线性代数练习册第三章部分答案(本)
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第三章 行列式及其应用
§3-1 行列式的定义
一、填空题。
1、行列式a b
c d
=__ad bc -___;112
2
13141
---=____-24____. 2、行列式
1
111
1
21
21
2
00
000
a a a a
b b
c c
d d =______0_____. 3、已知行列式1111111
1
11111111
D -=
-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____
13223144a a a a -____.
二、选择题。
1、方程01
1
0001x x x
=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.
2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__.
（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__.
（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21
4、n 阶行列式001
020
00
D n = 的值为__D ___.
（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n
n -; （D ）(1)2
(1)
!n n n --.
5、行列式312111321111x x x x x
--中4
x 的系数为__A____.
(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.
三、计算下列行列式
1、12
1
10001- 解：33
312
121
10(1)(1)1
11
001
r +--=-按展开
2、
1010120012301234
解：444321010
101
1200
4(1)120
1230
123
1234101
412024
003
r r +--=按c 展开
3、
11321011
23011
002
-- 解：
41
411
3
2
1
1
3
10111013
22301230310021000130
01
3303
3
c c --------=--按r 展开
四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的
逆序数为
(1)
2
n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，
且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-， 所以，i i i t n a k =--，
所以，排列11n n a a a - 的逆序数为
12112122122(1)
()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=
-
（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a
或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以 排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个
不同数的组合数k
n C ，即11n n a a a - 的逆序数为
(1)
2
n n k --.）
§3-2 行列式的性质与计算
一、填空题。
1、行列式1111111
1
1x y y
+++=_____xy _____.
2、行列式232629
24
2730252831
=_____0______. 3、若0,1,2,3i i a b i ≠=，则行列式11
1213
21
222331
32
33
a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______0______. 4、若行列式2
34
2342
34
1111a a a a D b b b b c c c c =
,则21222324A A A A +++=____0_____. 解：
21222324A A A A +++=212223241111A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅=
234
2
34
111111
11
0b b b b c c c c = 5、若行列式1100
1010001x y z x y z =，则x =__0__;y =___0___;z =__0____.
二、选择题。
1、行列式
000
0000a b a b b a b
a
的值为_____C___. （A ）4
4
a b -; （B ）4()a b -; （C ）222()a b -; （D ）4()a b +.
2、行列式
33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231
1
1
1
a a a a a a a a a a a a ---------的值为__A___.
（A ）12; （B ）11; （C ）13; （D ）14.