实变函数集合标准答案
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
实变函数答案
习题1.11．证明下列集合等式．(1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (cC B A A =)()( c c C B A A B A = c C A B A )()( =)(\)(C A B A = .(2) cC B A A )(C \B)(=)()(c c C B C A ==)\()\(C A C A .(3) )(\C)\(B \cC B A A = c c C B A )( =)(C B A c = )()(C A B A c =)()\(C A B A =.2．证明下列命题．(1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ⊂； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A Ø； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B Ø．证明 (1) A B A B B B A B B A B B A cc==== )()()()\(的充要条 是：.A B ⊂(2) ccccB A B B B A B B A B B A ===)()()(\)(必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c= , 于是有cB A ⊂, 可得.∅=B A反之若,∅≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与cB A ⊂矛盾.充分性. 假设∅=B A 成立, 则cB A ⊂, 于是有A B A c= , 即.\)(A B B A =(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\cC A B A B A == 若,∅≠B 取,B x ∈ 则,cB x ∉ 于是,cB A x ∉ 但,B A x ∈ 与cC A B A =矛盾.充分性. 假设∅=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6．定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥∀⊂+n A A n n 则{}n A 收敛且∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥∀⊃+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A证明 (1) 设),1(1≥∀⊂+n A A n n 则对任意 ∞=∈1,n n A x 存在N 使得,NAx ∈ 从而),(N n A x N ≥∀∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=⊂ 又因为 ∞=∞→∞→⊂⊂1,lim lim n n n n n n A A A由此可见{}n A 收敛且 ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 当)1(1≥∀⊃+n A A n n 时, 对于,l i mn n A x ∞→∈存)1(1≥∀<+k n n k k 使得),1(≥∀∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0n n A A x k ⊂∈ 可见.lim 1∞=∞→⊂n n n n A A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=⊂⊂ 所以可知{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1 ；(2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→，则对任意实数c 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ．证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得nc x f 1)(+≥成立. 即,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n c f E x 那么.11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 故[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊂>n n c f E c f E 另一方面, 若,11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 于是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊃>n n c f E c f E(2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+∈Z n , 都有nc x f 1)(+<, 于是 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 故有[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊂≤n n c f E c f E另一方面, 设 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n c x f 1)(+<, 由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[] ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊃≤11n n c f E c f E . (3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥∀<-, 即)1(11)()(≥-≥->k kc k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k k c f E x n n , 所以 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈11lim k n n k c f E x , 故[] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊂≥11lim k n n k c f E c f E ；另一方面, 设 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈101lim k nn k c f E x , 则对任意+∈Z k 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k c f E x n n 1lim 0.由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有kc x f n 1)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有kx f x f n 1|)()(|00<-. 取},max {21N N N =,则有k c x f n 1)(0->与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立, 于是有k c x f k x f n 1)(1)(00->>+,从而k c x f 2)(0->, 由k 的任意性知：c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有[] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊃≥11lim k n n k c f E c f E ;综上所述：[].11lim 111 ∞=∞=∞=∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E5．证明集列极限的下列性质．(1) cn n cn n A A ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛lim lim _____；(2) c n ncn n A A _____lim lim ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛； (3) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ；(4) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ．证明 (1) cn n n nm c m n c n m m c n n m m cn n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛lim )()(lim 111_____ .(2) c n n n n nm c m c n m m c n n m m c n n A A A A A _____111lim )()(lim ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛ . (3) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n nm n n m cm cm n nm m n n A E A E A E A Ec n nm m n c nm m n nm cmA E A E AE )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞====∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n mA E AE .(4) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n nm cm n nm n nm cm m n n A E A E A E A Ecn nm m n c nm m n n m cm A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞====∞=∞=∞→==1lim \\n nm n n mA E AE .6．如果}{},{n n B A 都收敛，则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A 都收敛且 (1) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(2) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ； (3) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim \lim \lim ．习题1.21．建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应． 解 令1111{,,,,}2345E = , 111{0,1,,,}234F = ,(0,1)\D E =,则(0,1)E D = ,[0,1]F D = .定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;11();(1,2,)210;2x x D x x n n n x φ⎧⎪∈⎪⎪===⎨+⎪⎪=⎪⎩则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应.2．建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,． 解 定义: :[,][,]a b c d φ→为:()().([,])d c d c bc adx x a c x x a b b a b a b aφ---=-+=+∀∈--- 可以验证: :[,][,]a b c d φ→为一个一一对应.3．建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,． 解 令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+++ ，{,,,,}23d c d c F c d c c --=++ (,)\D a b E =. 定义:(,)[,]a b c d φ→为:;();(1,2.)2;.2d cbc ad x x D b a b a d c b ax c x a n n n b a c x a φ--⎧+∈⎪--⎪--⎪=+=+=⎨+⎪-⎪=+⎪⎩可以验证: :(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应.4．试问：是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[ ?答 不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间[0,1]存在最大、最小值.也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4] ; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4] 不能保证介值性定理永远成立.5．证明：区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R ⨯且ℵ=2R ．证明 记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ⨯=⨯.任取(,)x y A A ∈⨯, 设1231230.,0.,x a a a y b b b == 为实数,x y 正规无穷十进小数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b = , 则得到单射:f A A A ⨯→. 因此由定理 1.2.2知A A A ⨯≤.若令10.5A A =⨯, 则1~A A A A ⊂⨯. 从而由定理1.2.2知: A A A ≤⨯. 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)⨯.对于(,)(0,1)(0,1)x y ∀∈⨯,定义2:(0,1)(0,1)R φ⨯→为:(,)((),())22x y tg x tg y ππφππ=--,则φ为2(0,1)(0,1)R ⨯→的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)~R ⨯. 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ⨯且2R R ==ℵ.6．证明：{}1:),(22≤+=y x y x A 与{}1:),(22<+=y x y x B 对等并求它们的基数． 证明 令221{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+== , \D A E =, 221{(,):(1,2,3,)}1F x y x y n n =+==+ .则,A E D B F D == . 定义: :A B φ→为:2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈⎧⎪=⎨+=+==∈⎪+⎩可以验证: :A B φ→为一一对应, 即~A B . 又因为2~(0,1)(0,1)~~B R R ⨯, 所以A B ==ℵ.7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数ℵ．证明 对任意的,I J R ⊆， 取有限区间(,)a b I ⊆，则(,)a b I R ℵ=≤≤=ℵ, 则由Bernstern定理知I =ℵ, 同理J =ℵ. 故I J ==ℵ. 习题1.31．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 是可数集．证明 因为有理数集Q 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定，即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x 所以M 为可数集.2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多是可数集．证明 对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f . 因此可得：Q →M f :. 因为1O 与2O 不相交，所以)()(21O f O f ≠. 故f 为单射，从而a M =≤Q .3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．证明 (2) 当E 可数时，存在双射Q )1,0(:→E f . 