(塑性成形力学)4滑移线场理论及应用

式(2.72)
式(4.2)
dp
tanφ
tanφ
式(4.4)
（α线）
1
tanφ
2kdφ
汉基应力方程：
沿α线 沿β线
φ角按弧度值计算。
式(4.12) 式(4.13)
4.3 滑移线场的几何性质
性质1 在同一滑移线上，由a点到b点，静水压力 的变化与滑移线的切线的转角成正比。
性质2 在已知的滑移线场内，只要知道一点的静 水压力，即可求出场内任意一点的静水压力，从而可 计算出各点的应力分量。
图1.28 理想刚-塑性材料
4.1.3 基本概念
（α和β）滑移线
塑性区内任意一点处的两个最大剪应力相等且相互垂直，连接各点的最
大剪应力方向并绘成的曲线便得到两族正交的曲线，该曲线即为滑移线 （分别称为α和β滑移线）。
滑移线网
两族正交的滑移线在塑性区内构成的曲线网。
滑移线场
由滑移线网所覆盖的区域。
相关规定(重要)
相关规定：
1. 使单元体产生顺时针转效果的剪应力方向为α线，反之为β线；（例题）
2. 分别以α线和β线构成一右手坐标系时的横轴和纵轴，则代数值最大的主应力
σ1的作用线在穿过原点条件下是在第Ⅰ和第Ⅲ象限内；（例题）
3. α线各点的切线与所取的x轴的夹角为φ，逆时针转为正，顺时针转为负。
y
右手坐标系： 姆指指向α线正方向 食指指向β线正方向 中指指向自己
4 滑移线场理论及应用
教学目的和要求
通过本章的学习，掌握滑移线法的基本理论、基 本特点和解题步骤，并能运用该理论解决实际问题。
滑移线法(滑移线场理论)：
是对于理想刚塑性材料在平面变形条件下建立的。
图1.28 理想刚-塑性材料
分析重点：确定变形体内的应力应变分布，特别是工件与工具接 触表面上的应力应变分布。
v2
பைடு நூலகம்
绪言
确定变形体中的速度场具有重要意义。
v1 v1k
P
v2k
Q
滑移线的基本性质：（公理） 1.滑移线具有完全刚性的特性；
在塑性变形中，滑移线既不伸长也不缩短，形状也不会改变。 2.同一条滑移线上任何二点的位移速度在该二点连线方向上的速度分
量相等。
运动许可：只要求满足几何方程、体积不变、速度边界条件。
P145
静力许可：只要求满足静力平衡、应力边界条件、不违背屈服条件。
4.4.1 盖林格尔速度方程
同一条滑移线上任何二点的位移速度在该 二点连线方向上的速度分量相等。
（滑移线的基本性质二）
盖林格尔速度方程（速度协调方程）：
沿α线 沿β线
dvα-vβdφ=0 dvβ+vαdφ=0
式(4.15)
当滑移线是直线（均匀应力状态、简单应力状态）时，沿直线滑移线的速度是常数。
(滑移线为速度不连续线) 4. 切向速度不连续量沿速度不连续线是一常数。
存在速度不连续线的速端图：
两条速度不连续线相交于一点附近的速度不连续量的矢量和为零。
4.6滑移线场的绘制
建立变形区内滑移线场通常是一个相当复杂的问题。
在给定的应力边界条件下，作滑移线场的方法： 1. 积分滑移线的微分方程； 2. 图解法； 3. 数值积分法。
不少的塑性加工过程，由于变形区域 沿某一方向(z轴方向)的尺寸较大， 沿该方向的相对变形量很小，可近似 认为是平面变形问题。 如：薄板轧制 矩形件压缩
莫尔圆 （应力圆）
单辉祖，“材料力学教程”， 国防工业出版社，1982
-p
k
4.1.2 基本假设
各向同性的理想刚－塑性材料 变形抗力为常数 忽略热应力和惯性力等
式(4.1)
塑性变形时：
Ψ=0时： -p=σn+ksin2φ
式(4.1)
发生塑性变形的自由表面：
图4.22a
先确定滑移线位向，再判断α、β线。
无摩擦的接触面：
完全粗糙的接触表面：
Ⅱ
Ⅰ
x
Ⅲ
Ⅳ
例题：
α β
α
β
②
①
③
④
α
β
α
β
平面变形时的基本方程：
τ
式（4.1）
A点：
D
o
E
(σx，-τxy)，Py平面
B点：
(σy，τyx)，Px平面
y
o
x
剪应力τxy或τyx的符号规定：使体素顺时针转为 正，使体素逆时针转为负。（在莫尔圆中）
4.2 汉基应力方程
平面变形 力平衡微分方程
式(4.1)
与其它方法相比：数学上较严谨、理论上较完善、计算精度较高。
还可确定速度分布，在一定条件下可推广应用于非平面变形问题 及硬化材料等，近年来取得了更大进展。
4.1 滑移线场的基本概念
4.1.1 平面塑性变形的基本方程 4.1.2 基本假设 4.1.3 基本概念
4.1.1 平面塑性变形的基本方程
平面变形(定义)：当物体内各点的变形平行于某一固定平面(xoy)，同垂直 于此平面的坐标(z)无关时，定义为平面应变状态，即应变是二维的，只 发生在某一族平行平面。
4.4.2 速端图
绘制方法及定义：
利用速端图(用几何作图法)，根据
边界条件或已知条件，就可将滑移线
M
场内各点的速度求出。
速度不连续性：
盖林格尔速度方程（沿α线）： dvα-vβdφ=0，vα和vα＋C均满足。
式(4.16)
秒流量相等原则 塑性变形的连续性：不发生堆积和空洞。
塑性变形的连续性：不发生堆积和空洞。 滑移线是完全刚性线。
沿速度不连续线的法线方向的速度是连续的。
速度不连续性：
V’at-V’‘at＝c（常数） 切向速度不连续量沿速度不连续线是一常数。
速度不连续性：（小结） 1. 在塑性区及刚性区的边界上一定存在着速度不连续线； 2. 沿速度不连续线的法线方向的速度是连续的； 3. 速度不连续线的方向和滑移线的方向重合；
性质3 直线滑移线上各点的静水压力相等。 (均匀直线场)
图4.9（a）
性质4（汉基第一定理） 同族的两条滑移线与另一族滑移线相 交，其相交处两切线间的夹角是常数。 (跨线性质)
汉基第一定理的推论：
均匀应力状态区的相邻区域一定是简单应力状态的滑移线场。
4.4 盖林格尔速度方程和速端图
绪言 4.4.1 盖林格尔速度方程 4.4.2 速端图
（①＋②）/2 （①－②）/4
① ②
式(4.25) 式(4.26)
式(4.27) 式(4.28)
4.5 滑移线场求解的应力边界条件和步骤
4.5.1 应力边界条件 4.5.2 滑移线求解的一般步骤
4.5.1 应力边界条件
常见边界： 工件与工具接触表面：σ、τ 自由表面
单辉祖，“材料力学教程”，国防工 业出版社，1982，P208