2019-2020高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1-1-2相似三角形的性质学案新人教B版选修4_1
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[思路点拨] 本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．
[精解详析] 设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为xmm.
因为来自百度文库H∥BC，所以△AEH∽△ABC.
1．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：
①BC∶B′C′＝7∶3；
②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；
③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；
④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.
(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
(2)求古塔的高度．
解：(1)△ABC∽△ADE.
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴∠ACB＝∠AED＝90°.
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE.
(2)由(1)得△ABC∽△ADE，
∴ ＝ .
∵AC＝2 m，AE＝2＋18＝20 m，BC＝1.6 m.
∴ ＝ ，
(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.
当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长是多少？
[精解详析] (1)证明：因为PE∥DQ，
所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，
所以△APE∽△ADQ.
(2)因为△APE∽△ADQ，所以 ＝ 2.
因为AD∥BC，所以△ADQ的高等于AB.
所以S△ADQ＝3.所以S△APE＝ x2.
同理，由PF∥AQ，可证得△PDF∽△ADQ，
所以 ＝ 2.
(2)性质定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
[小问题·大思维]
1．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？
提示：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
2．两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？
其中正确的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.
答案：D
利用相似三角形的性质解决实际问题
[例2] 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．
提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．
利用性质1求边长或面积
[例1] 如图，梯形ABCD，AB∥CD，E是对角线AC和BD的交点，S△DEC∶S△DBC＝1∶3，
求： 的值．
[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的应用．解答本题需要利用相似三角形的性质求得 之比，进而求得 的值，最后求得 的值．
∴DE＝16 m.
答：古塔的高度为16 m.
相似三角形性质的综合应用
[例3] 如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证：△APE∽△ADQ；
(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
[精解详析]∵S△DEC∶S△DBC＝1∶3，
∴DE∶DB＝1∶3，即DE∶EB＝1∶2.
又∵DC∥AB，
∴△DEC∽△BEA.
∴S△DEC∶S△BEA＝1∶4.
又∵DE∶EB＝CE∶EA＝1∶2，
∴S△DEC∶S△DEA＝1∶2.
∴S△DEC∶S△ABD＝1∶6.
即 ＝ .
相似三角形的性质把相似三角形对应边上的高、中线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来，利用相似三角形的性质可得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长．
所以 ＝ .
所以 ＝ ，
解得x＝ (mm)，2x＝ (mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm.
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．
2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.
2019-2020高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1-1-2相似三角形的性质学案新人教B版选修4_1
编 辑：__________________
时 间：__________________
1．1.2 相似三角形的性质
[读教材·填要点]
相似三角形的性质定理
(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．
在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．
3．如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝ AC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.
(1)如果AD＝ ，求证点B在直线l上；
(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；
因为PD＝3－x，所以S△PDF＝ (3－x)2.
因为PE∥DQ，PF∥AQ，
所以四边形PEQF是平行四边形．
所以S△PEF＝ S▱PEQF
＝ (S△ADQ－S△APE－S△PDF)
＝－ x2＋x＝－ 2＋ .
所以当x＝ 时，即P是AD的中点时，
S△PEF取得最大值，最大值为 .
(3)作A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于Q，则这个Q点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．
(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)
[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE和△ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ的面积为定值，且S△PEF＝ (S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A′，利用三点共线解决．
[精解详析] 设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为xmm.
因为来自百度文库H∥BC，所以△AEH∽△ABC.
1．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：
①BC∶B′C′＝7∶3；
②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；
③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；
④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.
(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
(2)求古塔的高度．
解：(1)△ABC∽△ADE.
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴∠ACB＝∠AED＝90°.
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE.
(2)由(1)得△ABC∽△ADE，
∴ ＝ .
∵AC＝2 m，AE＝2＋18＝20 m，BC＝1.6 m.
∴ ＝ ，
(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.
当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长是多少？
[精解详析] (1)证明：因为PE∥DQ，
所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，
所以△APE∽△ADQ.
(2)因为△APE∽△ADQ，所以 ＝ 2.
因为AD∥BC，所以△ADQ的高等于AB.
所以S△ADQ＝3.所以S△APE＝ x2.
同理，由PF∥AQ，可证得△PDF∽△ADQ，
所以 ＝ 2.
(2)性质定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
[小问题·大思维]
1．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？
提示：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
2．两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？
其中正确的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.
答案：D
利用相似三角形的性质解决实际问题
[例2] 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．
提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．
利用性质1求边长或面积
[例1] 如图，梯形ABCD，AB∥CD，E是对角线AC和BD的交点，S△DEC∶S△DBC＝1∶3，
求： 的值．
[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的应用．解答本题需要利用相似三角形的性质求得 之比，进而求得 的值，最后求得 的值．
∴DE＝16 m.
答：古塔的高度为16 m.
相似三角形性质的综合应用
[例3] 如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证：△APE∽△ADQ；
(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
[精解详析]∵S△DEC∶S△DBC＝1∶3，
∴DE∶DB＝1∶3，即DE∶EB＝1∶2.
又∵DC∥AB，
∴△DEC∽△BEA.
∴S△DEC∶S△BEA＝1∶4.
又∵DE∶EB＝CE∶EA＝1∶2，
∴S△DEC∶S△DEA＝1∶2.
∴S△DEC∶S△ABD＝1∶6.
即 ＝ .
相似三角形的性质把相似三角形对应边上的高、中线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来，利用相似三角形的性质可得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长．
所以 ＝ .
所以 ＝ ，
解得x＝ (mm)，2x＝ (mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm.
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．
2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.
2019-2020高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1-1-2相似三角形的性质学案新人教B版选修4_1
编 辑：__________________
时 间：__________________
1．1.2 相似三角形的性质
[读教材·填要点]
相似三角形的性质定理
(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．
在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．
3．如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝ AC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.
(1)如果AD＝ ，求证点B在直线l上；
(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；
因为PD＝3－x，所以S△PDF＝ (3－x)2.
因为PE∥DQ，PF∥AQ，
所以四边形PEQF是平行四边形．
所以S△PEF＝ S▱PEQF
＝ (S△ADQ－S△APE－S△PDF)
＝－ x2＋x＝－ 2＋ .
所以当x＝ 时，即P是AD的中点时，
S△PEF取得最大值，最大值为 .
(3)作A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于Q，则这个Q点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．
(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)
[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE和△ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ的面积为定值，且S△PEF＝ (S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A′，利用三点共线解决．