因为∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=11,11)1,0(n n n Q Q所以∞=∞=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+==11111,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q .其中：)(),3,2,1(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=- 且Q . 又因为Q Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-n n n n f 1,11~1,111且Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+n n 1,11 可数，所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并．当E 不可数时，由于E 无限，所以存在可数集E E ⊂1, 且1\E E 不可数且无限，从而存在可数集12\E E E ⊂，且)(\\)\(2121E E E E E E =无限不可数. 如此下去，可得),3,2,1( =n E n 都可数且不相交，从而1011)()\(E E E E E E i i n i ==∞=∞=.其中)0(≥i E i 无限且不交.4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．证明 有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．证明 不妨设函数f 在),(b a 单调递增，则f 在0x 间断当且仅当0)(lim )(lim )0()0(_000>==--+→→+x f x f x f x f x x x x .于是，每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0((00+-x f x f .下面证明：若x x '''<为()f x 的两个不连续点，则有(0)(0)f x f x '''+≤-. 事实上，任取一点1x ，使1x x x '''<<，于是11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'>'''→→'''<<'+==≤≤=，从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.7．证明：若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ，则E 至多是可数集．证明 定义映射}:)3,{(:E x dx E f ∈→，即))(3,()(E x d x D x f ∈=，其中)3,(d x D 表示以E x ∈为中心，以3d 为半径的圆盘. 显然当y x ≠时，有∅=)3,()3,(dy D d x D ，即)()(y f x f ≠，于是f 为双射，由第2题知：a E x dx ≤∈}:)3,{(，故a E ≤.习题1.41．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是什么? 答 直线上一切闭区间之集的基数是c . 这是因为：2),(],[:R ∈→b a b a f 为单射，而R ∈→a b a f ],[:为满射，所以c M c =≤≤=2R R .区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是c ，这是因为：a a =≤≤. 2．用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集，证明： (1) 设},,,,{],[21 n r r r b a =Q ，],[,b a C g f ∈，则⇔=g f ),2,1)(()( ==k r g r f k k ；(2) 公式)),(,),(),(()(21 n r f r f r f f =π定义了单射)(],[:R S b a C →π；(3) c b a C =],[． 证明 (1) 必要性. 显然.充分性. 假设),2,1)(()( ==k r g r f k k 成立. 因为},,,{\],[321 r r r b a x ∈∀，存在有理数列∞=1}{n n x ，使得x x n n =∞→lim ，由],[,b a c g f ∈，可得)()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞→∞→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞→∞→.又因为∞=1}{n n x 为有理点列，所以有)()(n n x g x f =，故],[b a x ∈∀，都有)()(x g x f =.(2) ],[,b a c g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即)),(,),(),(()),(,),(),((2121 n n r g r g r g r f r f r f =.由(1)知：g f =. 故π为单射.(3) 由(2)知：c R S b a c =≤)(],[；又由],[b a c ⊂R ，可得],[b a c c ≤=R . 故c b a C =],[.3．设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集，证明： (1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射)(],[:2R P b a F →π；(2) ]1,0[⊂∀E ，E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α；(3) ],[b a F 的基数是c2．证明 (1) ],[,b a F g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈.从而]),[)(()(b a x x g x f ∈∀=，故π为单射.(2) ]1,0[,⊂∀F E ，设)()(F E αα=，则F E F E χααχ===)()(，故α为单射.(3) 由(1)知：c P b a F 2)(],[2=≤R ；又由(2)知：],[2])1,0([b a F P c≤=，故c b a F 2],[=.4．证明：c n=C ．证明 因为R R C ⨯~，而c =⨯R R ，故c =C ；又由定理1..4.5知：c n=C . 5．证明：若E 为任一平面点集且至少有一内点，则c E =．证明 显然c E =⨯≤R R . 设00E x ∈，则0>∃δ使得E x B ⊂),(0δ，可知E x B c ≤=),(0δ，故c E =.第一章总练习题.1 证明下列集合等式．(1) ()()F F E F E E F E \\\ ==； (2) ()()()G F G E G F E \\\ =．证明 (1) 因为\()()()()()\c c c c c E E F E E F E E F E E E F E F ==== ,()\()()()\c c c E F F E F F E F F F E F === .所以\\()()\E F E E F E F F == .(2) 因为()\()()()(\)(\),c c c c E F G E F G E F G E G F G E G F G ====所以()()()G F G E G F E \\\ =..2 证明下列集合等式．(1) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ；(2) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ．证明 (1)1111\()()(\)ccnn n n n n n n AB A B A B A B ∞∞∞∞======= .(2)1111\()()(\)c c nn n n n n n n AB A B A B A B ∞∞∞∞======= .3．证明：22[][][]c c E f g c E f E g +≥⊂≥≥ ，其中g f ,为定义在E 的两个实值函数，c 为任一常数．证明 若()()22c c x E f E g ∉≥≥ , 则有()2c f x <且()2cg x <, 于是()()()()f x g x f g x c +=+<,故()x E f g c ∉+≥. 所以()()()22c cE f g c E f E g +≥⊂≥≥ .4．证明：nR 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等．证明 因为0Q =ℵ,所以0Q Q Q Q n=⨯⨯⨯=ℵ (推论1.3.1). 又因为0N =ℵ, 所以0Q n N ==ℵ, 故Q ~n N .5．有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数？ 6．证明：一切有理系数的多项式之集][x Q 是可数集． 证明 设},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x于是.][Q ][Q 0∞==n n x x显然,Q ~][Q 1n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n ==+ 因此由定理1.3.5知：.][Q a x =7．证明：一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c ．证明 记},R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x于是.][R ][R 0∞==n n x x显然,R~][R 1n +x n 所以,R 1n c n ==+ 因此由定理1.4.3知：.][R c x =8．证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是c ．证明 由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为,,,,,,210 n P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个，故n A 为有限集，从而代数数全体 ∞==n nAA 为可数个有限集的并，故A 为可数集，即.a A =设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A 从而B 必为无限集，由于A 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故.R cB A B ===9．证明：A B B A \~\，则B A ~． 证明 因为),()\(),()\(B A A B B B A B A A ==又因为,)(\)(\,~,\~\∅==B A A B B A B A B A B A A B B A所以由保并性知),()\(~)()\(B A A B B A B A即.~B A10．证明：若,,D B B A <≤则D A <．证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾. 故有D A <. 11．证明：若c B A = ，则c A =或c B =．证明 假设,a B A == 则有,a B A = 这与c B A = 矛盾，故有c A =或c B =.12．证明：若c A k k =+∈Z ，则存在+∈Z k 使得c A k =．证明同上.习题2.11．若E 是区间]1,0[]1,0[⨯中的全体有理点之集，求bE E E E ,,,'．解 E =∅；[0,1][0,1]bE E E '===⨯。
实变函数参考答案.docx
依然是旧版书的题号19.证明：若E为有界集，根据第15题则存在E中的闭集F使得mF〉O,于是F为有界闭集。
假设Vx w 氏〉0,s"i（EnO（x,氏））=0 ,就有F U U0（X,Q），根据Borel 有XE F限覆盖定理知存在P，使得Fc（j0（x;,^ ）,从而Z=1p P加F =加（尸门［^0（兀，心丿）<工加（£门0（兀，/心））=0，矛盾，故假设不成立，即需证结z=l i=\论成立。
co oo若E为无界集，设B k =O（,0,k）,k=l,2,...,则E = E^R n =En（|J5J = °k=\ k=l由于协E〉0,于是必然存在k,使得m（EC\B k）>Q,而Eg为有界集，由上即知3x e E A , s.t.\/3 > 0, m（（E A B,） A 0（x, ^）） > 0 ,故而对E 而言，相应结论亦成立。
注：此题当然可以不使用Borel有限覆盖定理而得到证明，但作为替代，我们需要求助于习题一的24题（旧版书），此时关于E是否有界的讨论就可以省掉。
在此，我们看到习题一的24题（旧版书）的好处，它能将不可数覆盖转化为至多可数覆盖，从而可以运用（外）测度的相关运算性质。
另外，课本上“提示：利用闭集套定理”，那样做也是可以的，但是感觉繁琐了些，就不在此写出了。
附：对《实变函数参考答案（3）》的补充（一）上次的7.题有个位置有点问题：应该将||处的九4改为m{B - A）“7证明：若mA =+00 ,则m(A U B) + m(A A B) = mA + mB两端皆是+ 8,等式自然成立。
若mA < +8 ,则加(4 U 5) = mA + m(B - A),mB = m(A Cl B) + m(B - A),于是m{A U B) + m{A Pl B) = mA + m(B -A) + mB - m(B - A) = mA + mB ,等式亦成立。
实变函数第二章点集答案
13.
用三进位无限小数表示康托集 P 中的数时，完全可以 用不着数字 1，试用此事实证明 P 的基数为 c. （提示：把 P 中的点与二进位无限小数作对应）
先用三进位有限小数来表示集 P 的余区间的端点（都属于 P） 则有
证明
1 2 ( , ) (0.1,0.2), 3 3 1 2 ( , ) (0.01,0.02), 9 9 7 8 ( , ) (0.1,0.2), 9 9
n 1
11.
证明： f ( x )为a, b 上连续函数的充要条件是对任意实数 c ， 集 E x f ( x ) c 和E1 x f ( x) c 都是闭集.
证明 若： f ( x )为a, b 上连续函数，用第八题同样的方法得
E 和E1 是闭集. E 若E 和E1 是闭集，若有 x0 a, b ，不是f (x) 的连续点，
n
9. 证明：每个闭集必是可数个开集的交集； 每个开集可以表示成可数个开集的合集.
证明 设 F 是闭集，令 Gn x d ( x, F )
1 ，Gn 是开集 n
1 1 ，所以存在 y 0 F ，使 d ( x 0 , y 0 ) . n n 1 1 （否则，任意 y F ， d ( x 0 , y ) ，则 d ( x 0 , F ) inf d ( x 0 , y ) , yF n n 1 与 d ( x0 , F ) 矛盾） 。 n
其中 ai (i 1,2, , n 1) 为 0 到 9 除 7 外的一切自然数，
a1 ,, an1 是取遍满足上述条件的各种可能的n 1 个数
记这些全体开区间为
实变函数课后习题答案_北大版_周民强
证: lim En = [a, b]\E.
n→∞ n→∞
n→∞
∀ x ∈ [a, b] \ E, ∵ lim fn (x) = 1, ∴ ∃N, ∀ n ≥ N, fn (x) ≥
n→∞ 1 , i.e. 2 n→∞ n→∞
∞
{x ∈ [0, 1] : |f (x)| >
n=1
1 } n
=
∞
+ − 1 < |f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xp )| ≤ M, p < nM , 所以 E1 则 p· n /n 只含有限个数, 同理 E1/n 也只含有限个数, 由此可得 E 可数.
n=1
+ (E1 /n
S (C, r3 )), S (P, r) 表示以 P 为圆心 r 为半径的球面 }, E 可数.
10. 设 E 是平面 R2 中的可数集, 试证明存在互不相交的集合 A 与 B , 使得 E = A ∩ B, 且任一平行于 x 轴的直线交 A 至多是有限个点, 任一平行于 y 轴的直线交 B 至多是有限 个点. 2
证: ∵ E 可数, ∴ E 中点的横坐标, 纵坐标集合也可数, 分别记为 X = {x1 , x2 , · · · , xn , · · · }, Y = {y1 , y2 , · · · , yn , · · · }, 如此就可记 E = {(xi , yj ) ∈ E : i, j ∈ N}, 作从 E 到 N2 的映 射 f : f ((xi , yj )) = (i, j ); 记 A1 = {(i, j ) : i ≤ j }, B1 = {(i, j ) : i > j }, 令 A = f −1 (A1 ), B = f −1 (B1 ) 即可. 11. 设 {fα (x)}α∈I 是定义在 [a, b] 上的实值函数族. 若存在 M > 0, 使得 |fα (x)| ≤ M, x ∈ [a, b], α ∈ I, 试证明对 [a, b] 中任一可数集 E , 总有函数列 {fαn (x)}, 存在极 限 lim {fαn (x)}, x ∈ E.
