算术平均数调和平均数几何平均数

几何平均数 加权几何平均数适应于比率或速度已 分组的情况。
f x
xG f x1 f1 x2 f2
xn fn f
第二节
数值平均数
本节小结
本节主要讨论了算术平均数、调和平 均数、几何平均数三种数值平均数的应用条 件和计算方法，其中最常用的是算术平均数。
第三节 位置平均数
本节重点 众数、中位数的概念与计算方法 本节难点 众数、中位数的的定义
第四节 离中趋势的度量 标准差系数
标准差系数是将一组数据的标准差与其算 术平均数对比的结果。
V 100% x
第四节 离中趋势的度量 本节小结
标志变异指标的意义与测定既是本 章的重点，也是整个统计学中的重要问 题。特别要弄清楚标准差的计算原理、 计算方法和离散系数的应用条件。
第三节 位置平均数
本节小结
本节主要学习了众数和中位数两种位 置平均数的应用场合、特点、确定方法。特 别需要注意的是数列的集中趋势比较明显的 时候计算众数才有意义，还要注意组距数列 时众数和中位数的确定方法。
第四节
离中趋势的度量
本节的重点是： 标志变异指标的概念 标准差的计算方法 本节的难点是： 标志变异指标的定义和测度
第四节 离中趋势的度量 一、离中趋势：含义
离中趋势是指一组数据中各数据 值以不同程度的距离偏离其中心（平 均数）的趋势，又称标志变动度。

分位差

极差

离散系数
方差


标准差
平均差
离中趋势指标是用来综合反映数据的离 中程度的一类指标。
第四节 离中趋势的度量 极差（Range）
极差＝最大变量值 - 最小变量值
第二节
数值平均数
几何平均数
几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，适应于 计算平均比率和平均速度。根据掌握的资料不同， 有简单几何平均数和加权几何平均数两种。 简单几何平均数适应于已知每个比率或每个速度求 平均数的情况。
x
G

n
x1 x 2 ...... x n
n
x
第二节
数值平均数
第三个四分位数-第一个四分位数 四分位差= 2
四分位差是第三个四分位数减去第一个 四分位数的差的一半
第四节 离中趋势的度量 平均差
平均差（Mean deviation）是数据组中各数 据值与其算术平均数离差绝对值的算术平均数， 常用符号“M.D”表示。 但是在计算过程
xx M .D n 简单平均式
1
f
2
2
...... x n
f
n
f

f
......
f
n
xf f
其中，x为各组变量值或组中值，f 各组为次数
第二节
数值平均数
（四）需要注意的几个问题 ⒈加权算术平均数不仅受各个变量值大 小的影响，而且受权数大小的影响。 ⒉权数可以用比重形式。
f f xx x f f
计算过程（用EXCEL计算）
按年销售额 分组 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100以上 合计 营业员 人数 24 48 105 60 37 26 300 向上累计 次数 24 72 177 237 274 300 向下累计 次数 300 276 228 123 63 26 下限 50 60 70 80 90 100 上限 60 70 80 90 100 -
位置平均数 分位数
第二节
数值平均数

本节重点 算术平均数、调和平均数的概念、性质 及其计算方法 本节难点 众数、中位数、数值平均数等度量方法 的选择问题

第二节
数值平均数
一、算术平均数 基本公式
总体标志值总数 算术平均数 总体单位数
由于掌握的资料不同，在实际计算 时又可以分别采用简单算术平均数和 加权算术平均数的方法。
m
f
fm
dm (下限公式)
第三节 位置平均数 三、众数、中位数计算示例
分组数据
按年销售额分组 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100以上 合计 营业员 人数 24 48 105 60 37 26 向上累计 次数 向下累计 次数 下限 上限
第三节 位置平均数 三、众数、中位数计算示例
一、众数 第三节 位置平均数
一、众数 m
0
众数是一组数据
中出现次数最多的标 志值。
第三节 位置平均数
众数不仅适应于变量数列，也适应 于品质数列。如销售量最多的服装款式 或色彩，即通常所讲的“流行款式”， 就属于这种意义上的众数。
第三节 位置平均数
众数的确定 ⒈如果各标志值分布很均匀，无明显的 变化，则数列无众数。 2.如果是单项式数列或未分组的数据， 出现次数最多的那一个标志值就是众 数。 3.由组距式数列确定众数，先根据次数 的多少确定众数组，然后可按下述公 式之一计算：
2 2 ( x x ) min 或 ( x x ) f min
第二节
数值平均数
二、调和平均数
又叫倒数平均数，即各变量值的倒数的算术平均 数的倒数。调和平均数用 x 表示。
H
m1 m2 mn xH 1 1 1 1 1 1 m1 m2 mn m1 m2 mn x1 x2 xn x1 x2 xn m1 m2 mn 1
第五章
离中趋势和集中趋势的度量
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 集中趋势指标概述 数值平均数 位置平均数 离中趋势的度量 偏度与峰度（选讲）
1
学习目的和要求
①明确平均数和标志变异指标的概念和作用 ②熟练掌握数值平均数和标准差计算方法 ③了解众数、中位数的概念、特点及其计算 方法 ④了解几种平均数之间的关系 ⑤了解计算平均数和离中趋势指标应注意的 问题。
组距数列极差可近似值为： 极差 ＝ 最大组的上限 - 最小组的下限
第四节 离中趋势的度量
优点
计算简便 含义清楚 缺点
没有考虑到中间变量值的变动情况，测定离 中趋势时不准确。
第四节 离中趋势的度量 分位差
是从一组数据中剔除了一部分极端值之后重 新计算的类似于极差的指标。常用的有四分位差、 八分位差和十分位差等
中位数将变量数列分为相等的两部分， 一部分的标志值小于中位数，另一部分的 标志值大于中位数。
如何确定中位数？
1.由未分组的数据确定中位数 2.由单项数列确定中位数 3.由组距数列确定中位数
第三节 位置平均数 1.由未分组的数据确定中位数
根据未分组的数据确定中位数时，首先将总 体各单位的标志值资料按大小顺序排列，然后按 照
1 1
x f
1

