线性代数习题答案
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1 2x
a b0
4. 设a, b为实数, 则当a=[ 0 ], b=[0 ]时, b a 0 0
.
1 0 1
30 40 22 22
5．0 7 0 0 的第四行各元素余子式之和的等于[ ].
5 3 2 2
30 40 22 22 0 7 0 0 5 3 2 2
M41+M42+M43+M44
=-A41+A42-A43+A44
0
0
a3 an 00 x3 a3 0
0 xn an
x1
a2
a3 an
a1 x1 x2 a2
0
0
Dn a1 x1
ab =ad
cd
ab bc
cd
c
d
c
d
2n2
2n2
=(ad bc)D2n2 =(ad bc)2 D2n4 = =(ad bc)n1 D2 =(ad bc)n
1 33 3 3 323 3 3 333 3 3 (5) 3 3 3 n 1 3 333 3 n
解 n=1时
原式=|1|=1
0
0
a1 a2 x a2 a2 x a2 a3 a2 a3
a1 a2 x a2
0 0 0
an1 1 an1 1 an1 1 x1 an 1
a2 a3 a2 a3 x a3
0 0
an1 an an1 an an1 an
x an 0
1 1
1 n
i1 (x ai ) 1 1
1 2 3 n
2 3 4 1
(7) D 3 4 5 2
n 1 2 n 1
解
n(n 1) 2 3 n
2 11 2021 1330 1 1nnn11n n
n(n 1) 1013 301141411n11n11n0 n1 1
D
(nn((1nn2)22n(1n12))1)(10n11n4)1(n1(42n111n)52(nn15n2) )( 1 1) n0211n12n021
x1 x2 x3 + x4 1
3.
方程组
2x1 3x2 4x3 5x4 5 4x1 9x2 16x3 25x4 25
有解: [
C
].
8x1 27x2 64x3 125x4 125
( A) x1 0,x2 1,x3 2,x4 0; (B) x1 1,x2 1,x3 0,x4 1;
(1) 2 2 a1na12n,na12,n1ana1,2na1n,21an1
010 0 002 0 (2) 0 0 0 n 1
n00 0 0
解
10 0
D
(1)n1
n
0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
0
(1) n1n!
0 0 n 1
a 0 001 0a 00 0 0 0 a0 0 (3) 0 0 0a 0 1 0 00a
00
a n2
01 00 00
a0 n1
a
b
a
b
(4) D2n
ab cd
c c
解 按第一列展开, 有
a
b0
D2n =a
ab cd
d d
2n
0 a
c
c
d
0
d
c
2 n 1
ab cd
b b
d0 2 n 1
a
D2n =a
c 0 a
ab cd
b0
0
a
c
d
d
c
2 n 1
b
a
b b
ab cd
d0 2 n 1
b
n=2时
原式= 1
3 7
32
n3时, 让各列都减去第三列, 则有
2 0 3 0
0
0 1 3 0
0
原式= 0 0 3 0
0
0 0 31
0
0 0 30
n3
2 0 0 0
0
0 1 0 0
0
0 0 30
0
=
0 0 01
0
0 0 00
n3
=6(n3)!
x
a1
(6)
D
a1
a1 a1
解
x a1 0
0 ci aicn1 D
an1,1 an1,2
0
0
an1
00
0
a21
a22 a31 aa32,n1
解 D=(1)1n a(1n1a)nna11,1na2,ann11a,2n1,1 an10,2
an1
0 an1 0 0
a3,n2
0 0
(1)1n (1)n (1)3 a1na2,n1an1,2an1
(nn(n41))(n1)
1
1
n(n 1)
1101n1101n121 01n 1 101 1 2 n 1
11
n1 n1n1
2
x1 a2 a3 an a1 x2 a3 an (8) Dn a1 a2 x3 an a1 a2 a3 xn
解
x1 a1 x1 Dn a1 x1
a1 x1
a2 x2 a2
(C) x1 0,x2 0,x3 0,x4 1; (D) x1 0,x2 0,x3 1,x4 1.
二、填空题
.
0010
1．4阶行列式 0 1 0 0 等于[ 1 ].
0001 1000
3 0 4
2. 行列式 5 0 3中元素a11的代数余子式等于[ 6 ].
5 2 1
2x 1 1
3. f (x) x x x 中, x3的系数是[ -2 ].
解
A41+4A42+2A43
1
－3
4 2
2 0
0 0
1
1 42 0
124
2. 设D 2 x 1 , 已知代数余子式A31=-2, 求A12.
x35
解 由于A31=2-4x=-2, 所以, x=1. 于是A12=-9.
3、计算下列行列式
a11
a21
(1) D=
a12 a1,n1 a1n a22 a2,n1 0
习题一（26页）
一、选择题
11 11
1011
1．n阶行列式 D 1 1 0 1 等于[ B ].
11 10
(A) 1; (B) (-1)n-1; (C) 0; (D) -1.
2 1 4 1
2．行列式 3 1 2 1 等于[
1 2 3 2 5 0 6 2
C ].
(A) 1; (B) 2; (C) 0; (D) -1.
3 0 40
3 4 0 340
.
2 2 22
7 2
0 7 0 0
2
2 14 1 1 1 28
1 1 1 0 0 2
1 1 1 1
所以，第四行各元素余子式之和等于[ -28 ].
三、解答题
2 1 3 －1
1．设 D 1 4
－3 2
2 0
0 1
，试求A41+4A42+2A43的值.
4 13 5
2 1 3 －1
n
解 按第一列展开, 有
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00
a0
(1)n1 0 a
a0
0a n1
00
01 00 00
a0 n1
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00
a0
(1)n1 0 a
a0
0a n1
00
a0
0
=an (1)n1(1)n 0 a
0
=an an2 =an2 (a2 1)
a b0
4. 设a, b为实数, 则当a=[ 0 ], b=[0 ]时, b a 0 0
.
