结构力学朱慈勉第二版 第9章 弯矩分配法

64
1
M终
64
B
A 1 C 16
1
弯矩分配法的物理含义：
弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。
弯矩分配法计算步骤：
32
D
计算各杆的分配系数和传递系数。 计算荷载作用下的固端弯矩。 将结点不平衡力矩反号后，进行力矩分配和传递。
M图(xql2)
按叠加原理计算最终杆端弯矩。
g g M AD 0, M DA 0;
S AC i; S AD 4i • 分配系数： AB 3 8; AC 1 8; AD 1 2 3 2 1 1 f f f ql ; M AC ql 2 ; M AD ql 2 • 近端分配力矩： M AB 64 64 16 1 2 1 c c c ql ; M DA ql 2 • 远端传递力矩： M BA 0; M CA 64 32
• 转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 i EI l 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。 • 远端为固定支座： S AB 4i
A 1
A
• 远端为铰支座： S AB 3i
A 1
A
• 远端为定向滑动支座： S AB i
A 1
A
i
M BA 2i
B
i
M BA 0
注意问题：
弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记正负号规定，计算过程中切勿混淆
和遗漏正负号。
结点不平衡力矩必须反号后才能进行分配和传递。
2013-4-30

单结点弯矩分配法
【例1】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。
30kN / m
B
i2
100kN
A
i 1.5
杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩
弯矩分配法 通常列表计 算
2013-4-30
q
B A C
结点 杆端
B BA AB
A AC AD
C CA
D DA
备注

Mg
分配 传递
38
18
12
D 原结构
5
1 8
18
0 0
ql 2 施加约束(固定)
解除约束(放松)
3 64 1 64 1 16 1 64 1 32 5 64 1 64 1 16 1 64 1 32
A
EI
B
EI
C
EI
D
4m
41kNm
4m
20kN
60
48
72
2.4 1.8
B
分配 传递
0 0
3.6 4.8 3.6
A 4.8
D
M终
56.4 4.8 51.6 2.4 70.2
2.4 C
M图(kNm)
2013-4-30

单结点弯矩分配法
【例2】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。
40kN 10kN / m
8kN / m
【解】 只有B结点1个分配单元。
f f f u f f 而，M AB S AB A ; M AC S AC A ; M AD S AD A f
M
f AB
A
f M AD
f M AC
所以， SAB SAC SAD A M A
u
得，
D
u A M A SAB SAC SAD
(b)放松状态
A结点力矩
f 从而， M AB
称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。
每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即 Why? 物理含义：结点力矩平衡
1。
S AB u u M A AB M A S Aj S f u u M AC AC M A AC M A S Aj S f u u M AD AD M A AD M A S Aj
g • 固端弯矩 M AB
g g M AD 0, M DA 0;
放松状态，计算分配力矩和传递力矩。 • 杆件转动刚度： S AB 3i;
S AC i; S AD 4i • 分配系数： CAB 3 8; CAC 1 8; CAD 1 2 3 2 1 1 f f f ql ; M AC ql 2 ; M AD ql 2 • 近端分配力矩： M AB 64 64 16 1 2 1 c c c ql ; M DA ql 2 • 远端传递力矩： M BA 0; M CA 64 32
8
2013-4-30
q
B A C B
q
A
u MA
u M A
C
B
A
C
D 原结构
D (a)固定状态
D (b)放松状态
放松状态内力分析
放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向力矩（相当于解除约束）。 放松状态的内力可借助转动刚度、分配系数、传递系数等概念计算。
转动刚度：AB杆件A端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为AB杆A端的转动刚度， 记为 S AB 。
杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩
2013-4-30
q
B A C
结点 杆端
B BA AB
A AC AD
C CA
D DA
备注

Mg
分配 传递
38
18
12
D 原结构
18
0 0
ql 2
分配力矩下划 线，以示与传 递力矩区分
3 64 1 64 1 16 1 64 1 32 5 64 1 64 1 16 1 64 1 32
C
A
3m
EI
B
3m
EI
S BA
3m

