第二章轴心受压构件的弯曲失稳方喻飞
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学习-轴心受压构件的整体稳定问题
2、轴心受压构件的整体稳定问题
（1）失稳现象
构件很短时
N
N 作用下，构件只产生轴向压缩变形，当
N=Afy 时，发生强度破坏。
N
构件较长时
a) 轴心压力 N较小
b) N增大
c) N继续 增大
干扰力除去后，恢复到 原直线平衡状态（稳定 平衡） 干扰力除去后，不能恢 复到原直线平衡状态, 保 持微弯状态（随遇平衡）
---------丧失整体稳定性
（3）轴心受压构件的失稳形式
依据构件的截面形式、长度、约束情况等，有三种失稳形式：
1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只 绕一个主轴旋转，杆纵轴由直线变为 曲线；
N
N
N
2）扭转失稳--失稳时除杆件的支承端外， 各截面均绕纵轴扭转；
3）弯扭失稳—杆件发生弯曲变形的同时 伴随着扭转。
1900 开始修建
1907 倒塌场景
原因分析：悬臂 4 肢格构式下弦压杆的缀材面积太小（1.1％）， 导致压杆单肢失稳，而后整体失去稳定。
破坏后果：9000吨钢材掉入河中；75人遇难。
辽宁某重型机械厂会议
原因分析： 14米跨的重型屋架设计成 梭形轻钢屋架； 受压腹 杆中部的矩形钢箍 支撑 没区分绕两个轴的稳 定 性； 误用计算长度系数 , 受压腹杆失稳导致破坏
N
N
N
不同截面形式的轴心受压构件可能发生的失稳形式，一 般 情况如下：
1）双轴对称截面--如工字型、箱型截面，绕对
N
N
N
称轴失稳形式为弯曲失稳，
而 “十” 字型截面还有可能
发生扭转失稳
2）单轴对称截面--绕对称轴弯扭失稳 绕非对称轴弯曲失稳
3）无对称轴截面--弯扭失稳
（1）失稳现象
构件很短时
N
N 作用下，构件只产生轴向压缩变形，当
N=Afy 时，发生强度破坏。
N
构件较长时
a) 轴心压力 N较小
b) N增大
c) N继续 增大
干扰力除去后，恢复到 原直线平衡状态（稳定 平衡） 干扰力除去后，不能恢 复到原直线平衡状态, 保 持微弯状态（随遇平衡）
---------丧失整体稳定性
（3）轴心受压构件的失稳形式
依据构件的截面形式、长度、约束情况等，有三种失稳形式：
1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只 绕一个主轴旋转，杆纵轴由直线变为 曲线；
N
N
N
2）扭转失稳--失稳时除杆件的支承端外， 各截面均绕纵轴扭转；
3）弯扭失稳—杆件发生弯曲变形的同时 伴随着扭转。
1900 开始修建
1907 倒塌场景
原因分析：悬臂 4 肢格构式下弦压杆的缀材面积太小（1.1％）， 导致压杆单肢失稳，而后整体失去稳定。
破坏后果：9000吨钢材掉入河中；75人遇难。
辽宁某重型机械厂会议
原因分析： 14米跨的重型屋架设计成 梭形轻钢屋架； 受压腹 杆中部的矩形钢箍 支撑 没区分绕两个轴的稳 定 性； 误用计算长度系数 , 受压腹杆失稳导致破坏
N
N
N
不同截面形式的轴心受压构件可能发生的失稳形式，一 般 情况如下：
1）双轴对称截面--如工字型、箱型截面，绕对
N
N
N
称轴失稳形式为弯曲失稳，
而 “十” 字型截面还有可能
发生扭转失稳
2）单轴对称截面--绕对称轴弯扭失稳 绕非对称轴弯曲失稳
3）无对称轴截面--弯扭失稳
结构稳定理论-第二章
由此可得临界力公式为： P
2 EIn 2
西北农林科技大学
参数 k
或 Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值 (eigenvalue)。
n
在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解
特征值问题。
轴向压力 9 2 EI P3 l2
4 2 EI P2 l2 l
nx y A sin l
其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。
其中k
对通解求导，可得其各阶导数： y ' Ak cos kx Bk sin kx C
y ' ' Ak 2 sin kx Bk 2 cos kx y ' ' ' Ak 3 cos kx Bk 3 sin kx
P EI
结构稳定理论
西北农林科技大学
§2-1
轴心受压构件的失稳类型
φ φ
（a）弯曲屈曲（绕z轴） （b）扭转屈曲（绕x轴） （c）弯扭屈曲
图2.1 轴心受压构件的失稳类型
轴心受压构件的失稳形式主要取决于：截面的形状和几何尺寸，杆件长度和杆端的连接条件 。
