第二章轴心受压构件的弯曲失稳方喻飞

U 1 K 2
学
2
轴向力作用下产生的竖向位移 l11 cos 2l1 cos
取余弦函数的泰勒级数展式前两项，式变为
l11 cos 2l1 cos
l1 2 / 2 2l 2 / 2
l1 / l1 2
2
2l / l2
2
2
1 2l1
1 l
则
W
P
P
2
1 2l1
1 l
Pcr Kll1 / l 2l115
2
2
2 2
0l1
cos dx
1 2
0ly2 dx
W
P
P 2
0l y 2 dx
l
0
EI
y2
dx
Pcr
l
0
y
2
dx
Pcr
0l EI y2 dx
l
0
y
2
dx
13
长 江 大
学 用静力法确定图2.2所示单自由度体系的临 界荷载Pcr。假定杆ab和bc的抗弯刚度EI=∞
14
长
江 大
[解] 此题中体系应变能的增量为弹簧应变能的增量
lsinlA2 lcos lB2 lctgl 1 0
cos lA2 sinlB2 0
cos2lA2 sin2lB2 0
9
长
lsin l lcos l lctg l 1
江
大 学
得稳定方程
cos l
sin l
1
0
cos2 l sin2 l
0
展开后
sinl2lcosl sinl 0
微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为
12
长 江 大
U
1 2
0l
M2 EI
dx
M EI y
U
1 2
l
0
EI y2
dx
学
W P
在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为θ， 微段dx弯曲前后在轴x上投影的长度差为
dx1 cos 2dxsin 2
2
tg dy y
dx
2dx sin 2 2dxtg2 2dx 1 tg 2 1 y2 dx
EI
，且将 H c P / l
代入式，则上式变为
y1 2 y1
2
l
x
（0≤x≤l）
y2 2 y2 2
（l≤x≤2l）
通解分别为
y1
A1cosx
B1sinx
l
x
y2 A2cosx B2sinx
8
长 江 大
引入边界条件，则有
y1
A1cosx
B1sinx
l
x
学 x 0, y1 0 A1 0 y2 A2cosx B2sinx
长
江 大
势能驻值原理求解临界荷载
学 势能驻值原理指：受外力作用的结构，当位移有微小
变化而总势能不变，即总势能有驻值时，结构处于平衡
状态。其表达式
0
势能驻值原理与平衡方程是等价的，用该原理可以解决复 杂结构的弹性稳定问题。如很多结构很难直接建立平衡方 程，则可以先写出结构总势能，即可得到平衡方程。还可 以先假定构件挠曲线形状，给出挠曲线方程，将其代入总 势能解出临界荷载。若给出的挠曲线方程满足几何边界条 件，称求解临界荷载的方法为里兹（Ritz）法 ；若给出的 挠曲线方程不仅满足几何边界条件，而且满足自然边界条 件，则称其为迦辽金（Galerkin）方法。
长 江 大 学
结
构
稳 定
结构稳定理论
理
论
张系斌 长江大学土木工程学院
1
长 江 大
学 第二章 轴心受压构件失稳
轴心受力构件在钢结构中应用广泛， 如桁架、网架中的杆件，工业厂房及高层 钢结构的支撑，操作平台和其它结构的支 柱等。对轴心受压构件同样应按承载能力 极限状态和正常使用极限状态设计。就第 一类极限状态而言，除了一些较短的轴心 受力构件因局部有孔洞削弱，需要验算净 截面强度，一般情况，轴心受力构件的承 载力是由稳定条件决定的，即应满足整体 稳定和局部稳定要求。本章着重讨论轴心 受力构件的整体稳定问题。
得到
sinl 0
则
l n
最小根为： l
（n）
2lcosl sinl 0
tgl 2l
经过试算，得方程 tgl 2l 的最小根
l 1.1655 （p）
l2 EI 1.358EI
比较式（n）和式（p），临界荷载为 Pcr l 2
l2
10
长
江
大 学
能量法
能量法是求解稳定承载力的一种 近似方法。用能量法求解临界荷载的途 径主要有能量守恒原理和势能驻值原理。
2
长
江 大 学
2.1 轴心受压构件的失稳类型
（a）弯曲失稳 （b）扭转失稳 （c）弯扭失稳
3
长
江
大 学
百度文库
2.2 轴心受压构件的弯曲失稳
轴心受压构件最简单的失稳形式是弯曲失稳， 为了避免发生弯曲失稳，首先必须确定轴心受压 构件的临界荷载值，然而求临界荷载并不简单， 主要体现在：
➢ 理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，因 此在理想条件下求出的临界荷载值并不能直接用 于轴心受压构件的稳定设计。
数的二阶导数表示。
6
长
江 大
例题2.1
学
确定图中所示轴心受压构件的临界荷载Pcr。
例题2.1图 无限自由度轴心压杆
7
长
江 大
[解] 由于ac、ab两段杆的受力不同，
学
因此需要分别列出平衡微分方程。
ac段：
EI y1 P y1 Hc l x 0
cb段：
EI y2 P y2 0
令 2 P
➢ 轴心受压构件的弹性分析与弹塑性分析差别很 大。
4
长 江 大 学
2.2.1 理想轴心受压构件的
弹性弯曲失稳
钢结构及构件稳定计算的主要目 的在于确定临界荷载值。确定理想轴 心受压构件的临界荷载的方法主要有 “静力法”和“能量法”。
5
长
江 大 学
静力法
静力法即静力平衡法，即根据已发生了微小变形 后结构的受力条件建立平衡微分方程，然后解出临界 荷载。在建立理想轴心受压构件弯曲平衡方程时有如 下基本假定： ①构件是等截面直杆； ②压力始终沿构件原来轴线作用； ③材料符合虎克定律，即应力与应变成线性关系； ④构件符合平截面假定，即构件变形前的平截面在变形 后仍为平面； ⑤构件的弯曲变形是微小的，曲率可以近似地用挠度函
能量守恒原理即：保守体系处在平衡状 态时，贮存在结构体系中的应变能等于 外力所做的功。计算临界力的基本方程
U W
11
长 江 大 学
（a）稳定平衡 （b）随遇平衡
U
1 2
0l
M2 EI
dx
（c）不稳定平衡
M EI y
U
1 2
0l
EI y2 dx
W P
在压杆上任取一微段dx，变形后与轴x的夹角为θ，
x l , y1 0
y1 y2 y2 0
B1sinl 0
B1cos l
l
A2sinl B2cosl
A2cosl B2sinl 0
x 2l , y2 A2cos2l B2sin2l 0
由第二式得 B1 / sinl
代入第三式，则可得到以A2、B2和δ为未知量联立方程组