上海市控江中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

上海市控江中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设实数a 满足2log 4a =，则log 2a =_____

2．方程21416x +=的解集为______

3．若两个集合{}{}21,,a a ，满足{}{}{}2

1,1,a a a ⋃=，则实数a =____

4．设0x >，则______

5．如果函数()22279919m

m y m m x --=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =

___________.

6．已知函数()y f x =是奇函数,若当0x >时，()lg f x x x =+，则当0x <时，()f x =_____ 7．设常数b R ∈，若函数2(0)b

y x x x

=+>在(0,4]上是减函数，在[4,)+∞上是增函数，则b =_______

8．函数2()22f x x x =-+在(,1)-∞上的反函数1()f x -=________

9．设1x <，则211

x x x -+-的值域为_________ 10．若关于x 的方程4(3)210x x a -++=有实数解，则实数a 的取值范围是________ 11．若不等式2240ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____.

12．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使得()f x ：

（Ⅰ）()f x 在[],m n 上是单调函数；

（Ⅱ）()f x 在[],m n 上的值域是[]2,2m n ，

则称区间[],m n 为函数()f x 的“倍值区间”．

下列函数中存在“倍值区间”的有______________（填上所有你认为正确的序号） ①()2f x x =； ②()1f x x

=；

③()1f x x x

=+

； ④()231x f x x =+．

二、单选题 13．1x >是2x >的（ ）

A ．充分但不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

14．已知0a b c ++=，且a b c >>，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A ．ab cb >

B ．ac bc >

C ．ab ac >

D ．a b c b > 15．若直角坐标平面内两点,A B 满足：

①,A B 均在函数()f x 的图像上

②,A B 关于原点对称

则称点对[,]A B 为函数()f x 的一对“匹配点对”（点对[,]A B 与[,]B A 视作同一对） 若函数122log ,0()4,0

x x f x x x x >⎧⎪=⎨⎪--≤⎩，则此函数的“匹配点对”共有（ ）对

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

三、解答题

16．已知函数()1lg 1x f x x -=+ （1）求函数()f x 的定义域．

（2）若函数()0f x <，求x 的取值范围．

17．设常数0a ≠，函数()12lg 13x a f x x a

+-=++． （1）当1a =时，判断并证明函数()y f x =在()1,+∞上的单调性．

（2）是否存在实数a ，使函数()y f x =为奇函数或偶函数？若存在，求出a 的值，并判断相应的()y f x =的奇偶性；若不存在，说明理由．

18．设常数a R ∈，函数1()421x x f x a +=-⋅+，[]1,2x ∈．

（1）当2a =时，求函数()()

1g x f x =的值域． （2）若函数()f x 的最小值为0,求a 的值．

19．已知函数()2f x x x a x =-+，其中a R ∈．

（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求a 的取值范围．

（2）若存在[]2,4a ∈-，使得关于x 的方程()()f x bf a =有三个不相同的实数解，求实数b 的取值范围．

参考答案

1．14

【分析】 根据换底公式，得到21log 4log 2=

=a a ，即可得出结果. 【详解】 因为2lg 1log 4lg 2log 2===a a a ，所以1log 24

=a . 故答案为

14

【点睛】 本题主要考查对数的运算，熟记换底公式即可，属于基础题型.

2．{}1,1-

【分析】

先由21416x +=得21244+=x ，得出一元二次方程，求解，即可得出结果.

【详解】

因为21416x +=，所以21244+=x

，即212+=x ，解得：1x =±； 即方程21416x +=的解集为{}1,1-.

故答案为：{}1,1-

【点睛】

本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则即可，属于基础题型.

3．0

【分析】

先由题意得到1a ≠，推出21≠a ，进而得到2a a =，求解，即可得出结果.

【详解】

因为{}{}{}21,1,a a a ⋃=，所以1a ≠，因此21≠a ；

所以只需2a a =，解得0a =或1a =（舍），因此0a =.

故答案为：0

【点睛】

本题主要考查由并集的结果求参数的问题，熟记元素与集合的关系，以及集合并集的概念即可，属于基础题型.

4．14

【分析】

先由题意求出102x <≤，再由基本不等式，得到22

141422

+-≤⋅x x ，即可得出结果.

【详解】

由2140-≥x 得1122x -

≤≤；又0x >，所以102x <≤

再由2211414122224

+-=⋅≤⋅=x x x ，

当且仅当2x =10,42⎛⎤=

⎥⎝⎦x 时，等号成立.

所以14. 故答案为

14 【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

5．3

【分析】

根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合.

【详解】

因为函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数,

所以29191m m -+=,即29180m m -+=,

所以(3)(6)0m m --=,

所以3m =或6m =-,