实变函数题库集答案
实变函数试题库及参考答案 本科一、题1．设,A B 为集合，则()\A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写）2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写）3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集4．有限个开集的交是开集5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ⊂是可数集，则*m E =07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是可测集，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒()()f x g x +10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积11．设,A B 为集合，则()\B A A ⊃A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}211,2,A k k =-=，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设n E ⊂，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集14．任意个开集的并是开集15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ⊂，则1mE ≤2mE16．设E 中只有孤立点，则*m E =0 17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦是可测，则称()f x 在E 上可测18．可测函数列的下极限也是可测函数 19．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x ⇒()()f x g x20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()E f x dx =⎰()lim nE n x dx ϕ→∞⎰ 21．设,A B 为集合，则()\A B B ⊃B22．设A 为有理数集，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数）23．设n E ⊂，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是开集24．有限个闭集的交是闭集25．设n E ⊂，则*m E ≥0 26．设E 是n 中的区间，则*m E =E 的体积27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦是可测集，则称()f x 在E 上可测28．可测函数列的极限也是可测函数 29．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()n f x ⇒()g x30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有()E f x dx =⎰()lim n E n f x dx →∞⎰31．设,A B 为集合，则()\B A B A =A B32．设A 为无理数集，则A =c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数）33．设n E ⊂，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是开集34．任意个闭集的交是闭集35．设n E ⊂，称E 是可测集，如果n T ∀⊂，()**m T m TE =+()*c m T E 36．设E 是外测度为零的集合，且F E ⊂，则*m F =037．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x a f x b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测，（a b ≤）则称()f x 在E 上可测38．可测函数列的上确界也是可测函数39．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒()()f x g x40．设()()n f x f x ⇒，那么由黎斯定理，(){}n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于E 41.设,A B 为两个集合,则__c A B AB -.（等于） 42.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是闭.43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)(a,b)G ⊆ (ii),a G b G ∉∉44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 答案：≥45.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 答案：≥46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E xf x a >是可测集E 上的可测函数.47.设x 是E (R ⊆)的内点,则*__0m E . 答案>48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由____黎斯__定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()()k a e n f x f x x E →∈. 49.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上不一定L 可积.50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数.51．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 答案=52．设n E R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是开集53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的构成区间54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数=a (其中a 表示自然数集N 的基数)55．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 答案 =56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是可测集57．若()E R ⊆是可数集，则__0mE 答案=58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ⇒x E ∈不一定成立59． 设()f x 为可测集()nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值一定存在 60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ACD ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设n E ⊂是无限集，则（ AB ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）C E '≠∅D *0mE >3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ABD ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数5．设n E ⊂，如果E 至少有一个内点，则（ BD ）A *m E 可以等于0B *0m E >C E 可能是可数集DE 不可能是可数集6．设n E ⊂是无限集，则（ AB ）A E 含有可数子集B E 不一定有聚点C E 含有内点DE 是无界的7．设()f x 是E 上的可测函数，则（ BD ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 是非负简单函数列的极限C ()f x 是有界的D ()f x 在E 的可测子集上可测8．设()f x 是[],a b 上的连续函数，则（ ABD ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积，且()()()()[],ba ab R f x dx L f x dx =⎰⎰C ()f x 在[],a b 上L 可积，但()()()()[],ba ab R f x dx L f x dx ≠⎰⎰D ()f x 在[],a b 上有界9．设()D x 是狄利克莱函数，即()[][]10,100,1x D x x ⎧⎪=⎨为中有理数为中无理数，则（ BCD ）A ()D x 几乎处处等于1B ()D x 几乎处处等于0C ()D x 是非负可测函数 D ()D x 是L 可积函数10．设n E ⊂，*0m E =，则（ ABD ）A E 是可测集B E 的任何子集是可测集C E 是可数集DE 不一定是可数集11．设n E ⊂，()10E cx Ex x E χ∈⎧=⎨∈⎩，则（ AB ） A 当E 是可测集时，()E x χ是可测函数B 当()E x χ是可测函数时，E 是可测集C 当E 是不可测集时，()E x χ可以是可测函数D 当()E x χ是不是可测函数时，E 不一定是可测集12．设()f x 是(),a b 上的连续函数，则（BD ）A ()f x 在(),a b 上有界B ()f x 在(),a b 上可测C ()f x 在(),a b 上L 可积D ()f x 在(),a b 上不一定L 可积13．设()f x 在可测集E 上L 可积，则（AC ）A ()f x +，()f x -都是E 上的非负可积函数B ()f x +和()f x -有一个在E 上的非负可积C ()f x 在E 上L 可积D ()f x 在E 上不一定L 可积14．设n E ⊂是可测集，则（ AD ）A c E 是可测集B mE <+∞C E 的子集是可测集DE 的可数子集是可测集15．设()()n f x f x ⇒，则（ CD ）A ()f x 几乎处处收敛于()f xB ()n f x 一致收敛于()f xC ()n f x 有子列()n f x ，使()()n f x f x →..a e 于ED ()n f x 可能几乎处处收敛于()f x16．设()f x 是[],a b 上有界函数，且L 可积，则（BD ）A ()f x 在[],a b 上黎曼可积B ()f x 在[],a b 上可测C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上不一定连续17. 设{[0,1]}E =中的无理点,则(CD)（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每个点均是聚点 （D ）0mE >18. 若E (R ⊆)至少有一个内点，则（BD ）（A ）*m E 可以等于０ （B ）*0m E = （C ）E 可能是可数集 （D ）E 不可能是可数集19．设[,]E a b ⊆是可测集，则E 的特征函数()E x χ是（ABC ）（A ）[,]a b 上的符号函数 （C ）E 上的连续函数（B ）[,]a b 上的可测函数 （D ）[,]a b 上的连续函数20． 设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则（ACD ）（A ）()f x 是[,]a b 上的有界变差函数 （B ）()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数（C ）()f x 在[,]a b 上几乎处处收敛 （D ）()f x 在[,]a b 上几乎处处可导21．设{[0,1]}E =中的有理点，则（ AC ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点22．若()E R ⊆的外测度为0，则（ AB ）（A ）E 是可测集（B ）0mE =（C ）E 一定是可数集（D ）E 一定不是可数集23．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()f x f x x E ⇒∈，则下列哪些结果不一定成立（ ABCD ）（A ）()E f x dx ⎰存在（B ）()f x 在E 上L -可积（C ）.()()()a en f x f x x E →∈（D ）lim ()()n E E n f x dx f x dx →∞=⎰⎰24．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（ AD ）（A ）()()f x L E +∈与()()f x L E -∈至少有一个成立（B ）()()f x L E +∈且()()f x L E -∈（C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值（D ）|()|()f x L E ∈三、单项选择1．下列集合关系成立的是（ A ）A ()\B A A =∅B ()\A B A =∅C ()\A B B A =D ()\B A A B =2．若n R E ⊂是开集，则（ B ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=4．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ B ） A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ C ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ D ()()lim lim n n E E n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰5．下列集合关系成立的是（ A ）A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭C c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭D c cA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．若n R E ⊂是闭集，则（ C ）A E E '=B E E '⊂C E E '⊂D 0E E =A E 为闭集B E 是不可测集C mE =+∞D 0mE =9．下列集合关系成立的是（B ）A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭BccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭C c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D cc cA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫=⎪⎝⎭10．设n R E ⊂，则( A ) A E E ⊃B E E '⊂C E E '⊂D E E =11．设P 为康托集，则（ B ）A P 是可数集B 0mP =C P 是不可数集D P 是开集13．下列集合关系成立的是（ A ）A 若AB ⊂则c c B A ⊂B 若A B ⊂则c c A B ⊂C 若A B ⊂则A B B =D 若A B ⊂则A B B =14．设n R E ⊂，则（ A ） A ()E E =B 0E E ⊃C E E '⊂D E E '⊂15．设(){},001E x x =≤≤，则（ B ）A 1mE =B 0mE =C E 是2R 中闭集DE 是2R 中完备集16．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ B ）A ()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集B ()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集C ()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集D ()()E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集１7．下列集合关系成立的是（A ）（A ）(\)A B B A B = （B ）(\)A B B A =（C ）(\)B A A A ⊆ （D ）\B A A ⊆18. 若()n E R ⊆是开集，则 （ B ）（A ）E 的导集E ⊆ （B ）E 的开核E =（C ）E E = （D ）E 的导集E =..19. 设P 的康托集，则(C)（A ）P 为可数集 （B ）P 为开集（C ）0mP = （D ）1mP =20、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则 （ D ）（A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数（C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数21．