结构稳定理论
西北农林科技大学
§2-2
轴心受压构件的弯曲失稳
任意一截面弯矩(对A点取矩)：
x y P M Q x
M P y Qx M A
弯矩与曲率的关系 M EIy ' ' 则有二阶常系数微分方程：
y
Q MA P
Q P MA
其中：
EIy' ' Py Qx M A
MA MB Q l
结构稳定理论
西北农林科技大学
钢结构课件 轴心受压构件的整体稳定性
N=1000kN, 柱的长度4.2m。柱截面为焊接工字形，具有轧制边 翼缘，尺寸2-10×220, 腹板1-685
4.2.6 轴心受压构件扭转和弯扭屈曲
1、扭转屈曲
根据弹性稳定理论，两端铰支且翘曲无约束的杆件，其扭 转屈曲临界力，可由下式计算：
《钢结构稳定理论与设计》 陈骥 著
NE
fy
弹塑性阶段
N A
Nv0
W 1 N
NE
fy
相对初弯曲 ε0 = v0 / ρ = v0 / (W/A)
N [1 A 1
0
N
] NE
fy
N A
1
1000
i
1
1 N
N
E
fy
上式的解即为Perry-Robertson公式(柏利公式)
i0—截面关于剪心的极回转半径。i02
e02
ix2
i
2 y
引进扭转屈曲换算长细比z ：
1、扭转屈曲
满足
I 0
z =5.07b/t
x (y) ≥ z =5.07b/t
z2
25.7
Ai02 It
25.7
Ix
Iy It
2t 2b3 12
25.7 4bt3 3
选择计算 §4.6 板件的稳定和屈曲后强度的利用
§4.3 实腹式柱和格构式柱的截面选择计算
4.3.1 实腹式柱的截面选择计算
1、实腹式轴心压杆的截面形式 ①考虑原则 ②常用截面
2、实腹式轴心压杆计算步骤
§4.3 实腹式柱和格构式柱的截面选择计算
4.2.6 轴心受压构件扭转和弯扭屈曲
1、扭转屈曲
根据弹性稳定理论，两端铰支且翘曲无约束的杆件，其扭 转屈曲临界力，可由下式计算：
《钢结构稳定理论与设计》 陈骥 著
NE
fy
弹塑性阶段
N A
Nv0
W 1 N
NE
fy
相对初弯曲 ε0 = v0 / ρ = v0 / (W/A)
N [1 A 1
0
N
] NE
fy
N A
1
1000
i
1
1 N
N
E
fy
上式的解即为Perry-Robertson公式(柏利公式)
i0—截面关于剪心的极回转半径。i02
e02
ix2
i
2 y
引进扭转屈曲换算长细比z ：
1、扭转屈曲
满足
I 0
z =5.07b/t
x (y) ≥ z =5.07b/t
z2
25.7
Ai02 It
25.7
Ix
Iy It
2t 2b3 12
25.7 4bt3 3
选择计算 §4.6 板件的稳定和屈曲后强度的利用
§4.3 实腹式柱和格构式柱的截面选择计算
4.3.1 实腹式柱的截面选择计算
1、实腹式轴心压杆的截面形式 ①考虑原则 ②常用截面
2、实腹式轴心压杆计算步骤
§4.3 实腹式柱和格构式柱的截面选择计算
培训课件：轴心受压构件
aV
V
.
.
.
弯曲中心
形心 产生扭矩:Va
扭矩=0
具有双对称轴的截面,弯曲中心与形心重合；单 对称轴和无对称轴截面,弯曲中心与形心不重合.
弯曲产生的截面剪力不通过弯曲中心 〔通过形心〕产生的扭矩.可以认为这是 轴心压力因弯曲变形对杆件截面产生外 扭矩.
• 对于理想压杆,欧拉弯曲失稳临界力、欧 拉弯曲失稳临界力
Ncr
弯曲屈曲——屈曲模态为弯曲变形
计算临界力的基本假设：
▲ 杆件是理想直的,两端铰支； ▲ 轴心压力作用在两端,且为保向力； ▲ 屈曲变形属于小变形,平截面假设 成立,忽略杆 件长度的变化； ▲ 屈曲后的挠曲线〔屈曲模态〕可用正弦曲线描述. 目标：求弯曲屈曲临界荷载Nb,cr、临界应力b, cr [弹性临界荷载]
〔8〕1950年以后的试验证明：切线模量理论 值接近于试验值,并略微偏低是试验值的下限；双 模量理论值是试验值的上限.用切线模量理论于工 程是偏于安全的.最后被工程所接受.
这段历史说明：一个科学的认识过程是一个不 断深化、不断完善的过程；只有坚持真理、修 正错误才能逐渐达到科学的境界；实践是检验 真理的标准在科学发展史上早已是无争准则.
3.2 实际轴心受压构件的整体稳定
3.1节中讨论的轴心受压构件是一种理想情况.那时, 曾指出构件的特点有：作用在构件上的荷载是轴心压 力或轴心拉力；构件理想地直；构件无初应力. 这些理想化情形在实际工程中是不存在的.
Euler公式从提出到为轴心加载试验证实花了约 100年时间.说明轴心加载的不易；
〔2〕Considere认为切线模量理论有 误,提出双模量理论概念. 〔3〕Engesser认同Considere意见的正确 性,并于1895年导出了双模量.
