25-曲柄滑块-摇杆机构点水平运动速度分析2014.1.18

− a
a sinϕ cosϕ +
− ωL2b sin λ = −ωL3c sinψ ωL2b cos λ = ωL3c cosψ
⎬⎫ (19) ⎭
ωL3 = a sin(ϕ − λ) /[c sin(ψ − λ)] (20) ωL2 = a sin(ϕ −ψ ) /[b sin(ψ − λ)] (21)
λ = arctan 2[(c sinψ − a sinϕ) /(d + c cosψ − a cosϕ)] (18)
B
B2
y
B1
2
A
λ
φ θ2 1
A2
O1
3
1
P
图 2 曲柄摇杆机构
对式(15)求关于φ的一阶导数，得类速度方程及其解ωL2＝dλ/dφ、ωL3＝dψ/dφ分别为
cos λ − bαL2 sin sin λ + bαL2 cos
λ λ
= =
−cωL23 cosψ −cωL23 sinψ
− cαL3 sinψ + cαL3 cosψ
⎬⎫ ⎭
(22)
αL3 = [a cos(ϕ − λ) + bωL22 − cωL23 cos(ψ − λ)] /[c sin(ψ − λ)] (23)
3 课程上机内容与要求
(1) 生成曲柄滑块机构的计算数值位移S3，速度V3与加速度a3关于φ的Excel数据文件，0≤φ≤2π， 增量∆φ＝1/(2π)。
(2) 生成曲柄滑块机构的计算数值位移xD、yD，速度VDx、VDy与加速度aDx、aDy关于φ的Excel数据
2
文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。 (3) 生成曲柄摇杆机构的计算数值角位移ψ，角速度ω3与角加速度α3关于φ的Excel数据文件，0
yD，速度VDx、VDy与加速度aDx、aDy。
D
机构的位移方程及其解分别为
a a
sin ϕ cosϕ
− b sinθ = 0 − b cosθ = S3
⎬⎫ (1) ⎭
S3 = a cosϕ + b2 − a2 sin2 ϕ (2) θ = arctan 2[a sinϕ /(a cosϕ − S3)] (3) 对位移方程求关于φ的一阶导数，得类速度方程及其解ωL2 ＝dθ/dφ、VL3＝dS3/dφ分别为
αL2 = [a cos(ϕ −ψ ) + bωL22 cos(ψ − λ) − cωL23] /[b sin(ψ − λ)] (24)
α2
=
(d2λ
/ dϕ 2 )(dϕ
/ dt)2
=
α
ω2
L2 1
，
α
3
=
(d 2ψ
/ dϕ 2 )(dϕ
/ dt)2
=
α
ω2
L3 1
。
连杆 2 上P点的位移xP、yP，速度VPx、VPy与加速度aPx、aPy分别为 xP = a cosϕ + r cos(λ + θ2 ) (25) yP = a sin ϕ + r sin(λ + θ2 ) (26) VPx = −aω1 sin ϕ − rω2 sin(λ + θ2 ) (27) VPy = aω1 cosϕ + rω2 cos(λ + θ2 ) (28)
ω2 = dθ / dt = (dθ / dϕ)(dϕ / dt) = ωL2 ⋅ω1 ，V3 = dS3 / dt = (dS3 / dϕ)(dϕ / dt) = VL2 ⋅ω1 。 对类速度方程求关于φ的一阶导数，得类加速度αL2＝d2θ/dφ2、aL3＝d2S3/dφ2分别为 αL2 = (−a sinϕ + bωL22 sinθ ) /(b cosθ ) (7)
ω2 = (dλ / dϕ)(dϕ / dt) = ωL2 ⋅ω1 ， ω3 = (dψ / dϕ)(dϕ / dt) = ωL3 ⋅ω1 。 对式(15)求关于φ的二阶导数，得类加速度方程及其解αL2＝d2λ/dφ2、αL3＝d2ψ/dφ2分别为
− −
a a