M g 60
分配 10.2 传递
0.4 0.6
60 9 20.4 30.6 39.6 39.6
1 1 10 62 40 6 105 8 4 39.6
0
0
4 EI 2 EI 3EI , S BC EI 6 3 3 S BC S BA BA 0.4, BC 0.6 S BA S BC S BA S BC 1 1 g M AB 10 62 40 6 60 kNm 12 8 g g M BA M AB 60 kNm
A 1
A
• 远端为铰支座： CAB 0
A 1
A
• 远端为定向滑动支座：CAB 1
A 1
A
i
M BA 2i
B
i
M BA 0
B
i
M BA i
B
S AB 4i
S AB 3i
S AB i
放松状态内力（分配系数）
M
B A
u A
M
C
u A
A结点力矩平衡方程： M AB M AC M AD M A
B A C B A C B A C
D 原结构
D (a)状态
D (b)状态
只有一个位移法未知量—A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元。 根据位移法原理，原结构分解为(a)(b)两种受力状态。 • (a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移—— 固定状态 • (b)状态：只发生结点位移，无外荷载—— 放松状态 相当于原结构“先固定、后放松”
【解】 ⑴计算分配系数：
S AB 2 3 6, S AC 2 4 8, S AD 1.5 4 6 6 6 8 6 AB 0.3, AC 0.4, AD 0.3 20 20 20
⑵计算固端弯矩：
D
4m
i2
C
4m 3m 2m
结点 杆端
弯矩分配法

弯矩分配法的本质及其适用范围

弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。
单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。 弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。
弯矩分配法的适用范围：
弯矩分配法的基本概念
以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为 i ，杆长均为 l ，不计杆件轴向变形。 q q u u MA M A
0
40
20kN
D
3m 4m
24.5 24.5
0
15.5 24.5
0
40
12.25 12.25
M终
0
⑴AD杆件的处理：
g M AD ? SAD ? D端的链杆只产生轴力，故 M AD 20kN 2m 40kNm, g
（M图略）
S AD 0 。
5EI 4 1 EI , CCA 。 5 2
1 g M BC 8 32 9 kNm 8
M终 70.2
70.2
⑴单结点弯矩分配法计算结果是近似解吗？ 答：是精确解。 C
⑵如何通过弯矩分配过程计算B截面的转角？
答：只有放松状态，即分配过程产生结点角位移。
f f M BC 30.6 M BA B 逆转， 或B S SBC EI BA
B
BA AB
A
AC AD
C
CA
D
DA

M
g
0.3
0.4
0.3
1 g M AB 30 42 60 kNm 8 100 3 22 g M AD 48 kNm 2 5 100 32 2 g M DA 72 kNm 52
56.4 51.6 60 120 70.2
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q
B A C B
q
A
u MA
u M A
C
B
A
C
D 原结构
D (a)固定状态
D (b)放松状态
计算过程小结
固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。
1 2 g g g ql , M BA 0; M AC 0, MCA 0; 8 1 2 u g g g • 结点不平衡力弯矩 M A M AB M AC M AD ql 8
A
1 10 32 22.5 8
22.5
B
1 8 32 9 8
M图(kNm)
2013-4-30

单结点弯矩分配法
【例3】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。
C
8kN / m
5EI 4
3m 2m 2m
结点
B
A
C
D
杆端
BA
AB
AC
AD
CA
DA
B
EI
A
EI

Mg
分配 传递
0.5 9
0.5
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⑵AC杆件的处理：
S AC ? CCA ? C端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故 S AC 4iAC 4

单结点弯矩分配法
【例4】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。
41kNm
20kN
⑴几个分配单元？ 2个或1个。 法一：B结点和C结点2个分配单元。(多结点弯矩分配法后续介绍) 法二：B结点1个分配单元。（CD弯矩静定，原结构可简化） 弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。 理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构， 但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构， 以减少计算工作量。 ⑵B结点的集中外力矩如何处理？
计算过程小结
g • 固端弯矩 M AB
M终
固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。
1 2 g g g ql , M BA 0; M AC 0, MCA 0; 8 1 2 u g g g • 结点不平衡力弯矩 M A M AB M AC M AD ql 8
放松状态，计算分配力矩和传递力矩。 • 杆件转动刚度： S AB 3i;
q
B A C B
q
A
u MA
u M A
C
B
A
C
D 原结构
D (a)固定状态
D (b)放松状态
固定状态内力分析
弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！
固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。 • 固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。 • M g 1 ql 2 , AB
8
g M BA 0;
g g M AC 0, MCA 0;
g g M AD 0, M DA 0;
结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。 • 结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。 • 在上述正负号规定条件下，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。 • M u M g M g M g 1 ql 2 A AB AC AD
B
i
M BA i
B
S AB 4i
S AB 3i
S AB i
2013-4Biblioteka Baidu30
放松状态内力分析
• 弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。
传递系数：AB杆件仅A端发生转角时，B端弯矩与A端弯矩之比，称为从A到B的弯矩传递系数，记为 CAB 。
C • 远端为固定支座： AB 1 2