空间向量的应用(2)——空间线面关系判定PPT精品(高中数学)
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高中数学第3章空间向量与立体几何32空间向量的应用322空间线面关系的判定课件苏教版选修2
6
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若向量 n1，n2 为平面 α 的法向量，则以这两个向量为方向向
量的两条不重合直线一定平行．
()
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该
直线与平面平行．
()
7
(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直
线的方向向量的数量积为 0.
()
法二：A→B＝(1,0,0)，A→E＝41， 43，12，设平面 ABE 的一个法向
x＝0， 量为 n＝(x，y，z)，则41x＋ 43y＋12z＝0， 令 y＝2，则 z＝－ 3，
∴n＝(0,2，－ 3)．
∵P→D＝0，2
3
3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
32
[跟踪训练] 2．在例 2 中，平面 ABE 与平面 PDC 是否垂直，若垂直，请证 明；若不垂直，请说明理由．
33
[跟踪训练] 2．在例 2 中，平面 ABE 与平面 PDC 是否垂直，若垂直，请证 明；若不垂直，请说明理由．
34
[解]
由例
2，可知C→D＝－12，
63，0，P→D＝0，2
B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2，2,2)，C1(0,2,2)，
D1(0,0,2)，O1(1,1,2)，O(1,1,0)．
(1)由上可知B→O1＝(－1，－1,2)，O→D1＝(－1， －1,2)，
∴B→O1＝O→D1，∴B→O1∥O→D1， 又直线 BO1 与 OD1 无公共点，∴BO1∥OD1.
31
[规律方法] 1．证明线线垂直常用的方法 证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．
高二下学期数学苏教版选择性必修第二册6.3.2空间线面关系的判定课件
则 n1⊥O→A，n1⊥O→P，所以12－x－12x12－y＝12y0＋，12z＝0，
解析
取 x＝1，则 n1＝(1,1,2)． 又因为B→D1＝(－1,－1,1)，Q→D1＝(0,－1,1－m)． 设平面 D1BQ 的法向量为 n2＝(a，b，c)，
则 n2⊥B→D1，n2⊥Q→D1，所以－ －ab－ ＋b1＋－cm＝c0＝，0，
解析 答案
4. 已知空间四点A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(10,0,10)，D(8,4，a)，如果四边形 ABCD为梯形，那么实数a的值为________．
【解析】 由题意知A→B＝(4,－8,2)，B→C＝(8,5,7)，D→C＝(2,－4,10－a)，A→D＝(10,1,a －1)．显然A→D与B→C不平行．又四边形ABCD为梯形，所以A→B∥D→C，解得a＝9.
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(2,0,0)，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N2，32，4，E0，32，4，F(1,3,4)， 所以M→N＝1，32，0，E→F＝1，32，0，A→M＝(－1，0,4)，B→F＝(－1,0,4)， 所以M→N＝E→F，A→M＝B→F， 所以 MN∥EF，AM∥BF， 所以易得 MN∥平面 EFBD，AM∥平面 EFBD. 又 MN∩AM＝M，所以平面 AMN∥平面 EFBD.
所以D→A1＝(1,0,1)，A→C＝(－1,1,0)． 设P→Q＝(a，b，c)，
解析
则DA→→CA·1P·→P→QQ＝＝00，，
即a－＋ac＋＝b0＝，0，
取P→Q＝(1,1，－1)．
易知B→D1＝(－1，－1,1)，所以P→Q＝－B→D1， 所以P→Q∥B→D1. 又 PQ，BD1 无公共点，所以 PQ∥BD1.
新教材选择性6.3.16.3.2直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定课件(35张)
0,
n AC 0,
即
z12x10,
2y1
0,
令x1=1,得y1=1,∴n=(1,1,0).
设平面AEC1的一个法向量为m=(x2,y2,z2),
则
m
AC1
m AE
0, 0,
即
2x 2x
2 2
2y2
1 2
z2
z2 0,
0,
令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴m=(1,-1,4).
∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1).
∵
MN
·n=
1
×1+0×(-1)+
1
×(-1)=0,
2
2
∴
MN
⊥n.
又MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
证法二:∵
MN
=
1 2
,
0,
1 2
=
1 2
(1,0,1)=
1 2
DA1
,
∴
MN
∥
DA1
.
又MN⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
如图,以A为坐标原点,
AB
,
AD
,
AP
的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直
角坐标系,则A(0,0,0),D(0,
3 ,0),P(0,0,1),E 0,
3 2
,
1 2
,C(1,
3 ,0),所以 AE = 0,
3 2
,
1 2
,
AC =(1, 3 ,0).
第1讲 描述运动的基本概念
设n=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量,
3.2.2 空间线面关系的判定 ppt课件(40张) 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-1
问题探究
证明过程中，如何确定直线的方向向量和平 面的法向量？
提示：实际应用中，直线的方向向量即把线 段看作有向线段时表示的向量．平面的法向 量一般可建系后用待定系数法求出．
课堂互动讲练
考点突破 证明直线与平面平行 本问题证明的方法途径不惟一，解决方法 有数形结合法和转化法．转化法即把线线平 行、线面平行转化为向量与向量平行，从而 可以利用直线的方向向量与平面的法向量来 解决．
如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中 点．求证：MN∥平面A1BD.
例1
【思路点拨】 解答本题可先建系，求出直 线的方向向量和平面以点 D 为原点， DA、 DC、 DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 1 1 标系，设正方体的棱长为 1，则 M(0,1， )、N( ， 2 2 1,1)、 D(0,0,0)、 A1(1,0,1)、 B(1，1,0)， 1 1 → → → ∴MN＝ ( ， 0， )，DA1＝ (1,0,1)，DB＝ (1,1,0)． 2 2
又∵MN不在平面A1BD内，∴MN∥平面 A1BD. 【名师点评】 利用向量法解此类问题的关 键是建立适当的坐标系，求出直线的方向向 量，要证线面平行可证明直线的方向向量与 平面内的一个向量共线，也可证明直线的方 向向量与平面的法向量垂直．
证明线面垂直 利用空间向量证明线面垂直的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行 ； (2)借助向量用线面垂直的判定定理来证明． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，证明 ：BD1⊥平面ACB1.
例2
【思路点拨】 要证明 BD1⊥平面 ACB1， 只需证明 BD1 与平面 ACB1 内的两条相交直线垂直． 也可以求出平面 → ACB1 的法向量，证明向量BD1与平面的法向量共线．
2025年高考数学一轮复习-7.5-空间向量与线、面位置关系【课件】
7.5 空间向量与线、面位置关系
课标要求
考情分析
1.会进行空间向量的线性运算.2.理解共线向量定理与共面向量定理，并能解决相关问题.3.会进行向量的数量积运算，能利用向量的数量积解决向量的夹角、模以及两向量的垂直问题.4.会用向量法证明线面的平行、垂直关系.
考点考法：高考命题常与直线、平面的平行与垂直以及空间角结合在一起考查，主要考查如何建立空间直角坐标系，求点的坐标以及运用公式求解问题.核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
[提醒] 空间向量基本定理的3点注意：
1
续表
（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；（2）由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量；（3）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.
2.空间向量的数量积及坐标运算
（1）两个非零空间向量的数量积① ______________；② ;③设 ，则 , .
解析：设 ,则 ，得 所以 ， 无解，所以点 平面 .
核心考点 师生共研
02
考点一 空间向量的线性运算（自主练透）
1.（多选）如图所示，在四面体 中，点 是棱 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，且 ， ，设 ， ， ，则下列等式成立的是( )
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.空间向量及其有关概念
概念
语言描述
共线向量（平行向量）
表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对任意两个空间向量 , ， 存在实数 ,使______
互相平行或重合ห้องสมุดไป่ตู้
课标要求
考情分析
1.会进行空间向量的线性运算.2.理解共线向量定理与共面向量定理，并能解决相关问题.3.会进行向量的数量积运算，能利用向量的数量积解决向量的夹角、模以及两向量的垂直问题.4.会用向量法证明线面的平行、垂直关系.