下列集合关系成立的是（ A ）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =∅（C ）(\)B A A =∅ （D ）A B A B ⊆22. 若()n E R ⊆是闭集，则 （ B ）（A ）0E E = （B ）E E =（C ）E E '⊆ （D ）E E '=23. 设Q 的有理数集，则（ C ）（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集（C ）0mQ = （D ）Q 为不可测集24.设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()0Ef x dx =⎰，则 （ A ）（A ）在E 上，()f x 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f x ≥（C ）在E 上，()0f x ≡ （D ）在E 上，()0f x ≠四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ × ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ √ ）3. 相等的集合是对等的. （ √ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ √ ）5. 可数个F σ集的交是F σ集. （ × ）6. 可数个可测函数的和使可测函数. （ √ ）7. 对等的集合是相等的. (× )8. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x =的x 全体是零测集. （ × ）9. 可数个G σ集的并是G σ集. （ √ ）..11. 对等的集合不一定相等. （ √ ）12. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是零测集.（ √ ）13. 可数个开集的交是开集 （ × ）14. 可测函数不一定是连续函数. （ √ ）15. 对等的集合有相同的基数. （ √ ）16. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体的测度大于0 （ × ）17. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ × ）18. 任何无限集均含有一个可列子集 （ √ ）19. 设E 为可测集，则一定存在G σ集G ，使E G ⊆，且()\0m G E =. （ √ ）20. 设E 为零测集，()f x 为E 上的实函数，则()f x 不一定是E 上的可测函数（ × ）21. 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈ （ × ）22. 可列个开集的交集仍为开集 （× ）23. 任何无限集均是可列集 （ × ）24. 设E 为可测集，则一定存在F σ集F ，使F E ⊆，且()\0m E F =. （ √ ）25. 设E 为零测集，则()f x 为E 上的可测函数的充要条件是：∀实数a 都有()E xf x a ⎡≥⎤⎣⎦是可测集 （ √ ）26. 设()f x 为可测集E 上的可测函数，则()Ef x dx ⎰一定存在. （ × ）五、简答题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A的基数大于A 的基数. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.5. 简述集合对等的基本性质.答：A A ；若A B ，则B A ；若A B ，且B C ，则A C .6. 简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成.7. 可测集与开集、G σ集有什么关系？答：设E 是可测集，则0ε∀>，∃开集G ，使G E ⊃，使()\m G E ε<，或∃G 集G ，使G E ⊃，且()\0m G E =.8. [],a b 上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数. 9. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理. 答：若AB B *⊂，又B A A *⊂，则A B10. 简述1R 中开集的结构.答: 设G 为1R 中开集，则G 可表示成1R 中至多可数个互不相交的开区间的并. 11. 可测集与闭集、F σ集有什么关系？答：设E 是可测集，则0ε∀>，∃闭集F E ⊂，使()\m E F ε<或∃F σ集F E ⊂，使()\0m E F =.12. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.13. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数. 14. 简述nR 中开集的结构.答：nR 中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并 15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？ 答：设()(),n f x f x 是可测集E 上的一列可测函数，那当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，必有()()n f x f x ⇒.反之不成立，但不论mE <+∞还是mE =+∞，(){}n f x 存在子列(){}k n f x ，使()(),.k n f x f x a e →于E .当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，由Egoroff 定理可得()n f x 近一致收敛于()f x ，反之，无需条件mE <+∞，结论也成立.16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.17. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？ 答：不一定，如[]1111,11,1n n n +∞=⎛⎫---+=- ⎪⎝⎭18. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式. 19.[],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差. 20. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定 如()1111,11,1n n n +∞=⎡⎤---+=-⎢⎥⎣⎦ 21. 可测集E 上的可测函数与连续函数有什么关系？答：E 上连续函数必为可测函数但E 上的可测函数不一定时连续函数，E 上可测函数在E 上是“基本上”连续的函数 22.[],a b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，[]()41331000,11|44x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰.3. 设()[]2sin 0,1\xx P f x x x P ∈⎧=⎨∈⎩，P 为康托集，求()[]0,1f x dx ⎰.解：因为0mP =，所以()2,.f x x a e =于[]0,1于是()[][]20,10,1f x dx x dx =⎰⎰而2x 在[]0,1上连续，所以[]()31221000,11|33x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,113f x dx =⎰.4. 设()()[]22sin ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰. 解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =又()()[]2222sin 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰5. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，E 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰. 解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是()0,0,22cos f x dx xdx ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而cos x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰6. 设()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰7. 设()[]3sin 0,1\xx P f x xx P⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，P 为康托集，求()[]0,1f x dx ⎰.解：因为0mP =，所以(),.f x x a e =于[]0,1 于是()[][]0,10,1f x dx xdx =⎰⎰而x 在[]0,1上连续，所以[]()2121000,11|22x xdx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,112f x dx =⎰. 8. 求()()0,ln limcos xn n x n e xdx n -→∞+⎰.解：令()()()()0,ln cos xn n x n f x x e x nχ-+= 显然()n f x 在()0,+∞上可测，且()()()()0,0,ln cos xn n x n e xdx f x dx n -+∞+=⎰⎰ 因为()()()()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n-++≤≤∀∈+∞=不难验证()()ln n x n g x n+=，当n 足够大时，是单调递减非负函数，且 ()lim 0n n g x →∞=，所以()()()()()()0,0,0,ln limlim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==⎰⎰⎰()0,00dx +∞==⎰由勒贝格控制收敛定理()()0,lim0n n f x dx →∞+∞=⎰故()()0,ln lim cos 0x n n x n e xdx n -→∞+=⎰. 9. 设()[][]101001x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为，上的有理点为，上的无理点，求()[]01D x dx ⎰，.证明 记1E 是[]0,1中有理数集，2E 是[]0,1中无理数集，则[]12120,1,E E E E ==∅，120,1mE mE ==，且()1210E E D x χχ=+，所以()[]120,1100D x dx mE mE =+=⎰.10 求()0ln limcos xn x n e xdx n+∞-→∞+⎰. 证明 易知()ln limcos 0xn x n e x n-→∞+=对任意0,1x n ≥≥，()()ln ln cos x x n x n e x n n-++≤ 设()ln ()x y f y y +=，0y >，则()2ln ()yx y x yf y y -++'=，当3y ≥时，()1ln yx y x y<<++，()0f y '<. 则()ln ()x n f n n+=是单调减函数且非负（3n ≥）； 又()ln 1limlim 0n n x n nx n →∞→∞+==+，由Levi 单调收敛定理得()()00ln ln lim lim 00n n x n x n dx dx dx n n+∞+∞+∞→∞→∞++===⎰⎰⎰，即()ln ()x n L E n +∈，再由Lebsgue 控制收敛定理得()()000ln ln lim cos lim cos 00x xn n x n x n e xdx e xdx dx n n+∞+∞+∞--→∞→∞++===⎰⎰⎰11. 设()[]230,1xx Pf x xx P ⎧∈⎪=⎨∈-⎪⎩，其中P 为康托集，求()[]01f x dx ⎰，.解：因为P 为康托集，故0mP =，[]()0,1\1m P = 所以()[]320,1P P f x x x χχ-=+ 所以()[][]()2330,10,1f x dx x mP x m P x=+-=⎰12. 求()[]22,0,11n nxf x E n x ==+，求()lim n n Ef x dx →∞⎰.解：易知：[]()22lim00,11n nxx n x →∞=∈+令()()2221,1n nx f x g x n x x ==+， 则()()()22232222222221110111n nx n x nx n x nx g x f x nx nx x n x x x n x n x+-+--=-==≥+++ 所以()()[]()00,1,1n f x g x x n ≤≤∈≥ 又因为()g x 在[]0,1上Lebesgue 可积， 所以由控制收敛定理，得 22lim 001n E Enxdx dx n x →∞==+⎰⎰七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =证明(\)()c A B B A B B =()()()c c A B A B B A BB B A B ===2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而cF 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+，故1mF =3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则()11[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞==>=≥>=≥<因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，[|()|][|()|]|()||()|E x f x a E x f x a Eadx f x dx f x dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则lim ()0nE n f x dx →∞=⎰证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰6．证明集合等式：\(\)A A B A B =证明 \(\)()(())()c c cc c cA AB AA B A A B A A B ===()()c AA AB A B ==7．设12,A A 是[0,1]的可测子集，且121mA mA +>，则12()0m A A >证明 因为12[0,1],[0,1]A A ⊂⊂，所以12[0,1]A A ⊂，于是12()[0,1]1m A A m ≤=另一方面，121122[\()]A A A A A A =，所以()12112211221122()[\()][\()]()m A A m A A A A m A A A mA mA m A A mA ==+=-+ 于是121212()()0m A A mA mA m A A =+->8．设()f x 是定义在可测集nE R ⊂上的实函数，n E 为E 的可测子集（1,2,n =），且1n n E E ∞==，则()f x 在E 上可测的充要条件是()f x 在每个n E 上可测 证明 对任何实数a ，因为11[|()][|()]([|()])n nn n E x f x a E x f x a E E x f x a ∞∞==>=>=>所以()f x 在E 上可测的充要条件是对每个1,2,n =，()f x 在每个n E 上可测9．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有()[|()]af x EmE x f x a e e dx -≥≤⎰证明 因为()f x 在E 上可测，所以()f x e是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，()()[|()][|()]a f x f x E x f x a E x f x a Ee dx e dx e dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()][|()]a a E x f x a e dx e mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以 ()[|()]af x EmE x f x a ee dx -≥≤⎰10．设()f x 是E 上的可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果lim n n mE mE →∞= 则lim()()nE En f x dx f x dx →∞=⎰⎰证明 因()f x 在E 上L -可积，由积分的绝对连续性知，对任意0ε>，存在0δ>，对任何A E ⊆，当mA δ<时有|()|Af x dx ε<⎰，由于lim n n mE mE →∞=<+∞，故对上述的0δ>，存在0k ，当0n k >时n E E ⊆，且有()n n mE mE m E E δ-=-<，于是|()()||()|nnEE E E f x dx f x dx f x dx ε--=<⎰⎰⎰，即 lim()()nE En f x dx f x dx →∞=⎰⎰11．