二次函数表达式三种形式的联系与区别

二次函数表达式三种形式的联系与区别

二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同，而又相互联系。

一、一般式：y = a JQ +bx + c （a 0）

优点：二次项系数"，一次项系数b,常数项c,三系数一目了然。

缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴

b 4（〔

c _ b

二、顶点式：y = a（X-\----- ） + ------- （°H0）

2a牝

优点：很容易看出顶点坐标和对称轴

缺点：不容易看出二次项系数“，一次项系数b,常数项C各是多少。

三、交点式：y = «（x-x1）（-^-x2）

优点：很容易看出图像与X轴的交点坐标（尢，0）和（匕，0）

缺点：（1）不容易看出二次项系数"，一次项系数方，常数项C各是多少。

（2）当图像不与x轴相交时，此式不成立。

四、三种表达式之间的联系

（1）一般式转化为顶点式

利用配方法转化（一提、二配、三整理）

y = X + bx + c

u 2a 2a 一提，提二次项系数，只对二次项、

一次项提系数“

3

—二配，配一次项系数一半的平方，力口

上后立即减下来

（2）顶点式转化为一般式

展开整理即可

z b 、 4ac — b y = ） + —- （« 工o ）

2G 牝

2 b h 4uc — b

=^X +-"孑）+

"4Q 4“

4uc - X

= a x +bx + ^- + --------- 」

A 4a 4a

2 f 4ac =a Y + bx +

A 4a 2 =d X + bx + c

（3）交点式转化为一般式

展开，利用韦达左理整理可得

二次函数y = 0才+加+（? （c H 0）与x 轴有两交点（弟，0）和（兀2，0） 则X\和Xi 为方程a X +快+ c= 0的两个根

y = a{x-x ^x-x ^

= a （X-X i x -X 2x + X l X2>

二川疋一匕+上权+兀矩]

b c

由韦达左理得：X] + X° = __ _

a a

代入得：

y = a[x 一（X + X^x + %!兀2】

r 2 . b. c.

=a ^X _（__）% + _1

a a

=a ” + bx + c

三种表达式视情况而定：

（1） 不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示：

（2） 知道顶点坐标，常用顶点式来表示：

（3） 如果知道图像与尤轴的交点坐标，常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。