考点考法：高考命题常与直线、平面的平行与垂直以及空间角结合在一起考查，主要考查如何建立空间直角坐标系，求点的坐标以及运用公式求解问题.核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
[提醒] 空间向量基本定理的3点注意：
1
续表
（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；（2）由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量；（3）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.
2.空间向量的数量积及坐标运算
（1）两个非零空间向量的数量积① ______________；② ;③设 ，则 , .
解析：设 ,则 ，得 所以 ， 无解，所以点 平面 .
核心考点 师生共研
02
考点一 空间向量的线性运算（自主练透）
1.（多选）如图所示，在四面体 中，点 是棱 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，且 ， ，设 ， ， ，则下列等式成立的是( )
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.空间向量及其有关概念
概念
语言描述
共线向量（平行向量）
表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对任意两个空间向量 , ， 存在实数 ,使______
互相平行或重合ห้องสมุดไป่ตู้
空间向量的线面关系的判定18页PPT
空间向量的线面关系的判定
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)(共36张PPT)
1
C(0,2,0),C1(0,2,1),E 0,0,
2
,
1
则1 =(0,0,1),=(-2,2,0),1 =(-2,2,1), = -2,0,2 .
设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1).
1 ·1 = 0,
1 = 0,
则
⇒
-21 + 21 = 0.
1 · = 0
令 x1=1,得 y1=1.∴n1=(1,1,0).
设平面 AEC1 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2).
-22 + 22 + 2 = 0,
2 ·1 = 0,
1
则
⇒
-2
+
2 = 0,
2
2 · = 0
2
令 z2=4,得 x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).
1 1
证明:同例题建系,易知= 0,2 , 2 ,=(a,0,0),因为 · =0,所以 AF⊥BC.
归纳总结
利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然
后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互
=0,因此 CE⊥AM,CE⊥AD.
又 AM∩AD=A,∴CE⊥平面 AMD.
又 CE⊂平面 CED,∴平面 AMD⊥平面 CED.
金题典例
金题典例 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角
形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.
设直线 l 的方向向量为 μ,平面 α 的法向量
为 n,则
l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn
C(0,2,0),C1(0,2,1),E 0,0,
2
,
1
则1 =(0,0,1),=(-2,2,0),1 =(-2,2,1), = -2,0,2 .
设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1).
1 ·1 = 0,
1 = 0,
则
⇒
-21 + 21 = 0.
1 · = 0
令 x1=1,得 y1=1.∴n1=(1,1,0).
设平面 AEC1 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2).
-22 + 22 + 2 = 0,
2 ·1 = 0,
1
则
⇒
-2
+
2 = 0,
2
2 · = 0
2
令 z2=4,得 x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).
1 1
证明:同例题建系,易知= 0,2 , 2 ,=(a,0,0),因为 · =0,所以 AF⊥BC.
归纳总结
利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然
后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互
=0,因此 CE⊥AM,CE⊥AD.
又 AM∩AD=A,∴CE⊥平面 AMD.
又 CE⊂平面 CED,∴平面 AMD⊥平面 CED.
金题典例
金题典例 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角
形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.
设直线 l 的方向向量为 μ,平面 α 的法向量
为 n,则
l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn
高中数学 第三章 3.2.2空间线面关系的判定(二)配套课件 苏教版选修21
3.2.2（二）
3.2.2 空间线面关系的判定(二)
——垂直关系的判定
【学习要求】 1．能利用向量叙述线线、线面、面面的垂直关系． 2．进一步体会直线的方向向量，平面法向量的作用． 【学法指导】
在平行关系的基础上，利用直线的方向向量和平面的法向 量判定立体几何中的垂直关系，体现了转化的数学思想.
第一页，共23页。
第十三页，共23页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高 效
3.2.2（二）
例 3 在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD
＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是 AC、AD 的中点，
求证：平面 BEF⊥平面 ABC.