证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =证明 ()\()()()(\)(\)c c c AB C A B C A C B C A C B C ===12．设nE R ⊂是零测集，则E 的任何子集F 是可测集，且0mF =证明 设F E ⊂，*0m E =，由外测度的单调性和非负性，*00m F mE ≤≤=，所以*0m F =，于是由卡氏条件易知F 是可测集13．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数，且()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()()()n n f x g x f x g x +⇒+.证明 对任何正数0σ>，由于|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+-所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥[|()()|][|()()|]22n n E x f x f x E x g x g x σσ⊂-≥-≥于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥[|()()|][|()()|]22n n mE x f x f x mE x g x g x σσ≤-≥+-≥0()n →→∞故()()()()n n f xg x f x g x +⇒+ 14．设(),()f x g x 是E 上L -E 上也是L -可积的证明 因(),()f x g x 是E 上L -可积，所以|()|,|()|f x gx 在E 上L -可积，从而|()||()|f x g x +L -可积，|()||()|f x g x ≤=+ E 上L -可积15．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果()0Ef x dx =⎰，则()0.f x a e =于E证明 反证，令[|()0]A E x f x =>，则由()f x 的可测性知，A 是可测集.下证0mA =，若不然，则0mA >由于11[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞==>=≥，所以存在1N ≥，使1[|()]0mE x f x d N≥=> 于是11[|()][|()]111()()[|()]0EE x f x E x f x NNd f x dx f x dx dx mE x f x N N N N ≥≥≥≥=≥=>⎰⎰⎰因此()0Ef x dx >⎰，矛盾，故()0.f x a e =于E16．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =证明\()()()()()(\)(\)c cc c c A B C A B C A B C A B A C A B A C ====17．设n E R ⊂是有界集，则*m E <+∞.证明 因为E 是有界集，所以存在开区间I ，使E I ⊂由外测度的单调性，**m E m I ≤，而*||m I I =<+∞（其中||I 表示区间I 的体积），所以*m E <+∞18．1R 上的实值连续函数()f x 是可测函数证明 因为()f x 连续，所以对任何实数a ，{|()}x f x a >是开集，而开集为可测集，因此()f x 是可测函数 19．设mE <+∞，函数()f x 在E 上有界可测，则()f x 在E 上L -可积，从而[,]a b 上的连续函数是L -可积的 证明 因为()f x 在E 上有界可测，所以存在0M >，使|()|f x M <，x E ∈，|()|f x 是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，|()|EEf x dx Mdx M mE <=⋅<+∞⎰⎰故|()|f x 在E 上L -可积，从而()f x 在E 上L -可积 因为[,]a b 上的连续函数是有界可测函数，所以L -可积的 20．设()n f x （1,2,n =）是E 上的L -可积函数，如果lim|()|0nn E n f x dx →∞=⎰，则()0n f x ⇒证明 对任何常数0σ>，[|()|][|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥⋅≥≤⎰所以 [|()|]1[|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥≥≤⎰1|()|0()nEfx dx n σ≤→→∞⎰因此 ()0n f x ⇒ 21. 证明集合等式 ：()()()\\\A B C A C B C =.证明 ()()()()()()\\\c c c A B C A B C A C BC A C B C ===22. 设[]{}00,1E =中的有理点，则0E为可测集且00mE =.证明 因为0E 为可数集，记为{}012,,,n E r r r =，0ε∀>，取()11,1,2,22n n n n n I r r n εε++⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 显然 01n n E I +∞=⊂，所以0011102n n n n n n E I m E I εε+∞+∞+∞*===⊂≤≤==∑∑，让0ε→，得00m E *=.n T R ∀∈，由于()()00c T TE T E = 所以()()00c m T m TE m T E ***≤+. 又00,0c T E T m E *⊆=，所以()()()000c c m T m T E m T E m T E ****≥=+.故()()00c m T m T E m T E ***=+故0E 为可测集，且00mE =23. 证明：1R 上的实值连续函数()f x 必为1R 上的可测函数 证明 1,a b R ∀∈，不妨假设a b <，因为()f x 是1R 上的连续函数，故()f x 是[],a b 上的连续函数，记[],F a b =，由()f x 在F 上连续，则(),M m m M ∃<，使()m f x M ≤≤，则显然易证，()1,R F f αα∀∈≥是闭集，即()f x 为[],a b 上的可测函数，由,a b 的任意性可知，()f x 是1R 上的可测函数. 24. 设()()f x L E ∈，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞ ，如果lim n n mE mE →∞=，则()()lim n n E Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰. 证明 因()f x 在E 上L 可积，由积分的绝对连续性知，对任意0ε>，存在0δ>，对任何A E ⊆，当mA δ<时有|()|A f x dx ε<⎰，由于lim n n mE mE →∞=<+∞，故对上述的0δ>，存在0k ，当0n k >时n E E ⊆，且有()n n mE mE m E E δ-=-<，于是\|()()||()|nn E E E E f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰，即 lim ()()n E En f x dx f x dx →∞=⎰⎰ 25. 证明集合等式 ：()()()\\\A BC A B A C =.证明()()()()()()()\\\c c c c c A B C AB C A B C A B A C A B A C ====26. 设1E R ⊆，且0m E *=，则E 为可测集. 证明 n T R ∀∈，由于()()n c T R T TE T E ∀∈= 所以()()c m T m TE m T E ***≤+. 又,0c T E T m E *⊆=，所以()()()c c m T m T E m T E m T E ****≥=+.故()()c m T m TE m T E ***=+所以E 为可测集 27. 证明：1R 上的单调函数()f x 必为可测函数.证明 1,a b R ∀∈，不妨假设a b <，因为()f x 是1R 上的单调函数，不妨设()f x 为单调增函数，故()f x 是[],a b 上的单调增函数，即()()121212,,,x x E x x f x f x ∀∈<≤，则1R α∀∈，有1） 当()sup x E f x α∈≤时，();E xf x α⎡>⎤=∅⎣⎦2） 当()inf x E f x α∈>时，();E x f x E α⎡>⎤=⎣⎦3） 当()()inf sup x E x E f x f x α∈∈≤<时，必有10x ER ∈，使 ()()000,f x f x αα+>≤或()()000,0f x f x αα+≥-<.由()f x 的单调增知，()0(),E xf x E x α⎡>⎤=+∞⎣⎦或[)0,E x +∞. 在所有情况下，()E x f x α⎡>⎤⎣⎦都可测.即()f x 是[],a b 上的可测函数.由由,a b 的任意性可知，()f x 是1R 上的可测函数. 28. 设()f x 为可测集nE R ⊆上的可测函数，则()()f x L E ∈的充要条件()()f x L E ∈. 证明 必要性 若()()f x L E ∈，因为()()()f x fx f x +-=+，且()()f x L E ∈ 所以()(),E E f x dx f x dx +-⎰⎰中至少有一个是有限值， 故()()()EE E f x dx f x dx f x dx +-=+⎰⎰⎰即()()f x L E ∈充分性 若()()f x L E ∈因为()()()f x f x f x +-=-，且()()f x L E ∈所以()(),E E f x dx f x dx +-⎰⎰中至少有一个是有限值， 故()()()E EE f x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰，即()()f x L E ∈.。
实变函数第一章答案
第一章：集合与实数集(8)设是上的实函数，假若存在M>0,使得对于任何有限个两两不等的实数x1,...,x n,⃒⃒⃒n∑︁k=1f(x k)⃒⃒⃒≤M.证明:{x:f(x)=0}是至多可数集。
证明:令A+={x:f(x)>0},A−={x:f(x)<0}.则{x:f(x)=0}=A+∪A−.所以，只要证明A+,A−都是至多可数集。
我们仅考虑A+.注意到A+=∪∞n=1A n,+,其中A n,+={x:|f(x)|>1/n}.这样问题就归结为证明对于任意的n,A n是至多可数集.由假设条件知道：A n是一个有限集合，其中的点的个数不超过[nM]+1个.(9)证明：R上单调函数的间断点是至多可数的.证明：设f是R上的单增函数，我们首先证明：对于任意的x0∈R,lim x→x0−0f(x),limx→x0+0f(x)都是存在有限的.为简单起见，我们仅考虑左极限的存在性.我们只要证明：(a)对于任意的{x n},x n→x0,x n<x0,lim n→∞x n都存在有限(b)对于任意的{x n},x n→x0,x n<x0,{y n},y n→x0,y n<x0,lim n→∞x n=lim n→∞y n.结论(a)是明显的，至于结论(b),我们只要注意到对于任意的n,一定存在N>n使得当m>N时y m>x n,从而f(x m)>f(x n),这依次隐含着lim n→∞f(x n)≤limm→∞f(y m).2同理可证lim n→∞f(x n)≥limm→∞f(y m).现在回到要证明的结论.假如f在x0不连续，则f(x0−0)<f(x0+0),这样我们就得到一个区间(f(x0−),f(x0+)).对于f的任意两个不连续点x1,x2,区间(f(x1−0),f(x1+0))和(f(x2−0),f(x2+0))相互不交(事实上，我们假设x1<x2.注意到f(x1−0)≤f(x1+0)≤f(x2−0)≤f(x2+0),则(f(x1−0),f(x1+0))和(f(x2−0),f(x2+0))相交当然是不可能的),这样我们就知道：从集合{x0:f在x0不连续}到集合{所有开区间但这些开区间两两相互不交}之间存在一一映射.而后者是一个至多可数集，这就证明了我们的结论.(10)设f是[a,b]上的单调增加的函数，并且f([a,b])在[f(a),f(b)]中稠密。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。
从而移项可得结论。
4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。
在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。
实变函数(曹广福)1到5章答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x mnA nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf0=⇒=⇒∉≥x A x mnk m A nm A k χχ，故0)(inf sup =≥∈x mA nm N b χ ，即)(inf lim x nA nχ=0 ，从而)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交.（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i n i i n i A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i n i B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i n i B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
实变函数参考答案
习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
最新实变函数答案 第三版 第二章 点集
实变函数答案第三版第二章点集第二章 点集1、证明：'0P E ∈的充要条件是在任意含有0P 的领域(),P δ⋃（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）；0oP E ∈ 的充要条件则是有含有0P 的领域(),P δ⋃（同样，不一定以0P 为中心）存在，使(),P E δ⋃⊂.()()()'00100010101001001'0010000:min ,,,,..oP E d P P d P P P P E P E P E P E P E P E E δδδδδδδδ∈⋃=-⋃⊂⋃⋃∈⋃∈⋃∈⋃∈∈∈⋃∈⋃ 证明若，对任意含有P 的领域(P,)，取则(P ,)(P,),而(P ,)中含有异于的点，所以(P ,）中存在异于P 的点若任意一个含有P 的领域(P,)中有异于P 的点，则任一（P ）也有异于P 的点，故 若，则存在（P ），使（P ()()()0100010=min ,,,.o d P P d P P E P E δδδδδδ⋃∈⋃⊂=-⋃⊂⋃⊂∈ ）（P ，）即得证.若P (P,)E ，取，则有(P ,)(P,)，从而4、设3E 是函数1sin ,0,0,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩当 当的图形上的点所作成的集合，在2R 内讨论'333oE E 的E 与.(){}'33=0y 11.oE y E φ⋃-≤≤=解：E ，8.x -+a f ∞∞≥设（）是（，）上的实值连续函数，则对于任意常数,E={x|f(x)>a}是一开集，而E={x|f(x)a}总是一闭集。
(){}()()(){}(){}()(){}()()o ,?,0,,,, ,|()||()| |{|}|{|}.{, |}. ' ',o o o o o co x E x f x a f x a f x x x x f x a x E x f x a x E E x f x a H x f x a x f x a H x f x a x H H f x a H x δδδ∈=>>>-<>⋃∈=><=≥=<=≥∈=≥⊂' 任取则由在处连续及极限的保号性知，存在当时有即即为的内点，从而 证明为开：集；类似可证为开集从而是闭集又要证是闭集，只需证任取则存在()()(){}()(){|}{| ,, ,}n o n o o H x f x x f x a f x a x x f x a x f x a ≥≥∈≥≥中的点列使得由在处连续及，可知所以从而是闭集.9.证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。
实变函数第一章答案
