期货定价

t=0
t=1
购买 uPA 份基1， dPA份基2，1年后，上
uPA
升组合价值为 u，PA下降则为 dPA
PA
dPA
基1
基2
1
0
1年后，无论基1和 基2无论上升下降，
0 其组合的价值都为
1
PA uuPA ddPA uu dd 1 u d er（T -t)
1
• 风险中性定价原理——在对衍生证券进行定 价时，可以作出一个有助于大大简化工作 的简单假设：所有投资者对于标的资产所 蕴含的价格风险的态度都是中性的，既不 偏好也不厌恶。
率，则期货价格 F0 为
F0 S0e(rq)T
（1-1）
• 举例：考虑一份S&P500的三个月期的期货 合约。假定构成股指的股票提供1%的年收 益率，股指的当前价格为1300，连续复利 的无风险收益率为年率5%。此时，
r 0.05
S0 1300 T 0.25
F0 1300 e(0.050.01)0.25 1313 .07
• 在此条件下，所有证券的预期收益率都等 于无风险利率。
相关假设与符号
• 1.市场参与者交易时无 交易费用
• 2.市场参与者的所有净 交易利润使用统一税 率
• 3.市场参与者能够以相 同的无风险利率借入 和贷出资金
• 4.当套利机会出现时， 市场参与者将参与套 利活动
• T :远期或期货合约到 期的时刻（年）
• 而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头则立即 亏损，但是可按低于平均利率的利率从市场上融资 以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会 因利率的变动而受到上述影响。
• 在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力， 期货价格自然大于远期价格。相反，当标的资产 价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货 价格。
• 假设投资者拥有1美元，他有两种选择
1美元
1:1.2
1.2澳元
1年期利率4% 1.04美元 1.05美元
存在套 利机会
1：1.2
1年期利率5% 1.26澳元
• 第一点理解
• 举例：假设美元1年期利率为4%，澳元1年期利率为5%。 外汇市场上美元与澳元的即期汇率是1美元兑换1.2澳元， 那么1年期的远期汇率是否还是1:1.2呢？
f Ker(T t) S0eq(T t) f S0eq(T t) Ker(T t)
F0 S0e(rq)(T t )
股指期货价格
• 股指可以被看成是支付一定股息的投资资产，这 一投资资产是构成股指的股票组合，投资资产股
息等于构成资产所支付的股息。通常假定股息是 收益率而不是一定的现金收入。如果q为股息收益
q 0.01
• 指数套利 • 如果 F0 S0e(rq)T ，我们可以通过以现货价
格买入构成股指的股票，并且同时卖出指 数期货合约获利。
• 如果 F0 S0e(rq)T ，可以通过相反的操作， 即卖空或卖出构成指数的股票，并且同时 进入指数期货的长头寸而获利。
• 由此可以看出，在大多数时间，套利者的 行为保证了（1-1）的成立
在时刻T产生
1000 erf T
单位外币
在0时刻兑换 为 1000 S0
美元
在时刻T产生
1000erf T F0
美元
在时刻T产生
1000 S0e rT
美元
商品期货
• 在为商品期货定价时，我们应该先区分投资资产 和消费资产
• 投资资产是众多投资者为投资目的而持有的资产， 股票及债券显然为投资资产，黄金和白银也是投 资资产。
1000F0
e
rf
T
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数量
• 另一种方法是将外汇在外汇现货市场转换为美元，
然后再将美元以利率r投资T年，这种方法在时间T
会产生数量为
1000 的S 0美e rT元，在没有套利的
条件下，以上两种办法会取得同样的效果，
1000F0erf T 1000S 0erT
F0

S e(rrf 0
)T
在0时刻持有 1000单位外币
为期限为 T 的外币无风险利率， 为对应于同样期限的美
元无风险利率。
• 角度二：假定某投资者开始持有1000单位外币，
该投资者有两种办法可以在T时刻将外币转变为美 元。
• 一种方法是以 r f 的收益率将外汇进行投资，期限