cosϕ sin ϕ
− bωL22 − bωL22
2 曲柄摇杆机构的运动分析
图 2 为分析连杆上点轨迹的曲柄摇杆机构。设曲柄 1 为主动件，令a、b、c和d分别表示曲柄 1、
连杆 2、摇杆 3 与机架 4 的长度，a＝0.150 m，b＝0.450 m，c＝0.350 m，d＝0.400 m，连杆 2 的角
位移为λ，摇杆 3 的角位移为ψ，连杆 2 上AP点与AB之间的夹角θ2＝275°，AP＝r＝0.650 m。曲柄 1 的角速度ω1＝1 rad/s。
连杆 2 上D点的位移xD、yD，速度VDx、VDy与加速度aDx、aDy分别为 xD = a cosϕ + c cos(θ − π + β ) (9) yD = a sinϕ + c sin(θ − π + β ) (10) VDx = −aω1 sin ϕ − cω2 sin(θ − π + β ) (11) VDy = aω1 cosϕ + cω2 cos(θ − π + β ) (12)
aL3 = −a cosϕ + bαL2 sinθ + bωL22 cosθ (8)
α2 = d2θ / dt 2 = (d2θ / dϕ 2 )(dϕ / dt)2 = αL2 ⋅ω12 ， a3 = d2S3 / dt 2 = (d2S3 / dϕ 2 )(dϕ / dt)2 = aL3 ⋅ω12 。
曲柄摇杆机构的位移方程为
a a
cosϕ sin ϕ
+ b cos λ = d + c cosψ + b sin λ = c sinψ
⎬⎫ (15) ⎭
引入系数kA、kB和B kC分别为kA＝－sinφ，kBB＝d/a－cosφ，kC＝(d2＋c2＋a2－b2)/(2ac)－(d/c) cosφ，得摇 杆 3 的角位移方程及其解ψ分别为
aDx = −aω12 cosϕ − cα2 sin(θ − π + β ) − cω22 cos(θ − π + β ) (13) aDy = −aω12 sin ϕ + cα2 cos(θ − π + β ) − cω22 sin(θ − π + β ) (14)
B β
ω1 1
A
φ
2
θ 3
C
S3 4
图 1 曲柄滑块机构
a −
cosϕ − a sinϕ
b(dθ / + b(dθ
dϕ) cosθ = 0 / dϕ) sinθ = dS3
/
dϕ
⎬⎫ (4) ⎭
ωL2 = a cosϕ /(b cosθ ) (5) VL3 = −a sin ϕ + bωL2 sinθ (6)
aPx = −aω12 cosϕ − rα2 sin(λ + θ2 ) − rω22 cos(λ + θ2 ) (29) aPy = −aω12 sin ϕ + rα2 cos(λ + θ2 ) − rω22 sin(λ + θ2 ) (30)
≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。 (4) 生成曲柄摇杆机构的计算数值位移xP、yP，速度VPx、VPy与加速度aPx、aPy关于φ的Excel数据
文件，0≤φ≤2π，增量∆φ＝1/(2π)。
3
25−曲柄滑块机构与曲柄摇杆机构连杆上点的运动分析 2014.1.18
1 曲柄滑块机构的运动分析
图 1 所示为曲柄滑块机构，设曲柄 1 的杆长a＝AB＝0.090 m，连杆 2 的杆
长b＝BC＝0.300 m，连杆上BD的杆长c＝0.420 m，BD的方位角β＝40º，曲柄 1
W
的角速度ω1＝1 rad/s。求滑块 3 的速度V3与加速度a3，连杆 2 上D点的位移xD、
1
kA sinψ + kB cosψ + kC = 0 (16)
ψ = 2 arctan 2[(kA + kA2 + kB2 − kC2 ) /(kB − kC )] ( 17) 由式(15)得连杆 2 的角位移 λ 为