上海市控江中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学复习卷(含解析)
2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1.若奇函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，则( )A. f(−32)<f(−1)<f(2) B. f(−1)<f(−32)<f(2) C. f(2)<f(−32)<f(−1)D. f(2)<f(−1)<f(−32)2.设函数f(x)的定义域为R ，则“函数y =|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“函数f(x)为奇函数”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.若集合A ={1,2,3}，B ={1,3,4}，则A ∩ B 的子集个数为( )．A. 2B. 3C. 4D. 164.命题“对于任意x ∈R ，都有e x >0”的否定是( )A. 对于任意x ∈R ，都有e x ≤0B. 不存在x ∈R ，使得e x ≤0C. 存在x 0∈R ，使得e x 0>0D. 存在x 0∈R ，都有e x 0≤0二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5.已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}，A ，B 都是U 的子集，且满足：A ∪B =U ，A ∩B ≠⌀，则满足条件的不同集合对(A,B)共有______对．6. 已知y =f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)=2x +1，则f(2)= ______ ．7.给出下列结论(1)(2)(3)函数y =的值域为(0,+)其中正确的命题序号为8. 方程在实数范围内的解有________个．9. 满足集合{1,2}⊊M ⊊{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是______ ．10. 已知f(x)=12(3x −3−x )的反函数为f −1(x)，当x ∈[−3,5]时，函数F(x)=f −1(x −1)+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =______．11. 给出一列三个命题：①函数f(x)=x|x|+bx +c 为奇函数的充要条件是c =0； ②若函数f(x)=lg(x 2+ax −a)的值域是R ，则a ≤−4，或a ≥0；③若函数y =f(x −1)是偶函数，则函数y =f(x)的图象关于直线x =0对称． 其中正确的命题序号是______ ．12. 设f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，则14[f(0)+f(4)]的值为______．13. 函数y =x 3−12x +16，x ∈[−2,3]的最大值是______ ． 14. a =c +1，a >b >c ，则M =1a−b +2b−c 的取值范围是______ ．15. 函数f(x)={2−x ,x ≥0−1x,x <0，若f(m)=1，则m = ______ ．16. 已知函数f(x)定义域为R ，f(1)=2，f(x)在R 上的导数f′(x)满足f′(x)−3>0，则不等式f(x)<3x −1的解集为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 设a ∈R ，f(x)=|x −3|−|x +a|．(1)当a =2时，解不等式f(x)>1；(2)若对于任意实数x ，不等式f(x)≤2a 恒成立，求a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=x +1x ．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性，并用定义证明；(3)求函数f(x)在[−5,−3]上的最大值和最小值．19. 证明：把质量为m(单位：kg)的物体从地球表面升高ℎ(单位：m)所做的功为W=G Mmℎ，其R(R+ℎ)中G是地球引力常数，M是地球的质量，R是地球的半径．20. 已知函数(I)判断的奇偶性；(Ⅱ)确定函数在上是增函数还是减函数？证明你的结论．(Ⅲ)求时，的最大值和最小值21. 已知函数f(x)=x2−2ax+3．(1)若f(1)=2，求实数a的值；(2)当x∈R时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案及解析1.答案：A解析：根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在R上为增函数，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在定义域上的单调性，属于基础题．解：根据题意，奇函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，则f(x)在[0,+∞)上也是增函数，故f(x)在R上为增函数，又由−32<−1<2，则有f(−32)<f(−1)<f(2)，故选：A．2.答案：B解析：解：函数f(x)=3是偶函数，y=|f(x)|=3是偶函数，图象关于y轴对称，但函数f(x)为奇函数不成立，若函数f(x)为奇函数，则y=|f(−x)|=|f(x)|是偶函数，则图象关于y轴对称，即必要性成立，则“函数y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件，故选：B．根据函数奇偶性的性质结合函数的对称性进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键．3.答案：C解析：由题知A∩B={1,3}，故它的子集个数为22=4．4.答案：D解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对于任意x∈R，都有e x>0”的否定是：存在x0∈R，都有e x0≤0．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5.答案：1680解析：解：分类讨论：①若A，B中一个只含有一个元素，则另一个必须为U，因此(A,B)共有7×2=14对．②若A，B中一个只含有2个元素，例如A={1,2}，则B可以为：{1,3,4,5,6,7}，{2,3,4,5,6,7}，{1,2,3,4,5,6,7}，因此(A,B)共有∁72×3×2=126对．③若A，B中一个只含有3个元素，例如A={1,2,3}，则B可以为：{1,4,5,6,7}，{2,4,5,6,7}，{3,4,5,6,7}，}，{1,2,4,5,6,7}，{1,3,4,5,6,7}，}，{2,3,4,5,6,7}，{1,2,3,4,5,6,7}，因此(A,B)共有∁73×7×2=490对．④若A，B中一个只含有4个元素，例如A={1,2,3,4}，则共有∁74×(24−1)×2=1050对，综上共有：14+126+490+1050=1680对．故答案为：1680．根据条件对A，B的元素个数分类讨论，即可得出结论．本题考查了集合与集合之间的关系、集合与元素之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：−3解析：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的值，属于基础题．由题意可得，f(2)=f(−2)，再利用所给的函数解析式求得结果．解：由题意可得，f(2)=f(−2)=2×(−2)+1=−3，故答案为−3．7.答案：(2)解析：(1)中，，应该是算数根，取正值，故(1)错误；(2)中，12log312−log32=log3√12−log32=log3√122=log3√3=12；故(2)正确；(3)中，函数y=21x的值域为(0,1)∪(1,+∞)，故(3)错误．故答案为：(2)8.答案：2解析：解：由e x−x−2=0得e x=x+2，令y=e x，y=x+2在同一坐标系中画出y=e x与y=x+2的图象如图所示．由图象可知y=e x与y=x+2有两个交点，故方程e x−x−2=0在实数范围内有两解．9.答案：6解析：解：∵集合{1,2}⊊M⊊{1,2,3,4,5}，∴M中至少含有三个元素且必有1，2，而M为集合{1,2,3,4,5}的真子集，故最多四个元素，∴M={1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,5}或{1,2,3,4}，或{1,2,3,5}，或{1,2,4,5}，共6个，故答案为：6．根据真子集的定义可知，M至少含有三个元素，根据子集的定义知M最多含有四个元素，采用列举法进行求解．此题是一道基础题，主要考查子集和真子集的定义，这也是解题的关键．10.答案：2(3−x−3x)=−f(x)，即函数f(x)在R上为奇函数，解析：解：由题意可得f(−x)=12(3t−3−t)为奇函数且单调递增当x∈[−3,5]，令t=x−1∈[−4,4]，则f(x−1)=f(t)=12所以反函数f−1(t)也是单调递增的奇函数，所以F(x)=f−1(t)是y=f−1(t)向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心(0,1)，由互为反函数的性质可得M+m=−3+5=2，故答案为：2由题意可得换元可得f(t)为奇函数在[−4,4]上，所以f−1(t)也是奇函数，且值域为[−4,4]，F(x)为对称中心为(0,1)的函数且值域为[−3,5]，考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．11.答案：①②解析：解：①当c=0时，f(x)=x|x|+bx∵f(−x)=(−x)|−x|+b(−x)=−x|x|−bx=−(x|x|+bx)=−f(x)∴函数f(x)为奇函数．反之，∵函数f(x)=x|x|+bx +c 为奇函数 ∴f(−x)=−f(x)恒成立∴−x|−x|+b(−x)+c =−x|x|−bx −c 恒成立 ∴2c =0 即c =0∴函数f(x)=x|x|+bx +c 为奇函数的充要条件是c =0． ②∵函数f(x)=lg(x 2+ax −a)的值域是R ， ∴函数y =x 2+ax −a 能取遍一切正实数． ∴△=a 2−4×(−a)=a 2+4a ≥0 解得a ≤−4，或a ≥0．③∵函数函数y =f(x −1)的图象是偶函数， ∴函数图象关于y 轴对称，∵函数y =f(x)的图象可以由函数y =f(x −1)的图象向左平移一个单位得到 故函数y =f(x)的图象关于直线x =−1对称． 故正确的是①②①当c =0时，f(x)=x|x|+bx ，用定义可以验证其为奇函数，反之，若函数为奇函数，由f(−x)=−f(x)恒成立可以得到c =0；②函数值域为R ，说明y =x 2+ax −a 能取遍所有正实数，故△≥0，可解得a 的范围；③根据图象变换可知函数f(x)的图象关于直线x =−1对称．本题主要考查了函数的性质及函数的图象、充要条件的判断，尤其第二个命题容易判断为△<0而产生错误．12.答案：7解析：解：f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3， 可得：{1+a +b +c +d =116+8a +4b +2c +d =281+27a +9b +3c +d =3，∴b =−6a −25；c =11a +61；d =−6a −36，∴14[f(4)+f(0)] =14(256+64a +16b +4c +2d) =12(128+32a +8b +2c +d)=12(128+32a−48a−200+22a+122−6a−36)=12×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.答案：32解析：解：f(x)=x3−12x+16，∴f′(x)=3x2−12．令f′(x)=3x2−12=0，得x1=−2，x2=2．∵x1=−2，x2=2都在区间[−3,3]内，三次函数在闭区间上的最值在端点处或导数为零处取得，且f(−3)=(−3)3−12×(−3)+16=25，f(−2)=(−2)3−12×(−2)+16=32，f(2)=23−12×2+16=0，f(3)=33−12×3+16=7．∴函数f(x)=x3−12x+8在区间[−3,3]上的最大值为32，最小值为0．故答案为：32．由f(x)=x3−12x+16，知f′(x)=3x2−12，令f′(x)=3x2−12=0，得x1=−2，x2=2.由此能求出函数f(x)=x3−12x+8在区间[−3,3]上的最大值与最小值．本题考查利用导数求函数在闭区间上的最大值和最小值，属于正档题，解题时要认真审题，仔细解答．14.答案：[3+2√2,+∞)解析：解：∵a=c+1，a>b>c，∴a−b=c+1−b>0，∴1>b−c>0．令b−c=x，x∈(0,1)．则M=1c+1−b +2b−c=11−x+2x=f(x)，则f′(x)=1(1−x)2−2x2=−x2+4x−2(x2−x)2=−(x−2−√2)(x−2+√2)(x2−x)2．可得：当且仅当x=2−√2时取得最小值3+2√2．∴f(x)∈[3+2√2,+∞)．故答案为：[3+2√2,+∞)．利用已知转化为利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化方法和推理能力，属于难题．15.答案：0或−1解析：解：∵函数f(x)={2−x ,x ≥0−1x,x <0，f(m)=1，∴当m ≥0时，f(m)=2−m =1，解得m =0； 当m <0时，f(m)=−1m =1，解得m =−1． 故答案为：0或−1． 利用分段函数的性质求解．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16.答案：(−∞,1)解析：解：构造函数F(x)=f(x)−3x ， 则F′(x)=f′(x)−3>0， F(x)在R 上是增函数， 且F(1)=f(1)−3=−1．又不等式f(x)<3x −1可化为f(x)−3x <−1， 即F(x)<F(1)，∴x <1． 故答案为：(−∞,1)．构造函数F(x)=f(x)−3x ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到F(x)<F(1)，求出x 的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．17.答案：解：(1)a =2时，不等式f(x)>1就是|x −3|−|x +2|>1．因为f(x)={5,x <−2−2x +1,−2≤x <3−5,x ≥3，所以f(x)>1等价于{x <−25>1，或{−2≤x <3x <0，或{x ≥3−5>1，因此x <0．故不等式f(x)>1的解集是(−∞,0)．(2)因为|a|−|b|≤|a −b|，所以f(x)=|x −3|−|x +a|≤|(x −3)−(x +a)|=|a +3|， 因此f(x)的最大值为|a +3|．则对于任意实数x ，f(x)≤2a 恒成立等价于|a +3|≤2a ． 当a ≥−3时，a +3≤2a ，得a ≥3；当a <−3时，−a −3≤2a ，a ≥−1，不成立． 综上可知，a 的取值范围是[3,+∞)．解析：(1)a =2时，不等式f(x)>1就是|x −3|−|x +2|>1.化简函数的解析式为分段函数的形式，然后求解绝对值不等式的解集即可．(2)通过|a|−|b|≤|a −b|，推出f(x)≤|a +3|，得到f(x)的最大值为|a +3|.然后转化求解|a +3|≤2a.推出结果即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化与应用，是中档题．18.答案：解：(1)f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，定义域关于原点对称．又f(−x)=−x +1−x =−(x +1x )=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．----------------(3分) (2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增．∀x 1、x 2∈(1,+∞)且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+1x 1−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)，∵1<x 1<x 2，∴x 1−x 2<0，x 1x 2>1，x 1x 2−1>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0， 即∴f(x 1)<f(x 2)所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增．----------------------(6分)(3)由于f(x)为奇函数，且f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)在[−5,−3]上单调递增． 所以f(x)的最大值为f(−3)=−3+1−3=−103，f(x)的最小值为f(−5)=−5+1−5=−265---------------------------(9分)解析：(1)只需函数满足：定义域关于原点对称．f(−x)=−x +1−x =−(x +1x )=−f(x)，即可； (2)∀x 1、x 2∈(1,+∞)且x 1<x 2，判定f(x 1)−f(x 2)的符号即可； (3)根据函数的单调性求出最值即可．本题考查了函数的奇偶性、定义法证明单调性、最值，属于基础题．19.答案：解：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力为f(r)=GMm r 2，其中G 为引力常数．则当质量为m 的物体距地面高度为x(0≤r ≤ℎ)，地心对它的引力f(x)=G ⋅Mm(R+x)2．g 故该物体从地面升到ℎ高处所做的功为：W =∫f R0(x)dx =∫G R0⋅Mm(R+x)2dx =G MmℎR(R+ℎ)， 证毕．解析：通过万有引力公式，结合定积分公式，转化证明求解即可．本题考查万有引力定律以及定积分的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：解析：(1)根据f(−x)=f(x)可判断f(x)是偶函数；(2)利用函数单调性的判定可知为减函数；(3)根据(2)所确定的递减性可求得最大、最小值．21.答案：解：(1)若f(1)=2，即12−2a+3=2，解得：a=1；(2)∵当x∈R时，f(x)=x2−2ax+3≥0恒成立，∴△=4a2−12≤0，解得：−√3≤a≤√3，∴求实数a的取值范围为[−√3,√3].解析：(1)由f(1)=12−2a+3=2，即可求得实数a的值；(2)当x∈R时，f(x)=x2−2ax+3≥0恒成立，可知△≤0，于是可求得实数a的取值范围．本题考查函数恒成立问题，突出考查二次函数的性质与应用，属于中档题．。
上海市杨浦区控江中学2022年高一数学第一学期期末达标检测试题含解析
C.向左平移 个单位 6
D.向右平移 个单位 6
8．函数 y f x 的图象与函数 g x ex 的图象关于直线 y x 对称，则函数 y f 4 3x x2 的单调递减区间为
A.
,
3 2
B.
3 2
,
C.
1,
3 2
D.
3 2
,
4
9．过点 M (3, 2) 且与直线 x 2 y 9 0 平行的直线方程是（ ）
设 PA x ，则 PB PC 2 3 x 则 PA PB PC PA PB PC x 2 3 x 2x2 2 3x
当 x 3 时， PA PB PC 取最小值， 2
PA
PB PC
2
2 PA 2
3 2
2
3 2
故选 B
第 II 卷（非选择题
2、B
（2）若 B A ，求实数 m 的取值范围
18．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1，2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的 概率.
又所求直线过点 M (3, 2) ， 所以 3 4 m 0 ，解得 m 1， 所求直线方程为： x 2y 1 0 .
故选 D 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于基础题型. 10、B 【解析】直接根据并集的运算可得结果.
【详解】由并集的运算可得 A B {3, 1,1, 2} .
的取值范围是___________.
14．命题“ ， sin sin ”的否定为____.