受压构件的稳定(结构稳定原理)
127第2章 受压构件的稳定2.1 轴心受压构件的稳定轴心压杆就其自身的截面形状和尺寸而言，有较长细的杆，也有较中短的杆，这可用长细比i l /0=λ来表达。
对于长细比大的长细压杆，可以认为是在弹性范围内失稳；对于长细比小的中短杆件，则可能是在弹塑性范围内失稳。
因此，应该分别按弹性范围和弹塑性范围来分析理想轴心压杆的临界荷载。
2.1.1 理想轴心压杆的弹性稳定用理想轴心压杆的欧拉荷载E P 除以杆件的截面积A ，可得轴心压杆欧拉临界应力22202)/(λππσE i l E A P E cr===，式中i 为回转半径，AIi =。
由此可计算出应力值为材料比例极限p σ时的长细比p λ，并以此作为长细杆和中短杆的分界；压杆的长细比大于p λ时称为长细杆或大柔度杆，长细比小于p λ时称为中短杆或小柔度杆。
对于理想轴心压杆来说，长细杆是在弹性范围内工作的，所以压杆的稳定分析为弹性稳定问题。
通过弹性压杆的静力平衡条件,可以建立理想轴心压杆的平衡微分方程式，解平衡微分方程则可求得轴心压杆的临界荷载。
下面来看几个边界条件不同的理想轴心压杆的弹性稳定分析。
1）一端固定一端铰接的压杆 （1）用静力法求解如图2－1所示一端固定一端铰接的等截面轴心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则取任意截面的弯矩为)(x l Q Py M -+-=式中Q 为上端支座反力。
由y EI M ''-=，压杆挠曲线的平衡微分方程为:)(x l Q Py y EI -+-='' 图2－1一端固定一端铰接压杆128即 )(x l EIQ y EI P y -=+'' （2.1） 令EIPk =2，则有 )(22x l PQk y k y -=+'' （2.2） 此微分方程的通解为)(sin cos x l PQkx B kx A y -++= （2.3） 式中A 、B 为积分常数，Q ／P 也是未知的。
第二章轴心受压构件的扭转失稳方喻飞
对双轴对称截面
2 2 d A I I i A x y 0A
2 d E E M z Pi0 dz dz
17
长 江 大 学
由于纤维有 倾斜，作用 于纤维上端 Ｅ’’处的 力 dA在水 平面内产生 分力’dA， 绕剪心S形 成扭矩 ’dA。
7
长 江 大 学
为了简化约束扭转计算，通常采用两个基本假定： ①刚性周边假定，即构件的垂直于其轴线的截面投影形状在 扭转变形前后不变。 ②板件中面的剪应变为零。组成构件的各板件，当厚度t与宽 度b之比小于或等于1/10，轮廓尺寸与构件的长度之比小于或等 于1/10，则构件弯曲和扭转时的剪应变极其微小，对构件的影 响可以忽略不计。
24
长 江 大 学
发生约束扭转时，有纵向残余应力rs的轴心受压构件， 由于纤维倾斜， rs dA在水平面内同样产生水平分力 rs dA`，计算约束扭矩MZ时应考虑在内，即
M Z A rs 2 dA A 2 dA A rs 2 dA Pi02 R
复习
23
2 d E E M z Pi0 dz dz
长 江 大 学
复习
由于纤维有 倾斜，作用 于纤维上端 Ｅ’’处的 力 dA在水 平面内产生 分力’dA， 绕剪心S形 成扭矩 ’dA。
dA dAtg dA dA
EI
则
2 k 0
通解为
C1sinkz C 2 coskz C3
19
长 江 大 学 B w
由边界条件
EI w 0 0
0 0
0 0
C 2 C3 0
2 2 d A I I i A x y 0A
2 d E E M z Pi0 dz dz
17
长 江 大 学
由于纤维有 倾斜，作用 于纤维上端 Ｅ’’处的 力 dA在水 平面内产生 分力’dA， 绕剪心S形 成扭矩 ’dA。
7
长 江 大 学
为了简化约束扭转计算，通常采用两个基本假定： ①刚性周边假定，即构件的垂直于其轴线的截面投影形状在 扭转变形前后不变。 ②板件中面的剪应变为零。组成构件的各板件，当厚度t与宽 度b之比小于或等于1/10，轮廓尺寸与构件的长度之比小于或等 于1/10，则构件弯曲和扭转时的剪应变极其微小，对构件的影 响可以忽略不计。
24
长 江 大 学
发生约束扭转时，有纵向残余应力rs的轴心受压构件， 由于纤维倾斜， rs dA在水平面内同样产生水平分力 rs dA`，计算约束扭矩MZ时应考虑在内，即
M Z A rs 2 dA A 2 dA A rs 2 dA Pi02 R
复习
23
2 d E E M z Pi0 dz dz
长 江 大 学
复习
由于纤维有 倾斜，作用 于纤维上端 Ｅ’’处的 力 dA在水 平面内产生 分力’dA， 绕剪心S形 成扭矩 ’dA。
dA dAtg dA dA
EI
则
2 k 0
通解为
C1sinkz C 2 coskz C3
19
长 江 大 学 B w
由边界条件
EI w 0 0
