实变函数集合标准答案
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若有 ，则存在N，使对任意 ，有 ，因此若 时， ， 即 ，令 ，得 ，此不可能，所以 。
8. 证明
证明 设 则存在N，使对任意 ，有 ，所以 ，所以 ；设 ，则有 ，使 ，即对任意 ，有 ，所以 ，因此 。
9. 作出一个（-1，1）和 的1—1对应，并写出这一一对应的解析表达式
解 ，对任意 ，
10. 证明：将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的.
实变函数集合标准答案
第一章集合
一、内容小结
1.这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。
2.引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定理。
3.引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。
，
则 ， ，所以对每个 ，存在 ，于是 .下证 .事实上，若 ，则存在 使 ，于是 ，这与 矛盾，所以 ，这又与 矛盾，因此至少存在某个 使 的基数也是C.
20. 记每项取值为0或1的数列全体所成的集合为T，求证T的基数为C.
证明 设
作T到 的映射 ，则 是T到 的子集 的1—1映射，所以 反之， 区间与2进位无穷小数正规表示1—1对应，所以每个 都可唯一的写成 ，其中每个 ，令 ，则 是 到T的子集 上的1—1映射，因而 .综上所述得 。
17. 证明： 上的全体无理数做成的集合其基数为C.
证明 记 上的无理数全体为A， 上的有理数全体为 ，显然
令 ,
,
,
则 是A到 的1—1对应，由 的基数为C，可知A的基数也是C。
18. 若集A中每个元素，由互相独立的可数个指标决定，即 ，而每个 取遍一个基数为C的集，
则A的基数也是C。
证明 设 ， ， ，因而有 到实数集R的1—1映射 .令 是A到 的 一映射，对任意 。 ，下面证明 是1—1映射.
证明 只要证明球面S： 去掉 点后与 平面M对等即可.
此可由球极投影来做到；对任意 ，
，
易验证 是1—1的，映上的，因此S与M是对等的，证毕。
11. 证明：由直线上某些互不相交的开区间所谓集A的元素，则A至多为可数集.
证明 设 ，在每一 中任取一点有理数 使 与 对应.因为 是互不相交的，因此这个对应是1—1的，而G与有理数的子集对等，因此G至多可数。
证明 任意A中的圆，由三个独立记号所决定； ，其中 是圆心的坐标， 是圆半径， 各自跑遍有理数， 跑遍大于0的有理数，因而都是可数集.所以 .
14. 证明：增函数的不连续点最多只有可数多个.
证明 设 是 上的增函数，记不连续点全体为E，由数学分析知：
⑴ 任意 ， 及 都存在。
⑵ 的充分必要条件为
⑶ 任意 ，若 ，则 因此每一 ，对应于直线上的开区间 ，且由（3）可知E中点 对应的这样的开区间是互不相交的，由11题知至多可数。
二、学习要点
1.准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A却不一定成立。条件为A,B不交。
2.可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A去掉可数B后若还无限则C必可数。
8.证明集合基数为C中常用到已知的基数为C的集合。
三、习题解答
1.证明：
证明 ,得
若 且 ，得 因此
设 当然有 ，若 由 且 ，可知 且 ，所以 同样有 因此 ，
所以
2.证明
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
证明 ⑴
=
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
3. 证明： ；
证明：
4.证明：
证明 设 ，则 ，但 ，因此对任意 ， ，所以 ，因而
设 则任意 ， ，即 ， ，因此则 ，但 ，得 ，所以
5.证明：ຫໍສະໝຸດ ⑴ ;⑵ .证明 ⑴
⑵ .
6.设 是一列集合，作 , 。证明 是一列互不相交的集，而且
证明 若 ，不妨设 ，显然
设 ，若 ，则 ，若 ，令 是最小的自然数使 ，即 而 ，这样 ,所以 证毕。
7.设 ，求出集列 的上限集和下限集。
解 ；
设 ，则存在N，使 时，因此 时， ，即 ，所以 属于下标比N 大的一切偶数指标集，从而 属于无限多 ，得 ，又显然 ，所以 。
12. 证明：所有系数为有理数的多项式组成一可数集.
证明 ： 次有理系数多项式全体所成的集合
：所有系数为有理数的多项式全体所成的集合
由 +1个独立记号所决定，（系数），每个记号（首位不取0）可独立跑遍全体有理数（可数个）
因此由§4定理6， ，又由§4定理6， .
13. 设A是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则A是可数集.
3.存在不可数集。无最大基数集。
以下介绍学习中应掌握的方法
4.肯定方面与否定方面。
5.集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。
6.基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯坦定理）来进行相应的证明。
7.集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算得到可数、第四节定理6.
若 ，则对任意 ， ，由于 是一对一的，因此 ，所以 ，对任意 ，因为 是映上的，必有 ，使 ，所以有 ，使 ，即 是1—1映射.所以A与 的基数相同，等于C。
19. 若 的基数为C，证明：存在 使 的基数也是C.
证明 由于 ，我们不妨设 ，用反证法，若 ， ，设 为 到R中如下定义的映射：若 则 ，令
15. 试找出使（0，1）和 之间1—1对应的一种方法.
解 记（0，1）中有理数全体
令
显然 是（0，1）和 之间的1—1映射。
16. 设A是一可数集合，则A的所有有限子集所成的集合亦必可数.
证明 设 ，A的有限子集的全体为 , ， 的子集全体为 ，易计算 中共有 个元素，而 ，因此 至多为可数的.又A中一个元素组成的集合是可数的，因而 是可数的.