为T，同时进入将所有投资的本息转化为美元的远
期合约，这种办法在时间T会产生 的美元
• 70000-63076-200=6724美元
• 期货价格太低的情形
• 接下来假定期货价格低于632.76美元，比如610美 元。某持有100盎司黄金作为投资标的的投资者可 以进行以下交易：
• 1.以60000美元价格卖出黄金；
• 2.进入期限为1年并在合约中买入黄金的期货合约。
主讲框架
一、金融工程的定价原理 二、远期价格和期货价格的关系 三、期货价格的决定
一、金融工程的定价原理
• 无套利定价与风险中性定价是金融工程具 有标志性的分析方法
• 套利定价模型——在完善的金融市场上，所 有金融产品的价格应该使得在这个市场体 系中不存在可以让投资者获得无风险利润 的机会。如若不然，对套利机会的追寻将 推进那些失衡的金融产品的价格恢复到无 套利机会的状态。根据这一思想决定金融 产品定价的方法就是无套利定价模型法。
货币期货价格
• 货币期货价格的确定可以从两个角度来看待
• 角度一：将外汇作为已知收益率的资产，这里的
收益率为外汇的无风险利率。用 r f 代替 q ，可
以得到：F0

S e(rrf )T 0
需要注意的是：我们从美国投资者的角度来看待这一问题，
r 这外里币的的标美的元资价产格是，一F单0 为位一的单外位币外，币因的此期S货0 价被格定，义相为应一的单r位f
• S0 :远期或期货合约标
的资产当前价格
• F价0 :格当前的远期或期货
• r :对交割日（即T 年后）
到期的一项投资而言， 以连续复利计算的零 息票无风险利率
二、远期价格和期货价格的关系
• 远期价格——远期合约价值为零的理论交割价格 • 期货价格——期货合约价值为零的理论交割价格 • 关于远期和期货定价，其实就是要确定远期价格
• 假设投资者拥有1美元，他有两种选择
1美元
1:1.2
1.2澳元
1年期利率4% 1.04美元
1.05美元
套利机 会消失
1：1.21
1年期利率5% 1.26澳元
1年期的 远期汇率
• 第二点理解（状态定价法的原理）
• 举例：A为有风险证券;基本证券1，当前价格为 u ；基本
证券2，当前价格为 d
• 为了给支付已知收益率资产的远期定价，可以构建如下两个 组合：
• 组合A：一分远期合约多头加上一笔数额为 Ke r(T t)
• 组合B：eq(T t) 证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q
为该资产的按连续复利计算的已知收益率
• 从以上的分析可知：组合A在T时刻的价值等于 一单位的标的证券。组合B由于获得的红利收入 全部都再投资于该证券，拥有的证券数量随着 获得红利的不断发放而增加，所以在T时刻，正 好拥有一单位标的证券。因此，在t时刻两者的 价值也应相等，即：
• 易知组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 在组合B中，由于标的证券的现金收益刚好用来 偿还负债的利息，因此在T时刻,该组合的价值 也等于一单位的标的证券。因此，在t时刻，这 两个组合的价值应相等，即：
f Ker(T t) S0 I f S0 I Ker(T t)
• 考虑一年期的黄金期货合约。假定黄金不提供中 间收入，并假定每年储存一盎司黄金的费用为2美 元，在年末收费。黄金的现货价格为600美元，对 于所有期限的无风险利率均为5%。因此
r 0.05 S 0 600 T 1
U 2e0.051 1.9
由（3-2）得出 F0 的理论价格为
F0 (600 1.90)e0.051 632 .76
• 两点理解
• 一、拥有一笔可用来投资的资金，投资方 式不同，但最终获取的收益相同。
• 二、构建一个投资组合来复制已有证券， 若其终值相同，则现值也相同
• 第一点理解
• 举例：假设美元1年期利率为4%，澳元1年期利率为5%。 外汇市场上美元与澳元的即期汇率是1美元兑换1.2澳元， 那么1年期的远期汇率是否还是1:1.2呢？
• 一般黄金生产商的对冲策略会造成一部分投资商 要借入黄金，类似于中央银行这样的黄金持有者 在借出黄金时会索取利息，利息对应于所谓的黄 金借出利率，对白银也是一样。因此黄金和白银 会为其拥有者提供收入。
• 在本例中，我们忽略这种收入，但是我们需要考 虑存储费用。
• 在没有存储费用和中间收入时，F0 S0e rT （3-1）