0 0
0 0
C 2 C3 0
《轴心受压构》PPT课件
cr 按稳定极限承载力理论的计算方法
轴心受压构件考虑初始缺陷后的受力属于压弯状态 ，用数值积分法求解微分方程，可以考虑影响轴 心压杆稳定极限承载力的许多因素，如截面的形 状和尺寸、材料的力学性能、残余应力的分布和 大小、构件的初弯曲和初扭曲、荷载作用点的初 偏心、构件的失稳方向等等，因此是比较精确的 方法。我国钢结构设计规范采用了这个方法。
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
在弹塑性阶段，当研究式（a）时，只要截面上的
残余应力对称于y轴，同时又有 u0=0 和 θ0=0，则
该式将始终与其它两式无关，可以单独研究。这样， 压杆将只发生y方向位移，整体失稳呈弯曲变形状 态，成为弯曲失稳。
同样，式（b）也是弯曲失稳，只是弯曲失稳的 方向不同而已。
m
0 1 N
N Ex
NEX ——绕x轴的欧拉临界应力
5.3.4 弯曲失稳的极限承载力
由边缘纤维屈服准则可得 N Nm 将perΔrym公m NA代式入NW上xm式，fy并解出平均A应力W xc r
fy 后，即得
crfy(1 20)E x fy(1 20)E x2fyEx
0 ——初偏心率 0 A ； W x0
5.2 轴心受压构件的强度
以净截面的平均应力强度为准则，即
σ N fy f An rR
轴心受压构件，当截面无削弱时，强度不必计算。
轴心受压实腹构件的整体稳定
5.3.1 理想轴心压杆的整体稳定
1、整体稳定的临界应力
理想轴心压杆：假定杆件完全挺直、荷载沿杆件形心轴作 用, 杆件在受荷之前无初始应力、初弯曲和初偏心, 截面沿杆 件是均匀的。
欧拉双曲线
O
lp
非弹性 弹性
阶段 阶段
轴心受压构件考虑初始缺陷后的受力属于压弯状态 ，用数值积分法求解微分方程，可以考虑影响轴 心压杆稳定极限承载力的许多因素，如截面的形 状和尺寸、材料的力学性能、残余应力的分布和 大小、构件的初弯曲和初扭曲、荷载作用点的初 偏心、构件的失稳方向等等，因此是比较精确的 方法。我国钢结构设计规范采用了这个方法。
5.3.3 轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳
在弹塑性阶段，当研究式（a）时，只要截面上的
残余应力对称于y轴，同时又有 u0=0 和 θ0=0，则
该式将始终与其它两式无关，可以单独研究。这样， 压杆将只发生y方向位移，整体失稳呈弯曲变形状 态，成为弯曲失稳。
同样，式（b）也是弯曲失稳，只是弯曲失稳的 方向不同而已。
m
0 1 N
N Ex
NEX ——绕x轴的欧拉临界应力
5.3.4 弯曲失稳的极限承载力
由边缘纤维屈服准则可得 N Nm 将perΔrym公m NA代式入NW上xm式，fy并解出平均A应力W xc r
fy 后，即得
crfy(1 20)E x fy(1 20)E x2fyEx
0 ——初偏心率 0 A ； W x0
5.2 轴心受压构件的强度
以净截面的平均应力强度为准则，即
σ N fy f An rR
轴心受压构件，当截面无削弱时，强度不必计算。
轴心受压实腹构件的整体稳定
5.3.1 理想轴心压杆的整体稳定
1、整体稳定的临界应力
理想轴心压杆：假定杆件完全挺直、荷载沿杆件形心轴作 用, 杆件在受荷之前无初始应力、初弯曲和初偏心, 截面沿杆 件是均匀的。
欧拉双曲线
O
lp
非弹性 弹性
阶段 阶段
钢结构之轴心受压构件的弯曲屈曲
对四个积分常数的非零解的条件是(h)式中由系数
组成的行列式必为零，即：
11 21 3Biblioteka 41A12 22 32 42 31 23 33 43
0 ( i)
14 24 34 44
由上式可解出特征值 ki Pcri
7
2.1 理想轴心压杆的弹性屈曲(elastic buckling)续
Ey C1 Z1dA Et y C2 Z2dA 0
0
0
20
2.2 理想轴心压杆的弹塑性屈曲(Elastic-plastic buckling)（续）
或ES1 Et S2 0 （c) 该式可确定中和轴
考虑随遇平衡时内外弯矩平衡：
C1 １Z1dA C2 ２Z2dA Py 0
利用边界条件可得一组4个线性齐次方程，形式为：
11 A 12 B 31C 41D 0
12 13
A A
22 23
B B
32 C 33C
42 D 43D
00 ( h)
14 A 24 B 34C 44 D 0
6
2.1 理想轴心压杆的弹性屈曲(elastic buckling)续
若 cr
Pcr A
P失稳时，
弯曲内侧： 弯曲外侧：
2 1
Et E1
2
(a)
设以压应力应变为正，且Z1方向为正，又
d
dx
y，有：
1
Z1
d
dx
Z1 y 2
Z2
d
dx
Z2 y (b)
因杆失稳时, 轴力保持不变，则