2020-2021学年高一上数学期末考试试卷及答案解析
2020-2021学年高一上数学期末考试试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．幂函数f (x )＝x a 的图象经过点(2,4)，则f ⎝⎛⎭⎫－12等于( ) A.12 B.14 C ．－14D ．2 2．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.323．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－1,3) B ．[0,3) C ．(－1,0] D ．(－1,2] 4．函数f (x )＝x (x －1)－ln x 的定义域为( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x <0}D ．{x |0<x ≤1}5．命题“∀x ∈R ，sin x ＋1≥0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＋1<0 B ．∀x ∈R ，sin x ＋1<0 C ．∃x ∈R ，sin x ＋1≥0 D ．∀x ∈R ，sin x ＋1≤06．已知sin α＝35，π2<α<3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫5π2－α等于( ) A ．－45 B.45 C ．－35 D.357．已知a ，b ∈R ，条件甲：a >b >0；条件乙：1a <1b ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)等于( )A.112B.132C.152 D ．109．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则f (x )满足( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6 B ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6 C ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋56π D ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π610．已知x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的值域为( ) A.⎝⎛⎦⎤－1，12 B.⎣⎡⎦⎤1，32 C.⎝⎛⎭⎫22，2D ．(0,22)11．内接于半径为R 的圆的矩形的周长的最大值为( ) A ．22R B ．2R C ．42R D ．4R12．已知f (x )＝log a |x ＋b |是偶函数，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( ) A ．f (b －2)＝f (a ＋1) B ．f (b －2)>f (a ＋1) C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (3)的值是________． 14．e ln 2＋138＋lg 20－lg 2＝________.15．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝________.16．函数f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，如下结论正确的有________． ①f (x )的最小正周期为π；②对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0；③f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数；④由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．18．(12分)已知函数f(x)＝sin2x＋3sin x cos x，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期与对称中心；(2)求函数f(x)的单调递增区间．19．(12分)已知函数f(x)＝log3(3x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)若不等式f (x )－12x －a ≥0对x ∈(－∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围．20．(12分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3.(1)若f (x )≤－3的解集为[b,3]，求实数a ，b 的值；(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，若关于x 的不等式f (x )≥1－x 2恒成立，求实数a 的取值范围．21．(12分)为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据lg 0.11≈－0.959，lg 1.1≈0.041，lg 11≈1.041，lg 2≈0.301)22．(12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·(cos ωx＋3sin ωx)－3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0,5π]上零点的和．2020-2021学年高一上数学期末考试试卷答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．幂函数f (x )＝x a 的图象经过点(2,4)，则f ⎝⎛⎭⎫－12等于( ) A.12 B.14 C ．－14 D ．2 答案 B解析 幂函数f (x )＝x a 的图象经过点(2,4)， 则2a ＝4，解得a ＝2， ∴f (x )＝x 2，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎝⎛⎭⎫－122＝14. 2．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 答案 B解析 由余弦的二倍角公式得 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 3．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－1,3) B ．[0,3) C ．(－1,0] D ．(－1,2] 答案 B解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝(－1,3)， 所以A ∩B ＝[0,3)．4．函数f (x )＝x (x －1)－ln x 的定义域为( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x <0} D ．{x |0<x ≤1}答案 B解析 因为f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x >0，解得x ≥1，所以f (x )的定义域为{x |x ≥1}．5．命题“∀x ∈R ，sin x ＋1≥0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＋1<0 B ．∀x ∈R ，sin x ＋1<0C ．∃x ∈R ，sin x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，sin x ＋1≤0 答案 A解析 全称量词命题的否定是把全称量词改为存在量词，并否定结论，则原命题的否定为“∃x ∈R ，sin x ＋1<0”．6．已知sin α＝35，π2<α<3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫5π2－α等于( ) A ．－45 B.45 C ．－35 D.35答案 A解析 sin α＝35，π2<α<3π2，∴π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝－1－sin 2α＝－45. 7．已知a ，b ∈R ，条件甲：a >b >0；条件乙：1a <1b ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 条件乙：1a <1b ，即为1a －1b <0⇔b －a ab<0，若条件甲：a >b >0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则b >0>a 也可以，但是此时不满足条件甲：a >b >0， 所以甲是乙成立的充分不必要条件．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)等于( )A.112B.132C.152 D ．10 答案 B解析 根据题意，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，f (－3)＝log 24＝2，f (log 23)＝22log 312－＝92， 则f (－3)＋f (log 23)＝2＋92＝132.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则f (x )满足( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6 B ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6 C ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋56π D ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6 答案 D解析 由函数的图象可得A ＝5， 周期T ＝2πω＝11－(－1)＝12，∴ω＝π6.再由五点法作图可得π6×(－1)＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∵0≤φ≤2π，∴φ＝π6，故函数f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6.10．已知x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的值域为( ) A.⎝⎛⎦⎤－1，12 B.⎣⎡⎦⎤1，32 C.⎝⎛⎭⎫22，2D ．(0,22)答案 B解析 因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]， 由f (x )＝cos 2x ＋2sin x ，得f (x )＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32， 所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤1，32. 11．内接于半径为R 的圆的矩形的周长的最大值为( ) A ．22R B ．2R C ．42R D ．4R 答案 C解析 设矩形对角线与某一边的夹角为θ，由题意可得矩形的边长分别为：2R cos θ，2R sin θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 则矩形的周长为l ＝2×(2R cos θ＋2R sin θ)＝42R sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 结合三角函数的性质可知， 当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1，即θ＝π4， 即矩形为正方形时， 周长取得最大值：l max ＝42R .12．已知f (x )＝log a |x ＋b |是偶函数，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( ) A ．f (b －2)＝f (a ＋1) B ．f (b －2)>f (a ＋1) C ．f (b －2)<f (a ＋1) D ．不能确定答案 C解析 ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0， 此时f (x )＝log a |x |.当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)；当0<a <1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)． 综上可知f (b －2)<f (a ＋1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (3)的值是________． 答案 －8解析 因为f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＝8， 又函数f (x )是奇函数， 所以f (3)＝－f (－3)＝－8.14．e ln 2＋138＋lg 20－lg 2＝________. 答案 5解析 根据指数和对数的运算公式得到： 原式＝2＋2＋lg 10＝5.15．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝________. 答案 0解析 由f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，可得f (－x )＝－f (x )，f (1－x )＝f (1＋x )即有f (x ＋2)＝f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，进而得到f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )为周期为4的函数，若f (1)＝2，可得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (2)＝f (0)＝0，f (4)＝f (0)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，可得f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝504×0＋2＋0－2＝0.16．函数f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，如下结论正确的有________．①f (x )的最小正周期为π；②对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0；③f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数；④由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 答案 ①②③解析 f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ①f (x )的最小正周期为2π2＝π，故①正确； ②f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝2sin 0＝0， 即函数关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称，即对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0成立，故②正确； ③x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，5π12时，2x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，此时函数为增函数，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数，故③正确； ④由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，故④错误，故正确的是①②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值集合．解 (1)因为3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，所以1≤x ≤3，所以A ＝{x |1≤x ≤3}，因为log 2x >1，即log 2x >log 22，所以x >2，所以B ＝{x |x >2}，所以A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．∁R B ＝{x |x ≤2}，所以(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}．(2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，若C ⊆A ，则①当C 为空集时，a ≤1.②当C 为非空集合时，可得1<a ≤3.综上所述，a 的取值集合为{a |a ≤3}．18．(12分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期与对称中心；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解 (1)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以函数的最小正周期为2π2＝π， 令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )， 所以函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π12，12(k ∈Z )．(2)由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )． 19．(12分)已知函数f (x )＝log 3(3x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若不等式f (x )－12x －a ≥0对x ∈(－∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为y ＝f (x )为偶函数，且定义域为R ，所以∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )，即log 3(3－x ＋1)－kx ＝log 3(3x ＋1)＋kx 对∀x ∈R 恒成立．于是2kx ＝log 3(3－x ＋1)－log 3(3x ＋1)＝log 33－x ＋13x ＋1＝log 33－x ＝－x 恒成立， 而x 不恒为零，所以k ＝－12. (2)因为不等式f (x )－12x －a ≥0在区间(－∞，0]上恒成立， 即a ≤log 3(3x ＋1)－x 在区间(－∞，0]上恒成立，令g (x )＝log 3(3x ＋1)－x ＝log 3⎝⎛⎭⎫1＋13x ，x ∈(－∞，0]， 因为1＋13x ≥2， 所以g (x )＝log 3⎝⎛⎭⎫1＋13x ≥log 32，所以a ≤log 32， 所以a 的取值范围是(－∞，log 32]．20．(12分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3.(1)若f (x )≤－3的解集为[b,3]，求实数a ，b 的值；(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，若关于x 的不等式f (x )≥1－x 2恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f (x )≤－3即x 2－ax ＋6≤0的解集为[b,3]，所以b ,3是一元二次方程x 2－ax ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3＝a ，3b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2. (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，若关于x 的不等式f (x )≥1－x 2恒成立，即a ≤2x ＋2x在x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时恒成立， 令g (x )＝2x ＋2x ，x ≥12，则a ≤g (x )min ， ∵2x ＋2x ≥22x ·2x＝4， 当且仅当x ＝1时取等号．故a ≤4.21．(12分)为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x 年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y (万元)与x 的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据lg 0.11≈－0.959，lg 1.1≈0.041，lg 11≈1.041，lg 2≈0.301)解 (1)第一年投入的资金数为100(1＋10%)万元，第二年投入的资金数为100(1＋10%)＋100(1＋10%)10%＝100(1＋10%)2万元，第x 年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y (万元)与x 的函数关系式y ＝100(1＋10%)x 万元， 其定义域为{x ∈N *|x ≤10}．(2)由100(1＋10%)x >200，可得1.1x >2，即x >lg 2lg 1.1≈0.3010.041≈7.3， 即企业从第8年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元．22．(12分)已知函数f (x )＝2sin ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )－3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0,5π]上零点的和．解 (1)∵函数f (x )＝2sin ωx (cos ωx ＋3sin ωx )－3＝sin 2ωx ＋23·1－cos 2ωx 2－ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为2π2ω＝π， ∴ω＝1，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 求得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度， 可得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x 的图象； 再向上平移2个单位长度，得到函数g (x )＝2sin 2x ＋2的图象．令g (x )＝0，求得sin 2x ＝－1，即2x ＝2k π－π2，k ∈Z ， 即x ＝k π－π4，k ∈Z . 函数g (x )在区间[0,5π]上零点的和为3π4＋7π4＋11π4＋15π4＋19π4＝55π4.。
2020-2021上海控江初级中学高一数学上期末试卷(含答案)
2020-2021上海控江初级中学高一数学上期末试卷(含答案)一、选择题1．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-2．设23a log =，b =23c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．74．若函数()2log ,?0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e5．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.97．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．110．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1111．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________． 14．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________ 15．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.16．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.17．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．18．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．19．函数()()4log 5f x x =-+________. 20．若函数()22xxe a x ef x -=++-有且只有一个零点，则实数a =______.三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．已知()()()22log 2log 2f x x x =-++. (1)求函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 为偶函数；(3)指出方程()f x x =的实数根个数，并说明理由. 23．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .24．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
高一上学期期末数学考试卷及答案
