第三节条件概率解析

方法一：直接利用概率的含义：P(B A) 2
7
方法二：用条件概率的定义
P( A) 3 8
P(AB) 3 2 3 P(B A) P( AB) 2
8 7 28
P( A) 7
例3：某种集成电路使用到2000小时还能正 常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正 常工作的概率为0.87 .有一块集成电路已工作 了2000小时,向它还能再工作1000小时的概率 为多大?
例1：某一工厂有职工500人，男女各一半，男女职工中非熟练工人 分别为40人和10人，即该工厂职工人员结构如下：
现从该厂中任选一职工，令 A= {选出的职工为非熟练工人} B= {选出的职工为女职工}
则：
PA 50 , PB 250 , PAB 10
500
500
500
而：
P
A
B
10 250
10 500
第三节 条件概率
条件概率的含义 条件概率的定义及计算 条件概率的性质 关于条件概率的三个重要公式
➢乘法公式 ➢全概率公式 ➢贝叶斯（bayes）公式
条件概率的含义
在已知事件B发生条件下，事件A发生的概率称 为事件A的条件概率，记为P（A|B）。
条件概率P（A︱B）与无条件概率P（A）通常是不相等的
3、（可加性）设A1，A2，..... 是两两互不相容的事 件， 则有
P An B P An B
n1
n1
➢其他性质
(1)P( A) 0
(2)P(A B) 1 P(A B) (3)(加法公式） P(A C B) P(A B) P(C B) P(AC B)
关于条件概率的三个重要公式
PHi 0i 1,2,, n
则对于任意事件A有
n
P A PHi P A Hi i 1
证：由于
n
Hi 且对于任意
i j, Hi H j
i1
n
n
于是A=A =A( Hi ) AHi且对于任意i j, AHi AH j
i 1
i 1
于是由概率的可加性及乘法公式便得
P
A
P
n
H i 且H i H j (i j),
i 1
则称此事件组为该试验的一个完备事件组。
例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备 事件组：
① {1}，{2}， {3}，{4}，{5}，{6}； ② { 1，2，3}，{4，5 }， {6 }；
③ Ａ ， A （A为试验中任意一事件）
（2）全概率公式 定理2： 设 H1, H 2 ,H n 为一完备事件组，且
P( AB) P( A)P(B A) a(a 1) (a b)(a b 1)
例7:已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有 75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的 为一级的概率.
A=｛合格品｝
B=｛一级品｝
P(A) 96%
P(B A) 75%
P(B) P(AB) P(A)P(B A) 72%
A={集成电路能正常工作到2000小时} B={集成电路能正常工作到3000小时}
显然AB
P(A)=0.94
P(B)=P(AB)=0.87 P(B A) P( AB) 0.87 0.926
P( A) 0.94
*条件概率的性质
➢基本性质
1、(非负性）对任意事件A，0 P(A B) 1
2、（规范性） P(B)=1
PH i 0(i 1,2,n),
又设A为任意事件，且 P(A) >0，则有
PHk
A
PHk PA Hk
n
PHi PA Hi
i 1
证：由乘法公式和全概率公式即可得到
PHk
A
P(Hk A) P( A)
P
n
Hk PA Hk PHi P A Hi
i 1
例10：设有一箱产品是由三家工厂(甲、乙、丙)生产的， 已知其中1/2是甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占1/4， 已知甲、乙两厂产品的2%是次品，丙厂产品的4%是 次品，求
推广：如果 P A1A2 An1 0,则有
P A1A2 An P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
特例：
P A1A2 0,则有
P A1A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1A2
全概率公式
（1）完备事件组:如果一组事件 H1, H 2 , , H n 在每次试验中必发生且仅发生一个,即
➢乘法公式
定理1:
如果PB 0，则有P AB PB P A B
如果P A 0，则有P AB P A PB A
例6：设袋中装有a个白球和b个红球，现依次不 放回地从袋中取两个球，试求两次均取白球的概 率。
A=｛第一次取白球｝ B=｛第二次取白球｝
P(A) a ab
P(B A) a 1 a b 1
250 500
P AB PB
P( A)
PB
A
10 50
10 500
50 500
P AB P A
百度文库
P(B)
条件概率的定义及计算
设A、B为两事件，如果P（B）>0，则称
P
A
B
P AB PB
为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率。
同样，如果P（A）>0,则称
PB
A
P AB P A
为在事件A发生条件下，事件B的条件概率。
条件概率的计算通常有两种办法： (1)由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型） (2)由条件概率的定义计算。
例2， 一盒子内有黑球5个白球3个，连续从中无 放回地取两个球，每次取一个，若已知第一次取 出的是白球，求第二次仍取出的是白球的概率为 多少？
A={第一次取的是白球}
B={第二次取的是白球}
由题意可知： 1
P(H1) 2
P(H2
)
1 3
P(H3 )
1 6
P(A H1) 0.1 P(A H2 ) 0.3 P(A H3 ) 0.6
P(A) P(H1)P(A H1) P(H2 )P(A H2 ) P(H3)P(A H3) 0.25
贝叶斯（bayes）公式
定理3：
设 H1,H2,…….Hn为一完备事件组，且
n
AHi
n
P
AHi
n
P
Hi
P
A
Hi
i1
i1
i1
例9：设有一电路板是由电阻器、电容器和晶体管三种元 件组成，三种元件的数目之比为 3:2:1。已知在电压升高 一倍时，三种元件损坏的概率分别为0.1，0.3和0.6，试求 在电压升高一倍后，任测一元件它是被损坏的概率。
H1、H2、H3分别表示被测元件是电阻器、电容器和晶体管的事 件，则三者构成完备事件组，A表示被测元件是已损坏的事件。