Ｃ１
０
１ｄA
C2 2dA 0
0
将(a), (b)代入上式有：
第二章轴心受压构件的弯曲失稳方喻飞
c11 a1 c12 a 2 c1n a n 0 c 21 a1 c 22 a 2 c 2 n a n 0 c n1 a1 c n 2 a 2 c nn a n 0
c n1 c n 2 c nn
n
x dx
2
B
l a i i 0 i 1 n
x ห้องสมุดไป่ตู้dx
2
A P B
求P的极小值
P 0 a i
A B B A ai ai B
2
0
由于 B 0
A P B
A B P 0 a i a i
n n A l l 0 EI a j j x ix dx a j 0 EI ix j x dx ai j 1 j 1
2 2
则
1 1 W P P 2l l 1
2
Pcr Kll1 / l 2l1
15
长 江 大 学
势能驻值原理求解临界荷载 势能驻值原理指：受外力作用的结构，当位移有微小 变化而总势能不变，即总势能有驻值时，结构处于平衡 状态。其表达式
0
长 江 大 学
x 引入边界条件，则有 l x 0 , y1 0 A1 0 y 2 A2 cosx B2 sinx
y1 A1cosx B1sinx
x l , y1 0
B1sin l 0
B1cos l
l A2 sin l B2 cos l
长 江 大 学
1 lM2 U 0 dx 2 EI
M EI y
U 0 EI y 2 dx
3.轴心受压构件稳定
构件的最大挠度 yl / 2
kl kl kl 1 - coskl sin cos 1 e sec - 1e 即 2 2 2 sinkl 1 5 利用三角级数展开式 seckl / 2 1 kl / 22 kl / 24 2 24
Nt
2 Et I
l2
2 Et t 2
双模量理论（double modulus theory）
双模量的概念是康西德尔（Considere A.）于1891年提出的，该
理论采用的基本假定除第5条外，其它均与切线模量理论的相同。 轴心受压构件，认为构件从挺直位置到微弯位置时作用于两端的 轴向荷载保持常量；且构件微弯时凹面为正号应变，凸面为反号应 变，即存在着凹面的加载区和凸面的卸载区；由于弯曲应力较轴向 应力小得多，可以认为加载区（凹面）的变形模量均为Et，卸载区 （凸面）的变形模量为弹性模量E，因为Et< E，弯曲时截面的弯曲 中性轴与截面形心轴不再重合而向卸载区偏移。
3、残余应力的影响
型钢轧制、组合截面钢构件制作过程中的焊接及火焰切割
等，都可以在构件中产生自相平衡的应力，即残余应力。残 余应力虽然不影响结构的静力强度，但对疲劳强度、钢材的 低温冷脆性能、结构的刚度和稳定性能均有不利影响。
残余应力降低构件的刚度 残余应力降低构件的临界力
残余应力降低构件的刚度
令
k 2 P / EI
y k 2 y -k 2 asin
其通解为
y C1sinkx C 2 coskx -
x
l
sin
k 2a k2 - 2 / l2
x
l
根据边界条件：x=0, y=0;x=l, y=0 得：
轴心受压构件的整体稳定性教育课件(轴心受力构件强度和刚度、实腹式轴心受压构件的弯曲屈曲、钢索)
残余应力对压杆临界荷载的影响
对x-x轴屈曲时: 对y-y轴屈曲时:
残余应力对弱轴的影响比对强轴严重得多!
4、杆端约束对轴心受压构件整体稳定性的影响
杆件临界力： － 计算长度系数
四、压杆曲线的确定
焊接工字形截面轴心受压柱稳定系数
12种不同截面尺寸，不同残余应力和分布以及不同钢材牌号轴心压构件曲线。
强度
刚度 （正常使用极限状态）
稳定
（承载能力极限状态）
1、概念：二力杆
力沿轴线方向
约束：两端铰接
2、分类
第一节 轴心受力构件强度和刚度
3、截面类型：
实腹式
格构式
型钢截面
组合截面
缀条式
缀板式
4、应用：网架、索杆体系、塔架、桁架等
3.塔架
1.桁架
2.网架
实腹式截面
热轧型钢
冷弯薄壁型钢
组合截面
2、受压构件。1）双轴源自称截面2）单轴对称截面 绕非对称轴： 绕对称轴：采用换算长细比，对于单角钢和双角钢截面可采用简化公式。
第二节 实腹式轴心受压构件的弯曲屈曲
强度破坏：应力超过设计强度；应力针对某个截面
稳定问题：达到某荷载值时变形将急剧增加，过渡到不稳定的状态；变形针对整个结构。 提高稳定性措施：增大截面惯性距，增强约束，减小计算长度； 轴压构件三种屈曲形态：
轴心受压构件的截面分类(板厚t40mm)
1、轴心受压构件稳定系数表达式 1）当 2）当
1）钢材品种（即fy和E）；2）长细比；3）截面分类；
稳定系数影响因素：
式中 N 轴心受压构件的压力设计值； A 构件的毛截面面积； 轴心受压构件的稳定系数，取两主轴稳定系数较小者； f 钢材的抗压强度设计值。
对x-x轴屈曲时: 对y-y轴屈曲时:
残余应力对弱轴的影响比对强轴严重得多!