1
2
n
2
n
nf

x
1

x
2
...... n
x
n
均数的数学性质 ⒈各变量值与算术平均数的离差之 和为零。这一性质说明算术平均数 是一组数据的重心。
( x x) 0或 ( x x) f
0
第二节
数值平均数
（五）算术平均数的数学性质 ⒉各变量值与算术平均数的离差平方和 为最小。
xx M .D f f
中，数学处理方法不 够理想，所以，其应 用受限
加权平均式 由于平均差是根据数列中所有数值计算出来 的，受极端值影响较小，所以对整个统计数列的 离中趋势有较充分的代表性。
第四节 离中趋势的度量
方差Variance与标准差Standard
deviation
方差是数据组中各数据值与其算术平均 数离差平方的算术平均数。方差的平方根就是 标准差。 x x f x x
2
2
n
f
简单平均式
加权平均式
标准差是应用最广泛的离中趋势指标
第四节 离中趋势的度量 离散系数（Coefficient of variation） 上述三个指标带有计量单位，而且其 离中趋势大小与变量平均水平的高低有关。 要比较数据平均水平不同的两组数据 的离中程度的大小，就有必要计算它们的 相对离中程度指标，即离散系数。 常用的离散系数指标是标准差系数。
统计平均数的作用
两个同类现象而范围不同的总体一般水平。 将同一总体、同一性质的平均数按时间先后 顺序排列起来可以反映现象发展变化的过程、趋 势、规律性。 和统计分组结合，揭示现象之间的依存关系。
第一节
集中趋势指标概述
算术平均数
类型
静态平均数 统计平均数 动态平均数
数值平均数
调和平均数 几何平均数 众数
m 1 xm
第二节
数值平均数
调和平均数
上述公式是加权调和平均数的公式。若各变量值 的权数都相等时，加权调和平均数简化为简单调和 平均数。即:
xH
n 1
1
x x

1
2
......
1

n
n 1 x
x
调和平均数 第二节 数值平均数
调和平均数公式中的权数 m xf 是 各组的标志总量（算术平均数的分子数 据）。当已知各组的变量值和算术平均 数的分 子数据，而缺乏分母数据 f 时， 可以采用调和平均数的形式来计算。
n 1 2
（n表示资料的项数）来确定中位数的位次， 再根据中位数的位次找出对应的标志值即可。
第三节 位置平均数
2.由单项数列确定中位数
由单项数列确定中位数时，先向上或向下累 计次数，然后按下式确定中位数的位次：
f 1
2
根据中位数的位次，将累计次数刚 好超过中位数位次 组确定为中位数 组，该组所对应的标志值即为中位数。
集中趋势指标即统计平均数，是反 映若干统计数据一般水平或集中趋势的 综合指标。它可能表现为总体内各单位 某一数量标志的一般水平，也可能表现 为总体在某一段时期内的数量一般水平。
第一节
集中趋势指标概述 统计平均数的特点
统计平均数是一个代表值 统计平均数是一个抽象值
数据集中区
变量x
x
第一节
集中趋势指标概述
2
学习重点
平均数和标志变异指标的概念 众数、中位数、数值平均数和 标准差的特点及其计算方法
3
学习难点
众数、中位数、数值平均数（算术平均数、 调和平均数、几何平均数）等度量方法的 选择问题
第一节
集中趋势指标概述
本节重点
平均数的概念
本节难点
平均数的特点、分类
第一节 集中趋势指标概述
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢 的倾向，测度集中趋势即要寻找数据一般水平 的代表值或中心值。
1 2 1 2
f f ...... x (x ) f f
n n
第二节
数值平均数
（四）需要注意的几个问题 ⒊简单算术平均数是加权算术平均数 的特例。
若
f
1

f
2
......
2 2
f
n
f , 则有：
n n
f ...... x f x x f f ...... f x ...... x ) f （ x
第三节 位置平均数
计算公式
Mo L
m
1 d m (下限公式) 1 2
Mo U
m
2 d m (上限公式) 1 2
第三节 位置平均数
二、中位数（Median）
中位数是指将总 体各单位标志值按照 大小顺序排列后，处 于中间位置的那个标 志值，用Me表示。
第三节 位置平均数
第二节
数值平均数
简单算术平均数 资料未分组时可以采用简单算术平 均数的方法。
第二节 数值平均数
x1 x2 x n
xn
x n
x 算术平均数 n 变量值
x
∑
变量值的个数 和号
第二节
数值平均数
(三）加权算术平均数 当资料已经分组则采用加权算术平均数 的方法
f x x
1
1
x2
第三节 位置平均数
3.由组距数列确定中位数
由组距数列确定中位数，先向上或向下累计 频数，然后按确定中位数的位次，再用公式计算 中位数的近似值。 方法同单 项数列
第三节 位置平均数
计算公式
Me L
Me U
m

0 f 2 S i m1
fm
i 1 2 Sm 1
dm (下限公式)