F0 （S0 - I）er(T t)
• 3.支付已知收益率资产远期合约的定价
• 支付已知收益率的标的资产是指在远期合约到期前将产生与 该资产现货价格成一定比率的收益的资产。货币就是这类资 产的典型代表，其收益率就是货币发行国的无风险利率，因 此利率远期和外汇远期都可以看做是支付已知收益率资产的 远期合约。
• 支付已知现金收益的标的资产是指在远期合约到期前会 产生完全可预测的现金流的资产，如附息债券和支付已 知现金红利的股票等。
• 仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的远期 合约定价。先构建如下
• 两个组合： • 组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为 Ke r(T t)的
现金
• 组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限 为从当前时刻到现金收益派发日、本金为I的负债。
• 在远期合约到期时，该笔现金刚好可用于交割 换得一单位标的资产。这样，在T时刻，两个 组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则， 这两个组合在t时刻的价值必须相等，即：
f Ker(T -t) S0 f S0 Ker(T t)
F0 S0er(T t)
• 2.支付已知现金收益资产远期合约的定价
和期货价格
• 当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，理 论上，交割日相同的的远期及期货合约的价格相 等。当利率变化无法预测时，远期价格与期货价 格从理论上会有所不同。
• 至于两者孰高孰低，则取决于标的资产与利率的 相关关系。
• 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于 远期价格。这是因为当标的资产价格上升时，期货 价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日 结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率将 其所获利润进行再投资。
• 注意投资资产并不是只用来投资（例如，白银也 有一些工业用途），但是这些资产一定是被众多 投资者只为投资目的而持有
• 消费资产被持有的目的是为了消费而不是投资
• 对于投资资产，我们可以从无套利假设出发由现 货价格及其他市场变量得出远期及期货价格，对 于消费资产却做不到这一点
• 我们首先考虑类似黄金和白银这类投资资产的期 货价格。
• 接上例
• 期货价格太高的情形
• 假定真正的黄金期货价格高于632.76美元，比如700 美元，套利者可以：
• 1.以5%的无风险利率借入60,000美元，并买入100盎 司黄金
• 2.进入期限为1年、在合约中卖出黄金的期货合约。 • 期货合约可以保证黄金可以在70,000美元的价位卖出，
如果用63076美元支付贷款的本息，并用200美元支 付储存费用，套利者得到的净收益为
• 1.无收益资产远期合约的定价
• 所谓无收益资产的远期合约，是指远期合约的标的 资产在从当前时刻t到远期合约到期时刻T之间不产 生现金流收入，如贴现债券。
• 为了给无收益资产的远期合约定价，构建如下两个 组合。
• 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r(T-t)
的现金。
• 组合B：一单位标的资产
• 总之，远期价格和期货价格的定价思想在本质上 是相同的，其差别主要体现在交易机制和交易费 用的差异上，在很多情况下可以忽略，或进行调 整。因此在多数情况下，可以合理的假定远期价
格和期货价格相等，都用 F0 表示。
• 远期合约的定价同样适用于期货合约。
三、期货价格的决定
• 股指期货 • 货币期货 • 商品期货
• 考虑存储费用，储存费用可被视为负收入，
假定U为期货期限之间所有储存费用的贴现
值，则
F0 (S0 U )erT
（3-2）
• 如果储存费用与商品价格成正比，这是的
费用可被视为负收益，则 F0 S0e(ru)T （3-3）
• 其中u为储存费用占剔除了资产中间收入的 现货价格的比例
• 举例