2020～2021学年度上学期高一年级期末考试卷数 学 试 卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}, 则(C U A)∩B= ( )A.{－1}B.{0,1}C{－1,2,3} D.{－1,0,1,3}2．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数，则（ ）A．B．C．6D．74．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是（ ）A．a<α<β<b B．a<α<b<βC．α<a<b<βD．α<a<β<b5．是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使的的范围是（ ）A．B．C． D．6．已知，，且，则（ ）A．B．C．D．7．函数的定义域是（ ）A．B．C．D．8．函数的零点个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列命题是“，”的表述方法的是（）A．有一个，使得成立B．对有些，使得成立C．任选一个，都有成立D．至少有一个，使得成立10．下列命题中是真命题的有（ ）A．幂函数的图象都经过点和B．幂函数的图象不可能过第四象限C．当时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小11．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．12．已知函数有两个零点，，以下结论正确的是（ ）A．B．若，则C．D．函数有四个零点三、填空题 （每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则的解析式为___________.14．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝________.15．已知函数，若，则____.16．已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．四 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）；（2）.18．（12分）已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．（1）写出函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值．19．（12分）已知函数f(x)＝，g(x)＝(a>0且a≠1).(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.20.（12分）已知函数（1）判断函数在上的单调性，并给予证明；（2）求函数在，的最大值和最小值．21．（12分）已知函数（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）设函数，解不等式.22．（12分）设函数是定义域为R的奇函数.（1）求的值;（2）若,试判断的单调性（不需证明），并求使不等式恒成立的t的取值范围;（3）,求在上的最小值.数 学 试 卷 参考答案1 A 2．B 3．A 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C9．ABD 10．BD 11．AB 12．ABC13． 14．0.25 15．1或-2 16．17．（1）原式；（2）原式.18． 的图象如图所示．(1) 在和上是增函数，在上是减函数，∴单调递增区间为，；单调递减区间为；(2)∵，，∴在区间上的最大值为.19． 解：(1)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为：，解得：，所以定义域为.(2) f(x)≤g(x)，即为，定义域为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.当时，，解得：，所以x的取值范围为.综上可得：当时，x的取值范围为.当时，x的取值范围为.20（1），函数在上是增函数，证明：任取，，且，则，，，，，即，在上是增函数；（2）在上是增函数，在，上单调递增，它的最大值是，最小值是．21．（1）在恒成立，即在恒成立， 分离参数得：，∵，∴从而有：.（3）令，得，，因为函数的定义域为，所以等价于（1）当，即时，恒成立，原不等式的解集是（2）当，即时，原不等式的解集是（3）当，即时，原不等式的解集是（4）当，即时，原不等式的解集是综上所述：当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是22．（1） ∵是定义域为R的奇函数，∴ f（0）＝0，∴ 1－（k－1）＝0，∴ k＝2， （2）单减，单增，故f（x）在R上单减 ，故不等式化为∴，解得令∵在上为递增的 ∴∴设∴.即在上的最小值为.。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数111y x =-+的值域是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知101x ≠+，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：101y x =≠+，则1111y x =-≠+，故值域为()(),11,+-∞⋃∞. 故选：C.2．若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ ）A ．ab bc >B ．ac bc >C ．a b b c >D ．ab ac > 【答案】D【分析】已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】a b c >>且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a <<,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,当1a =,0b =,1c =-时,ab bc =,故A 项错误;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故D 项正确.故选：D3．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ ）A ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格减函数B ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增.故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ） AB ．2C ．4 D．【答案】A 【分析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+-211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=， 当且仅当1()15ab a a b a c =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =2b =5c =时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为：[]7,10.6．设实数a 满足2log 4a =，则a =_________.【答案】16【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，故答案为：167．已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】2【分析】先由幂函数的定义求出m ，再检验得解.【详解】依题意得11m -=，解得2m =．此时()771f x x x -==，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m 的值为2．故答案为: 28．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故答案为：3a ≥9．函数22()log (1)f x x =-的定义域为_________.【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】()()22log 1f x x =-， 210x ∴->，解得11x -<<所以函数()()2log 1a f x x =-的定义域为()1,1-， 故答案为：()1,1-10．设函数f （x ）200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或209αα⎧⎨=⎩＞， ∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】12【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-单调递增，所以24a =，解得2a =，当1x =-，1min 1()(1)22f x f -=-==， 故答案为：1212．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是______. 【答案】13- 【分析】根据函数的对称性求出()f x 的解析式，代入a 求解即可.【详解】解：因为函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，则()3log g x x =， 又函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则13a =-. 故答案为：13- 【点睛】知识点点睛：（1）()y g x =与x y a =图像关于直线y x =对称，则()log a g x x =；（2）()y f x =与()y g x =关于y 轴对称，则()()f x g x =-；（3）()y f x =与()y g x =关于x 轴对称，则()()f x g x =-；13．如果关于x 的方程53x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)8,+∞【分析】根据绝对值的几何意义求得53x x -++最小值为8，即可求出实数a 的取值范围．【详解】因为53x x -++表示数轴上的x 对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8， 故当8a ≥时，关于x 的方程53x x a -++=有解，故实数a 的取值范围为[8,)+∞，故答案为：[8,)+∞．14．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出()0f x >和()0f x <的解集，再分别讨论当0x >和0x <时()0xf x >的解集即可求出结果.【详解】解：因为()f x 为奇函数，且有(4)0f -=，则()f x 在(,0)-∞上是也严格递增，且(4)0f =，所以()0f x >的解集为：()()4,04,-+∞；()0f x <的解集为：()(),40,4-∞-，则当0x >时，()0xf x >的解为()4,+∞，当0x <时，()0xf x >的解为(),4-∞-故()0xf x >成立的x 的取值范围是()(),44,-∞-+∞. 故答案为：()(),44,-∞-+∞【点睛】思路点睛：类似求()0xf x >或求()0f x x >的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出()0f x >或()0f x <的解，再结合x 的范围进行求解.15．函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】](,1-∞-【分析】函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，即()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设()221x x g x a -=++-，由()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，知()221x x g x a -=++-可以取所有的正值，又()22111x x g x a a a -=++-≥-=+，当且仅当0x =时等号成立，故()g x 的值域为[1,)a ++∞，所以只需满足[)()1,0,a ++∞⊇+∞即可，即1a ≤-故答案为：](,1-∞-【点睛】关键点点睛：求出()221x x g x a -=++-的值域，由题意知()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，转化为()g x 的值域包含()0,∞+是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0(){2,0x x x x f x x e++<=≥，则()f x 的“友好点对”有 个. 【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数()y f x =在区间[3,2]-上的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（1）增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）18a =或1a =-. 【分析】（1）求出()f x 的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出()3f x y =的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论0a <，0a =，0a >不同范围下()f x 的最值，解出a .【详解】解：（1）1a =时，()221f x x x =++，在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；则()3f x y =的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞.（2）()()222111f x ax ax a x a =++=++-，对称轴为1-， 当0a <时，()f x 在1x =-处取得最大值，()112f a -=-=，解得：1a =-当0a =时，()1f x =不成立；当0a >时，()f x 在()3,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，且对称轴为1x =-，()max f x =()2f ()2912f a a =+-=，解得：18a =综上所述：1a =-或18a =. 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）()221f x ax ax =++的最高次项系数为a ，不一定为二次函数，需讨论a 与0的关系； 18．设函数()|2|,()2f x x a g x x =-=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12. 【答案】（1）1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，|2x －1|≤x ＋2， 化简可得12122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-≤+⎩或12212x x x ⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩ 解得1132x -≤≤或132x <≤ 综上，不等式的解集为)1|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)证明：假设1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则1122112211122a ba ba⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得－12<a<12与第三式12<a<32矛盾.因此假设不成立，故1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x∈时，曲线是函数0.880log()y x a=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x=的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log(15)80,(16,40]x xf xx x⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x∈和(16,40]x∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x∈和(16,40]x∈时，令()68f x<，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b=-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.20．已知1()log 1a mx f x x -=-(0a >､1a ≠)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值.【答案】（1）1m =-；（2）1a >时()f x 在(1,)+∞上严格减；01a <<时.()f x 在(1,)+∞上严格增；（3）21a n ==.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （﹣x ）+f （x ）＝0，建立关于m 的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a 的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n ，a ﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n 和a 的值．【详解】（1）∵函数()11amx f x log x -=-（a ＞0，a ≠1）是奇函数． ∴f （﹣x ）+f （x ）＝0 即11log log 011aa mx mx x x +-+=---， 所以11log 011a mx mx x x +-⋅=---， 即222111m x x-=- 解得1m =±，当1m =时，1()log log (1)1a a xf x x -==--无意义，舍去. 故1m =-.（2）由（1）及题设知：()11ax f x log x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当x 1＞x 2＞1时，()()()211212122221111x x t t x x x x --=-=---- ∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知11121an log n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当1≤n ＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩得2a =+n ＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.21．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x x =是，2()h x x =不是，理由见解析；(2)9；(3)(1,1)a ∈-. 【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得； (2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f (x )的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】(1)g (x )定义域R ，3333[1,0],(),()()()02222x x R g x g x x x ∀∈-+∈+-=+-=>，g (x )是， 取x =-1，311(1)()1(1)224h h h -+==<=-，h (x )不是， 函数()g x x =是区间[]1,0-上的32-增长函数，函数2()h x x =不是；(2)依题意，2[4,2],()()||||20x f x n f x x n x nx n ∀∈--+>⇔+>⇔+>， 而n>0，关于x 的一次函数22nx n +是增函数，x =-4时22min (2)8nx n n n +=-， 所以n 2-8n>0得n>8，从而正整数n 的最小值为9；(3)依题意，2222222,?(),?2,?x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，而,(4)()x R f x f x ∀∈+>， f (x )在区间[-a 2,a 2]上是递减的，则x ，x +4不能同在区间[-a 2,a 2]上，4>a 2-(-a 2)=2a 2， 又x ∈[-2a 2，0]时，f (x )≥0，x ∈[0，2a 2]时，f (x )≤0，若2a 2<4≤4a 2，当x =-2a 2时，x +4∈[0，2a 2]，f (x +4)≤f (x )不符合要求， 所以4a 2<4，即-1<a<1.因为：当4a 2<4时，①x +4≤-a 2，f (x +4)>f (x )显然成立；②-a 2<x +4<a 2时，x <a 2-4<-3a 2，f (x +4)=-(x +4)>-a 2，f (x )=x +2a 2<-a 2，f (x +4)>f (x )； ③x +4>a 2时，f (x +4)=(x +4)-2a 2>x +2a 2≥f (x )，综上知，当-1<a<1时，()f x 为R 上的4-增长函数， 所以实数a 的取值范围是(-1，1).【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.。
上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题人教新课标A版
上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1. 已知函数的图象如图所示，则该函数的值域为________.2. 已知集合，，则________.（结果用区间表示）3. 已知函数，则它的反函数________________.4. 已知函数，满足，且当时，，则________.5. 已知是奇函数，满足，且在区间内是严格增函数，则不等式的解集是________.（结果用区间表示）6. 已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是________.7. 函数，的最小值是________.8. 设方程的解为，的解为，则________.二、解答题若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是________.三、填空题对于实数、，定义，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，则的取值范围为________.四、单选题下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是()A.与B.与C.与D.与函数f(x)=的零点所在的一个区间是A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)已知，则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件设函数若，，则关于的方程的解的个数为()A.1B.2C.3D.4五、解答题已知实数，判断函数的奇偶性，并说明理由.已知命题：幂函数的图象过原点；命题：函数在区间上不是单调函数. 若命题和命题只有一个为真命题，求实数的取值范围.已知函数.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）用函数观点解不等式：. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.参考答案与试题解析上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1.【答案】[加加){1,3,4)【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】由图象可得函数值，得值域．【解答】由图象可知函数值有1，3,4，即值域为{1,3,4}故答案为：{1,3,4}2.【答案】I≤加)(1,4)【考点】分式不等式的解法【解析】先求出集合A,B，再根据交集的定义即可求出．【解答】∵A={x||x−1|<3}={x|−2<x<4}B={x|x−1x−5<0}={x|1<x<5}A∩B={x|1<x≤4}=(1,4)故答案为:(1,4)3.【答案】[加加]√x+13【考点】反函数函数的值域及其求法函数奇偶性的性质【解析】由y=x3−1求得后交换xy的位置可得反函数，同时注意求原函数的值域，即反函数的定义域．【解答】由y=x3−1知y∈Rx3=y+1，所以x=√y+13所以f−1(x)=√x+13x∈R故答案为：√x+134.【答案】2【考点】函数的概念及其构成要素伪代码判断两个函数是否为同一函数【解析】根据函数的周期性直接求解．【解答】由函数y=f(x)，满足f(x)=f(x+2)即f(x)=f(x−2)得f(92)=f(52)=f(12)=4×12=2故答案为：2.5.【答案】[加加](−1,0)∪(0,1)【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】由奇函数性质得f(−1)=0，在(−∞,0)上函数也是递增的，从而可求得不等式的解．【解答】由题意f(−1)=0，且f(x)在(−∞,0)上函数是递增的，f(x)x<0⇒{f(x)<0x>0或{f(x)>0x<0，所以0<x<1或−1<x<0故答案为：(−1,0)∪(0,1)6.【答案】−5【考点】函数的对称性【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可．【解答】由已知y=|x−n|+2是定义在[4m,m2−5)上的偶函数，故4m+m2−5=0，即m=1，或m=−5，且函数图象关于！轴对称，又4m<m2−5，故m=−5因为y=|x−n|+2关于直线x=n对称，故n=0m+n=−5故答案为：−57.【答案】2【考点】与二次函数相关的复合函数问题【解析】令t=log3x，可得y=t(1+t)=(t+12)2−14，即可求出最小值．【解答】∵y=log3x⋅log33x=log3x⋅(1+log3x)令t=log3x．x∈[3,9]，t∈[1,2]则y=t(1+t)=(t+12)2−14当t=1时，y加加=2故答案为：2.8.【答案】【答2.【考点】进位制三角函数值的符号集合的确定性、互异性、无序性【解析】由反函数对称性质即可求解．【解答】由x+log2x=2的解为x1，得log2x1=−x1+2同理x+24=2的解为x2，得2x=−x2+2又函数y=log2x与函数y=2x互为反函数，图象关于直线y=x对称，且y=−x+2与y=x互相垂直，且交点为(1,1)则函数y=log2x与函数y=−x+2的交点A(x1,y1)，函数y=2x与函数y=−x+2的交点B(x2,y2)，关于直线y=x对称，即A(x1,y1)与B(x2,y2)关于点(1,1)对称，即x1+x2=2故答案为：2．二、解答题【答案】(3,4]【考点】根的存在性及根的个数判断区间与无穷的概念函数的零点与方程根的关系【解析】方程(x−2)(x2−4x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是2，即三角形的一边是2，另两边是方程x2−4x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2−4x+m=0的两个根设是x x和x3，一定是两个正数，且一定有|x1−x3|<2<x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定”的范围．【解答】解：：方程(x−2)(x2−4x+m)=0有三根，x1=2x2−4x+m=0有根，方程x2−4x+m=0的Δ=16−4m>0，得m≤4又：原方程有三根，且为三角形的三边和长．有x2+x3>x1=2|x2−x3|<x1=2，而x2+x3=4>2已成立；当|x2−x3|<2时，两边平方得：(x2+x3)2−4x2x3<4即：16−4m<4．解得m>33≤m≤4故答案为：(3,4]三、填空题【答案】【3加加(5−√34,1)【考点】根的存在性及根的个数判断 函数的零点与方程根的关系一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】化简得出函数y =f (x )的解析式，不妨设x 1<x 2<x 3，作出函数y =f (x )的图象，可知当0<m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由对称性可求得x 2+x 3的值，由f (x 1)=(0,14)可解得x 1的取值范围，进而可求得 x 1+x 2+x 3的取值范围． 【解答】当2x −1≤x −1时，即当x ≤0时，f (x )=(2x −1)2−(2x −1)(x −1)=2x 2−x 当2x −1>x −1时，即当x >0时，f (x )=(x −1)2−(2x −1)(x −1)=x −x 2 f (x )={2x 2−x,x ≤0x −x 2,,,,,，作出函数y =f (x )的图象如下图所示：设x 1<x 2<x 3，可知点(x 2,m )与点(x 3,m )关于直线x =12对称，则x 1+x 3=1当x >0时，f (x )=x −x 2=−(x −12)2+14≤14由图象可知，当0∴m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由f (x 1)=2x 12−x 1∈(0,14)，可得0<2x 12−x 1∴14∵x 1<0，解得1−√34<x 1<0，所以，5−√34<x 1+x 2+x 3<1因此，x 1+x 2+x 3的取值范围为(5−√34,1)故答案为：(5−√34,1)四、单选题 【答案】 D【考点】对数函数的图象与性质判断两个函数是否为同一函数【解析】判断函数的定义域与对应法则，两者均相同的为同一函数． 【解答】A ．两函数定义域都是R ，但对应法则不相同，一个是y =x ，一个是y =|x|，不是同一函数；B ．前一函数定义域是[1,+∞), 后一函数定义域是(−∞,−1]∪[1,+∞)，不是同一函数；C ．前一函数定义域是R ，后一函数定义域是(0,+∞)，不是同一函数；D ．两函数定义域相同，后一函数，计算x =1时，y =1x =2时，y =1，对应法则相同，值域也相同，是同一函数． 故选：D ． 【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】试题分析：因为函数f (x )=223x 在其定义域内是递增的，那么根据f (−1)=12−3=−52<0,f (0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(−1,0)，选B ． 【解答】此题暂无解答 【答案】 D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 充分条件、必要条件、充要条件 运用诱导公式化简求值【解析】分别对充分性和必要性进行判断，对于不能推出的情况举一个反例就可以． 【解答】4a >43⇔a >b充分性：取a =0,b =−1，但是04≤(−1)4，即不能推出a 4>b 4，所以充分性不满足； 必要性：取a =−1,b =0，符合a 4>b 4，但是4−1<4∘，即不能推出4a >4”，必要性不满足．