4、杆端约束对轴心受压构件整体稳定性的影响
杆件临界力： － 计算长度系数
四、压杆曲线的确定
焊接工字形截面轴心受压柱稳定系数
12种不同截面尺寸，不同残余应力和分布以及不同钢材牌号轴心压构件曲线。
强度
刚度 （正常使用极限状态）
稳定
（承载能力极限状态）
1、概念：二力杆
力沿轴线方向
约束：两端铰接
2、分类
第一节 轴心受力构件强度和刚度
3、截面类型：
实腹式
格构式
型钢截面
组合截面
缀条式
缀板式
4、应用：网架、索杆体系、塔架、桁架等
3.塔架
1.桁架
2.网架
实腹式截面
热轧型钢
冷弯薄壁型钢
组合截面
2、受压构件。1）双轴源自称截面2）单轴对称截面 绕非对称轴： 绕对称轴：采用换算长细比，对于单角钢和双角钢截面可采用简化公式。
第二节 实腹式轴心受压构件的弯曲屈曲
强度破坏：应力超过设计强度；应力针对某个截面
稳定问题：达到某荷载值时变形将急剧增加，过渡到不稳定的状态；变形针对整个结构。 提高稳定性措施：增大截面惯性距，增强约束，减小计算长度； 轴压构件三种屈曲形态：
轴心受压构件的截面分类(板厚t40mm)
1、轴心受压构件稳定系数表达式 1）当 2）当
1）钢材品种（即fy和E）；2）长细比；3）截面分类；
稳定系数影响因素：
式中 N 轴心受压构件的压力设计值； A 构件的毛截面面积； 轴心受压构件的稳定系数，取两主轴稳定系数较小者； f 钢材的抗压强度设计值。
轴心受压构件的弯曲屈曲ppt课件
P
对上式求导两次可消去等式
右端的杆端约束力：
P
EIy Py 0
令 P k 2 ，得 y k 2 y 0 EI
此微分方程与杆端约束力 无关，故能代表各种支承情况， 称压杆屈曲的高阶微分方程。
P
ppt课件
V MA MB l
P
10
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲
方程的通解为： y Asin kz B cos kz Cz D
其各阶导数为：
y Ak cos kz Bk sin kz C y Ak2 sin kz Bk 2 cos kz y Ak3 cos kz Bk 3 sin kz k 2 ( y C)
EI 此常系数二阶齐次微分方程的通解：
y Asinkx Bcoskx A, B为待定系数，由边界条件确定。
ppt课件
6
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲
由边界条件得：
（1） y x0 0 B 0, 则 y Asinkx
（2） y xl 0 Asinkl 0
A 0 sinkl 0
2
l
临界力：Pcr
4 2EI
l2
P EI
Pcr,m
4m2 2EI (m 1,2,3)
l2
（2）求解第二式（为超越方程，需采用数值解法或图解法）
在坐标系中分别画出曲线 y tan kl 和 y kl ，其交点
即为方程的解。
2
2
ppt课件
13
§2 轴心受压构件的弯曲屈曲
取相交点的最小值，得
sin
x
l
。
v0
为不定值，在小变形假设的前提下，
压杆的平衡稳定性与压杆设计方喻飞资料
22EI n Pcr=
y(x)=Asin nx l
l2
最小临界载荷
Pcr =
2EI
l2
—欧拉公式
n=1时的
失稳波形 压杆承受的压力达到临界 压力时的微弯曲线，称为 失稳波形或失稳形式。
长 江 大 学
2.一端固支一端绞支压杆的欧拉临界压力
在线弹性、小变形下，近似微分方程：
P 2 引入记号：k ，改写为： EI
＝2
l
i
I d A 4
P
l=0.375m
2 0.375 75 d i 0.14 / 4 4
l
查表， = 0.72
P A
80 103 6 88 . 5 10 88.5MPa [ ] 160 MPa 2 0.04 0.72 4
系数为nst=3。试求容许荷截[p]。 A 2m C 3m B
F
D
长 江 大 学
解：由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴
I (D4 d 4 ) 64 (100 4 80 4 ) 10 12 64 2.9 106 m4
2
向压力的关系为：F 2 N
5
xA A yA 2m
拐点
y
A
x
l
y
长 江 大 学
A，B，RB / P不能同时为零 ，即行列式：
P RB y
拐点 0.3l
0
1
l
B
tan(kl) kl (kl) min 4.5
P P 4.5 EI k l 4.5 Pcr EI EI l2
2 2
y
A
一端固支一端绞支细长压杆的 欧拉临界压力公式
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EI
，且将 H c P / l
代入式，则上式变为
y1 2 y1
2
l
x
（0≤x≤l）
y2 2 y2 2
（l≤x≤2l）
通解分别为
y1
A1cosx
B1sinx
ห้องสมุดไป่ตู้
l
x
y2 A2cosx B2sinx
8
长 江 大
引入边界条件，则有
y1
A1cosx
B1sinx
l
x
学 x 0, y1 0 A1 0 y2 A2cosx B2sinx
lsinlA2 lcos lB2 lctgl 1 0
cos lA2 sinlB2 0
cos2lA2 sin2lB2 0
9
长
lsin l lcos l lctg l 1
江
大 学
得稳定方程
cos l
sin l
1
0
cos2 l sin2 l
0
展开后
sinl2lcosl sinl 0
2
长
江 大 学
2.1 轴心受压构件的失稳类型
（a）弯曲失稳 （b）扭转失稳 （c）弯扭失稳
3
长
江
大 学
2.2 轴心受压构件的弯曲失稳
轴心受压构件最简单的失稳形式是弯曲失稳， 为了避免发生弯曲失稳，首先必须确定轴心受压 构件的临界荷载值，然而求临界荷载并不简单， 主要体现在：
➢ 理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，因 此在理想条件下求出的临界荷载值并不能直接用 于轴心受压构件的稳定设计。
得到
sinl 0
则
l n
最小根为： l
（n）
2lcosl sinl 0
