奥数知识点解析之归一归总问题

奥数知识点解析之归一归总问题(1)

来源：武汉巨人学校作者：小学数学部

奥数知识点解析之归一归总问题(1)

应用题是小学数学学习的一项重要内容，解题关键在于掌握数量关系，找出应用题中条件及条件和问题之间的联系，解决问题。

传统的分析应用题的方法有两种：分析法和综合法。分析法是从题目的问题出发，寻找需要的条件，逐步向已知条件靠拢；综合法是从题目的已知条件出发，顺藤摸瓜，逐步推导出所求的问题。实际解题时，往往是综合使用这两种分析方法，从两头往中间凑，在已知条件与问题之间搭建一座桥梁。

归一问题：在解答某些应用题时，常常需要先找出“单位量”，再以这个“单位量”为标准，根据其它条件求出所求数量，这类应用题被称为归一问题。这里的“单位量”常指单位时间的工作量、单价、单产量、速度等。归一问题可以分为两类：用一步运算就能求出“单位量”的归一问题称为“单归一；用两步运算才能求出“单位量”的归一问题称为“双归一”。

归总问题：是指解答某些应用题时，需要先找出“总量”，再根据其它条件求出所求数量。这里“总量”是指总路程、总产量、工作总量、总价等。

数量关系：单位量×份数＝总量；总量&pide;份数＝单位量；总量&pide;单位量＝份数。

解决归一问题的关键是抓住单位量不变，总量随着份数的变化而变化，其中蕴藏着正比例函数关系；解决归总问题的关键是抓住总量不变，单位量随着份数的变化而变化，其中蕴藏中反比例函数关系。通过列表找出数量间的对应关系，是解决这类问题的比较好的策略。

同一道题可以采取不同的方法解答，而同一种解题策略可以解决不同类型的应用题。解答应用题时，要根据题目的需要选择合适方法、策略，在理解的基础上灵活解题，切忌“记题型，套方法”，生搬硬套。

【题目1】：

筑路队修一条36千米长的路，15天修了4500米，以后加快速度每天多修75米，这条路共修多少天？

【解析】：

运用分析法解题。从所求问题出发，寻找需要的条件，逐步向已知条件靠拢，可以画出如下示意图，理清分析的思路。

再从已知条件入手，根据上面的示意图，逆向写出算式：

36千米=36000米

15+（36000-4500）&pide;（4500&pide;15+75）

=15+31500&pide;（300+75）

=15+31500&pide;375

=15+84

=99（天）

所以，这条路共修了99天。

注：在题目中出现同类型数量的单位不一致时，要先换算成统一的合适单位，再列式计算。

【题目2】：

织布厂要织布3600米，先用5台织布机8小时可以织布960米，如果再增加17台织布机，几小时就能将余下的任务完成？

【解析】：

这是一道双归一应用题，可以运用综合法解题。

首先，由“用5台织布机8小时可以织布960米”，可知每台织布机1小时织布：

960&pide;8&pide;5

=120&pide;5

=24（米）。

又因为“要织布3600米”，所以余下的任务为：3600-960=2640（米）。

再增加17台织布机，现有织布机：17+5=22（台）。

完成余下的任务还需要时间，有两种求法：

①先求出每台织布机需要织布米数，再求每台织布机需要的时间：

2640&pide;22&pide;24

=120&pide;24

=5（小时）。

②先求出22台织布机每小时织布米数，再求出余下任务完成时间：

2640&pide;（22×24）

=2640&pide;528

=5（小时）。

所以，5小时就能将余下的任务完成。

注：从上面两题可以看出，单一使用分析法或综合法解题不太便捷。

奥数知识点解析之归一归总问题(2)

【题目3】：

水库管理员想估计一下水库里共有多少条鱼。他先捞了100条作为样本全部做上记号。一个月后，他捕获了500条鱼，发现其中只有4条做过记号。请你帮管理员估计一些，水库中大约有多少条鱼？

【解析】：

先列个简易的表格，整理好题目中已知的信息：

4条记号鱼→500条鱼

100条记号鱼→？条鱼

这一题估计的根据是，所有鱼中记号鱼所占的比例是一定的。

解法一、先求出大约多少条鱼中有一条记号鱼：

500&pide;4=125（条）；

再求出水库里大约多少条鱼：

125×100=12500（条）；

所以，水库里大约有12500条鱼。

解法二、先求出100条记号鱼是4条记号鱼的几倍：

100&pide;4=25；

再求出水库里大约多少条鱼：

25×500=12500（条）；

所以，水库里大约有12500条鱼。

【题目4】：

学校第一批买进3个篮球和8个排球共值500元，第二批买进4个篮球和5个排球共值525元，求一个篮球、一个排球各多少元？

【解析】：

先列个简易的表格，整理好题目中已知的信息：

3个篮球8个排球→共500元

4个篮球 5个排球→共525元

题中有两个未知的量：篮球单价和排球单价，要消去其中的一个未知量，才能求出另一个未知量。

但这一题已知条件与问题之间有着明显的空隙，不易探求，可以对条件作出符合逻辑的假设，然后根据变化了的新条件进行推理，找出解决问题的途径。假设第一批买的两种球的个数是原来的4倍，则总价也扩大了4倍；第二批买的两种球的个数都是原来的3倍，则总价也扩大3倍，得到两组新的信息：

12个篮球32个排球→共2000元

12个篮球15个排球→共1575元

在假设的情况中，两批买进的篮球的个数是一样的，正好抵消掉，第一批比第二批多了（32-15=）17个排球，多花了（2000-1575=）425元钱，即17个排球总价为425元，可以求出排球的单价。列式为：

（500×4-525×3）&pide;（8×4-5×3）

=（2000-1575）&pide;（32-15）

=425&pide;17

=25（元）。