综上：“4a >4y ”是a 4>b 4”的既非充分又非必要条件 故选：D 【答案】 C【考点】 函数的求值 求函数的值运用诱导公式化简求值【解析】由题意求得b 、c 的值，可得函数f (x )的解析式．再分类讨论解方程，从而得到关于》的方程f (x )=x 的解的个数． 【解答】解：由f (−4)=f (0)得16−4b +c =c ，① 由f (−2)=−2得4−2b +c =−2，③ 由①②得b =4c =2所以f (x )={x 2+4x +2(x ≤0),2(x >0),当x ≤0时，由f (x )=x 得方程x 2+4x +2=x ，解得x 1=−1x 2=−2 当x >0时，由f (x )=x 得x =2 故方程共有3个解． 故选：C 五、解答题【答案】【答a =1时，f (x )为奇函数；a ≠1时，f (x )为非奇非偶函数．【考点】函数奇偶性的性质 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明【解析】根据定义域讨论a =1和a ≠1时利用定义判断． 【解答】由题可得24−a ≠0当a =1时，x ≠0，即f (x )的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称， f (−x )=2−x +12−x −1=1+2x1−2x =−f (x )f (x )为奇函数，当a ≠1时，f (x )的定义域不关于原点对称，则f (x )为非奇非偶函数． 【答案】加加加)0,1]][4,+∞)【考点】命题的真假判断与应用 奇偶性与单调性的综合 复合命题及其真假判断【解析】通过两个命题求出α的范围，然后通过当？真4假时，当Р假♀真时即可求解 【解答】若？为真命题，则a −1>0，解得a >1 若♀为真命题，则{a >0√a <2，解得0<a <4因为命题？和命题4只有一个为真命题，所以a ∈(0,1]∪[4,+∞) 【答案】（1）增函数，证明见解析； （2）(2,+∞)）． 【考点】函数单调性的判断与证明 奇偶性与单调性的综合 函数单调性的性质【解析】（1）任取对、x 2∈(0,+x )且x 1>x 2，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数f (x )在(0,+x )上的单调性；（2）由已知条件可得出f (x )>f (2)，结合（1）中的结论可解原不等式． 【解答】（1）任取x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1>x 2，即x 1>x 2>0f (x 1)−f (x 2)=(x 12−2x 1−3)−(x 22−2x 1−3)=(x 12−x 22)+(2x 2−2x 1) =(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1+x 2+2x 1x 2)因为x 1>x 2>0，则x 1−x 2>0,x 1+x 2+2x 1x 2>0f (x 1)−f (x 2)>0所以函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数；（2）由（1）可知函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f (2)=0因此由f (x )>0=f (2)可得x >2因此，不等式f (x )>0的解集为(2,+∞) 【答案】（1）y =16−4x+1−x (0≤x ≥a )；（2）当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元 ；当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元． 【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型 概率的应用【解析】（1）根据产品的利润三销售额一产品的成本建立函数关系； （2）利用导数可求出该函数的最值． 【解答】（1）由题意知，y =(4+20p)p −x −(10+2p )将p =3−2x+1代入化简得：y =16−4x+1−x (0≤x ≥a ) （2）y ′=−1−−4(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2=−x 2+2x−3(x+1)2=−(x+3)(x−1)(x+1)2(i)当a ≥1时，①当x ∈(0,1)时，y >0，所以函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增，②当x ∈(1,a )时，y <0，所以函数y =16−4x+1−x 在(1,a )上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；(ii)当a <1时，因为函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增， 所以在[0,a ]上单调递增，故当x =a 时，函数有最大值，即促销费用投入ａ万元时，厂家的利润最大综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元； 当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元．【答案】（1）是，理由见解析； （2）(1,+∞)； （3）(4,2)【考点】奇偶性与单调性的综合函数解析式的求解及常用方法 函数恒成立问题【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到f (x 0)=0，求出x 0，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在0<x 0<1，使m ⋅(2x −1)=4x 3，利用换元法，结合指数函数的性质 ，即可求出结果；（3）先由题意，得到f (1)=k (t −2)+1，推出t =3−4k ，结合题中条件，即可得出结果．【解答】（1）由“平均值函数”的定义， 存在0∈(−1,1)，满足f (0)=0=f (1)−f (−1)1−(−1)因此f (x )=x 4是区间[−1,1]上的“平均值函数”．（2）若函数g (x )=m ⋅2x −1是区间[0,1]上的“平均值函数”， 则存在x ∈(0,1)，满足m ⋅2x −1=g (1)−g (0)1−0=m即关于》的方程m ⋅24−1=m 在区间(0,1)内有解．参变分离，将方程转化为m =12x −1,x ∈(0,1)函数y =12x −1,x ∈(0,1)的值域为(1,+∞) 因此m ∈(1,+∞)（3）若函数ℎ(x )=kx 2+x −4(k ≥1,k ∈N )是区间[−2,1],t ∈Nt ∈N)上的“平均 值函数”，且1是函数ℎ(x )的一个均值点， 则ℎ(1)=ℎ(t )−ℎ(−2)t−(−2) 即k −3=k+t 2+t−4−(4k−6)t+2=k (t −2)+1得到k =43−t ，其中k ≥1,k ∈N,t,t ∈N 满足条件的解为{k =4t =2即所有满足条件的有序数对(k,t )为(4,2)。
上海市上海中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 (1)
上海市上海中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()()ln 1f x x -的定义域为______．2．设函数()()()1x x a f x x+-=为奇函数，则实数a 的值为______． 3．已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则()f x =______．4．方程21193x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为______．5．对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f =______． 6．已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______． 7．已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 8．函数234log 65y x x =-+的单调递增区间为______． 9．若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122a x x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______． 10．已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．11．已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______． 12．已知函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，0,2m ；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．二、单选题13．下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是（ ）．A ．()1f x x x=- B ．()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．()3f x x =- D ．()21log 1x f x x +=-- 14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，则m 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()(),02,-∞+∞C ．（0，2）D ．()2,+∞ 15．如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg21x a f x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ）A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．(]3,+∞16．定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()111f x f x =+- 当(1,0]x ∈-时，()111f x x=-+ 若函数()()12g x f x mx m =--- 在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．19,416⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．19[,)416C ．11[,)42 D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．已知函数()21x f x =-的反函数是()1y f x -=，()()4log 31g x x =+（1）画出()21xf x =-的图像； （2）解方程()()1f xg x -=．18．已知定义在R 上的奇函数()x x f x ka a -=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ）（1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知()312f =，求函数()22x xg x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围．19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为()6150060p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数()3f x x =的所有“和谐区间”[],a b ； （2）函数()43f x x=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在()2,k 上的函数()421f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．21．定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()229x xg x g x e e +-=+-，()()201h h -==，()32h -=-（1）求()g x 和()h x 的解析式；（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；（3）设()()(),0,0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）的条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦的解的个数．参考答案1．(]1,2【解析】【分析】求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，即可解答。
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>5．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，6．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________ 14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______. 18．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域;(2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？ 25．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅-- 26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞； 对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．D解析：D试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.6．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A8．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
2020-2021高一数学上期末试卷(含答案)
一、选择题
1．设 a，b，c
均为正数，且 2a
log 1
2
a
，
1 2
b
log 1
2
b
，
1 2
c
log2
c
．则（
）
A． a b c
B． c b a
C． c a b
D． b a c
2．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在0, 上是增函数，若对任意
等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
13．若15a 5b 3c 25 ，则 1 1 1 __________． abc
14．已知幂函数 y ( m 2)xm 在 (0, ) 上是减函数，则 m __________．
15．已知 a ， b R ，集合 D x | x2 a2 a 2 x a3 2a2 0 ，且函数
B． y x3
C． y 2|x|
D． y cos x
10．已知 a log3 2 ， b 20.1 ， c sin 789 ，则 a ， b ， c 的大小关系是
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
11．偶函数 f x 满足 f x f 2 x ，且当 x 1,0时， f x cos x 1，若函
【详解】
因为 a log23 , b
2
3 ,c e3
令 f x log2x , g x x
函数图像如下图所示:
则 f 4 log24 2 , g 4 4 2
所以当 x 3 时, 3 log2 3,即 a b
上海市杨浦区控江中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海市杨浦区控江中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知点(a,12)在幂函数f(x)=(a −1)x b 的图象上，则函数f(x)是( ) A. 奇函数B. 偶函数C. 定义域内的减函数D. 定义域内的增函数2. 已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 3. 当时，幂函数y =(m 2−m −1)x −5m−3为减函数，则实数m 的值为( )A. m =2B. m =−1C. m =−1或m =2D. m ≠1±√524. 命题p ：∃x ∈R ，使得2x >x ，命题q ：若函数y =f(x −1)为偶函数，则函数y =f(x)的图象关于直线x =1对称，下列判断正确的是( )A. p ∨q 真B. p ∧q 真C. ￢p 真D. ￢q 假二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. A ={x|x ≥−1}，B ={x|x <3}，则A ∪B = ______ ．6. 函数f(x)=√x−3的定义域是______ ．7. 设函数f(x)={x 2−2x ,(x ⩽0)f(x −3),(x >0)，则f (5)的值为________． 8. 已知函数f(x)的图像关于y 轴对称，且x >0时，f(x)=1x .则x <0时，y =f(x)的图像为________________．9. 已知集合A ={1,3,a }，B ={1,a 2−a +1}，且B ⊆A ，则a =_________．10. 若函数f(x)=a x (a >0且a ≠1)的反函数的图象过点(3,−1)，则a = ______ ．11. 已知函数f (x )=2x 2x −1+a 为奇函数，则实数a =________． 12. 已知函数f(x)={e x +a,x ≤03x −1,x >0(a ∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取值范围是________．13. 已知函数f(x)=2ax+a 2−1x 2+1，其中a ∈R ，在x ∈[0,+∞)上存在最大值和最小值，则a 的取值范围是______ ． 14. 若3x =12y =8，则1x −1y =__________．15. 函数f(x)=x 2+2x 2+1的值域为______ ． 16. 已知函数f(x)=√9−x 2−√4−x 2，则f(x)的最大值是__________．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知函数f(x)=|x −a|−|x +3|，a ∈R ．(1)当a =−1时，解不等式f(x)≤1；(2)不等式f(x)≤4在x ∈[−2,3]时恒成立，求a 的取值范围．18. 设函数f (x ){2x −2,x ≥1,x 2−2x,x <1.求函数g (x )=f (x )−14的零点19. 心理学家通过研究和实验表明，学生在一节课45分钟内的注意力保持的程度指数f(t)与上课时间(分钟)之间近似满足：f(t)={−0.1t 2+2.6t +43,0<t ≤1059,10<t ≤16−2t +91,16<t ≤4011,40<t ≤45．若f(t)的值越大，表示学生的注意力越集中，按照上述结论，请回答以下问题：(Ⅰ)上课开始5分钟后和上课开始18分钟后比较，何时学生的注意力更集中？(Ⅱ)上课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，可以持续多久？(Ⅲ)一道数学题，雷要讲解15分钟，且要求学生的注意力程度指数始终至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题？请说明理由．20.已知函数．(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是减函数；(2)证明：f(x)有零点；(3)设f(x)的零点在区间(1n+1,1n)内，求正整数n．21.已知函数f(x)=(12)x．⑴若存在x∈(0,+∞)，使af(x)−f(2x)>1成立，求实数a的取值范围；⑴若a>0，且当x∈[0,15]时，不等式f(x+1)⩾f[(2x+a)2]恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，属于基础题．利用幂函数的性质直接求解即可．解：点(a,12)在幂函数f(x)=(a −1)x b 的图象上，∴a −1=1，解得a =2；又2b =12，解得b =−1，∴f(x)=x −1；∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A ． 2.答案：B解析：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． x 2<1，解得−1<x <1.即可判断出关系．解：x 2<1，解得−1<x <1．∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．故选：B ．3.答案：A解析：本题考查幂函数的定义和性质，属于基础题．利用幂函数的定义和单调性求解即可得结果．解：因为函数y =(m 2−m −1)x −5m−3是幂函数又是上的减函数，所以{m 2−m −1=1,−5m −3<0,解得m=2．故选A．4.答案：A解析：解：由图象可知，函数y=2x恒在y=x的上方即2x>x恒成立，故p为真命题若函数y=f(x−1)为偶函数，则其图象关于x=0对称，根据函数的图象的平移可知函数y=f(x)的图象关于直线x=−1对称，故q为假命题p∨q为真命题故选A由图象可知，函数y=2x恒在y=x的上方即2x>x恒成立，可知p为真命题；由偶函数的图象关于x=0对称及函数的图象的平移可知函数y=f(x)的图象关于直线x=−1对称，故q为假命题，然后根据复合命题的真假关系即可判断本题以复合命题的真假关系的判断为载体，主要考查了指数函数的性质，偶函数的性质及函数的图象的平移的应用5.答案：R解析：解：∵A={x|x≥−1}，B={x|x<3}，∴A∪B=R，故答案为：R由A与B，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．6.答案：(3,+∞)解析：解：要使原函数有意义，则x−3>0，即x>3．∴函数f(x)=的定义域是(3,+∞)．√x−3故答案为：(3,+∞)．直接由分母中根式内部的代数式大于0求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．7.答案：12解析：本题考查函数值的求法，属于基础题．根据题设条件可得f(5)=f(2)=f(−1)，然后代入已知函数解析式即可求解．解：由题意得f(5)=f(2)=f(−1)，当x≤0时，f(x)=x2−2x，所以f(−1)=(−1)2−2−1=1−12=12，故答案为12．8.答案：解析：本题考查函数图像的对称变换．先做出x>0时，f(x)=1x的图像，在关于y轴对称．解：做出x>0时，f(x)=1x的图像如图：关于y轴对称得图像为．故答案为．9.答案：−1或2解析：本题考查集合间包含关系的运用，根据题意，分析可得：若B⊆A，必有a2−a+1=3或a2−a+1= a，分两种情况讨论即可得到结果．解：∵B⊆A，∴a2−a+1=3或a2−a+1=a，①由a2−a+1=3得a2−a−2=0，解得a=−1或a=2，当a=−1时，A={1,3，−1}，B={1,3}，满足B⊆A，当a=2时，A={1,3，2}，B={1,3}，满足B⊆A，②由a2−a+1=a得a2−2a+1=0，解得a=1，当a=1时，A={1,3，1}不满足集合元素的互异性，综上，若B⊆A，则a=−1或a=2．故答案为−1或2．10.答案：13解析：解：∵函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,−1)，∴3=a−1，．解得a=13．故答案为：13利用互为反函数的性质即可得出．本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：−12解析：本题考查函数的奇偶性，属于基础题．掌握奇函数的性质f(x)=−f(−x)是解题的关键．解：由题意，函数f(x)=2x 2x −1+a 为奇函数， 则有f(x)+f(−x)=2x 2x −1+a +2−x 2−x −1+a =0， 整理得a =−12(2x 2x −1+2−x 2−x −1)=−12(2x2x −1+11−2x)=−12， 故答案为：−12． 12.答案：[−1,0)．解析：分析：先作出函数y 1=e x ，和函数y 2=3x −1，数形结合即可求得。