习题1、11.证明下列集合等式.(1) ()()()C A B A C B A I I I \\=; (2) ()()()C B C A C B A \\\Y Y =; (3) ()()()C A B A C B A I Y \\\=. 证明 (1) )()C \B (cC B A A I I I =)()( c c C B A A B A I I Y I I = c C A B A )()( I I I =)(\)(C A B A I I = 、(2) cC B A A I Y Y )(C \B)(=)()(c c C B C A I Y I ==)\()\(C A C A Y 、(3) )(\C)\(B \cC B A A I = c c C B A )(I I =)(C B A c Y I = )()(C A B A c I Y I =)()\(C A B A I Y =、2.证明下列命题.(1) ()A B B A =Y \的充分必要条件就是:A B ⊂; (2) ()A B B A =\Y 的充分必要条件就是:=B A I Ø; (3) ()()B B A B B A \\Y Y =的充分必要条件就是:=B Ø.证明 (1) A B A B B B A B B A B B A cc====Y Y I Y Y I Y )()()()\(的充要条 就是:.A B ⊂(2) ccccB A B B B A B B A B B A I I Y I I Y Y ===)()()(\)(必要性、 设A B B A =\)(Y 成立,则A B A c=I , 于就是有cB A ⊂, 可得.∅=B A I反之若,∅≠B A I 取B A x I ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与cB A ⊂矛盾、充分性、 假设∅=B A I 成立, 则cB A ⊂, 于就是有A B A c=I , 即.\)(A B B A =Y(3) 必要性、 假设B B A B B A \)()\(Y Y =, 即.\cC A B A B A I Y == 若,∅≠B 取,B x ∈ 则,cB x ∉ 于就是,cB A x I ∉ 但,B A x Y ∈ 与cC A B A I Y =矛盾、充分性、 假设∅=B 成立, 显然B A B A \=Y 成立, 即B B A B B A \)()\(Y Y =、 3.证明定理1、1、6.定理1、1、6 (1) 如果{}n A 就是渐张集列, 即),1(1≥∀⊂+n A A n n 则{}n A 收敛且Y ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 如果{}n A 就是渐缩集列, 即),1(1≥∀⊃+n A A n n 则{}n A 收敛且I ∞=∞→=1.lim n n n n A A证明 (1) 设),1(1≥∀⊂+n A A n n 则对任意Y ∞=∈1,n n A x 存在N 使得,NAx ∈ 从而),(N n A x N ≥∀∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=⊂Y 又因为Y ∞=∞→∞→⊂⊂1,lim lim n n n n n n A A A由此可见{}n A 收敛且Y ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 当)1(1≥∀⊃+n A A n n 时, 对于,lim n n A x ∞→∈存在)1(1≥∀<+k n n k k 使得),1(≥∀∈k A x k n 于就是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0n n A A x k ⊂∈ 可见.lim 1I∞=∞→⊂n n n n A A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=⊂⊂I所以可知{}n A 收敛且I ∞=∞→=1.lim n n n n A A4.设f 就是定义于集合E 上的实值函数,c 为任意实数,证明:(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1Y ;(2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1I ;(3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→,则对任意实数c 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111I I Y I .证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得nc x f 1)(+≥成立、 即,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n c f E x 那么.11Y ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 故[];11Y ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊂>n n c f E c f E另一方面, 若,11Y ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110Y ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 于就是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈、 则有[].11Y ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊃>n n c f E c f E(2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+∈Z n , 都有nc x f 1)(+<, 于就是I ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 故有[];11I ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊂≤n n c f E c f E另一方面, 设I ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n c x f 1)(+<, 由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[]I∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊃≤11n n c f E c f E 、(3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(、 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥∀<-, 即)1(11)()(≥-≥->k kc k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k k c f E x n n , 所以I ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈11lim k n n k c f E x , 故[]I ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊂≥11lim k n n k c f E c f E ;另一方面, 设I∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k c f E x n n 1lim 0、由下极限的定义知:存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有kc x f n 1)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k x f x f n 1|)()(|00<-、 取},m ax {21N N N =,则有kc x f n 1)(0->与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立, 于就是有kc x f k x f n 1)(1)(00->>+, 从而k c x f 2)(0->, 由k 的任意性知:c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有[]I ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊃≥11lim k n n k c f E c f E ;综上所述:[].11lim 111I YI I ∞=∞=∞=∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E5.证明集列极限的下列性质.(1) cn n cn n A A ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛lim lim _____;(2) c n ncn n A A _____lim lim ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛; (3) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ;(4) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim .证明 (1) cn n n nm c m n c n m m c n n m m cn n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛lim )()(lim 111_____YI Y Y I Y 、(2) c n n n n nm c m c n m m c n n m m cn n A A A A A _____111lim )()(lim ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛I I Y I YI 、 (3) ()YI Y I YII I ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n nm n n m cm cm n nm m n n A E A E A E A Ec n nm mn c nm m n n m cm AE A E A E )())(()(111IY Y Y YI I I I ∞=∞=∞=∞=∞=∞====I Y ∞=∞=∞→==1lim \\n nm n n mA E AE 、(4) ()I Y I Y I Y I I∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m cm n nm n nm cm m n n A E A E AE A Ec n nm m n c nm m n n m cmA E A E AE )())(()(111YI I I I Y I I I ∞=∞=∞=∞=∞=∞====YI∞=∞=∞→==1lim \\n nm n n m A E A E 、6.如果}{},{n n B A 都收敛,则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A I Y 都收敛且 (1) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim Y Y ; (2) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim I I ; (3) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim \lim \lim .习题1、21.建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应. 解 令1111{,,,,}2345E =L , 111{0,1,,,}234F =L ,(0,1)\D E =,则(0,1)E D =U ,[0,1]F D =U 、 定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;11();(1,2,)210;2x x Dx x n n n x φ⎧⎪∈⎪⎪===⎨+⎪⎪=⎪⎩L 则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应、2.建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应,其中d c b a <<,. 解 定义: :[,][,]a b c d φ→为:()().([,])d c d c bc adx x a c x x a b b a b a b aφ---=-+=+∀∈--- 可以验证::[,][,]a b c d φ→为一个一一对应、3.建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应,其中d c b a <<,. 解 令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+++L ,{,,,,}23d c d c F c d c c --=++L (,)\D a b E =、 定义:(,)[,]a b c d φ→为:;();(1,2.)2;.2d cbc ad x x D b a b a d c b ax c x a n n n b a c x a φ--⎧+∈⎪--⎪--⎪=+=+=⎨+⎪-⎪=+⎪⎩L 可以验证: :(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应、4.试问:就是否存在连续函数,把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?就是否存在连续函数,把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[Y ?答 不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间[0,1]存在最大、最小值、也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4]U ; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4]U 不能保证介值性定理永远成立、5.证明:区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R ⨯且ℵ=2R . 证明 记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ⨯=⨯、任取(,)x y A A ∈⨯, 设1231230.,0.,x a a a y b b b ==L L 为实数,x y 正规无穷十进小数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b =L , 则得到单射:f A A A ⨯→、 因此由定理1、2、2知A A A ⨯≤、若令10.5A A =⨯, 则1~A A A A ⊂⨯、 从而由定理1、2、2知: A A A ≤⨯、 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)⨯、对于(,)(0,1)(0,1)x y ∀∈⨯,定义2:(0,1)(0,1)R φ⨯→为:(,)((),())22x y tg x tg y ππφππ=--,则φ为2(0,1)(0,1)R ⨯→的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)~R ⨯、 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ⨯且2R R ==ℵ、6.证明:{}1:),(22≤+=y x y x A 与{}1:),(22<+=y x y x B 对等并求它们的基数. 证明 令221{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+==L , \D A E =, 221{(,):(1,2,3,)}1F x y x y n n =+==+L 、则,A E D B F D ==U U 、 定义: :A B φ→为:2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈⎧⎪=⎨+=+==∈⎪+⎩L 可以验证: :A B φ→为一一对应, 即~A B 、 又因为2~(0,1)(0,1)~~B R R ⨯, 所以A B ==ℵ、7.证明:直线上任意两个区间都就是对等且具有基数ℵ.证明 对任意的,I J R ⊆， 取有限区间(,)a b I ⊆，则(,)a b I R ℵ=≤≤=ℵ, 则由Bernstern 定理知I =ℵ, 同理J =ℵ、 故I J ==ℵ、习题1、31.证明:平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 就是可数集.证明 因为有理数集Q 就是可数集,平面上的三角形由三个顶点所确定,而每个顶点由两个数决定,故六个数可确定一个三角形,所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定,即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x ΛΛ 所以M 为可数集、2.证明:由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多就是可数集.证明 对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f 、 因此可得:Q →M f :、 因为1O 与2O 不相交,所以)()(21O f O f ≠、 故f 为单射,从而a M =≤Q 、3.证明:(1)任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并;(2)任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并.