8. 证明
证明 设 则存在N，使对任意 ，有 ，所以 ，所以 ；设 ，则有 ，使 ，即对任意 ，有 ，所以 ，因此 。
9. 作出一个（-1，1）和 的1—1对应，并写出这一一对应的解析表达式
解 ，对任意 ，
10. 证明：将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的.
实变函数集合标准答案
第一章集合
一、内容小结
1.这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。
2.引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定理。
3.引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。
，
则 ， ，所以对每个 ，存在 ，于是 .下证 .事实上，若 ，则存在 使 ，于是 ，这与 矛盾，所以 ，这又与 矛盾，因此至少存在某个 使 的基数也是C.
20. 记每项取值为0或1的数列全体所成的集合为T，求证T的基数为C.
证明 设
作T到 的映射 ，则 是T到 的子集 的1—1映射，所以 反之， 区间与2进位无穷小数正规表示1—1对应，所以每个 都可唯一的写成 ，其中每个 ，令 ，则 是 到T的子集 上的1—1映射，因而 .综上所述得 。
17. 证明： 上的全体无理数做成的集合其基数为C.
证明 记 上的无理数全体为A， 上的有理数全体为 ，显然
令 ,
,
,
则 是A到 的1—1对应，由 的基数为C，可知A的基数也是C。
18. 若集A中每个元素，由互相独立的可数个指标决定，即 ，而每个 取遍一个基数为C的集，
则A的基数也是C。
证明 设 ， ， ，因而有 到实数集R的1—1映射 .令 是A到 的 一映射，对任意 。 ，下面证明 是1—1映射.
证明 只要证明球面S： 去掉 点后与 平面M对等即可.
此可由球极投影来做到；对任意 ，
，
易验证 是1—1的，映上的，因此S与M是对等的，证毕。
11. 证明：由直线上某些互不相交的开区间所谓集A的元素，则A至多为可数集.
证明 设 ，在每一 中任取一点有理数 使 与 对应.因为 是互不相交的，因此这个对应是1—1的，而G与有理数的子集对等，因此G至多可数。
证明 任意A中的圆，由三个独立记号所决定； ，其中 是圆心的坐标， 是圆半径， 各自跑遍有理数， 跑遍大于0的有理数，因而都是可数集.所以 .
14. 证明：增函数的不连续点最多只有可数多个.
证明 设 是 上的增函数，记不连续点全体为E，由数学分析知：
⑴ 任意 ， 及 都存在。
⑵ 的充分必要条件为
⑶ 任意 ，若 ，则 因此每一 ，对应于直线上的开区间 ，且由（3）可知E中点 对应的这样的开区间是互不相交的，由11题知至多可数。
二、学习要点
1.准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A却不一定成立。条件为A,B不交。
2.可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A去掉可数B后若还无限则C必可数。
8.证明集合基数为C中常用到已知的基数为C的集合。
三、习题解答
1.证明：
证明 ,得
若 且 ，得 因此
设 当然有 ，若 由 且 ，可知 且 ，所以 同样有 因此 ，
所以
2.证明
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
证明 ⑴
=
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
3. 证明： ；
证明：
4.证明：
证明 设 ，则 ，但 ，因此对任意 ， ，所以 ，因而
设 则任意 ， ，即 ， ，因此则 ，但 ，得 ，所以
5.证明：ຫໍສະໝຸດ ⑴ ;⑵ .证明 ⑴
⑵ .
6.设 是一列集合，作 , 。证明 是一列互不相交的集，而且
证明 若 ，不妨设 ，显然
设 ，若 ，则 ，若 ，令 是最小的自然数使 ，即 而 ，这样 ,所以 证毕。
7.设 ，求出集列 的上限集和下限集。
解 ；
设 ，则存在N，使 时，因此 时， ，即 ，所以 属于下标比N 大的一切偶数指标集，从而 属于无限多 ，得 ，又显然 ，所以 。
12. 证明：所有系数为有理数的多项式组成一可数集.
证明 ： 次有理系数多项式全体所成的集合
：所有系数为有理数的多项式全体所成的集合
由 +1个独立记号所决定，（系数），每个记号（首位不取0）可独立跑遍全体有理数（可数个）
因此由§4定理6， ，又由§4定理6， .
13. 设A是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则A是可数集.
3.存在不可数集。无最大基数集。
以下介绍学习中应掌握的方法
4.肯定方面与否定方面。
5.集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。
6.基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯坦定理）来进行相应的证明。
7.集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算得到可数、第四节定理6.
若 ，则对任意 ， ，由于 是一对一的，因此 ，所以 ，对任意 ，因为 是映上的，必有 ，使 ，所以有 ，使 ，即 是1—1映射.所以A与 的基数相同，等于C。
19. 若 的基数为C，证明：存在 使 的基数也是C.
证明 由于 ，我们不妨设 ，用反证法，若 ， ，设 为 到R中如下定义的映射：若 则 ，令
15. 试找出使（0，1）和 之间1—1对应的一种方法.
解 记（0，1）中有理数全体
令
显然 是（0，1）和 之间的1—1映射。
16. 设A是一可数集合，则A的所有有限子集所成的集合亦必可数.
证明 设 ，A的有限子集的全体为 , ， 的子集全体为 ，易计算 中共有 个元素，而 ，因此 至多为可数的.又A中一个元素组成的集合是可数的，因而 是可数的.