证明 建系如图，设 A(0,0，a)， 则易得 B(0,0,0)，C 23a， 23a，0， D(0， 3a,0)，E 43a， 43a，a2， F(0， 23a，a2)，
第二十页，共23页。
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达 成落实处
第四页，共23页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng) 更高效
3.2.2（二）
例 1 证明：(三垂线定理)在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
已知 如图，PO，PA 分别是平面 α 的垂线、斜线，AO 是 PA 在平面 α 内的射影，l⊂α，且 l⊥OA. 求证 l⊥PA.
3.2.2（二）
练一练·当堂(dānɡ tánɡ)检测、目标达 成落实处
3.2.2（二）
显然P→A＝(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量． 这样 n·P→A＝0，∴n⊥P→A，即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直，∴平面 EFG⊥平面 PBC. (2)∵E→G＝(1，－1，－1)，P→G＝(1,1,0)，B→C＝(0，－3,3)， ∴E→G·P→G＝1－1＝0，E→G·B→C＝3－3＝0， ∴EG⊥PG，EG⊥BC.
3.2.2 空间线面关系的判定(二)
——垂直关系的判定
【学习要求】 1．能利用向量叙述线线、线面、面面的垂直关系． 2．进一步体会直线的方向向量，平面法向量的作用． 【学法指导】
在平行关系的基础上，利用直线的方向向量和平面的法向 量判定立体几何中的垂直关系，体现了转化的数学思想.
第一页，共23页。
第十三页，共23页。
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3.2.2（二）
例 3 在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD
＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是 AC、AD 的中点，
求证：平面 BEF⊥平面 ABC.
证明 建系如图，设 A(0,0，a)， 则易得 B(0,0,0)，C 23a， 23a，0， D(0， 3a,0)，E 43a， 43a，a2， F(0， 23a，a2)，
第二十页，共23页。
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第四页，共23页。
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3.2.2（二）
例 1 证明：(三垂线定理)在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
已知 如图，PO，PA 分别是平面 α 的垂线、斜线，AO 是 PA 在平面 α 内的射影，l⊂α，且 l⊥OA. 求证 l⊥PA.
3.2.2（二）
练一练·当堂(dānɡ tánɡ)检测、目标达 成落实处
3.2.2（二）
显然P→A＝(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量． 这样 n·P→A＝0，∴n⊥P→A，即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直，∴平面 EFG⊥平面 PBC. (2)∵E→G＝(1，－1，－1)，P→G＝(1,1,0)，B→C＝(0，－3,3)， ∴E→G·P→G＝1－1＝0，E→G·B→C＝3－3＝0， ∴EG⊥PG，EG⊥BC.
3.2.2空间线面位置关系的判定(2)名师课件
法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
z
D!
设正方体的棱长为1,则可求得
A!
M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),
C! N B! M
A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
MN
(
1 2
, 0,
1 )
2
D
设平面A1BD的法向量是 n 则 n DA1 0且n DB 0, 得
分别是PA、BD上的点,且PM:MA=BN:ND=5:8.
求证:MN//平面PBC
P
M
D
C
A
NB
感悟:
用向量方法证明线面平行: 1.可以用共面定理来证明,即证明直线
的方向向量可以用平面内两个向量线 性表示; 2.也可证明该直线的方向向量与平面 内某直线平行(即数字表示),此时注意 交代直线不在平面内.
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 线面垂直
l ⊥m a⊥b ab 0； l ⊥ a ∥u a ku；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
典型例题
例1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=3,AB=4,AA1 =2,
C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
法2:
∵
MN
C1 N
C1 M
1 2
C1B1
1 2
C1C
1
1
2 (D1 A1 D1D) 2 DA1,
∴MN ∥DA1,∴MN ∥平面A1BD
D! A!
