1/2D 、3/2 9.以下说汉错误的是（ ）A.x y 1arctan =的导数为211x+- B.2)1ln(x y +=的导数为212x xy +='C.)cot ln(csc x x y -=的导数为x cscD.x x y ++=1ln(2的导数为112+x10.若a>1,计算n x an 2lim ∞→=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、3/211.一元函数f (x)在0x 点可微是f (x)该点可导的（ ） A 、充分必要投机条件 B 、充分条件 C 、必要条件 D 、无关条件12.32)(2+-=x x x f 在区间[]2,0上使得罗尔定理成立，有中值ξ为（ ） A 、4 B 、2 C 、3 D 、113.下列函数中，在点x=l 处连续且可导的函 数为( ) A ．1-=x y B ．31+=x yC ．1-=x e yD ．2)1(-=x y 14．下列极限不能使用洛必达法则的是( ) A.2120lim xx e x -→ B 、xx x 121lim-+→ C 、xx xx x sin sin lim+-→ D 、2120lim x x ex →15．设y=f(-x)，则='y ( )A 、)(x f -''B 、2)(x f -''C 、-2)(x f -''D 、-)(x f -'' 16、如果在( a , b )内0)(≥'x f ，且f(x)d 在[]b a ,，连续，则在[]b a ,上（ ）A ．f(a)≤f(x)≤f(b)B 。
f(b)<f(x)<f(a)C ．f(a)<f(x)<f(b)D ．f(b)≤f (x)≤f(a)17.设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=2,42,0)(2x x x x f ,则=')2(f （ ） A ．0 B ．-2 C ．不存在 D ．2 18．在[]1,1-上arcsinx+arccosx( ) A 、=2π B 、<2π C 、>2πD 、0 19.如果f(x)点0x 处可导，且(),1)(,000=''='x f x f 则)3(0x lim h x f y -'∞→A.∞B.0C.3D.-3 20. 1323++=x x fx 的凹向区间是（ ）A ．()+∞,0B ．()+∞-,1C ．()+∞∞-,D ．()+∞,1 21.设y=(x 一1)(x 一2)…(x -20)，则()='0f （ ）A ．20!B ．0C ．∞D ．一20! 22.点(1，5)是f(x)=4(X-a)3+b 对应图形的拐点，则( ) A ．a=0，b=1 B ．a=2，b=3 C ．a=l ，b=5 D ．a=一1．b=一6 23．设y=(1一X)-2,则()=n y ( )A ．n!(1-x)n+1B ．(n+1)!(1－X)一(n+2)C ．一n!(1-x)n+1D ．一(n+1)(1一X)n+224.1222-=x x y 的水平渐近线是( )A ．x=l ，X=-2B ．x=－1C ．y=2D ．y=一1 25．如果f (x)在0x 点可微，则=∆+∆⋅'=∆→xx x f y ααlimh 0,)(其中（ ）A ．∞B ．0C ．1D ．一126.在区间(a ，b)内任意一点，函数f(x)的曲线弧总位于其切线的上方，则该曲线在(a ，b) 内是( )A ．凹B ．凸C ．单调上升D ．单调下降 27．设y=lnx ，则y(n)=( ) A ．(一1)n n!x -n B ．(一1)n (n 一1)!x -2 C ．(一1)n-1(n 一1)!x n D ．(-1)n+1n!x -n+128．某商品的需求量Q 与价格P 的函数关系为Q ：f(P)，且当P=P0时，需求弹性为0.8, 若此时再涨价2％，需求将减少( )A ．1.6B 、1.6%C ．0.8D ．0．8％ 29.处的导数是在点π==x sin x y （ ）A 、0 B.1 C.-1 D.不存在 30.以下说法正确的是（ ）A 、拉格朗日中值定理是罗尔定理的特殊情形B 、柯西定理是拉格朗日中值定理的特殊情形C 、罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形D 、介值定理是罗尔定理的特殊情形 二 计算题2．计算 x e e x x x cos 12lim 0--+-→3．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x xx 1sin 1lim 0三.证明题证明不等式.-1xe x≥四、应用题阶段测验三一、单选题1. 已知) (y 1,y(-1)33==='则，且x yA 、23-xB 、23+xC 、13-xD 、13+x 2.则（）,01,0121xdx I dx x I ⎰⎰== A. I 1>I 2 B.I 2>I 1 C.I 1=I 2 D.I 1≤I 2 3. =( )。