证明 (2) 当E 可数时,存在双射Q I )1,0(:→E f 、 因为Y I I ∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=11,11)1,0(n n n Q Q所以Y Y I I ∞=∞=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+==11111,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q 、其中:)(),3,2,1(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=-I ΛI 且Q 、 又因为Q Q I I ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-n n n n f 1,11~1,111且Q I ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+n n 1,11 可数,所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并.当E 不可数时,由于E 无限,所以存在可数集E E ⊂1, 且1\E E 不可数且无限,从而存在可数集12\E E E ⊂,且)(\\)\(2121E E E E E E Y =无限不可数、 如此下去,可得),3,2,1(Λ=n E n 都可数且不相交,从而ΛY Y Y Y Y 1011)()\(E E E E E E i i n i ==∞=∞=、其中)0(≥i E i 无限且不交、4.证明:可数个不交的非空有限集之并就是可数集.5.证明:有限或可数个互不相交的有限集之并最多就是可数集.证明 有限个互不相交的有限集之并就是有限集;而可数个互不相交的有限集之并最多就是可数集、6.证明:单调函数的不连续点之集至多就是可数集.证明 不妨设函数f 在),(b a 单调递增,则f 在0x 间断当且仅当0)(lim )(lim )0()0(_000>==--+→→+x f x f x f x f x x x x 、于就是,每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0((00+-x f x f 、下面证明:若x x '''<为()f x 的两个不连续点,则有(0)(0)f x f x '''+≤-、 事实上,任取一点1x ,使1x x x '''<<,于就是11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'>'''→→'''<<'+==≤≤=,从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交,即不同的不连续点对应的开区间互不相交,又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多就是可数集,所以可知单调函数的不连续点之集至多就是可数集、7.证明:若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ,则E 至多就是可数集.证明 定义映射}:)3,{(:E x d x E f ∈→,即))(3,()(E x d x D x f ∈=,其中)3,(d x D 表示以E x ∈为中心,以3d 为半径的圆盘、 显然当y x ≠时,有∅=)3,()3,(dy D d x D I ,即)()(y f x f ≠,于就是f 为双射,由第2题知:a E x dx ≤∈}:)3,{(,故a E ≤、习题1、41.直线上一切闭区之集具有什么基数？区间],[b a 中的全体有理数之集的基数就是什么?答 直线上一切闭区间之集的基数就是c 、 这就是因为:2),(],[:R ∈→b a b a f 为单射,而R ∈→a b a f ],[:为满射,所以c M c =≤≤=2R R 、区间],[b a 中的全体有理数之集的基数就是c ,这就是因为:a b a a =≤≤Q Q I ],[、 2.用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集,证明: (1) 设},,,,{],[21ΛΛI n r r r b a =Q ,],[,b a C g f ∈,则⇔=g f ),2,1)(()(Λ==k r g r f k k ;(2) 公式)),(,),(),(()(21ΛΛn r f r f r f f =π定义了单射)(],[:R S b a C →π;(3) c b a C =],[.证明 (1) 必要性、 显然、充分性、 假设),2,1)(()(Λ==k r g r f k k 成立、 因为},,,{\],[321Λr r r b a x ∈∀,存在有理数列∞=1}{n n x ,使得x x n n =∞→lim ,由],[,b a c g f ∈,可得)()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞→∞→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞→∞→、又因为∞=1}{n n x 为有理点列,所以有)()(n n x g x f =,故],[b a x ∈∀,都有)()(x g x f =、(2) ],[,b a c g f ∈∀,设)()(g f ππ=,即)),(,),(),(()),(,),(),((2121ΛΛΛΛn n r g r g r g r f r f r f =、由(1)知:g f =、 故π为单射、(3) 由(2)知:c R S b a c =≤)(],[;又由],[b a c ⊂R ,可得],[b a c c ≤=R 、 故c b a C =],[、3.设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集,证明: (1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射)(],[:2R P b a F →π;(2) ]1,0[⊂∀E ,E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α;(3) ],[b a F 的基数就是c2.证明 (1) ],[,b a F g f ∈∀,设)()(g f ππ=,即]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈、从而]),[)(()(b a x x g x f ∈∀=,故π为单射、(2) ]1,0[,⊂∀F E ,设)()(F E αα=,则F E F E χααχ===)()(,故α为单射、(3) 由(1)知:c P b a F 2)(],[2=≤R ;又由(2)知:],[2])1,0([b a F P c ≤=,故c b a F 2],[=、4.证明:c n =C .证明 因为R R C ⨯~,而c =⨯R R ,故c =C ;又由定理1、、4、5知:c n =C 、 5.证明:若E 为任一平面点集且至少有一内点,则c E =.证明 显然c E =⨯≤R R 、 设00E x ∈,则0>∃δ使得E x B ⊂),(0δ,可知E x B c ≤=),(0δ,故c E =、第一章总练习题.1 证明下列集合等式.(1) ()()F F E F E E F E \\\Y I ==; (2) ()()()G F G E G F E \\\I I =.证明 (1) 因为\()()()()()\c c c c c E E F E E F E E F E E E F E F ====I I I I U I U I ,()\()()()\c c c E F F E F F E F F F E F ===U U I I U I 、所以\\()()\E F E E F E F F ==I U 、(2) 因为()\()()()(\)(\),c c c c E F G E F G E F G E G F G E G F G ====I I I I I I I I I所以()()()G F G E G F E \\\I I =、.2 证明下列集合等式.(1) ()B A B A n n n n \\11∞=∞==Y Y ;(2) ()B A B A n n n n \\11∞=∞==I I .证明 (1)1111\()()(\)ccnn n n n n n n AB A B A B A B ∞∞∞∞=======I I U U U U 、(2)1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======I I II I I 、3.证明:22[][][]c c E f g c E f E g +≥⊂≥≥U ,其中g f ,为定义在E 的两个实值函数,c 为任一常数.证明 若()()22c c x E f E g ∉≥≥U , 则有()2c f x <且()2cg x <, 于就是()()()()f x g x f g x c +=+<,故()x E f g c ∉+≥、 所以()()()22c cE f g c E f E g +≥⊂≥≥U 、4.证明:nR 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等.证明 因为0Q =ℵ,所以0Q Q Q Q n=⨯⨯⨯=ℵL (推论1、3、1)、 又因为0N =ℵ, 所以0Q nN ==ℵ, 故Q ~nN 、5.有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数？6.证明:一切有理系数的多项式之集][x Q 就是可数集. 证明 设},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x ΛΛ于就是.][Q ][Q 0Y ∞==n n x x显然,Q ~][Q 1n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n ==+ 因此由定理1、3、5知:.][Q a x =7.证明:一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c .证明 记},R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x ΛΛ于就是.][R ][R 0Y ∞==n n x x显然,R ~][R 1n +x n 所以,R ][R 1n c x n ==+ 因此由定理1、4、3知:.][R c x =8.证明:全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集就是可数集,并由此说明超越数(即不就是代数数的实数)存在,而且全体超越数之集的基数就是c .证明 由于有理系数多项式的全体就是可数集,设其元素为,,,,,,210ΛΛn P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个,故n A 为有限集,从而代数数全体Y ∞==n nAA 为可数个有限集的并,故A 为可数集,即.a A =设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A Y 从而B 必为无限集,由于A 为可数集,而任一无限集添加一个可数集其基数不变,故.R cB A B ===Y9.证明:A B B A \~\,则B A ~. 证明 因为),()\(),()\(B A A B B B A B A A I Y I Y ==又因为,)(\)(\,~,\~\∅==B A A B B A B A B A B A A B B A I I I I I I所以由保并性知),()\(~)()\(B A A B B A B A I Y I Y即.~B A10.证明:若,,D B B A <≤则D A <.证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾、 故有D A <、 11.证明:若c B A =Y ,则c A =或c B =.实变函数第一章答案证明 假设,a B A == 则有,a B A =Y 这与c B A =Y 矛盾,故有c A =或c B =、12.证明:若c A k k =+∈Z Y ,则存在+∈Z k 使得c A k =.证明同上、。
《实变函数》作业参考答案
《实变函数》作业参考答案《实变函数》作业参考答案一．判断题1．对；2．错；3．对；4．对；5．错；6．对；7．错；8．对； 9．对； 10.对； 11.对； 12.错。
二．1．证明：).()(B A B A II-=-∈∈αααα证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。
2．试找出使)1,0(和]1,0[之间一一对应的一种方法。
证明：令)1,0(,...},,{321?x x x ，做)(x f ，使得>====+2,01)(212n x x x x x x x x f n n ，其它处，.)(x x f = 三．证明题1. 设)(x f n 是E 上几乎处处有限的可测函数列，∞ε，存在常数c 与可测集E E ?0，ε<)\(0E E m ，使在0E 上，对一切n ，有c x f <|)(|。
证明：直接利用鲁津定理。
2. 证明：证明})(|{a x f x CG >=是开集，事实上，对任意CG x ∈，则a x f >)(，由连续函数的局部保号性，存在0>δ，使得对一切的),(δx B t ∈，有a t f >)(，即CG x B ?),(δ，所以x 是内点，从而})(|{a x f x CG >=是开集。
3. 设)(x f 在],[b a E =可积，则对任何0>ε，必存在E 上的连续函数)(x g ，使得ε<-?dx x g x f b a|)()(|证明：教材第121页例1。
4. 设在E 上)()(x f x f n ?，且)()(x g x f n ≤几乎处处于E 上成立，,...,2,1=n 试证)()(x g x f ≤在E 上几乎处处成立。
证明：利用黎次定理，由在E 上)()(x f x f n ?，得到存在子列)(x f i n 使得)()(lim x f x f i n i=几乎处处成立，在利用控制性)()(x g x f n ≤，所以)()(x g x f ≤在E 上几乎处处成立。
实变函数集合标准答案
实变函数集合标准答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2第一章 集合一、 內容小结1. 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。
2. 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定理。
3. 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。
二、 学习要点1. 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式上一许多类似的公式，但也有许多本质。
但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。
例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A 却不一定成立。
条件为A,B 不交。
2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。
若可数A 去掉可数B 后若还无限则C 必可数。
3. 存在不可数集。
无最大基数集。
以下介绍学习中应掌握的方法4. 肯定方面与否定方面。
B X B X ∉∈与,5. 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。
其中用交并表示很重要。
对第四章的学习特别重要。
6. 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯坦定理）来进行相应的证明。
7. 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算得到可数、第四节定理6.8. 证明集合基数为C 中常用到已知的基数为C 的集合。
∞E R n ,三、 习题解答1. 证明：)()()(C A B A C B A =证明 则若设,).(A x C B A x ∈∈ B A x ∈,得).()(C A B A x ∈若则同样有设,C B x ∈B A x ∈且C A x ∈，得).()(C A B A x ∈因此)()()(C A B A C B A ⊂3设)()(C A B A x ∈则若,.A x ∈当然有)()(C A B A x ∈，若,.A x ∉由B A x ∈且C A x ∈，可知B x ∈若.且c x ∈.，所以,C B x ∈同样有).(C B A x ∈因此⊂)()(C A B A )(C B A ，所以)()()(C A B A C B A = 2. 证明⑴B B A B A A B A -=-=-)()( ⑵)()()(C A B A C B A -=- ⑶)()(C B A C B A -=--⑷)()()(C A B A C B A -=--⑸)()()()(D B C A D C B A -=-- ⑹.)(B A B A A =-- 证明 ⑴().)()()()(B A B C A A C A B C A C A B A C A B A A s s s s s -====-B C B A B B A s )()(=-=B A B C B B C A s s -=)()( ⑵).()(()(()(()()()()()()(C B A C C B A C C B A A C B A C C A C B A C A C B A C A B A s s s s s s -=====-⑶)()()()(C B A C B C A CC B C A C B A s s s -===--⑷4).()()()()()()()(C A B A C A B C A C B C A C C B C A C C B A C B A s s s s s -====-=--⑸).()()()()()()()(D B C A D B C C A D C C B C A D C B A s s s -===--⑹.)()()(B A B A C A B C A C A B A A s s s ===--3. 证明：)()()(C B C A C B A --=- ；).()()(C A B A C B A --=- 证明：).()()()()()(C B C A C C B C C A C C B A C B A s s s --===-).()()()()()(C B A C B C A C C B C A C C A B C A C A B A s s s s s -====--4.证明： ∞=∞==11.)(i i s i i s A C A C证明 设)(1∞=∈i i s A C x ，则S x ∈，但 ∞=∉1i i A x ，因此对任意i ，i A x ∉，所以i s A C x ∈，因而 ∞=∈1.i i s A C x5设 ∞=∈1.i i s A C x 则任意i ， i s A C x ∈，即S x ∈，i A x ∉，因此则S x ∈，但∞=∉1i i A x ，得)(1∞=∈i i s A C x ，所以 ∞=∞==11.)(i i s i i s A C A C5.证明：⑴ Λ∈Λ∈-=-αααα)()(B A B A ; ⑵ Λ∈Λ∈-=-αααα)()(B A B A . 证明 ⑴ Λ∈Λ∈Λ∈Λ∈-===-αααααααα)()()()(B A B C A B C A B A ss⑵ Λ∈Λ∈Λ∈Λ∈-===-αααααααα)()()()(B A B C A B C A B A ss.6.设{}n A 是一列集合，作11A B =,1),(11>-=-=n A A B n n n νν。