C! N B! M
法3:∵ MN
C1 N
空间线面的关系的判定课件1-26页PPT精品文档
l
平面 的法向量 n 与 的位置关系是 n
思考：
我们能不能用直线的方向 向量和平面法向量来刻画空间线 面位置关系？
设空间两条直线 l 1 , l 2 的方向向量为 e1 , e 2 两个平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n 2
平行 垂直
l1与 l2
l1与 1
与
的数a 量积b 为0实现
同步练习（用坐标运算的方法）
如图，在正方体 ABCDA1B1C1D 1中，CD1和DC1 相交于点 O ，求证：AOA1B
Z
A1
D1
B1
A B
x
C1
O
D
y
C
同步练习：（两平面垂直的性质定理）
已知：平面 平面 ， l
直线 m，且 m l
求证： m
1
2
e1 e 2
e1 n1 n1 n2
e1 e2
e1 n1
n1 n2
例1、如图，O B 是平面 的一条斜线，O 为
斜足，AB，A 为垂足，CD，且 CDOA
求证：CDOB
B
O
D CA
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜 线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定 理）
例3、如图，在直三棱柱 A B C - A1 B1C 1 中，
A C B 9 0 , B A C 3 0 ,B C 1 ,A 1 A 6 ,
M 是棱 C C 1 的中点，
求证： A1BAM
B1
A1
C1
6
M
B
1 90
C
30 A
B1
A 1 证明：在直三棱柱 A B C - A1 B1C 1中，
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平行
垂直
l1与l2
l1与1 1与 2
e1 e2 e1 n1 n1 n2
e1 e2 e1 n1 n1 n2
例题1:平面内的一条直线,如果它和一条斜线
在平面内的射影垂直,那么这条直线和这条
斜线也垂直 (三垂线定理)
已知:PA是平面 的斜线,A为斜足,PO⊥平
面 ,O为垂足, CD ,CD OA.
空间向量的应用(2)
----空间线面关系判定
温故知新:
(1)空间两条直线平行、垂直的判定. (2)空间直线和平面平行、垂直的判定. (3)空间两平面平行、垂直的判定. 怎样利用直线的方向向量来判定线面的位置关系?
设空间两条直线l1,l2的方向向量分别 e1, e2 ,两
个平面1, 2的法向量分别为 n1, n2,
D1 E
A1
(1)证明直线垂直于平面
内两条相交直线.
D
O
C1 B1 F
C
y
(2)证明直线的方向向量 和平面的法向量平行.
x
A
B
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,
CD的中点,求证:平面ADE⊥平面A1D1F
证明面面垂直: (1)证明线面垂直.
z
D1 A1
C1 B1
(2)证明两个平面的法向 量垂直.
C1 z
A1
B1 M
C Bx
A y
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,BC 的动点,且AE=BF,求证: A1F C1E
z
D1
C1
A1
B1
D
O
AE
x
C
Fy
B
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,
D1B1的中点,求证:EF⊥平面AB1Cz
证明线面垂直:
练习二：
1.正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是C1C,D1A1的中点. (1)求 AB, EF
(2)求点A到直线EF的距离(用向量方法)
D1 A1 F
C1 B1
E
D C
A
B
复习:
1.过点P(-2,3,1),一个方向向量为 a (2, 1,3)的 直线方程是________________.
(2)四棱锥P-ABCD的体积.
P
A B
D C
2.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,0,-1),则直线AB的一 个方_______________.
复习: 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,
AB (2, 1, 4), AD (4, 2, 0), AP (1, 2, 1). (1)求证: AP是平面ABCD的法向量;
求证:CD⊥PA
P
写出三垂线定理的 逆定理并加以证明
C
OA
D
l
例题2:如果一条直线和平面内的两条相交直 线垂直,那么这条直线和这个平面垂直. (线面垂直的判定定理)
已知: m , n , m n P,l m,l n
求证: l
l
mP n
g
3.已知直三棱柱ABC A1B1C1中,ACB＝90o , BAC＝30o BC 1, AA1 6,M是CC1的中点,求证: A1B AM
D
E C
OF
y
A
B
x
课堂小结：
1.基本知识：
平行
垂直
l1与l2
l1与1 1与 2
e1 e2 e1 n1 n1 n2
e1 e2 e1 n1 n1 n2
2.思想方法：
用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐 标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐 标运算法则进行计算或证明。
2.已知A(0, 2,3)、B( 2,1, 6),C(1, 1,5),用向量 方法求ABC的面积S.