2020-2021学年上海市某校高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1. 已知f(x −2)＝2x −5，且f(a)＝5，则a 的值为________．2. 若m ，n ∈R ，则“m +n ≥0”是“m ≥0且n ≥0”的________条件．3. 设集合，则A ∩B ＝________．4. 设lg 2＝a ，lg 7＝b ，则log 714＝________（用含a ，b 的式子表示）．5. 已知集合A ＝{x ∈N|y ＝lg (4−x)}，则A 的子集个数为________．6. 已知全集为R ，A ＝{x|x 2+px −6＝0}，B ＝{x|x 2+qx +2＝0}，且，则p +q ＝________．7. 幂函数f(x)的图象过点(2,√2)，则函数g(x)=af(x −3)+1(a ∈R, a ≠0)的图象经过定点________．8. 已知函数f(x)＝2log 2(x +1)，，则y ＝f(x)的反函数为y ＝________．9. 方程在x ∈(0, +∞)上有解，则实数a 的取值范围是________．10. 已知函数f(x)={log 2(−x +5),x ≤12x −m,x >1 在R 上存在最小值，则m 的取值范围是________．11. 已知x 1是函数f(x)＝x log 2x −3的一个零点，x 2是函数f(x)＝x ⋅2x −3的一个零点，则x 1⋅x 2＝________．12. 设二次函数f(x)＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）．若不等式f(x)≥2ax +b 的解集为R ，则的最大值为________．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）如果x +y <0，且y >0，那么下列不等式成立的是（ ） A.y 2>x 2>xy B.x 2>y 2>−xy C.x 2<−xy <y 2 D.x 2>−xy >y 2已知函数g(x)=3x +t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ）A.t ≤−1B.t <−1C.t ≤−3D.t ≥−3对于函数①，②f(x)＝(x −2)2，③f(x)＝2|x−2|，判断下列三个命题的真假：命题甲：f(x +2)是偶函数；命题乙：f(x)在(−∞, 2)上是严格减函数，在(2, +∞)上是严格增函数；命题丙：f(x +2)−f(x)在(−∞, +∞)上是严格增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）A.①②B.②③C.②D.①③已知函数f(x)满足f(x +1)＝1+√2f(x)−f 2(x)(x ∈R)，则f(1)+f(2020)的最大值是（ ） A.2−√2B.2C.2+√2D.4三、解答题（本大题共5题，满分76分）已知函数f(x)＝x 2−(a +b)x +a ．（1）若关于x 的不等式f(x)<0的解集为(1, 2)，求a ，b 的值；（2）当b ＝1时，解关于x 的不等式f(x)>0．已知函数f(x)＝log 21+ax x−1（a 为常数）是奇函数．(Ⅰ)求a 的值与函数 f(x)的定义域；(Ⅱ)若当x ∈(1, +∞) 时，f(x)+log 2(x −1)>m 恒成立．求实数m 的取值范围．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0, 14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14, 40]时，曲线是函数y ＝log a (t −5)+83(a >0，且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p ＝f(t)的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．设f(x)是定义在[−1, 1]上的奇函数，且对任意的a ，b ∈[−1, 1]，当a +b ≠0时，都有f(a)+f(b)a+b>0．（1）若a >b ，试比较f(a)与f(b)的大小；（2）解不等式f(x −12)<f(x −14)；（3）如果g(x)=f(x −c)和ℎ(x)=f(x −c 2)这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．已知x ∈R ，定义：f(x)表示不小于x 的最小整数，例如：f （）＝2，f(−0.6)＝0（1）若f(x)＝2018，求实数x 的取值范围；（2）若x >0，且f （3x +f(x)）＝f(6+），求实数x 的取值范围；（3）设g(x)＝x +a •−2，ℎ(x)＝，若对于任意的x 1、x 2、x 3∈(2, 4]，都有g(x 1)>|ℎ(x 2)−ℎ(x 3)|，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.【答案】3【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据题意，令t＝x−2，利用换元法可得f(x)的解析式，则有f(a)＝2a−1＝5，求出a的值，即可得答案．【解答】根据题意，令t＝x−2，则x＝t+2，则有f(t)＝2t−1，则f(a)＝2a−1＝5，解可得a＝3，2.【答案】必要不充分【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当m＝−1，n＝2时，满足m+n≥0但“m≥0且n≥0”不成立，当“m≥0且n≥0”时，m+n≥0一定成立，即m+n≥0是m≥0且n≥0成立的必要不充分条件，3.【答案】＝{x|−1<x<2}【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合，∴A＝{x|x>−1}，B＝{x|−1≤x<2}，∴A∩B＝{x|−1<x<2}．4.【答案】【考点】对数的运算性质【解析】进行对数的运算，得出，代入lg2＝a，lg7＝b即可．【解答】∵lg2＝a，lg7＝b，∴．5.【答案】16【考点】子集与真子集【解析】可以求出集合A，根据集合A的元素个数即可得出A的子集个数．【解答】∵A＝{x∈N|x<4}＝{0, 1, 2, 3}，∴A的子集个数为24＝16．6.【答案】【考点】交集及其运算【解析】由，知2∈A，求出p＝1，从而集合A＝{x|x2+x−6＝0}＝{2, −3}，进而得−3∈B，求出q＝，由此能求出结果．【解答】由，知2∈A，代入得：4+2p−6＝0，解得p＝1，所以集合A＝{x|x2+x−6＝0}＝{2, −3}，从而得−3∈B，代入得，所以．7.【答案】(3, 1)【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由题意求出幂函数f(x)的解析式，再化简函数g(x)，求出g(x)的图象经过的定点．【解答】设幂函数y=f(x)=xα，图象过点(2,√2)，则2α=√2，α=12；∴f(x)=x12，x≥0；∴函数g(x)=af(x−3)+1=a(x−3)12+1=a√x−3+1，其中a∈R，且a≠0；令x−3=0，得x=3，此时y=1；∴函数g(x)的图象经过定点(3, 1)．8.【答案】【考点】反函数【解析】由y＝f(x)反解出x，然后求出原函数的值域，得到反函数的定义域，从而得到y＝f(x)的反函数．【解答】因为y＝2log2(x+1)，所以，即，又因f(x)在上单调递增，所以f(x)∈[−2, 2]，所以y＝f(x)的反函数为y＝−1，x∈[−2, 2]．9.【答案】[4, +∞)【考点】函数与方程的综合运用函数的零点【解析】设f(x)＝4x+x，原问题等价于当x>0时，函数f(x)＝4x+x与直线y＝a有交点，求出f(x)的值域，即可得答案．【解答】根据题意，设f(x)＝4x+x，方程即a＝4x+x∈(0, +∞)上有解，则当x>0时，函数f(x)＝4x+x与直线y＝a有交点，当x>0时，f(x)＝4x+≥2＝4，当且仅当x＝时等号成立，即f(x)的值域为[4, +∞)，则必有a≥4，即a的取值范围为[4, +∞)，10.【答案】(−∞, 0]．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】利用函数的单调性，分别求出两段的值域即可．【解答】函数y＝log2(−x+5)在(−∞, 1]单调递减，即可得x≤1时，f(x)≥f(1)＝2．当x>1时，f(x)>2−n．要使函数f(x)={log2(−x+5),x≤12x−m,x>1在R上存在最小值，只需2−m≥2，即m≤0．11.【答案】3【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】利用函数的对称性，设出A、B坐标，转化求解即可．【解答】由题意得，又y＝log2x和y＝2x图象关于y＝x对称，且图象也关于y＝x对称，不妨设，所以A，B也关于y＝x对称，所以log2x1＝x2，又log2x1＝，所以x1x2＝3．12.【答案】【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】由已知结合二次函数的性质b2≤4ac−4a2，然后对已知不等式进行赋值可得c≥a>0，然后进行换元，结合基本不等式即可求解．【解答】由f(x)≥2ax+b的解集为R，可得ax2+(b−2a)x+c−b≥0恒成立，∴a>0且△＝(b−2a)2−4a(c−b)≤0，即b2≤4ac−4a2，令x＝1可得a+b−2a+c−b≥0，即c≥a>0，∴＝，令t＝−1，则t≥0，∴＝＝＝＝，当且仅当t＝即t＝2时取等号，二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】由x+y<0，且y>0，可得x<−y<0．再利用不等式的基本性质即可得出x2>−xy，xy<−y2．【解答】解：∵x+y<0，且y>0，∴x<−y<0．∴x2>−xy，xy<−y2，因此x2>−xy>y2．故选：D．【答案】A【考点】指数函数的图象与性质【解析】根据指数函数的性质，求出恒过坐标，即可得出t的取值范围．【解答】由指数函数的性质，可得函数g(x)=3x+t恒过点坐标为(0, 1+t)，函数g(x)是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得：t≤−1．【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】求复合函数判断命题甲，用复合函数法判断命题乙丙．【解答】对命题甲，分别求出f(x+2)，①，②f(x+2)＝(x)2，③f(x+2)＝2|x|，则命题甲均真；对命题乙，由复合函数单调性知，①f(x)在(−∞, 2)上是严格增函数，在(2, +∞)上是严格减函数，②f(x)在(−∞, 2)上是严格减函数，在(2, +∞)上是严格增函数，③f(x)在(−∞, 2)上是严格减函数，在(2, +∞)上是严格增函数，所以①命题乙为假，②和③命题乙为真；此时排除AD，由于B②③，C②，所以只需判断③命题丙是否为真；对命题丙，③f(x+2)＝2|x|−2|x−2|＝＝，用复合函数单调性判断法知，f(x+2)在每个区间断都严格增加，且在端点处不间断，所以在R上严格增加，则命题丙为真；【答案】C【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】将条件进行平方，利用作差法构造函数g(x)=2f(x)−f 2(x)，然后利用基本不等式的性质，转化为关于f(1)+f(2020)的一元二次不等式，进行求解即可． 【解答】由f(x +1)＝1+√2f(x)−f 2(x)(x ∈R)， 得2f(x)−f 2(x)≥0，得0≤f(x)≤2，平方得f 2(x +1)=1+2√2f(x)−f 2(x)+2f(x)−f 2(x)，① ∴ 2f(x +1)=2+2√2f(x)−f 2(x) ②②-①得2f(x +1)−f 2(x +1)=2+2√2f(x)−f 2(x)−[1+2√2f(x)−f 2(x)+2f(x)−f 2(x)] =1−[2f(x)−f 2(x)]，即2f(x +1)−f 2(x +1)+2f(x)−f 2(x)=1，③ 设g(x)=2f(x)−f 2(x)，则③等价为g(x +1)+g(x)=1，即g(x +2)+g(x +1)=g(x +1)+g(x)=1， ∴ g(x +2)=g(x)，则g(0)=g(2)=g(4)=...=g(2020)，g(1)=g(3)=g(5)=...=g(2021)， 则g(1)+g(2020)=g(1)+g(0)=1，∴ 2f(1)−f 2(1)+2f(2020)−f 2(2020)=1， 即2[f(1)+f(2020)]−[f 2(1)+f 2(2020)]=1即2[f(1)+f(2020)]−{[f(1)+f(2020)]2−2f(1)f(2020)]}=1 2f(1)f(2020)=1+[f(1)+f(2020)]2−2[f(1)+f(2020)]≤2×[f(1)+f(2020)2]2=12[f(1)+f(2020)]2，设t =f(1)+f(2020)， 则不等式等价为1+t 2−2t ≤12t 2， 整理得t 2−4t +2≤0，得2−√2≤t ≤2+√2，即2−√2≤f(1)+f(2020)≤2+√2， 则f(1)+f(2020)的最大值为2+√2， 故选：C ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）【答案】由函数f(x)＝x 2−(a +b)x +a ，不等式f(x)<0化为x 2−(a +b)x +a <0， 由不等式的解集为(1, 2)，所以方程x 2−(a +b)x +a ＝0的两根为1和2，由根与系数的关系知：，解得a ＝2，b ＝1；b ＝1时不等式f(x)>0可化为x 2−(a +1)x +a >0， 即(x −a)(x −1)>0；当a >1时，解不等式得x <1或x >a ； 当a ＝1时，解不等式得x ≠1；当a <1时，解不等式得x <a 或x >1．所以a >1时，不等式的解集为{x|x <1或x >a}； a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠1}；a <1时，不等式的解集为{x|x <a 或x >1}．【考点】一元二次不等式的应用 【解析】（1）由不等式f(x)<0的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a 、b 的值； （2）b ＝1时不等式可化为(x −a)(x −1)>0，讨论a 与1的大小，从而求出不等式的解集． 【解答】由函数f(x)＝x 2−(a +b)x +a ，不等式f(x)<0化为x 2−(a +b)x +a <0， 由不等式的解集为(1, 2)，所以方程x 2−(a +b)x +a ＝0的两根为1和2，由根与系数的关系知：，解得a ＝2，b ＝1；b ＝1时不等式f(x)>0可化为x 2−(a +1)x +a >0， 即(x −a)(x −1)>0；当a >1时，解不等式得x <1或x >a ； 当a ＝1时，解不等式得x ≠1；当a <1时，解不等式得x <a 或x >1．所以a >1时，不等式的解集为{x|x <1或x >a}； a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠1}； a <1时，不等式的解集为{x|x <a 或x >1}． 【答案】（1）∵ 知函数f(x)＝log 21+ax x−1是奇函数，∴ f(−x)＝−f(x)， ∴ log 21−ax−x−1=−log 21+ax x−1，即log 2ax−1x+1=log 2x−11+ax ，∴ a ＝1．令1+xx−1>0，解得：x <−1或x >1．∴ 函数的定义域为：{x|x <−1或x >1}； （2）f(x)+log 2(x −1)＝log 2(1+x)， 当x >1时，x +1>2， ∴ log 2(1+x)>log 22＝1，∵ x ∈(1, +∞)，f(x)+log 2(x −1)>m 恒成立， ∴ m ≤1，m 的取值范围是(−∞, 1]． 【考点】函数的定义域及其求法 函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)直接由奇函数的定义列式求解a 的值，然后由对数式的真数大于0求解x 的取值集合得答案； (Ⅱ)化简f(x)+log (x −1)为log 2(1+x)，由x 的范围求其值域得答案．【解答】（1）∵知函数f(x)＝log21+axx−1是奇函数，∴f(−x)＝−f(x)，∴log21−ax−x−1=−log21+axx−1，即log2ax−1x+1=log2x−11+ax，∴a＝1．令1+xx−1>0，解得：x<−1或x>1．∴函数的定义域为：{x|x<−1或x>1}；（2）f(x)+log2(x−1)＝log2(1+x)，当x>1时，x+1>2，∴log2(1+x)>log22＝1，∵x∈(1, +∞)，f(x)+log2(x−1)>m恒成立，∴m≤1，m的取值范围是(−∞, 1]．【答案】当t∈(0, 14]时，设p＝f(t)＝c(t−12)2+82(c<0)，将点(14, 81)代入得c=−14，∴当t∈(0, 14]时，p＝f(t)=−14(t−12)2+82；当t∈(14, 40]时，将点(14, 81)代入y＝loga (t−5)+83，得a=13，所以p＝f(t)={−14(t−12)2+82,t∈(0,14] log13(t−5)+83,t∈(14,40]；当t∈(0, 14]时，−14(t−12)2+82≥80，解得12−2√2≤t≤12+2√2，所以t∈[12−2√2, 14]，当t∈(14, 40]时，log_13(t−5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14, 32]，综上t∈[12−2√2, 32]时学生听课效果最佳，此时△t=32−(12−2√2)=20+2√2>22，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；（2）分段求出效果最佳的t的范围，验证即可．【解答】当t∈(0, 14]时，设p＝f(t)＝c(t−12)2+82(c<0)，将点(14, 81)代入得c=−14，∴当t∈(0, 14]时，p＝f(t)=−14(t−12)2+82；当t∈(14, 40]时，将点(14, 81)代入y＝loga(t−5)+83，得a=13，所以p＝f(t)={−14(t−12)2+82,t∈(0,14]log13(t−5)+83,t∈(14,40]；当t∈(0, 14]时，−14(t−12)2+82≥80，解得12−2√2≤t≤12+2√2，所以t∈[12−2√2, 14]，当t∈(14, 40]时，log_13(t−5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14, 32]，综上t∈[12−2√2, 32]时学生听课效果最佳，此时△t=32−(12−2√2)=20+2√2>22，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．【答案】解：（1）设−1≤x1<x2≤1，由奇函数的定义和题设条件，得f(x2)−f(x1)=f(x2)+f(−x1)=f(x2)+f(−x1)x2+(−x1)(x2−x1)>0，∴f(x)在[−1, 1]上是增函数．∵a，b∈[−1, 1]，且a>b，∴f(a)>f(b)．（2）∵f(x)是[−1, 1]上的增函数，∴不等式f(x−12)<f(x−14)等价于{−1≤x−12≤1−1≤x−14≤1x−12<x−14⇔{−12≤x≤32−34≤x≤54解得−12≤x≤54∴原不等式的解集是{x|−12≤x≤54}．（3）设函数g(x)，ℎ(x)的定义域分别是P和Q，则P={x|−1≤x−c≤1}=x|c−1≤x≤c+1}，Q={x|−1≤x−c2≤1}={x|c2−1≤x≤c2+1}．由P∩Q=⌀可得c+1<c2−1或c2+1<c−1．解得c的取值范围是(−∞, −1)∪(2, +∞)．【考点】奇偶性与单调性的综合集合关系中的参数取值问题【解析】（1）由题意，可先证明函数的单调性，由奇定义和题设条件易得函数是增函数，由单调性比较两个函数值的大小即可；（2）（1）由（1）函数f(x)是[−1, 1]上的增函数上的增函数，可将不等式f(x −12)<f(x −14)转化为{−1≤x −12≤1−1≤x −14≤1x −12<x −14，解出它的解集即可得到不等式的解集； （3）由题意，要先解出两个函数的定义域，得P ={x|−1≤x −c ≤1}=x|c −1≤x ≤c +1}，Q ={x|−1≤x −c 2≤1}={x|c 2−1≤x ≤c 2+1}． 由于此两个集合的解集是空集，比较两个集合的端点，得到关于参数c 的不等式，解出c 的取值范围．【解答】 解：（1）设−1≤x 1<x 2≤1，由奇函数的定义和题设条件，得 f(x 2)−f(x 1)=f(x 2)+f(−x 1)=f(x 2)+f(−x 1)x 2+(−x 1)(x 2−x 1)>0，∴ f(x)在[−1, 1]上是增函数． ∵ a ，b ∈[−1, 1]，且a >b ， ∴ f(a)>f(b)．（2）∵ f(x)是[−1, 1]上的增函数， ∴ 不等式f(x −12)<f(x −14)等价于{−1≤x −12≤1−1≤x −14≤1x −12<x −14⇔{−12≤x ≤32−34≤x ≤54解得−12≤x ≤54 ∴ 原不等式的解集是{x|−12≤x ≤54}．（3）设函数g(x)，ℎ(x)的定义域分别是P 和Q ，则P ={x|−1≤x −c ≤1}=x|c −1≤x ≤c +1}， Q ={x|−1≤x −c 2≤1}={x|c 2−1≤x ≤c 2+1}． 由P ∩Q =⌀可得c +1<c 2−1或c 2+1<c −1． 解得c 的取值范围是(−∞, −1)∪(2, +∞)． 【答案】f(x)表示不小于x 的最小整数，可得f(x)＝2018的x 的范围是(2017, 2018]；若x >0，可得0<<，又f （3x +f(x)）＝f(6+），则f(6+）＝7，即有6<3x +f(x)≤7，即6−3x <f(x)≤7−3x ，x ＝1时，f(x)＝4；x ＝2时，f(x)＝8， 显然不成立；由1<x <2，可得f(x)＝2， 则6−3x <2≤7−3x ，解得<x ≤；ℎ(x)＝＝＝−4+在(2, 2.5)递增，在[2.5, 4]递减，可得ℎ(x)的最小值为ℎ(4)＝−4+2＝−2； 最大值为ℎ(2.5)＝4，则|ℎ(x 2)−ℎ(x 3)|≤4+2＝6，由题意可得g(x 1)>6在(2, 4]恒成立， 即有a ⋅f(x)>x(8−x)在(2, 4]恒成立，当x ∈(2, 3]时，3a >−(x −4)2+16恒成立， 可得x(8−x)的最大值为3×5＝15， 即有a >5；当x ∈(3, 4]时，4a >−(x −4)2+16恒成立， 可得x(8−x)的最大值为4×4＝16， 即有a >4，综上可得，a 的范围是(5, +∞)．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）由f(x)表示不小于x 的最小整数，可得x 的范围是(2017, 2018]；（2）由指数函数的单调性，可得0<<，则f(6+）＝7，即有6<3x +f(x)≤7，考虑1<x <2，解不等式即可得到所求范围；（3）化简ℎ(x)＝−4+在(2, 2.5)递增，在[2.5, 4]递减，求得ℎ(x)的最值，可得g(x 1)>6在(2, 4]恒成立，讨论当x ∈(2, 3]时，当x ∈(3, 4]时，由新定义和二次函数的最值求法，即可得到所求a 的范围．【解答】f(x)表示不小于x 的最小整数，可得f(x)＝2018的x 的范围是(2017, 2018]；若x >0，可得0<<，又f（3x+f(x)）＝f(6+），则f(6+）＝7，即有6<3x+f(x)≤7，即6−3x<f(x)≤7−3x，x＝1时，f(x)＝4；x＝2时，f(x)＝8，显然不成立；由1<x<2，可得f(x)＝2，则6−3x<2≤7−3x，解得<x≤；ℎ(x)＝＝＝−4+在(2, 2.5)递增，在[2.5, 4]递减，可得ℎ(x)的最小值为ℎ(4)＝−4+2＝−2；最大值为ℎ(2.5)＝4，则|ℎ(x2)−ℎ(x3)|≤4+2＝6，由题意可得g(x1)>6在(2, 4]恒成立，即有a⋅f(x)>x(8−x)在(2, 4]恒成立，当x∈(2, 3]时，3a>−(x−4)2+16恒成立，可得x(8−x)的最大值为3×5＝15，即有a>5；当x∈(3, 4]时，4a>−(x−4)2+16恒成立，可得x(8−x)的最大值为4×4＝16，即有a>4，综上可得，a的范围是(5, +∞)．。
2020-2021上海所在地区高一数学上期末试题带答案
2020-2021 上海所在地域高一数学上期末试题带答案一、选择题1．已知 f ( x) 在 R 上是奇函数，且 f ( x 4) f ( x),当 x(0, 2)时， f ( x) 2x 2 ,则 f (7)A ． -2B ． 2C ． -98D ． 98log 2 x , x ，2． 已知函数 f ( x)f ( x) m, m R ，有四个不一样的实数x 2 2x, x 对于 x 的方程0.解 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,则 x 1 x 2 +x 3 x 4 的取值范围为（ ）A ．(0,+ )1 3 D ． (1,+ )B ． 0,C ． 1,223． 已知 a 42123 ,b 33 , c 253，则A ． b a cB ． a b cC ． bc aD ． ca b4． 函数 y a |x|( )＝ (a>1) 的图像是A ．B ．C ．D ．5． 已知二次函数f x的二次项系数为 a ，且不等式 fx2x 的解集为 1,3 ，若方程f x6a 0 ，有两个相等的根，则实数 a （）1B ． 1C ． 1或－11 A ．－5D ． 1或－ 556． 若 x 0＝ cosx 0，则（ ）A ． x 0∈（3 ， ） B ． x 0∈（4 ， ） C ． x 0 ∈（ ， ） D ． x 0∈（ 0， ）236 467． 依占有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观察宇宙中一般物质的原子总数 N 约为 1080. 则以下各数中与M最靠近的是N（参照数据： lg3 ≈0.48 ）33B ．10 53A ． 107393C ． 10D ． 108． 已知 0 a 1 ，则方程 a x log a x 根的个数为（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．1个或 2个或 3根f x ）是定义在 R 上的偶函数，在 ∞ 0 ] 上是减函数且 f 2 ） =0 f x ） 9．函数 （( － ， （ ，则使 （ <0 的 x 的取值范围（ ）A ．（－ ∞， 2）B ．（ 2， +∞）C ．（ －∞， - 2）∪（ 2，+∞）D ．（ －2， 2）10． 函数 y ＝1 ， 3] 上的最小值为 ()在 [2 x1A ． 21B ．211C ．D ．－3211． 已知全集 U={1， 2， 3，4， 5， 6}，会合 P={1， 3，5}， Q={1，2， 4}，则 (e U P) Q =A ． {1}B ． {3，5}C ． {1， 2， 4，6}D ． {1， 2 ， 3， 4， 5}12． 已知定义在 R 上的函数 f x 在, 2 上是减函数，若g xf x2 是奇函数，且 g 2 0 ，则不等式 xf x0 的解集是（）A ． , 2 2,B ． 4, 2 0,C ．, 42,D ．,40,二、填空题144)13f ( x),( x．若对于 x 的方程， f ( x)k 有两个不一样的实．已知函数log 2 x,(0 x 4)根，则实数 k 的取值范围是 ____________．14． 已知函数 f x知足 2 fx 1fx 11x ，此中 xR 且 x 0 ，则函数 f xxx的分析式为 __________15． 若对于 x 的方程 4x 2xa 有两个根，则 a 的取值范围是 _________16． 设 x, y, z R，知足 2x3y6z，则 2x1 1 的最小值为 __________.z y17． 若函数 f xa 2x4a x2 （ a 0 ， a1)在区间 1,1 的最大值为 10，则a ______.18． 已知函数 f ( x)x 1 , x 0 f ( x)m( m R) 恰有三个不一样的实数解1,x，若方程ln x 0a 、b 、 c(a bc) ，则 ( a b)c 的取值范围为 ______；19． 已知函数fx log 1 mx 2m 2 x m 2 ，若 fx 有最大值或最小值，则 m2的取值范围为 ______．20． 高斯是德国的有名数学家，近代数学奠定者之一，享有 “数学王子 ”的称呼，他和阿基米德 ?牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数 ”为：设 x R ，用 x 表示 不超出 x 的最大整数，则 y x 称为高斯函数，比如： [ 3,4]4 ， [2,7]2 已知函数.f ( x)2e x1，则函数 y[ f (x)] 的值域是_________.1 e x5三、解答题21．已知函数f ( x)ln( x2ax3).(1) 若 f (x) 在(,1] 上单一递减，务实数 a 的取值范围；(2) 当a 3 时，解不等式 f (e x )x .22．已知函数f x lg x1x2.（1）判断函数f x的奇偶性；（2）若 f 1m f2m 10 ，务实数m的取值范围.23．已知函数f ( x)log 2 (3x)log 2 ( x1) .（1）求该函数的定义域；（2）若函数 y f (x)m 仅存在两个零点x1 , x2，试比较x1x2与 m 的大小关系. 24．设函数f x log 2 a x b x，且 f11, f 2 log2 12.（1）求a，b的值；（2）求函数f x的零点；（3）设g x a x b x，求 g x 在 0,4上的值域 .25．“”“”活水围网养鱼技术拥有养殖密度高、经济效益好的特色．研究表示：活水围网养鱼时，某种鱼在必定的条件下，每尾鱼的均匀生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x/x 不超出4/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当（单位：尾立方米）的函数．当（尾/v 的值4 x 20 时，v是x的一次函数；当x达到 20 （尾立方米）时，因缺氧等原由，为 0 （千克 /年）．（1）当0 x20时，求函数 v( x) 的表达式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/ 立方米）f ( x) x v( x)能够达到最大，并求出最大值．26．设全集U R，会合A x 1 x 3 ， B x 2 x 4 x 2．（1）求A C U B ；（2）若函数f (x)lg(2 x a) 的定义域为会合C，知足 A C ，务实数a的取值范围.【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．A分析：A【分析】 ∵f(x＋ 4) ＝ f(x)，∴ f(x)是以 4 为周期的周期函数，∴ f(2 019) ＝f(504 ×4＋3) ＝ f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1) ＝－ f(1)＝－ 2×12＝－2，即f(2 019) ＝－ 2.应选 A2．B分析： B【分析】【剖析】由题意作函数 yf ( x) 与 ym 的图象，从而可得 x 1 x 2 2 ， 0 log 2 x 4, 2 ，x 3 gx 4 1 ，从而得解【详解】log 2 x , x ，解：因为 f ( x) 0 ，可作函数图象以下所示：x 22x, x 0.依题意对于 x 的方程 f ( x) m, m R ，有四个不一样的实数解 x 1, x 2 , x 3 , x 4 ,即函数y f (x) 与 y m 的图象有四个不一样的交点，由图可知令x 11 x 21 x 3 1 x 42 ，2则 x 1x 22 ， log 2 x 3log 2 x 4 ，即 log 2 x 3 log 2 x 4 0 ，因此 x x1，则3 4 x 311,2， x 4x 4因此 x 1x 2 x 3 x 42 1x 4 ， x 4 1,2x 4因为 y1 1,2 上单一递加，因此 y5 1 x 4 5 x ，在 x 2,，即2,x2x 42x 1 x 2 x 3x 42 1x 40,1x 42应选： B【点睛】此题考察了数形联合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题3．A分析： A【分析】【剖析】【详解】42222在 (0,) 上单一递加，因此 b<a<c.因为 a23 =4 3 , b 33 , c 53 ，且幂函数 y x 3 应选 A.点睛：此题主要考察幂函数的单一性及比较大小问题，解答比较大小问题，常有思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间,0 , 0,1 , 1,）；二是利用函数的单一性直接解答；数值比许多的比大小问题也能够两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小 .4．B分析： B 【分析】因为 | x | 0 ，因此 ax) 上曲线向下曲折的单一递加函数，应选答案B ．1，且在 (0,5．A分析： A【分析】【剖析】设 f xax 2bxc ，可知1、 3 为方程 f x2x0 的两根，且a0 ，利用韦达定理可将b 、c 用 a表示，再由方程f x6a0 有两个相等的根，由0 求出实数a 的值.