线性代数练习册第三章部分答案(本)

第三章 行列式及其应用

§3-1 行列式的定义

一、填空题。

1、行列式a b

c d

=__ad bc -___;112

2

13141

---=____-24____. 2、行列式

1

111

1

21

21

2

00

000

a a a a

b b

c c

d d =______0_____. 3、已知行列式1111111

1

11111111

D -=

-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____

13223144a a a a -____.

二、选择题。

1、方程01

1

0001x x x

=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.

2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__.

（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__.

（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21

4、n 阶行列式001

020

00

D n = 的值为__D ___.

（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n

n -; （D ）(1)2

(1)

!n n n --.

5、行列式312111321111x x x x x

--中4

x 的系数为__A____.

(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.

三、计算下列行列式

1、12

1

10001- 解：33

312

121

10(1)(1)1

11

001

r +--=-按展开

2、

1010120012301234

解：444321010

101

1200

4(1)120

1230

123

1234101

412024

003

r r +--=按c 展开

3、

11321011

23011

002

-- 解：

41

411

3

2

1

1

3

10111013

22301230310021000130

01

3303

3

c c --------=--按r 展开

四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的

逆序数为

(1)

2

n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，

且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-， 所以，i i i t n a k =--，

所以，排列11n n a a a - 的逆序数为

12112122122(1)

()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=

-

（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a

或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以 排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个

不同数的组合数k

n C ，即11n n a a a - 的逆序数为

(1)

2

n n k --.）

§3-2 行列式的性质与计算

一、填空题。

1、行列式1111111

1

1x y y

+++=_____xy _____.

2、行列式232629

24

2730252831

=_____0______. 3、若0,1,2,3i i a b i ≠=，则行列式11

1213

21

222331

32

33

a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______0______. 4、若行列式2

34

2342

34

1111a a a a D b b b b c c c c =

,则21222324A A A A +++=____0_____. 解：

21222324A A A A +++=212223241111A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅=

234

2

34

111111

11

0b b b b c c c c = 5、若行列式1100

1010001x y z x y z =，则x =__0__;y =___0___;z =__0____.

二、选择题。

1、行列式

000

0000a b a b b a b

a

的值为_____C___. （A ）4

4

a b -; （B ）4()a b -; （C ）222()a b -; （D ）4()a b +.

2、行列式

33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231

1

1

1

a a a a a a a a a a a a ---------的值为__A___.

（A ）12; （B ）11; （C ）13; （D ）14.