2021年高考数学三角函数的图象与性质

2021年高考数学三角函数的图象与性质

(1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．

(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．

考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系

1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π

4＝( ) A ．

2

10

B ．－

2

10

C ．7210

D ．－7210

2.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝1

2，则sin 4α－cos 4α的值为( )

A ．－15

B ．－35

C ．15

D ．35

3.[诱导公式及应用]设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )

A.1

2 B ．

32 C ．0 D ．－12

1.[与数列交汇]设a n ＝1n sin n π

25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个

数是( )

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

2.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为( )

A.32

B ．－32

C.3 D ．0

3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1

2

(弦

×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π

3，半径等于4 m 的弧田，按照上述经验

公式计算所得弧田面积约是( )

A ．6 m 2

B ．9 m 2

C ．12 m 2

D ．15 m 2

考点二 三角函数的图象与解析式

题型一 由“图”定“式”

[例1] (1)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π

4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx

＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π

2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )

A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π

12 B ．f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋7π12 (2)(2019·长沙市统一模拟考试)已知P

⎝⎛⎭

⎫12，2是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图

象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．若|BC |＝6，则f (x )的图象的对称中心可

以是( )

A ．(0,0)

B ．(1,0)

C ．(2,0)

D ．(3,0)

题型二 三角函数的图象变换

[例2] (1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )

A ．向右平移5π

12个单位长度

B ．向左平移5π

12个单位长度

C ．向右平移5π

6个单位长度

D ．向左平移5π

6

个单位长度

(2)(2019·开封模拟)将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度以后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )

A ．2＋π

4

B ．2＋3π

4

C ．2＋5π

12

D ．2＋7π

12

考点三 三角函数的性质

[例3] (1)(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )

A.⎣

⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π

6(k ∈Z ) B.⎣

⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π

3(k ∈Z ) C.⎣

⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π

3(k ∈Z ) D.⎣

⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π

6(k ∈Z ) (2)(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增； ③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是( )

A ．①②④

B ．②④

C ．①④

D ．①③

(3)(2019·江西省五校协作体试题)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π

6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )

A.⎝⎛⎦⎤0，112∪⎣⎡⎦⎤14，2

3 B ．⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，2

3 C.⎣⎡⎦⎤14，23 D ．⎣⎡⎦⎤13，23

1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π

2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |

2．(2019·广东六校第一次联考)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π

4

个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( ) A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π

2对称

B ．为奇函数，在⎝⎛⎭⎫0，π

4上单调递增 C ．为偶函数，在⎝⎛⎭⎫－3π8，π

8上单调递增 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫

3π8，0对称

3．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f (2)＝1，f (4)＝－1，则ω＝________，f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，3上的值域是________．

考点四 三角函数图象与性质的综合应用 [例4] (2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；

(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦

⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．