【详解】因为不等式f x2x 的解集为 1,3，即对于 x 的二次不等式ax2b2x c0 的解集为1,3，则 a0 .由题意可知，1、 3为对于x 的二次方程ax2b 2 x c0 的两根，由韦达定理得b23 4 ，c13 3 ，b4a 2 ， c3a，1aaf x ax24a 2 x3a，由题意知，对于x 的二次方程f x6a0 有两相等的根，24a 2 x9a0 有两相等的根，即对于 x 的二次方程ax则4a2236a210a222a0 ，Q a0，解得 a1，应选： A.5【点睛】此题考察二次不等式、二次方程有关知识，考察二次不等式解集与方程之间的关系，解题的重点就是将问题中波及的知识点进行等价办理，考察剖析问题和解决问题的能力，属于中等题 .6．C分析： C【分析】【剖析】画出 y x, y cos x 的图像判断出两个函数图像只有一个交点，结构函数f x x cosx ，利用零点存在性定理，判断出 f x 零点x0所在的区间【详解】画出 y x, y cosx 的图像以以下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，结构函数 f x x cosx ， f30.866 0.343 0 ，60.52362f20.7850.7070.078 0 ，依据零点存在性定理可知， f x的独一424零点 x0在区间,.64应选： C【点睛】本小题主要考察方程的根，函数的零点问题的求解，考察零点存在性定理的运用，考察数形联合的数学思想方法，属于中档题.7．D分析： D【分析】试题剖析：设M3361Nx1080，两边取对数，lg x lg 3361lg3 361 lg10 80 361 lg3 80 93.28 ，因此 x1093.28 ，即M最靠近1080N10 93 ，应选 D.【名师点睛】此题考察了转变与化归能力，此题以实质问题的形式给出，但实质就是对数3361的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令x，并想到两边同时取对数进8010行求解，对数运算公式包括log a M log a N log a MN ， log a M log a N log a M，Nlog a M n n log a M .8．B分析： B【分析】【剖析】在同一平面直角坐标系中作出f xa x 与 g xlog a x 的图象，图象的交点数量即为xlog a x 根的个数 .方程 a【详解】作出 f xx log a x 图象以以下图：a ， g x由图象可知： f x , g x 有两个交点，因此方程 a x log a x 根的个数为2.应选： B.【点睛】此题考察函数与方程的应用，侧重考察了数形联合的思想，难度一般.(1) 函数h x f x g x 的零点数方程f x g x 根的个数 f x 与 g x 图象的交点数；(2)利用数形联合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题 .9．D分析： D【分析】【剖析】依据偶函数的性质,x 0∞ 0] 上的解集 , 再依据对称性即可得出答案 .求出函数 f在(－，【详解】由函数 f,2 f 20,∞ 0]是减函数 ,所x 为偶函数因此 f又因为函数 f x 在(－，以函数 f x0 在(－∞，0]上的解集为2,0, 由偶函数的性质图像对于y 轴对称,可得在(0,+∞x0 的解集为(0,2),综上可得 ,f x 0 的解集为(-2,2). ) 上f应选 :D.【点睛】此题考察了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题 . 10．B分析： B【分析】y＝1在[2 ， 3] 上单一递减，因此x=3 时取最小值为1，选 B.x1211．C分析： C【分析】试题剖析：依据补集的运算得痧UP2,4,6 ,( UP)Q2,4,61,2,41,2,4,6．应选 C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解此题时要看清楚是求“ ”仍是求“”，不然很简单出现错误；必定要注意会合中元素的互异性，防备出现错误．12．C分析： C【分析】【剖析】由 g x f x2是奇函数，可得f x 的图像对于 2,0中心对称，再由已知可得函数 f x的三个零点为-4 -20.，，，画出 f x 的大概形状，数形联合得出答案【详解】由 g x f x2是把函数 f x向右平移 2 个单位获得的，且g 2g 00 ，f4g2g 20 ， f2g 0 0 ，画出 f x 的大概形状联合函数的图像可知，当x 4 或 x 2 时， xf x0 ，应选 C.【点睛】此题主要考察了函数性质的应用，作出函数简图，考察了学生数形联合的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】作出函数的图象以下图当时单一递减且当时单一递加且因此函数的图象与直线有两个交点时有分析： (1,2)【分析】作出函数 f (x) 的 象，如 所示，当 x4 1 14 x 4 ， f ( x) log 2 x4 ， f (x) 1减，且2，当 0xx增，且 f ( x) log 2 x2 ，因此函数f ( x) 的 象与直 y k 有两个交点 ，有1 k2 ．14．【分析】【剖析】用代 可得 立方程 求得再 合 元法即可求解【解】由 意用代 分析式中的可得⋯⋯（1）与已知方程⋯⋯（ 2） 立（ 1）（ 2）的方程 可得令 因此因此故答案 ：【点睛】本 主要考 了函11分析： fx ( x 1)【分析】 【剖析】用x 1 x 1 1 x ， 立方程 ，求得x 代 x ，可得 2 ffxxfx 1 1 .xx ，再 合 元法，即可求解3【 解】由 意，用x 代 分析式中的x ，可得 2 fx 1x1xf1 x ， ⋯⋯.（ 1）x与已知方程 2 fx1fx 1 ， ⋯⋯ （2）xx 1 x立（ 1）（ 2）的方程 ，可得x1 1 x ，f3x令 tx 1, t 1， x = 1 ，因此 ft1 t 1 ，xt - 13 1因此 f11( x 1) .xx3 1故答案 ： fx1 1 ( x 1) .3 x 1【点睛】此题主要考察了函数分析式的求解，解答顶用x 代换 x ，联立方程组，求得x 11f x 是解答的重点，侧重考察了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属x3于中档试题 .15．【分析】【剖析】令可化为从而求有两个正根即可【详解】令则方程化为 : 方程有两个根即有两个正根解得 :故答案为 :【点睛】此题考察复合函数所对应的方程根的问题重点换元法的使用难度一般分析：( 1 ,0) 4【分析】【剖析】令t2x0, 4x2x a ,可化为t2t a0 ,从而求 t 2t a0 有两个正根即可.【详解】令t2x0,则方程化为 : t2t a0Q 方程4x2x a有两个根 , 即t2t a0 有两个正根,14a0x1x210x1x2a0故答案为 : ( 1 ,0)4【点睛】1, 解得 :a0 .4.此题考察复合函数所对应的方程根的问题,重点换元法的使用,难度一般 .16．【分析】【剖析】令将用表示转变为求对于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为 :【点睛】此题考察指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题分析：22【分析】【剖析】令 2x3y6z t，将 x, y, z 用t表示，转变为求对于t 函数的最值.【详解】x, y, z R ，令 2x3y6z t 1，则 x log 2 t, y log 3 t , z log 6 t ,1log t 3,1log t 6 ，y z112log 2 t log t 2 2 2 ，2xyz当且仅当x2时等号成立 . 2故答案为 :2 2 .【点睛】此题考察指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题. 17．2 或【分析】【剖析】将函数化为分和两种状况议论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或 2【点睛】此题考察已知函数最值求参答题时需要联合指数函数与二次函数性质求解分析： 2或12【分析】【剖析】将函数化为 f ( x)a x26,分0 a 1和a1,1 上的21两种状况议论 f ( x) 在区间最大值 ,从而求a .【详解】f x a2 x4a x2a x22 6 ,Q 1 x 1,0 a 1时,a a x a 1,f ( x) 最大值为f (1) a 12610 ,解得a122 a1时,a1 a x a ,f x 最大值为 f (1) a 2210 ,解得a2,6故答案为 :1或 2. 2【点睛】此题考察已知函数最值求参,答题时需要联合指数函数与二次函数性质求解.18．【分析】【剖析】画出的图像依据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像以以下图所示由图可知令令因此因此故答案为：【点睛】本小题主要考察分段函数的图像与性质考察数形联合的数学思想方法属分析：2e2 ,2e【分析】【剖析】画出 f x 的图像，依据图像求出 a b以及c的取值范围，由此求得(a b)c 的取值范围.【详解】函数 f x 的图像以以下图所示，由图可知a b1,a b 2 .令 ln x 1 1, x e2，令2ln x 10, x e ，因此 e c e2，因此 (a b)c2c2e2 , 2e.故答案为：2e2 , 2e【点睛】本小题主要考察分段函数的图像与性质，考察数形联合的数学思想方法，属于基础题.19．或【分析】【剖析】分类议论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数如有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时因为没有最值故也没有最值不知足题意当时函数有最小值没分析： { m | m 2或 m2}3【分析】【剖析】分类议论 m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数f xlog 1 mx2m 2 x m2，若 f x有最大值或最小值，2则函数 y mx2( m2) x m 2 有最大值或最小值，且y 取最值时，y 0.当 m0时， y2x 2 ，因为y没有最值，故f x也没有最值，不知足题意 .当 m0 时，函数y有最小值，没有最大值，f x有最大值，没有最小值 .故 y 的最小值为4m(m2) (m2)2，且 4m( m2)( m2) 20，4m4m求得 m 2 ；当 m0时，函数 y 有最大值，没有最小值，f x有最小值，没有最大值 .故 y 的最大值为4m(m 2) (m2)2，且 4m( m 2) ( m 2)20，4m4m求得 m 2 . 3综上， m 的取值范围为{ m | m2 2 或 m} .3故答案为： { m | m22或 m} .3【点睛】此题主要考察复合函数的单一性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题 .20．【分析】【剖析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】因此故答案为：【点睛】此题主要考察了函数值域的求法属于中档题分析：1,0,1【分析】【剖析】求出函数 f (x) 的值域，由高斯函数的定义即可得解.【详解】Q f ( x)2(1e x ) 2 12 1 92，1 e x21 e x 5 5 1 e x5Q 1 e x 1 ，01 1 ，e x1220 ，1 e x19119 ，55e x5因此 f ( x) 1 , 9，55[ f ( x)]1,0,1，故答案为：1,0,1【点睛】此题主要考察了函数值域的求法，属于中档题.三、解答题21． (1) 2 a 4 ；(2)x x0 或x ln3【分析】【剖析】（1）依据复合函数单一性的性质,联合二次函数性质即可求得 a 的取值范围.（2）将a 3 代入函数分析式,联合不等式可变形为对于e x的不等式,解不等式即可求解.【详解】（1）Q f ( x) 在 (,1] 上单一递减,依据复合函数单一性的性质可知y x2ax 3需单一a1递减则21a30解得2a 4 .（2）将a 3 代入函数分析式可得 f (x) ln( x23x3)则由f (ex )x,代入可得ln e2 x3e x3x同取对数可得e2x3e x3e x即(e x)24e x30 ,因此 (e x1) e x30即 e x1或e x3x0或 x ln 3 ,因此原不等式的解集为x x0或 x ln3【点睛】此题考察了对数型复合函数单一性与二次函数单一性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法,属于中档题.22．（ 1）奇函数；（2）, 2【分析】【剖析】（1）依据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及f （2）由（ 1）知函数 f x 是奇函数，将原不等式化简为x 与 ff 1 mx 的关系，可得答案；f 2m 1 ，判断出f x 的单一性，可得对于m的不等式，可得m的取值范围.【详解】1f x 的定义域是 R ，因为 f x lg x1x2解：（）函数，因此 f x f x lg x1x2lg x1x2lg10，即 f x f x，因此函数f x是奇函数 .（2）由（ 1）知函数 f x 是奇函数，因此 f 1m f2m1 f 2m 1 ，设y lg u ，u x 1 x2， x R .因为y lg u是增函数，由定义法可证u x 1 x2在 R 上是增函数，则函数 f x 是R 上的增函数.因此 1 m 2m1，解得 m 2，故实数 m 的取值范围是, 2 .【点睛】此题主要考察函数的单一性、奇偶性的综合应用，属于中档题.23．（ 1）( 1,3)（2）x1x2m【分析】【剖析】（1）依据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）化简 f x 表达式为对数函数与二次函数联合的形式，联合二次函数的性质，求得x1x2以及m 的取值范围，从而比较出x1x2与 m 的大小关系.【详解】（1）依题意可知3x01x 3 ，故该函数的定义域为( 1,3) ；x10（2） f ( x)log 2 (x22x3)log 2 (( x 1) 24) ，故函数对于直线 x 1 成轴对称且最大值为log2 4 2 ，∴ x1 x2 2 ， m 2 ，∴x1x2m ．【点睛】本小题主要考察函数定义域的求法，考察对数型复合函数对称性和最值，属于基础题.14,b 2log 215g x0,24024．（）a 2 （）x2（ 3）【分析】【剖析】（1）由f 11, f2log 2 12 解出即可（2）令 f (x) = 0得 4x2x1，即 2x22x 10 ，而后解出即可（3） g x4x2x，令2x t ，转变为二次函数【详解】（1f1log2a b1a b2）由已知得f2log2a2b2，即a2b2，log 2 1212解得 a 4,b 2 ；（2）由（ 1）知f x log24x2x，令f (x) = 0 得4x2x1，即 2x2 2x 1 0 ，解得 2x12 5 ，又 2x0, 2x12 5，解得 xlog 2 12 5 ；（3）由（ 1）知 g x4x2x ，令 2xt，21， t则g tt 2tt 11,16 ，2 4因为 g(t ) 在 t1,16 上单一递加 因此 g x0,240 ，2, 0 x4, x N *1={ 1 5*25．（ ）,4 x 20, xN8x2（ 2 ）当养殖密度为 10 尾 /立方米时，鱼的年生长量能够达到最大，最大值约为 12.5千克/立方米．【分析】【剖析】【详解】（ 1 ）由题意：当 0 x 4 时， v x2 ；当 4 x 20 时，设，明显在 [4,20] 是减函数，20aba 18由已知得 {b2 ，解得 {54ab2故函数2,0 x4, x N *= { 1 x 5 ,4 x20, x N *822x,x 4, xN *（ 2）依题意并由（1{15）可得x 2 x,4 x 20, x N *.82当 0 x 4时，为增函数，故fmaxxf (4) 4 2 8 ；当4 x20 时， f x1 x2 5 x 1 (x 2 20x) 1 ( x 10)2 100 2 ，82888f max x f (10) 12.5．因此，当 0 x20时，的最大值为 12.5．当养殖密度为 10尾 /立方米时，鱼的年生长量能够达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．26．（ 1）x 2x 3 （）2,2【分析】【剖析】（1）先化简会合 B ，再依据会合的交并补运算求解即可；（2）函数f (x)lg(2 x a) 定义域对应会合可化简为 C x x a，又 A C ，故2由包括关系成立不等式即可求解；【详解】（1）由题知，B x x 2 ， C U B x x2Q A x 1 x3A C UB x 2 x3（2）函数f (x)lg(2 x a) 的定义域为会合 C x x a ，2Q AaC ，1，2a 2 .故实数 a 的取值范围为2,.【点睛】此题考察会合的交并补的混淆运算，由会合的包括关系求参数范围，属于基础题。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷一.填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知全集{|210}U x x =<，{|27}A x x =<<，则A = ． 2．（4分）设实数a 满足2log 4a =，则a = ． 3．（4分）已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图象不经过原点，则实数m = ．4．（4分）函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数的充要条件是 ． 5．（4分）函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ．6．（4分）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若()9f α=，则α= ．7．（5分）若函数()(1)x f x a a =>在[1-，2]上的最大值为4，则其最小值为 ． 8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与3x y =的图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若f （a ）1=-，则a 的值是 ． 9．（5分）如果关于x 的方程|5||3|x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是 ． 10．（5分）若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是 ．11．（5分）函数()(221)x x f x lg a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是 ． 12．（5分）若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则对称点(,)P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对” )．已知函数2241,0()2,0x x x x f x x e ⎧++<⎪=⎨⎪⎩则()f x 的“友好点对”有个．二.选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 13．（5分）函数111y x =-+的值域是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(-∞，1)(1⋃，)+∞D ．(,)-∞+∞14．（5分）若a b c >>，0a b c ++=，则下列各是正确的是( ) A ．ab ac >B ．ac bc >C ．||||a b b c >D ．ab bc >15．（5分）已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =，则()F x 是( )A ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C ．偶函数，在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增D ．偶函数，在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减 16．（5分）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为( )AB ．2C ．4D．三.解答题（14+14+14+16+18＝76分） 17．（14分）已知函数2()21f x ax ax =++．（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间（不需要过程）； （2）已知函数()y f x =在区间[3-，2]上的最大值为2，求实数a 的值． 18．（14分）设函数()|2|f x x a =-，()2g x x =+． （1）当1a =时，求不等式()()()f x f x g x +-的解集；（2）求证：1(),(),()222b b f f f -中至少有一个不小于12．19．（14分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0x ∈，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当[16x ∈，40]时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．（16分）已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数． （1）求实数m 的值（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明（3）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值．21．（18分）若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数．（1）已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[1-，0]上的32-增长函数，并说明理由；（2）已知函数()||f x x =，且()f x 是区间[4-，2]-上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）①如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；②如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知全集{|210}U x x =<，{|27}A x x =<<，则A = [7，10] ． 【解答】解：{|210}U x x =<，{|27}A x x =<<， ∴[7A =，10]，故答案为：[7，10]．2．（4分）设实数a 满足2log 4a =，则a = 16 ． 【解答】解：2log 4a =，42a ∴=， 即16a =， 故答案为：16．3．（4分）已知幂函数235()(1)m m f x m x --=-的图象不经过原点，则实数m = 2 ．【解答】解：幂函数235()(1)m m f x m x --=-的图象不经过原点，11m ∴-=且2350m m --<，则实数2m =， 故答案为：2．4．（4分）函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数的充要条件是 3a ． 【解答】解：函数2()21f x x ax =--是开口向上的抛物线，对称轴方程为x a =， 所以()f x 在(,)a -∞上单调递减，若函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数， 则3a ．所以函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数的充要条件是3a ． 故答案为：3a ．5．（4分）函数22()log (1)f x x =-的定义域为 (1,1)- ． 【解答】解：要使函数有意义，必须210x ->，解得11x -<< 故答案为：(1,1)-．6．（4分）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若()9f α=，则α= 9-或3 ．【解答】解：由题意可得09αα⎧⎨-=⎩或209αα>⎧⎨=⎩9α∴=-或3α=故答案为：9-或37．（5分）若函数()(1)x f x a a =>在[1-，2]上的最大值为4，则其最小值为 12． 【解答】解：函数()(1)x f x a a =>在[1-，2]上单调递增， 最大值为f （2）24a ==，解得2a =；所以()2x f x =在[1-，2]上的最小值为11(1)22f --==． 故答案为：12． 8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与3x y =的图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若f （a ）1=-，则a 的值是13- ． 【解答】解：函数()y g x =的图象与3x y =的图象关于直线y x =对称 ∴函数()y g x =与3x y =互为反函数则3()log g x x =，又由()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称 3()log ()f x x ∴=-，又f （a ）1=-3log ()1a ∴-=-，13a =-故答案为：13-．9．（5分）如果关于x 的方程|5||3|x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是 [8，)+∞ ． 【解答】解：由于|5||3|x x -++表示数轴上的x 对应点到5和3-对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++=有解，可得8a ， 实数a 的取值范围是[8，)+∞． 故答案为：[8，)+∞．10．（5分）若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是 (-∞，4)(4-⋃，)+∞ ．【解答】解：定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数， ∴函数()f x 是在(,0)-∞上是增函数，又(4)0f -=，f ∴（4）0=，由()0xf x >，得0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，解得4x >或4x <-．x ∴的取值范围是(-∞，4)(4-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，4)(4-⋃，)+∞．11．（5分）函数()(221)x x f x lg a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是 (-∞，1]- ． 【解答】解：函数()(221)x x f x lg a -=++-的值域是R ， 必须满足：2210x x a -++->， 即1(22)x x a ->-+，由于函数()1(22)x x g x -=-+的最大值为1-． 所以实数a 的取值范围是(-∞，1]-． 故答案为：(-∞，1]-．12．（5分）若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则对称点(,)P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对” )．已知函数2241,0()2,0x x x x f x x e ⎧++<⎪=⎨⎪⎩则()f x 的“友好点对”有2 个．【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数2241(0)y x x x =++<的图象关于原点对称的图象， 看它与函数2(0)xy x e =交点个数即可． 如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2． 即()f x 的“友好点对”有：2个． 故答案为：2．二.选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 13．（5分）函数111y x =-+的值域是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(-∞，1)(1⋃，)+∞D ．(,)-∞+∞【解答】解：因为101x ≠+， 故1111x-≠+， 故函数111y x =-+的值域{|1}y y ≠． 故选：C ．14．（5分）若a b c >>，0a b c ++=，则下列各是正确的是( ) A ．ab ac >B ．ac bc >C ．||||a b b c >D ．