1 0 1
30 40 22 22
5．0 7 0 0 的第四行各元素余子式之和的等于[ ].
5 3 2 2
30 40 22 22 0 7 0 0 5 3 2 2
M41+M42+M43+M44
=-A41+A42-A43+A44
0
0
a3 an 00 x3 a3 0
0 xn an
x1
a2
a3 an
a1 x1 x2 a2
0
0
Dn a1 x1
ab =ad
cd
ab bc
cd
c
d
c
d
2n2
2n2
=(ad bc)D2n2 =(ad bc)2 D2n4 = =(ad bc)n1 D2 =(ad bc)n
1 33 3 3 323 3 3 333 3 3 (5) 3 3 3 n 1 3 333 3 n
解 n=1时
原式=|1|=1
0
0
a1 a2 x a2 a2 x a2 a3 a2 a3
a1 a2 x a2
0 0 0
an1 1 an1 1 an1 1 x1 an 1
a2 a3 a2 a3 x a3
0 0
an1 an an1 an an1 an
x an 0
1 1
1 n
i1 (x ai ) 1 1
1 2 3 n
2 3 4 1
(7) D 3 4 5 2
n 1 2 n 1
解
n(n 1) 2 3 n
2 11 2021 1330 1 1nnn11n n
n(n 1) 1013 301141411n11n11n0 n1 1
D
(nn((1nn2)22n(1n12))1)(10n11n4)1(n1(42n111n)52(nn15n2) )( 1 1) n0211n12n021
x1 x2 x3 + x4 1
3.
方程组
2x1 3x2 4x3 5x4 5 4x1 9x2 16x3 25x4 25
有解: [
C
].
8x1 27x2 64x3 125x4 125
( A) x1 0,x2 1,x3 2,x4 0; (B) x1 1,x2 1,x3 0,x4 1;
(1) 2 2 a1na12n,na12,n1ana1,2na1n,21an1
010 0 002 0 (2) 0 0 0 n 1
n00 0 0
解
10 0
D
(1)n1
n
0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
0
(1) n1n!
0 0 n 1
a 0 001 0a 00 0 0 0 a0 0 (3) 0 0 0a 0 1 0 00a
00
a n2
01 00 00
a0 n1
a
b
a
b
(4) D2n
ab cd
c c
解 按第一列展开, 有
a
b0
D2n =a
ab cd
d d
2n
0 a
c
c
d
0
d
c
2 n 1
ab cd
b b
d0 2 n 1
a
D2n =a
c 0 a
ab cd
b0
0
a
c
d
d
c
2 n 1
b
a
b b
ab cd
d0 2 n 1
b
n=2时
原式= 1
3 7
32
n3时, 让各列都减去第三列, 则有
2 0 3 0
0
0 1 3 0
0
原式= 0 0 3 0
0
0 0 31
0
0 0 30
n3
2 0 0 0
0
0 1 0 0
0
0 0 30
0
=
0 0 01
0
0 0 00
n3
=6(n3)!
x
a1
(6)
D
a1
a1 a1
解
x a1 0
0 ci aicn1 D
an1,1 an1,2
0
0
an1
00
0
a21
a22 a31 aa32,n1
解 D=(1)1n a(1n1a)nna11,1na2,ann11a,2n1,1 an10,2
an1
0 an1 0 0
a3,n2
0 0
(1)1n (1)n (1)3 a1na2,n1an1,2an1
(nn(n41))(n1)
1
1
n(n 1)
1101n1101n121 01n 1 101 1 2 n 1
11
n1 n1n1
2
x1 a2 a3 an a1 x2 a3 an (8) Dn a1 a2 x3 an a1 a2 a3 xn
解
x1 a1 x1 Dn a1 x1
a1 x1
a2 x2 a2
(C) x1 0,x2 0,x3 0,x4 1; (D) x1 0,x2 0,x3 1,x4 1.
二、填空题
.
0010
1．4阶行列式 0 1 0 0 等于[ 1 ].
0001 1000
3 0 4
2. 行列式 5 0 3中元素a11的代数余子式等于[ 6 ].
5 2 1
2x 1 1
3. f (x) x x x 中, x3的系数是[ -2 ].
解
A41+4A42+2A43
1
－3
4 2
2 0
0 0
1
1 42 0
124
2. 设D 2 x 1 , 已知代数余子式A31=-2, 求A12.
x35
解 由于A31=2-4x=-2, 所以, x=1. 于是A12=-9.
3、计算下列行列式
a11
a21
(1) D=
a12 a1,n1 a1n a22 a2,n1 0
习题一（26页）
一、选择题
11 11
1011
1．n阶行列式 D 1 1 0 1 等于[ B ].
11 10
(A) 1; (B) (-1)n-1; (C) 0; (D) -1.
2 1 4 1
2．行列式 3 1 2 1 等于[
1 2 3 2 5 0 6 2
C ].
(A) 1; (B) 2; (C) 0; (D) -1.
3 0 40
3 4 0 340
.
2 2 22
7 2
0 7 0 0
2
2 14 1 1 1 28
1 1 1 0 0 2
1 1 1 1
所以，第四行各元素余子式之和等于[ -28 ].
三、解答题
2 1 3 －1
1．设 D 1 4
－3 2
2 0
0 1
，试求A41+4A42+2A43的值.
4 13 5
2 1 3 －1
n
解 按第一列展开, 有
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00
a0
(1)n1 0 a
a0
0a n1
00
01 00 00
a0 n1
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00
a0
(1)n1 0 a
a0
0a n1
00
a0
0
=an (1)n1(1)n 0 a
0
=an an2 =an2 (a2 1)