tgl 2l
经过试算，得方程 tgl 2l 的最小根
l 1.1655 （p）
l2 EI 1.358EI
比较式（n）和式（p），临界荷载为 Pcr l 2
l2
10
长
江
大 学
能量法
能量法是求解稳定承载力的一种 近似方法。用能量法求解临界荷载的途 径主要有能量守恒原理和势能驻值原理。
U 1 K 2
学
2
轴向力作用下产生的竖向位移 l11 cos 2l1 cos
取余弦函数的泰勒级数展式前两项，式变为
l11 cos 2l1 cos
l1 2 / 2 2l 2 / 2
l1 / l1 2
2
2l / l2
2
2
1 2l1
1 l
则
W
P
P
2
1 2l1
1 l
Pcr Kll1 / l 2l115
长 江 大 学
结
构
稳 定
结构稳定理论
理
论
张系斌 长江大学土木工程学院
1
长 江 大
学 第二章 轴心受压构件失稳
轴心受力构件在钢结构中应用广泛， 如桁架、网架中的杆件，工业厂房及高层 钢结构的支撑，操作平台和其它结构的支 柱等。对轴心受压构件同样应按承载能力 极限状态和正常使用极限状态设计。就第 一类极限状态而言，除了一些较短的轴心 受力构件因局部有孔洞削弱，需要验算净 截面强度，一般情况，轴心受力构件的承 载力是由稳定条件决定的，即应满足整体 稳定和局部稳定要求。本章着重讨论轴心 受力构件的整体稳定问题。
长
江 大
势能驻值原理求解临界荷载
学 势能驻值原理指：受外力作用的结构，当位移有微小
变化而总势能不变，即总势能有驻值时，结构处于平衡
状态。其表达式
0
势能驻值原理与平衡方程是等价的，用该原理可以解决复 杂结构的弹性稳定问题。如很多结构很难直接建立平衡方 程，则可以先写出结构总势能，即可得到平衡方程。还可 以先假定构件挠曲线形状，给出挠曲线方程，将其代入总 势能解出临界荷载。若给出的挠曲线方程满足几何边界条 件，称求解临界荷载的方法为里兹（Ritz）法 ；若给出的 挠曲线方程不仅满足几何边界条件，而且满足自然边界条 件，则称其为迦辽金（Galerkin）方法。
能量守恒原理即：保守体系处在平衡状 态时，贮存在结构体系中的应变能等于 外力所做的功。计算临界力的基本方程
U W
11
长 江 大 学
（a）稳定平衡 （b）随遇平衡
U
1 2
0l
M2 EI
dx
（c）不稳定平衡
M EI y
U
1 2
0l
EI y2 dx
W P
在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为θ，
➢ 轴心受压构件的弹性分析与弹塑性分析差别很 大。
4
长 江 大 学
2.2.1 理想轴心受压构件的
弹性弯曲失稳
钢结构及构件稳定计算的主要目 的在于确定临界荷载值。确定理想轴 心受压构件的临界荷载的方法主要有 “静力法”和“能量法”。
5
长
江 大 学
静力法
静力法即静力平衡法，即根据已发生了微小变形 后结构的受力条件建立平衡微分方程，然后解出临界 荷载。在建立理想轴心受压构件弯曲平衡方程时有如 下基本假定： ①构件是等截面直杆； ②压力始终沿构件原来轴线作用； ③材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关系； ④构件符合平截面假定，即构件变形前的平截面在变形 后仍为平面； ⑤构件的弯曲变形是微小的，曲率可以近似地用挠度函
x l , y1 0
y1 y2 y2 0
B1sinl 0
B1cos l
l
A2sinl B2cosl
A2cosl B2sinl 0
x 2l , y2 A2cos2l B2sin2l 0
由第二式得 B1 / sinl
代入第三式，则可得到以A2、B2和δ为未知量联立方程组
微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为
12
长 江 大
U
1 2
0l
M2 EI
dx
M EI y
U
1 2
l
0
EI y2
dx
学
W P
在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为θ， 微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为
dx1 cos 2dxsin 2
2
tg dy y
dx
2dx sin 2 2dxtg2 2dx 1 tg 2 1 y2 dx
2
2
2 2
0l1
cos dx
1 2
0ly2 dx
W
P
P 2
0l y 2 dx
l
0
EI
y2
dx
Pcr
l
0
y
2
dx
Pcr
0l EI y2 dx
l
0
y
2
dx
13
长 江 大
学 用静力法确定图2.2所示单自由度体系的临 界荷载Pcr。假定杆ab和bc的抗弯刚度EI=∞
14
长
江 大
[解] 此题中体系应变能的增量为弹簧应变能的增量
数的二阶导数表示。
6
长
江 大
例题2.1
学
确定图中所示轴心受压构件的临界荷载Pcr。
例题2.1图 无限自由度轴心压杆
7
长
江 大
[解] 由于ac、ab两段杆的受力不同，
学
因此需要分别列出平衡微分方程。
ac段：
EI y1 P y1 Hc l x 0
cb段：
EI y2 P y2 0
令 2 P
，且将 H c P / l
代入式，则上式变为
y1 2 y1
2
l
x
（0≤x≤l）
y2 2 y2 2
（l≤x≤2l）
通解分别为
y1
A1cosx
B1sinx
ห้องสมุดไป่ตู้
l
x
y2 A2cosx B2sinx
8
长 江 大
引入边界条件，则有
y1
A1cosx
B1sinx
l
x
学 x 0, y1 0 A1 0 y2 A2cosx B2sinx
lsinlA2 lcos lB2 lctgl 1 0
cos lA2 sinlB2 0
cos2lA2 sin2lB2 0
9
长
lsin l lcos l lctg l 1
江
大 学
得稳定方程
cos l
sin l
1
0
cos2 l sin2 l
0
展开后
sinl2lcosl sinl 0
2
长
江 大 学
2.1 轴心受压构件的失稳类型
（a）弯曲失稳 （b）扭转失稳 （c）弯扭失稳
3
长
江
大 学