ab bc >【解答】解：a b c >>，0a b c ++=，0a c ∴>>． ab ac ∴>．故选：A ．15．（5分）已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =，则()F x 是( )A ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C ．偶函数，在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增D ．偶函数，在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减【解答】解：1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ->>⎧⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩，()f x ∴为奇函数，又2()()F x x f x =，22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=--=-=-，()F x ∴是奇函数，可排除C ，D ． 又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增，可排除A ，故选：B ．16．（5分）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为( )AB ．2C ．4D．【解答】解：22222211111121025(5)()(5)()()a ac c a c a a c a ab a a b a b a b b a b ++-+=-+++=-++---， 22()()24b a b a b a b +--=，当且仅当2a b =时取等号， 2222214424()a a a b a b aa ∴++=-，当且仅当a =时取等号， ∴222211121025(5)044()()a ac c a c a ab a a b b a b ++-+=-+++=--，故选：A ．三.解答题（14+14+14+16+18＝76分） 17．（14分）已知函数2()21f x ax ax =++．（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间（不需要过程）； （2）已知函数()y f x =在区间[3-，2]上的最大值为2，求实数a 的值． 【解答】解：（1）当1a =时，2()21f x x x =++， 该函数在(1,)-+∞上为增函数，在(,1)-∞-上为减函数， 又3x y =是增函数，由复合函数的单调性可得， 函数()3f x y =的增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）当0a =时，函数()y f x =为常数函数，在区间[3-，2]上无最值；当0a >时，函数2()21f x ax ax =++的对称轴方程为1x =-，在[3-，2]上先减后增，当2x =时，函数取得最大值为812a +=，则18a =；当0a <时，函数2()21f x ax ax =++的对称轴方程为1x =-，在[3-，2]上先增后减， 当1x =-时，函数取得最大值为12a -+=，则1a =-．故18a =或1a =-．18．（14分）设函数()|2|f x x a =-，()2g x x =+． （1）当1a =时，求不等式()()()f x f x g x +-的解集；（2）求证：1(),(),()222b b f f f -中至少有一个不小于12．【解答】（1）解：当1a =时，|21||21|2x x x -+++，1242x x x ⎧-⎪⎨⎪-+⎩无解；112222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+⎩，解得102x <；1242x x x ⎧⎪⎨⎪+⎩，解得1223x ． 综上，不等式的解集为2|03x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）证明：若1(),(),()222b b f f f -都小于12，则1122112211122a b a b a ⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得1122a -<<与第三式1322a <<矛盾．故1(),(),()222b b f f f -中至少有一个不小于12． 19．（14分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0x ∈，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当[16x ∈，40]时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【解答】解：（1）当(0x ∈，16]时，设2()(12)84(0)f x b x b =-+<，2(16)(1612)8480f b =-+=，14b ∴=-，∴21()(12)844f x x =--+．当(16x ∈，40]时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-， 0.8()log (15)80f x x ∴=-+．综上，20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）当(0x ∈，16]时，令21()(12)84684f x x =--+<，得[0x ∈，4]，当(16x ∈，40]时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -+≈，[30x ∴∈，40]，故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟．20．（16分）已知函数1()log (0,1)1amx f x a a x -=>≠-是奇函数． （1）求实数m 的值（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明（3）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值．【解答】解：（1）函数1()log (0,1)1a mx f x a a x -=>≠-是奇函数， ∴对定义域任意x ，恒有()()0f x f x -+=，即11011aa mx mx log log x x +-+=---， 解得1m =-或1m =（舍去），∴实数m 的值为1-．------（3分）（2）由（1）得12()(1)11a a x f x log log x x +==+--， 当1a >时，()f x 在(1,)+∞上递减，当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上递增． 现证明如下： 设12111x t x x +==+--， 121x x ∀>>，211212122()22011(1)(1)x x t t x x x x --=-=<----， 12t t ∴<，当1a >时，12log log a a t t <，即12()()f x f x <，即()f x 在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，12log log a a t t >，即12()()f x f x >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增．----（8分）（3）由题意知()f x 是定义域为(-∞，1)(1⋃，)+∞的奇函数．①当(n ，2)(a -⊆-∞，1)-，即21a --，即01a <<时，由（2）知()f x 在(,2)n a -上为增函数，由值域为(1,)+∞，得1121a n log n a +⎧⎪-⎨⎪-<⎩，无解．②当(n ，2)(1a -⊆，)+∞，即12n a -，有3a >，由（2）知在(,2)n a -上()f x 为减函数，由值域为(1,)+∞，得1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩，解得a =1n =．------（12分） 21．（18分）若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数．（1）已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[1-，0]上的32-增长函数，并说明理由；（2）已知函数()||f x x =，且()f x 是区间[4-，2]-上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分） ①如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；②如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()g x x =是：因为[1x ∀∈-，0]，333()()()0222g x g x x x +-=+-=>； 2()h x x =不是，反例：当1x =-时，311(1)()(1)1224h h h -+==<-=． （2）由题意得，||||x n x +>对于[4x ∈-，2]-恒成立，等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4x ∈-，2]-恒成立，因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9．（3）①不是构造,()1,Rx x Q f x x x C Q ∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意的正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=； 若R x C Q ∈，则R x q C Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=．因此()f x 是R 上的q -增函数，但()f x 不是增函数．②根据题意，当0x 时，22()||f x x a a =--，则当2x a 时，2()2f x x a =-，当20x a 时，()f x x =-，由奇函数的对称性可知： 当2x a -时，2()2f x x a =+，当20a x -时，()f x x =-， 则可得函数图象如图：易知图象与x 轴交点为2(2M a -，0)，2(2N a ，0)，因此函数()f x 在2[a -，2]a 上是减函数，其余区间上是增函数， ()f x 是R 上的4-增长函数，则对任意的x ，都有(4)()f x f x +>， 易知当220a x -时，()0f x ，为保证(4)()f x f x +>，必有(4)0f x +>，即242x a +>， 故220a x -且242x a +>，所以244a >，解得11a -<<，a∈-．故答案为(1,1)。
2019-2020学年上海市杨浦区控江中学高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝．2．（4分）设函数f（x）＝+，g（x）＝﹣，则函数f（x）•g（x）的定义域为．3．（4分）已知函数f（x）满足f（）＝x，则f（4）＝4．（4分）将函数f（x）＝x3的图象向右平移2个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（2）＝．5．（4分）已知常数a∈R，设集合A＝[a，+∞），B＝{﹣1，0，1}，若B⊆A，则a的最大值为．6．（4分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1）的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，则a＝．7．（5分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝为奇函数，则a＝．8．（5分）已知常数a∈R，函数f（x）＝x2﹣4x+a在[1，4]上有两个不同的零点，则a的取值范围为．9．（5分）已知常数a∈R、函数f（x）＝，若f（x）的最大值与最小值之差为2，则a＝．10．（5分）设x，y，z∈R+，满足2x＝3y＝6z，则2x+﹣的最小值为．11．（5分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝log2（x2+a），g（x）＝f[f（x）]若f（x）与g（x）有相同的值域，则a的取值范围为．12．（5分）已知常数a∈R．设函数f（x）＝3x3+（2a﹣1）x+a，定义域为（0，），若f（x）的最小值为0，则a的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知常数a∈Q，如图为幂函数y＝x a的图象，则a的值可以为（）A．B．C．﹣D．﹣14．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B＝{x|≥0}．则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）设集合S＝{（x，y，z）|x y＝y z＝z x，实数x，y，z均大于1，且它们互不相等}，则S中（）A．元素个数为0B．元素个数为3C．元素个数为6D．含有无穷个元素16．（5分）若函数f（x）的图象上存在关于直线y＝x对称的不同两点，则称f（x）具有性质P，已知a，b为常数，函数g（x）＝2x+，h（x）＝，对于命题：①存在a∈R+，使得g（x）具有性质P；②存在b∈R+，使得h（x）具有性质P，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（14分）已知常数a∈R，函数f（x）＝|2x﹣1|+a．（1）若a＝﹣3，解不等式f（x）≤0；（2）若关于x的不等式f（x）≥1对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．18．（14分）已知函数f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）＝2x﹣．（1）求函数g（x）＝f（x）﹣x（x≥0）的零点；（2）若f（x）为偶函数，当x＜0时，解不等式f（x）＜﹣4x﹣3．19．（14分）研究发现，在40分钟的一节课中，注意力指标p与学生听课时间t（单位：分钟）之间的函数关系为p＝．（1）在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；（2）根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳．现有一节40分钟的课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20．（16分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝x2﹣ax+1（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，求a的取值范围；（3）设集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式．21．（18分）已知函数f（x），g（x）的定义域分别为D1，D2，若存在常数C∈R+，满足：①对任意x0∈D1，恒有x0+C∈D1，且f（x0）≤f（x0+C）；②对任意x0∈D1，关于x的不等式组f（x0）≤g（x）≤g（x+C）≤f（x0+C）恒有解，则称g（x）为f（x）的一个“C型函数”．（1）设函数f（x）＝和g（x）＝，求证：g（x）为f （x）的一个“型函数”；（2）设常数a∈R，函数f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），g（x）＝2x（x≥﹣1）．若g（x）为f （x）的一个“1型函数”，求a的取值范围；（3）设函数f（x）＝x2﹣4x（x≥0）．问：是否存在常数t∈R+，使得函数g（x）＝x+（x＞0）为f（x）的一个“t型函数”？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝{1，2，3}．【分析】由集合A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（4分）设函数f（x）＝+，g（x）＝﹣，则函数f（x）•g（x）的定义域为[0，+∞）．【分析】由根式内部的代数式大于等于0分别求解f（x）与g（x）的定义域，取交集可得函数f（x）•g（x）的定义域．【解答】解：由，解得x≥0，∴函数f（x）的定义域为[0，+∞）；同理求得函数g（x）的定义域为[0，+∞）．则函数f（x）•g（x）的定义域为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3．（4分）已知函数f（x）满足f（）＝x，则f（4）＝16【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，将x＝4代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（）＝x，则f（x）＝x2，（x≥0）；故f（4）＝42＝16；故答案为：16．【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的解析式，属于基础题．4．（4分）将函数f（x）＝x3的图象向右平移2个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（2）＝0．【分析】根据函数平移关系进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）＝x3的图象向右平移2个单位后，得到函数g（x）的图象，即g（x）＝（x﹣2）3，则g（2）＝0，故答案为：0【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．比较基础．5．（4分）已知常数a∈R，设集合A＝[a，+∞），B＝{﹣1，0，1}，若B⊆A，则a的最大值为﹣1．【分析】根据集合的包含关系，求出a．【解答】解：集合A＝[a，+∞），B＝{﹣1，0，1}，若B⊆A，所以a≤﹣1，故a最大值为﹣1，故答案为：﹣1【点评】考查集合与集合的关系，含参问题求范围，中档题．6．（4分）设函数f（x）＝log2（3x﹣1）的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，则a＝3．【分析】由互为反函数的性质可得，直接求出a的值．【解答】解：由互为反函数的性质可得：由题意可得：若f﹣1（a）＝3，即a＝f（3）＝log2（3×3﹣1）＝log28＝3，故答案为：3．【点评】考查互为反函数的性质，属于基础题．7．（5分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝为奇函数，则a＝1．【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣（），变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则有＝﹣，变形可得：（a﹣1）•2x＝a﹣1，则有a＝1；故答案为：1．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．8．（5分）已知常数a∈R，函数f（x）＝x2﹣4x+a在[1，4]上有两个不同的零点，则a的取值范围为[3，4）．【分析】根据二次函数的单调区间，结合函数零点判定定理列出不等式解得即可【解答】解：函数f（x）对称轴为x＝2，且在x＜2时单调递减，在x＞2时单调递增，要使函数f（x）＝x2﹣4x+a在[1，4]上有两个不同的零点，则f（1）＝1﹣4+a≥0，f（4）＝16﹣16+a≥0，f（2）＝4﹣8+a＜0，解得3≤a＜4，故a的取值范围是[3，4），故答案为[3，4）．【点评】本题考查函数的基本性质，函数零点判定定理，属于中档题，9．（5分）已知常数a∈R、函数f（x）＝，若f（x）的最大值与最小值之差为2，则a＝．【分析】x∈R，f′（x）＝＝，﹣x2﹣2ax+1＝0，即x2+2ax ﹣1＝0必有两个不等实数根x1，x2．不妨设x1＜x2，f′（x）＝，可知：x＝x1时取得极小值即最小值，x＝x2时取得极大值即最大值．f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝2，化简把根与系数的关系代入即可得出．另解：运用判别式法，利用求根公式即可得出．【解答】解：x∈R，f′（x）＝＝，﹣x2﹣2ax+1＝0，即x2+2ax﹣1＝0必有两个不等实数根x1，x2．不妨设x1＜x2，x1+x2＝﹣2a，x1x2＝﹣1．f′（x）＝，可知：x＝x1时取得极小值即最小值，x＝x2时取得极大值即最大值．f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝2，化为：﹣x1+x2+a+a﹣（x1﹣x2+a+a）＝2（1+1++）．∴a＝．另解：由y＝，化为：yx2﹣x+y﹣a＝0，由x∈R，∴△＝1﹣4y（y﹣a）≥0，解得：≤y≤．∴﹣＝2，解得a＝，经过验证满足题意．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）设x，y，z∈R+，满足2x＝3y＝6z，则2x+﹣的最小值为2．【分析】结合对数的换底公式及基本不等式的性质即可求解．【解答】解：设2x＝3y＝6z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，k＞1，则2x+﹣＝2log2k+log k6﹣log k3＝2log2k+log k2，当且仅当2log2k＝log k2时取等号，此时取得最小值2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了对数的换底公式的应用及利用基本不等式求解最值属于基础试题．11．（5分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝log2（x2+a），g（x）＝f[f（x）]若f（x）与g（x）有相同的值域，则a的取值范围为（0，1]．【分析】由已知求得f（x）的最小值，结合题意可得f（x）的最小值小于0，求解对数不等式得答案．【解答】解：∵a∈R+，x2+a≥a，∴f（x）min＝log2a，函数g（x）＝f[f（x）]，若f（x）与g（x）有相同的值域，则f（x）min＝log2a≤0，即0＜a≤1．∴a的取值范围为（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）已知常数a∈R．设函数f（x）＝3x3+（2a﹣1）x+a，定义域为（0，），若f（x）的最小值为0，则a的取值范围为[，+∞）．【分析】函数f（x）＝3x3+（2a﹣1）x+a，定义域为（0，），f（x）的最小值为0，可得f（x）≥0，化为：a≥．令t＝＞2，则x2＝．可得a≥＝f（t），t＞2．变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数f（x）＝3x3+（2a﹣1）x+a，定义域为（0，），f（x）的最小值为0，∴f（x）≥0，化为：a≥＝．令t＝＞2，则x2＝．∴a≥＝f（t），t＞2．则f（t）＝≤＝．∴a≥．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知常数a∈Q，如图为幂函数y＝x a的图象，则a的值可以为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据幂函数的图象关于y轴对称，且在第一象限内单调递减，可以得出C选项正确．【解答】解：根据幂函数y＝x a的图象关于y轴对称，函数是偶函数，排除B、D选项；再根据幂函数y＝x a的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数，所以a＜0，排除A，即C选项正确．故选：C．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B＝{x|≥0}．则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】利用不等式的解法化简A，B，即可判断出关系．【解答】解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}＝{x|x≥2，或x≤﹣1}，B＝{x|+≥0}＝{x|x≥2，或x＜﹣1}．则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设集合S＝{（x，y，z）|x y＝y z＝z x，实数x，y，z均大于1，且它们互不相等}，则S中（）A．元素个数为0B．元素个数为3C．元素个数为6D．含有无穷个元素【分析】设1＜x＜y，∵x y＝y z，实数x，y，z均大于1，且它们互不相等，可得z＜y，由y z＝z x，则x＞z，由x y＝z x，则y＜x．得出矛盾，即可得出结论．【解答】解：设1＜x＜y，∵x y＝y z，实数x，y，z均大于1，且它们互不相等，∴z＜y，由y z＝z x，则x＞z，由x y＝z x，则y＜x．与1＜x＜y矛盾，因此不存在x，y，z满足条件．因此S中不含有元素．故选：A．【点评】本题考查了指数函数幂函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）若函数f（x）的图象上存在关于直线y＝x对称的不同两点，则称f（x）具有性质P，已知a，b为常数，函数g（x）＝2x+，h（x）＝，对于命题：①存在a∈R+，使得g（x）具有性质P；②存在b∈R+，使得h（x）具有性质P，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】关于直线y＝x对称的两点一定在直线y＝﹣x+m上，所以若函数f（x）具有性质P，则函数f（x）与直线y＝﹣x+m有两个不同交点，然后联立函数与直线方程，求解方程根的个数问题即可．【解答】解：关于直线y＝x对称的两点一定在直线y＝﹣x+m上，所以若函数f（x）具有性质P，则函数f（x）与直线y＝﹣x+m有两个不同交点．①令＝﹣x+m，化简得3x2﹣mx+a＝0，若有两个交点，则△＝m2﹣12a＞0，可取m＝4，a＝1，故存在a∈R+，使得g（x）具有性质P，即①为真命题；②令h（x）＝＝﹣x+m，化简得x3﹣mx2+bx﹣1＝0，即，因为b∈R+，所以该式子不可能有两个根，故不存在b∈R+，使得h（x）具有性质P，即②为假命题．故选：C．【点评】本题考查了函数的新定义问题，考查了学生转化与化归的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（14分）已知常数a∈R，函数f（x）＝|2x﹣1|+a．（1）若a＝﹣3，解不等式f（x）≤0；（2）若关于x的不等式f（x）≥1对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）代入a＝﹣3，得到|2x﹣1|≤3，求出x的范围即可；（2）不等式|2x﹣1|+a≥1对任意x∈R恒成立可化为a≥[1﹣|2x﹣1|]max，利用|2x﹣1|≥0恒成立即可求出a的范围．【解答】解：（1）∵a＝﹣3，f（x）≤0，即|2x﹣1|﹣3≤0，即﹣3≤2x﹣1≤3，解得﹣1≤x≤2，∴f（x）≤0的解集为[﹣1，2]．（2）∵对任意x∈R，不等式f（x）≥1恒成立，即|2x﹣1|+a≥1恒成立，∵|2x﹣1|≥0，∴a≥[1﹣|2x﹣1|]max＝1，∴a≥1．【点评】本题主要考查绝对值不等式解法、考查运算能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）＝2x﹣．（1）求函数g（x）＝f（x）﹣x（x≥0）的零点；（2）若f（x）为偶函数，当x＜0时，解不等式f（x）＜﹣4x﹣3．【分析】（1）将求函数的零点转化为求方程的解，进而求出方程的解，可得函数的零点；（2）由于函数为偶函数，由偶函数的性质，由已知x≥0的解析式可得x＜0的f（x）的解析式，进而求出不等式的解集．【解答】解：（1）求g（x）＝f（x）﹣x（x≥0）的零点，即是求方程f（x）＝x（x≥0）的解，由题意可得：2x﹣＝x，整理可得：x2+x﹣2＝0，x≥0，所以解得x＝1，所以g（x）＝f（x）﹣x（x≥0）的零点为：1；（2）若f（x）为偶函数，设x＜0，则﹣x＞0，由题意可得f（﹣x）＝2（﹣x）﹣＝﹣2x+，由于f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣2x+，所以f（x）＝﹣2x+，x＜0，由题意可得：﹣2x+＜﹣4x﹣3，x＜0．整理可得：2x2+x﹣1＞0，x＜0，解得：x＜﹣1，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）．【点评】考查函数的偶函数的性质及函数的零点与方程根的互化，属于基础题．19．（14分）研究发现，在40分钟的一节课中，注意力指标p与学生听课时间t（单位：分钟）之间的函数关系为p＝．