实变函数部分课后习题答案（最新版）
备注：证明题每章都是二选一，计算题在第五章第二章1.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =. 证明：因为'F F F = ，若F 为闭集，则'F F ⊂ 所以'F F F F F F F =⊂=⊂ 故F F =反过来，若'F F F F =⊂ ，则必有'F F ⊂，从而F 为闭集.2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明：对于任意常数a ，(){};x f x a >都是开集，(){};x f x a ≥都是闭集.证明：任取常数a ，若 (){}0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0,0a x δ∃>， 使()(){}00,,;a x x N x x f x a δ∈⊂≥，这表明(){};x f x a >是开集.任取常数a ，若{}(){};n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知 ()()0lim n n f x f x a →∞=≥，故(){}0;x x f x a ∈≥这表明(){}(){}';;x f x a x f x a ≥⊂≥.，故(){};x f x a ≥是闭集.第三章68页3.证明对任意可测集合A 和B 都有()()()()m A B m A B m A m B +=+ （*） 证明：若()m A B =∞ ，则,A B A B ⊂∞=∞=∞=⋃⇒)(,)(,)(B m A m B A m∞=+=⋂+⋃=∞∴)()()()(B m A m B A m B A m 成立.若()m A B <∞ 则（*）等价于()()()()m A B m A m B m A B =+- 注意到()(),A B A B A A B A =--=∅ 且,A B 可测B A ⇒-可测()()()m A B m A m B A =+-A 可测()()()()()c m B m A B m A B m A B m B A =+=+-)()()()(B A m B m A B m B A m ⋂-=-∴∞<⋂()()()()m A B m A m B m A B ∴=+-9、设n E R ⊂，那么E 可测当且仅当对任意正数ε，存在开集G E ⊃及闭集F E ⊂使得()m G F ε-<。
实变函数参考答案(习题一)
旧版书习题一2.证明：（i ）右边=⊂--))(())((D B C D B A 左边 （ii ）右边=⊃--))(())((D B C D B A 左边3.解：等式右边=)()()(C C C A B A C B A --=- ，我们猜想C C A C =-，即A C ⊂为等式成立的充要条件。
由上充分性是显然的，再注意到由原等式，我们有A CB AC B A C ⊂--=-⊂)()( ，故而必要性也成立。
4.证明：（i ）因为1inf lim ,..,inf lim 100inflim =⇔∈≥∀∈∃⇔∈⇔=n nnA nn n nA A x n n t s N n A x χχ，所以等式成立。
（ii ）因为1sup lim ..,,sup lim 1sup lim =⇔∈≥∃∈∀⇔∈⇔=nknnA nn k n nA A x t s k n N k A x χχ，所以等式成立。
5.证明：先证明}{n B 互不相交。
事实上，Φ=-⊂>∀⊂≥∀n m n m m n n B B A A B n m A B n 故而,,,,1。
再证明集合等式。
等式左边。
等式右边时，时显然成立，当==-=-=≥===-===-=nj j ni i j j ij j ni i j j i A A A A A n n 11111111)()(216.证明：（i ）左边⊃右边是显然的，下证另一边也成立。
右边。
故于是左边，则∈-≤∃>-∈∀x a x f nt s n a x f x ,)(1..,,0)(（ii ）以E 为全集，左边=ca x f E x a x f E x a x f x E })(|{})(|{})(|{->-∈=-≤-∈=≥∞=∞=+-<-=+-≥-=11)(}1)(|{)}1)(|{(n cn i na x f x E na x f x E右边=->=∞= 1}1)(|{n na x f x E7.证明：将需证的等式记为M=F=P 。
实变函数 课后习题答案
实变函数课后习题答案实变函数是高等数学中的重要概念，它在微积分、数学分析等领域都有广泛应用。
在学习实变函数的过程中，课后习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对概念和定理的理解，提高问题解决能力。
下面将结合一些常见的实变函数习题，给出详细的解答过程。
1. 设函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-1)的值。
解答：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) - 5 = 2 - 3 - 5 = -6。
因此，f(-1)的值为-6。
2. 设函数f(x) = √(x + 3)，求f(4)的值。
解答：将x = 4代入函数f(x)中，得到f(4) = √(4 + 3) = √7。
因此，f(4)的值为√7。
3. 设函数f(x) = |x - 2|，求f(3)的值。
解答：将x = 3代入函数f(x)中，得到f(3) = |3 - 2| = 1。
因此，f(3)的值为1。
4. 设函数f(x) = e^x，求f(0)的值。
解答：将x = 0代入函数f(x)中，得到f(0) = e^0 = 1。
因此，f(0)的值为1。
5. 设函数f(x) = ln(x + 1)，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = ln(2 + 1) = ln3。
因此，f(2)的值为ln3。
通过以上习题的解答，我们可以看出，实变函数的求值可以通过将给定的x值代入函数表达式中来完成。
在解答过程中，需要注意运算的顺序和符号的使用，特别是绝对值、指数函数和对数函数等特殊函数的运算规则。
除了求函数值的问题，实变函数的习题还包括求函数的定义域、极限、导数、积分等。
这些问题需要运用到实变函数的相关概念和定理，下面将以一些典型的习题为例，给出解答过程。
1. 设函数f(x) = x^2 - 1，求函数的定义域。
解答：对于实变函数来说，定义域是指函数能够取到的所有实数值的集合。
实变函数练习及答案
实变函数练习及答案实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合，（）是不可数集合。
.A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合；.C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。
2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。
3、下列说法正确的是（）.A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积；.C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E 则有（） .A 1()lim n nn n m E mE∞→∞=>U ； .B 1()lim n nn n m E mE∞→∞==U ；.C 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。
5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（）.A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。
6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（）.A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。
7、设mE <+∞，(){}nf x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}nf x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（）.A 必要条件； .B 充分条件； .C 充分必要条件； .D 无关条件。
实变函数试题库参考答案
A、 B、 C、C(A＇)＝（CA）＇ D、
41、设A－B=C, 则下列命题正确的是：（ ）
A、 B、 C、A＇－B＇＝C＇ D、{A的孤立点}－{B的孤立点}={C的孤立点}
42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）
A、 是闭集 B、A＇是闭集 C、 是闭集 D、 是闭集
A、B B、A C、A B D、A B
20、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(B C)= ( )
A、(A-B) (A-C) B、(A-B) (A-C) C、A B D、A C
21、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(B C)= ( )
A、(A-B) (A-C) B、(A-B) (A-C) C、A B D、A C
A、{全体实数} B、{全体整数} C、{x：x>1} D、{全体胖子}
4、下列对象不能构成集合的是:（ ）
A、{全体实数} B、{全体整数} C、{x：x>1} D、{全体瘦子}
5、下列对象不能构成集合的是:（ ）
A、{全体小孩子} B、{全体整数} C、{x：x>1} D、{全体实数}
6、下列对象不能构成集合的是:（ ）
A、(0, 1) B、(0, 3) C、(0, 4) D、(1, 4)
35、设 , , 则下列那一个是G的构成区间: ( )
A、(0, 1) B、(0, 2) C、(1, 2) D、(1, 4)
36、设 , , 则下列那一个是G的构成区间: ( )
A、( , ) B、(1, 2) C、(0, 1) D、(-1, 0)
29、E的全体边界点所成的集合称为E的 ( )
A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包
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8. 证明
证明 设 则存在N，使对任意 ，有 ，所以 ，所以 ；设 ，则有 ，使 ，即对任意 ，有 ，所以 ，因此 。
9. 作出一个（-1，1）和 的1—1对应，并写出这一一对应的解析表达式
解 ，对任意 ，
10. 证明：将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的.
实变函数集合标准答案
第一章集合
一、内容小结
1.这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。
2.引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定理。
3.引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。
，
则 ， ，所以对每个 ，存在 ，于是 .下证 .事实上，若 ，则存在 使 ，于是 ，这与 矛盾，所以 ，这又与 矛盾，因此至少存在某个 使 的基数也是C.
20. 记每项取值为0或1的数列全体所成的集合为T，求证T的基数为C.
证明 设
作T到 的映射 ，则 是T到 的子集 的1—1映射，所以 反之， 区间与2进位无穷小数正规表示1—1对应，所以每个 都可唯一的写成 ，其中每个 ，令 ，则 是 到T的子集 上的1—1映射，因而 .综上所述得 。
17. 证明： 上的全体无理数做成的集合其基数为C.
证明 记 上的无理数全体为A， 上的有理数全体为 ，显然
令 ,
,
,
则 是A到 的1—1对应，由 的基数为C，可知A的基数也是C。
18. 若集A中每个元素，由互相独立的可数个指标决定，即 ，而每个 取遍一个基数为C的集，
则A的基数也是C。
证明 设 ， ， ，因而有 到实数集R的1—1映射 .令 是A到 的 一映射，对任意 。 ，下面证明 是1—1映射.
证明 只要证明球面S： 去掉 点后与 平面M对等即可.
此可由球极投影来做到；对任意 ，
，
易验证 是1—1的，映上的，因此S与M是对等的，证毕。
11. 证明：由直线上某些互不相交的开区间所谓集A的元素，则A至多为可数集.
证明 设 ，在每一 中任取一点有理数 使 与 对应.因为 是互不相交的，因此这个对应是1—1的，而G与有理数的子集对等，因此G至多可数。
证明 任意A中的圆，由三个独立记号所决定； ，其中 是圆心的坐标， 是圆半径， 各自跑遍有理数， 跑遍大于0的有理数，因而都是可数集.所以 .
14. 证明：增函数的不连续点最多只有可数多个.
证明 设 是 上的增函数，记不连续点全体为E，由数学分析知：
⑴ 任意 ， 及 都存在。
⑵ 的充分必要条件为
⑶ 任意 ，若 ，则 因此每一 ，对应于直线上的开区间 ，且由（3）可知E中点 对应的这样的开区间是互不相交的，由11题知至多可数。
二、学习要点
1.准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A却不一定成立。条件为A,B不交。
2.可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A去掉可数B后若还无限则C必可数。
8.证明集合基数为C中常用到已知的基数为C的集合。
三、习题解答
1.证明：
证明 ,得
若 且 ，得 因此
设 当然有 ，若 由 且 ，可知 且 ，所以 同样有 因此 ，
所以
2.证明
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
证明 ⑴
=
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
3. 证明： ；
证明：
4.证明：
证明 设 ，则 ，但 ，因此对任意 ， ，所以 ，因而
设 则任意 ， ，即 ， ，因此则 ，但 ，得 ，所以
5.证明：ຫໍສະໝຸດ ⑴ ;⑵ .证明 ⑴
⑵ .
6.设 是一列集合，作 , 。证明 是一列互不相交的集，而且
证明 若 ，不妨设 ，显然
设 ，若 ，则 ，若 ，令 是最小的自然数使 ，即 而 ，这样 ,所以 证毕。
7.设 ，求出集列 的上限集和下限集。
解 ；
设 ，则存在N，使 时，因此 时， ，即 ，所以 属于下标比N 大的一切偶数指标集，从而 属于无限多 ，得 ，又显然 ，所以 。
12. 证明：所有系数为有理数的多项式组成一可数集.
证明 ： 次有理系数多项式全体所成的集合
：所有系数为有理数的多项式全体所成的集合
由 +1个独立记号所决定，（系数），每个记号（首位不取0）可独立跑遍全体有理数（可数个）
因此由§4定理6， ，又由§4定理6， .
13. 设A是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则A是可数集.
3.存在不可数集。无最大基数集。
以下介绍学习中应掌握的方法
4.肯定方面与否定方面。
5.集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。
6.基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯坦定理）来进行相应的证明。
7.集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算得到可数、第四节定理6.
若 ，则对任意 ， ，由于 是一对一的，因此 ，所以 ，对任意 ，因为 是映上的，必有 ，使 ，所以有 ，使 ，即 是1—1映射.所以A与 的基数相同，等于C。
19. 若 的基数为C，证明：存在 使 的基数也是C.
证明 由于 ，我们不妨设 ，用反证法，若 ， ，设 为 到R中如下定义的映射：若 则 ，令
15. 试找出使（0，1）和 之间1—1对应的一种方法.
解 记（0，1）中有理数全体
令
显然 是（0，1）和 之间的1—1映射。
16. 设A是一可数集合，则A的所有有限子集所成的集合亦必可数.
证明 设 ，A的有限子集的全体为 , ， 的子集全体为 ，易计算 中共有 个元素，而 ，因此 至多为可数的.又A中一个元素组成的集合是可数的，因而 是可数的.