2.2 轴心受压构件的弯曲失稳
轴心受压构件最简单的失稳形式是弯曲失稳， 为了避免发生弯曲失稳，首先必须确定轴心受压 构件的临界荷载值，然而求临界荷载并不简单， 主要体现在：
➢ 理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，因 此在理想条件下求出的临界荷载值并不能直接用 于轴心受压构件的稳定设计。
得到
sinl 0
则
l n
最小根为： l
（n）
2lcosl sinl 0
tgl 2l
经过试算，得方程 tgl 2l 的最小根
l 1.1655 （p）
l2 EI 1.358EI
比较式（n）和式（p），临界荷载为 Pcr l 2
l2
10
长
江
大 学
能量法
能量法是求解稳定承载力的一种 近似方法。用能量法求解临界荷载的途 径主要有能量守恒原理和势能驻值原理。
U 1 K 2
学
2
轴向力作用下产生的竖向位移 l11 cos 2l1 cos
取余弦函数的泰勒级数展式前两项，式变为
l11 cos 2l1 cos
l1 2 / 2 2l 2 / 2
l1 / l1 2
2
2l / l2
2
2
1 2l1
1 l
则
W
P
P
2
1 2l1
1 l
Pcr Kll1 / l 2l115
长 江 大 学
结
构
稳 定
结构稳定理论
理
论
张系斌 长江大学土木工程学院
1
长 江 大
学 第二章 轴心受压构件失稳
轴心受力构件在钢结构中应用广泛， 如桁架、网架中的杆件，工业厂房及高层 钢结构的支撑，操作平台和其它结构的支 柱等。对轴心受压构件同样应按承载能力 极限状态和正常使用极限状态设计。就第 一类极限状态而言，除了一些较短的轴心 受力构件因局部有孔洞削弱，需要验算净 截面强度，一般情况，轴心受力构件的承 载力是由稳定条件决定的，即应满足整体 稳定和局部稳定要求。本章着重讨论轴心 受力构件的整体稳定问题。
长
江 大
势能驻值原理求解临界荷载
学 势能驻值原理指：受外力作用的结构，当位移有微小
变化而总势能不变，即总势能有驻值时，结构处于平衡
状态。其表达式
0
势能驻值原理与平衡方程是等价的，用该原理可以解决复 杂结构的弹性稳定问题。如很多结构很难直接建立平衡方 程，则可以先写出结构总势能，即可得到平衡方程。还可 以先假定构件挠曲线形状，给出挠曲线方程，将其代入总 势能解出临界荷载。若给出的挠曲线方程满足几何边界条 件，称求解临界荷载的方法为里兹（Ritz）法 ；若给出的 挠曲线方程不仅满足几何边界条件，而且满足自然边界条 件，则称其为迦辽金（Galerkin）方法。
能量守恒原理即：保守体系处在平衡状 态时，贮存在结构体系中的应变能等于 外力所做的功。计算临界力的基本方程
U W
11
长 江 大 学
（a）稳定平衡 （b）随遇平衡
U
1 2
0l
M2 EI
dx
（c）不稳定平衡
M EI y
U
1 2
0l
EI y2 dx
W P
在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为θ，
➢ 轴心受压构件的弹性分析与弹塑性分析差别很 大。
4
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2.2.1 理想轴心受压构件的
弹性弯曲失稳
钢结构及构件稳定计算的主要目 的在于确定临界荷载值。确定理想轴 心受压构件的临界荷载的方法主要有 “静力法”和“能量法”。
5
长
江 大 学
静力法
静力法即静力平衡法，即根据已发生了微小变形 后结构的受力条件建立平衡微分方程，然后解出临界 荷载。在建立理想轴心受压构件弯曲平衡方程时有如 下基本假定： ①构件是等截面直杆； ②压力始终沿构件原来轴线作用； ③材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关系； ④构件符合平截面假定，即构件变形前的平截面在变形 后仍为平面； ⑤构件的弯曲变形是微小的，曲率可以近似地用挠度函
x l , y1 0
y1 y2 y2 0
B1sinl 0
B1cos l
l
A2sinl B2cosl
A2cosl B2sinl 0
x 2l , y2 A2cos2l B2sin2l 0
由第二式得 B1 / sinl
代入第三式，则可得到以A2、B2和δ为未知量联立方程组
微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为
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长 江 大
U
1 2
0l
M2 EI
dx
M EI y
U
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l
0
EI y2
dx
学
W P
在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为θ， 微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为
dx1 cos 2dxsin 2
2
tg dy y
dx
2dx sin 2 2dxtg2 2dx 1 tg 2 1 y2 dx
2
2
2 2
0l1
cos dx
1 2
0ly2 dx
W
P
P 2
0l y 2 dx
l
0
EI
y2
dx
Pcr
l
0
y
2
dx
Pcr
0l EI y2 dx
l
0
y
2
dx
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长 江 大
学 用静力法确定图2.2所示单自由度体系的临 界荷载Pcr。假定杆ab和bc的抗弯刚度EI=∞
14
长
江 大
[解] 此题中体系应变能的增量为弹簧应变能的增量
数的二阶导数表示。
6
长
江 大
例题2.1
学
确定图中所示轴心受压构件的临界荷载Pcr。
例题2.1图 无限自由度轴心压杆
7
长
江 大
[解] 由于ac、ab两段杆的受力不同，
学
因此需要分别列出平衡微分方程。
ac段：
EI y1 P y1 Hc l x 0
cb段：
EI y2 P y2 0
令 2 P