（1）在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；（2）根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳．现有一节40分钟的课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解；（2）分段求出满足P≥80的t的范围，再与25比较即可得出结论．【解答】解：（1）当0＜t≤14时，P＝﹣，∴当t＝时，P的值最大，最大值为：82；（2）当0＜t≤14时，令P＝﹣≥80，解得，∴，当14＜t≤40时，令83﹣log3（t﹣5）≥80，解得5＜t≤32，∴t∈[14，32]，∴，∵32﹣（12﹣2）＝20+2＜25，∴教师不能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态．【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．20．（16分）已知常数a∈R+，函数f（x）＝x2﹣ax+1（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，求a的取值范围；（3）设集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式．【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的性质，即可解得；（2）根据复合函数的单调性可知，f（x）在x∈[0，]单调递减，再根据二次函数的单调性和f（）≥0，即可求出；（3）当x≠﹣1时，原方程可变为a+3＝x+1+，所以方程解的个数可转化为直线y ＝a+3与曲线y＝t+在[a，+∞）上的图象的交点个数，即可求出．【解答】解：（1）a＝3时f（x）＝x2﹣3x+1，所以方程为：log3（x2﹣3x+1）＝log3[3（x ﹣）]＝log3（3x﹣4），所以可得：解得：x＝5或x＝1（舍），所以方程的解为：x＝5．（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减可得：f（x）＞0，且f（x）在x∈[0，]单调递减，所以可得解得，即所以a的取值范围为：[]；（3）x＝﹣1显然不是方程x2﹣ax+1＝x+a﹣3的解．当x≠﹣1时，原方程可变为a+3＝x+1+，令t＝x+1∈[a，+∞），则a+3＝t+，所以当0＜a＜2﹣3时，方程无解；当a＝时，方程只有一解；当＜a＜时，方程有两解；当a时，方程只有一解．故n（a）＝．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，对数函数的性质，复合函数的单调性，以及含参的一元二次方程在限定区间上的解的个数问题的解法，考查学生利用所学知识综合处理问题的能力，属于较难题．21．（18分）已知函数f（x），g（x）的定义域分别为D1，D2，若存在常数C∈R+，满足：①对任意x0∈D1，恒有x0+C∈D1，且f（x0）≤f（x0+C）；②对任意x0∈D1，关于x的不等式组f（x0）≤g（x）≤g（x+C）≤f（x0+C）恒有解，则称g（x）为f（x）的一个“C型函数”．（1）设函数f（x）＝和g（x）＝，求证：g（x）为f （x）的一个“型函数”；（2）设常数a∈R，函数f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），g（x）＝2x（x≥﹣1）．若g（x）为f （x）的一个“1型函数”，求a的取值范围；（3）设函数f（x）＝x2﹣4x（x≥0）．问：是否存在常数t∈R+，使得函数g（x）＝x+（x＞0）为f（x）的一个“t型函数”？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）①x0∈[0，]时，f（x0）＝﹣1，f（x0+）＝1，﹣1≤g（x）≤g（x+）≤1，判断是否有解即可得出．②x0时，f（x0）＝1，f（x0+）＝1，1≤g（x）≤g（x+）≤1，判断是否有解即可得出．（2）设常数a∈R，函数f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），g（x）＝2x（x≥﹣1）．由g（x）为f （x）的一个“1型函数”，可得∀x0≥﹣1，f（x0）≤g（x）≤g（x+C）≤f（x0+C）恒有解，+ax0≤2x≤2（x+1）≤+a（x0+1）．+ax0≤+a（x0+1）．化为：a≥﹣﹣2x0﹣1＝﹣，a≥0．解出即可得出．（3）假设存在常数t∈R+，使得函数g（x）＝x+（x＞0）为f（x）的一个“t型函数”．﹣4x0≤x+≤x+t+≤﹣4（x0+t）．x0≥0，x＞0．由﹣4x0≤﹣4（x0+t）．可得t≥4﹣2x0，t≥4．由x+≤x+t+，解得0＜x＜t．进而判断出结论．【解答】（1）证明：①x0∈[0，]时，f（x0）＝﹣1，f（x0+）＝1，﹣1≤g（x）≤g（x+）≤1，0≤x时，g（x）＝1，g（x+）＝0，上述不等式的解集为∅．x时，g（x）＝g（x+）＝0，上述不等式恒成立，其解集为{x|x}．②x0时，f（x0）＝1，f（x0+）＝1，1≤g（x）≤g（x+）≤1，0≤x＜时，g（x）＝1，g（x+）＝0，上述不等式的解集为∅．x＝时，g（x）＝1＝g（x+），上述不等式的解集为{}．x时，g（x）＝g（x+）＝0，上述不等式的解集为∅．因此g（x）为f（x）的一个“型函数”．（2）设常数a∈R，函数f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），g（x）＝2x（x≥﹣1）．∵g（x）为f（x）的一个“1型函数”，∴∀x0≥﹣1，f（x0）≤g（x）≤g（x+C）≤f（x0+C）恒有解，+ax0≤2x≤2（x+1）≤+a（x0+1）．∴+ax0≤+a（x0+1）．化为：a≥﹣﹣2x0﹣1＝﹣，∴a≥0．f（x）＝x3+ax（x≥﹣1），f′（x）＝3x2+a≥0，函数f（x）在[﹣1，+∞）单调递增．则（+ax0）≤x≤[+a（x0+1）]﹣1．∴[+a（x0+1）]﹣1≥（+ax0）．化为：a≥﹣3x2﹣3x+1＝﹣3+．x∈[﹣1，+∞）．∴a≥．综上可得：a≥．（3）假设存在常数t∈R+，使得函数g（x）＝x+（x＞0）为f（x）的一个“t型函数”．则﹣4x0≤x+≤x+t+≤﹣4（x0+t）．x0≥0，x＞0．由﹣4x0≤﹣4（x0+t）．可得t≥4﹣2x0，∴t≥4．由x+≤x+t+，解得0＜x＜t．x0≥0，x＞0．由﹣4x0≤x+，对于任意给定的x0，此不等式在0＜x＜t范围内恒有解．由x+t+≤﹣4（x0+t）．x0≥0，x＞0．对于任意给定的x0，此不等式在0＜x＜t范围内恒有解．综上可得：t≥4．【点评】本题考查了函数的单调性、基本不等式的性质、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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上海市控江中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设实数a 满足2log 4a =，则log 2a =_____2．方程21416x +=的解集为______3．若两个集合{}{}21,,a a ，满足{}{}{}21,1,a a a ⋃=，则实数a =____4．设0x >，则______5．如果函数()22279919mm y m m x --=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.6．已知函数()y f x =是奇函数,若当0x >时，()lg f x x x =+，则当0x <时，()f x =_____ 7．设常数b R ∈，若函数2(0)by x x x=+>在(0,4]上是减函数，在[4,)+∞上是增函数，则b =_______8．函数2()22f x x x =-+在(,1)-∞上的反函数1()f x -=________9．设1x <，则211x x x -+-的值域为_________ 10．若关于x 的方程4(3)210x x a -++=有实数解，则实数a 的取值范围是________ 11．若不等式2240ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____.12．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使得()f x ：（Ⅰ）()f x 在[],m n 上是单调函数；（Ⅱ）()f x 在[],m n 上的值域是[]2,2m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有______________（填上所有你认为正确的序号） ①()2f x x =； ②()1f x x=；③()1f x x x=+； ④()231x f x x =+．二、单选题 13．1x >是2x >的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件14．已知0a b c ++=，且a b c >>，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．ab cb >B ．ac bc >C ．ab ac >D ．a b c b > 15．若直角坐标平面内两点,A B 满足：①,A B 均在函数()f x 的图像上②,A B 关于原点对称则称点对[,]A B 为函数()f x 的一对“匹配点对”（点对[,]A B 与[,]B A 视作同一对） 若函数122log ,0()4,0x x f x x x x >⎧⎪=⎨⎪--≤⎩，则此函数的“匹配点对”共有（ ）对A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题16．已知函数()1lg 1x f x x -=+ （1）求函数()f x 的定义域．（2）若函数()0f x <，求x 的取值范围．17．设常数0a ≠，函数()12lg 13x a f x x a+-=++． （1）当1a =时，判断并证明函数()y f x =在()1,+∞上的单调性．（2）是否存在实数a ，使函数()y f x =为奇函数或偶函数？若存在，求出a 的值，并判断相应的()y f x =的奇偶性；若不存在，说明理由．18．设常数a R ∈，函数1()421x x f x a +=-⋅+，[]1,2x ∈．（1）当2a =时，求函数()()1g x f x =的值域． （2）若函数()f x 的最小值为0,求a 的值．19．已知函数()2f x x x a x =-+，其中a R ∈．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求a 的取值范围．（2）若存在[]2,4a ∈-，使得关于x 的方程()()f x bf a =有三个不相同的实数解，求实数b 的取值范围．参考答案1．14【分析】 根据换底公式，得到21log 4log 2==a a ，即可得出结果. 【详解】 因为2lg 1log 4lg 2log 2===a a a ，所以1log 24=a . 故答案为14【点睛】 本题主要考查对数的运算，熟记换底公式即可，属于基础题型.2．{}1,1-【分析】先由21416x +=得21244+=x ，得出一元二次方程，求解，即可得出结果.【详解】因为21416x +=，所以21244+=x，即212+=x ，解得：1x =±； 即方程21416x +=的解集为{}1,1-.故答案为：{}1,1-【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则即可，属于基础题型.3．0【分析】先由题意得到1a ≠，推出21≠a ，进而得到2a a =，求解，即可得出结果.【详解】因为{}{}{}21,1,a a a ⋃=，所以1a ≠，因此21≠a ；所以只需2a a =，解得0a =或1a =（舍），因此0a =.故答案为：0【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数的问题，熟记元素与集合的关系，以及集合并集的概念即可，属于基础题型.4．14【分析】先由题意求出102x <≤，再由基本不等式，得到22141422+-≤⋅x x ，即可得出结果.【详解】由2140-≥x 得1122x -≤≤；又0x >，所以102x <≤再由2211414122224+-=⋅≤⋅=x x x ，当且仅当2x =10,42⎛⎤=⎥⎝⎦x 时，等号成立.所以14. 故答案为14 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.5．3【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合.【详解】因为函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=,所以(3)(6)0m m --=,所以3m =或6m =-,当3m =时,12()f x x -=,其图象不过原点,符合题意;当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意.综上所述:3m =.故答案为3【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.6．lg()--x x【分析】若0x <，则0x ->，根据已知解析式，得到()lg()-=-+-f x x x ，再根据函数奇偶性，即可得出结果.【详解】若0x <，则0x ->，又当0x >时，()lg f x x x =+，所以()lg()-=-+-f x x x ，因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()lg()-=-+-f x x x ，即()lg()=--f x x x .故答案为：lg()--x x【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.7．4【分析】 令2()=+b f x x x ，根据函数2()=+bf x x x的单调性，结合单调性的定义，分别得到216≥b ，216≤b ，进而可得出结果.【详解】 令2()=+b f x x x ，任取1204<<≤x x ，因为函数2()(0)=+>bf x x x x在(0,4]上是减函数， 所以()1212121212222()()10⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b b b f x f x x x x x x x x x ， 因此12210-<bx x ，即122>b x x ，又1216<x x ，所以216≥b ； 任取124≤<x x ，因为函数2()(0)=+>bf x x x x在[4,)+∞上是增函数， 所以()1212121212222()()10⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b b b f x f x x x x x x x x x ， 因此12210->bx x ，即122<b x x ，又1216>x x ，所以216≤b ， 综上216=b ，所以4b =.故答案为：4【点睛】本题主要考查由函数单调性求参数，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型. 8．11)->x【分析】先令222y x x -=+，由题意，得到1y >，化222y x x -=+为2220-+-=x x y ，用求根公式，即可求出结果.【详解】令222y x x -=+，因(,1)x ∈-∞， 所以222y x x -=+单调递减，且2221221=-+>-+=y x x ；由222y x x -=+得2220-+-=x x y ，解得：1==±x 1x <，所以1x =因此11()-=f x 1x >；故答案为11)>x【点睛】本题主要考查求反函数，熟记反函数的概念即可，属于常考题型.9．(],1-∞-【分析】 先将原式化为()211111111-+⎡⎤=+=--++⎢⎥---⎣⎦x x x x x x x ，再由基本不等式，即可求出其最值，进而可得出结果.【详解】因为1x <，所以10x -<， 因此()211111211111-+⎡⎤=+=--++≤-+=-⎢⎥---⎣⎦x x x x x x x ， 当且仅当111x x-=-，即0x =时，等号成立； 所以211x x x -+-的值域为：(],1-∞-； 故答案为(],1-∞-【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.10．1a ≥-【分析】 先由原方程得到413222-++==+x x x x a ，由基本不等式求出22x x -+的最小值，根据题意得到()min 322-≥++x x a ，进而可求出结果.【详解】 因为4(3)210x xa -++=可化为413222-++==+x x x x a ，又222-+≥=x x ，当且仅当22-=x x ，即0x =时，取等号；又关于x 的方程4(3)210x xa -++=有实数解，所以只需()min 3222-+≥+=x x a ，解得：1a ≥-.故答案为：1a ≥-【点睛】 本题主要考查根据方程有实根求参数的问题，灵活运用转化与化归的思想，会根据基本不等式求最值即可，属于常考题型.11．(]4,0-；【分析】分三种情况讨论：（1）当a 等于0时，原不等式变为40-<，显然成立；（2）当0a >时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R 不可能；（3）当0a <时，二次函数开口向下，且与x 轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．【详解】解：（1）当0a =时，得到40-<，显然不等式的解集为R ；（2）当0a >时，二次函数224y ax ax =+-开口向上，函数值y 不恒小于0，故解集为R不可能．（3）当0a <时，二次函数224y ax ax =+-开口向下，由不等式的解集为R ，得到二次函数与x 轴没有交点，即△24160a a =+<，即(4)0a a +<，解得40a ；综上，a 的取值范围为(]4,0-．故答案为：(]4,0-．【点睛】本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12．①②④【分析】 函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()()()2222f m m f m n f n n f n m ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．【详解】函数中存在“倍值区间”，则（Ⅰ）()f x 在[m ，]n 内是单调函数，（Ⅱ）()()()()2222f m m f m n f n n f n m ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或， 对①，2()f x x =，若存在“倍值区间” [],m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n ⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间” [0,2]； 对②，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[],m n ，当0x >时，121122n m mn m n⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，故只需12mn =即可，故存在； 对③，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n +=⇒-+=， 2210n mn -+=22m n ⇒=不符题意； 若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+= ，22121n n m n n +=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对④，233()11x f x x x x==++，易得()f x 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，)+∞上单调递减，若存在“倍值区间” 2233[,][0,1],2,211m n m n m n m n ⊆==++，0m ∴=，2n =，即存在“倍值区间” [0； 故答案为：①②④.【点睛】 本题考查“倍值区间”的定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及函数的单调性和值域问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.13．B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的性质判断即可.【详解】由题 “1x >”不能推出“2x >”,但“2x >”能推出“1x >”.故1x >是2x >的必要但不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判断,属于基础题型.14．C【分析】利用不等式的性质可得出0a >，0c <，利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项的正误.【详解】a b c >>，则03a b c a =++<，可得0a >，同理可得0c <，但b 的符号不确定. 对于A 选项，若0b =，则ab bc =，A 选项错误；对于B 选项，a b >，0c <，所以ac bc <，B 选项错误； 对于C 选项，0a >，b c >，ab ac ∴>，C 选项正确；对于D 选项，若0b =，则a b c b =，D 选项错误.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于基础题. 15．B【分析】先由题意，得到函数24,0=--<y x x x 关于原点对称的图像解析式为：24,0=->y x x x ，将“匹配点对”的个数，转化为()24,0=->y x x x 与12log y x =交点的个数，结合图像，即可得出结果.【详解】由题意，易得：函数24,0=--<y x x x 关于原点对称的图像解析式为：24,0=->y x x x ，因此，()24,0=->y x x x 与12log y x =交点的个数，即是函数122log ,0()4,0x x f x x x x >⎧⎪=⎨⎪--≤⎩“匹配点对”的个数，在同一直角坐标系中画出两函数图像，如图所示：由图像可得：交点个数是1个，即此函数的“匹配点对”共有1对.故选B【点睛】本题主要考查分段函数的应用，运用数形结合的思想即可求解，属于常考题型. 16．（1）(1,1)-；（2）01x <<.【分析】（1）根据对数函数的定义求出函数的定义域即可；（2）根据对数函数的性质求出不等式的解集即可．【详解】（1）由题意得：101x x->+，解得：11x -<<， 故函数的定义域是(1,1)-.（2）若函数()0f x <，即1()01x f x lgx -=<+，即1011x x-<<+，解得：01x <<． ∴x 得取值范围是01x <<.【点睛】本题考查具体函数的定义域求解、对数不等式的求解，考查运算求解能力属于基础题． 17．（1）证明见解析；（2）2a =-.【分析】（1）当1a =时，1()4x f x lg x -=+，利用函数单调性的定义，即可证明结论； （2）假设存在，利用奇函数的定义，即可得出结论．【详解】（1）当1a =时，1()4x f x lg x -=+， 任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <， ∴12121212121212122144()()4411144441lg lg lg l f x x x x x x x x x f x x x x x x g x x x ---+-=⋅=+++-+---=+--， ∵12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，∴124x x -21(4)x x --=125()0x x -<，∴124x x -<214x x -∴1212122104444x x x x x x x x <+--<+--，∴12121221014444x x x x x x x x +--<--<+， ∴1212122104444x x x x x l x x x g +-+--<-，∴1212()()0()()x x x f f f x f -<⇒<， ∴函数()y f x =在(1,)+∞上单调递增；（2）∵12()13x a f x lg x a -+--=-++，若()()0f x f x ，可得(12)(12)(13)(13)x a x a x a x a -++-=--++，∴2222(12)(13)x a x a --=--，解得2a =-，经验证2a =-，使函数()y f x =是奇函数．∴存在2a =-，使函数()y f x =是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的定义证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．18．（1）1(,][1,)3-∞-⋃+∞；（2）54a =. 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数()f x 的单调区间，从而求出()f x 的值域，再求出()g x 的值域即可；（2）通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质求出()f x 的最小值，求出a 的值即可．【详解】（1）2a =时，22()(2)421(22)3x x x f x =-⋅+=--，令2x t =，[1x ∈，2]，2[2x ∴∈，4]，即[2t ∈，4]，则2()(2)3f t t =--，[2t ∈，4]，∵()f t 在[2，4]递增，且()0f t ≠，∴()[3,0)(0,1]f t ∈-⋃，故()g x 的值域是1(,][1,)3-∞-⋃+∞.（2）函数122()421(2)1x x x f x a a a +=-⋅+=-+-，[1x ∈，2]， 令2x t =，[1x ∈，2]，2[2x ∴∈，4]，即[2t ∈，4]，故22()()1f t t a a =-+-，[2t ∈，4]，当2a 时，()f t 在[2，4]递增，()f t 的最小值是22(2)(2)10f a a =-+-=， 解得：54a =，符合题意； 当24a <<时，()f t 在[2，)a 递减，在(a ，4]递增，故()f t 的最小值是2()10f a a =-=，解得：1a =±，不合题意；当4a 时，()f t 在[2，4]递减，()f t 的最小值是22(4)(4)10f a a =-+-=， 解得：178a =，不合题意； 综上所述：54a =．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数的单调性和最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对称轴和区间位置关系的讨论.19．（1）22a -；（2）9(1,)8.【分析】 （1）把函数()f x 写成分段函数的形式，再利用分段函数的单调性得不等式组2222a a a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩，解不等式组，即可求a 的取值范围．（2）将a 分22a -和24a <两种情况分类讨论，求出函数单调区间，从而得到关于,a b 的不等式，再将问题转化为有解问题，即可得答案．【详解】（1）22(2),()2(2),x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-=-+=⎨-++<⎩， 由()f x 在R 上是增函数，则2222a a a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩，解得：22a -， ∴a 的取值范围为：22a -.（2）①当22a -时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，关于x 的方程()()f x bf a =不可能有三个不相等的实数解． ②当24a <时，由（1）知()f x 在(-∞，2]2a +和[a ，)+∞上分别是增函数， 在2[2a +，]a 上是减函数， 当且仅当2()()()2a f ab f a f +<⋅<，即2(2)2()4a ab f a +<⋅<时，方程()()f x b f a =⋅有三个不相等的实数解．即2(2)141(4)88ab aa a+<<=++，在(2a∈，4]有解，令4()g a aa=+，()g a在(2a∈，4]时是增函数，则()(4,5]g a∈，∴149 (4)(1,] 88aa++∈．∴实数b的取值范围是9 (1,)8．【点睛】本题考查函数的最值、单调性的综合运用、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。