高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末小结课件 新人教A版选修1-1.pptx
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[对点训练]
3．双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那
么该双曲线的离心率是
()
A．2
B. 3
C. 2
解析：双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线方程为
3 D.2
y＝±bax，依题意有ba·－ba＝－1，故ba22＝1，
所以c2－a2a2＝1，即 e2＝2，所以双曲线的离心率 e＝ 2.
8
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|， ∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. 又∵|AA′|＝x1＋p2，|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2， ∴2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2⇒2x2＝x1＋x3， ∴选 A. 答案：A
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2．若点 M(2，1)，点 C 是椭圆1x62＋y72＝1 的右焦点，点 A 是 椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
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2
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题 的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如： (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题
时，常用定义结合解三角形的知识来解决． (2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距
离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意 义去解决．总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用， 要注意灵活运用．
三点，F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( ) A．x1，x2，x3 成等差数列 B．y1，y2，y3 成等差数列 C．x1，x3，x2 成等差数列 D．y1，y3，y2 成等差数列 解析：如图，过 A、B、C 分别作准线的 垂线，垂足分别为 A′，B′，C′， 由抛物线定义得， |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
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(2)由已知，得 a2＝16，b2＝9，c2＝25， 所以 a＝4，c＝5. 由于点 M 在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|， 则 M 在右支上， 根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8， 又|MF1|＝5|MF2|，所以|MF1|＝10，|MF2|＝2， 而|F1F2|＝2c＝10，
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解析：(1)设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)， 因为 AB 过 F1 且 A，B 在椭圆上，如图， 则△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16， ∴a＝4. 又离心率 e＝ac＝ 22，∴c＝2 2，∴b2＝a2－c2＝8， ∴椭圆 C 的方程为1x62＋y82＝1.
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Hale Waihona Puke 则△MF1F2 为等腰三角形，取 MF2 中点为 N， 则 F1N⊥MF2，且|F1N|＝ 102－12＝3 11， 从而 S△MF1F2＝12×2×3 11＝3 11. 答案：(1)1x62＋y82＝1 (2)3 11
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[对点训练] 1．抛物线 y2＝2px(p＞0)上有 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)
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[典例 2] 已知椭圆3xm22＋5yn22＝1 和双曲线2xm22－3yn22＝1 有公
共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
()
A．x＝±
15 2y
B．y＝±
15 2x
C．x＝± 43y
D．y＝± 43x
12
解析：由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上， ∴椭圆焦点(± 3m2－5n2，0)， 双曲线焦点(± 2m2＋3n2，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，即|m|＝2 2|n|. 又双曲线渐近线为 y＝± 62·|m||n|·x， 将|m|＝2 2|n|代入上式，得 y＝±43x. 答案：D
3
[典例 1] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原 点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的方 程为________． (2)若 F1，F2 是双曲线1x62－y92＝1 的左、右焦点，点 M 在 双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2 的面积等于 ________．
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1．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、 对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、 准线、渐近线以及几何元素 a，b，c，e 之间的关系等．
2．求离心率的值或取值范围的主要方法有： (1)定义法：利用 a，b，c 之间的关系以及 e＝ac，知道 a， b，c 中任意两个可求 e. (2)方程法：建立 a 与 c 的齐次关系式，可求离心率 e. (3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平 面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立 参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系， 使问题更形象、直观．
答案：选 C
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4．椭圆xa22＋y52＝1(a 为定值，且 a＞ 5)的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A、B，△FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆的另一个焦点为 F′，则 △FAB 的周长|FA|＋|AB|＋|FB|≤|FA| ＋|F′A|＋|FB|＋|F′B|＝4a. 所以 4a＝12，a＝3，e＝ a2a－5＝23. 答案：23
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[典例 3] 已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为 π
F1，F2，若椭圆上存在一点 P，使得∠F1PF2＝ 3 ，求椭 圆离心率 e 的范围．
π 解：△F1PF2 中，∠F1PF2＝ 3 ，由椭圆定义及余弦定理，
π 得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 3 ＝(|PF1|＋ |PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即 4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|. 故 4a2－4c2＝3|PF1||PF2|≤3|PF1|＋2 |PF2|2＝3a2，由此可 得离心率 e∈12，1.
解析：设点 B 为椭圆的左焦点，则 B (－3，0)，点 M(2，1)在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而 a＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26， 所以(|AM|＋|AC|)min＝8－ 26. 答案：8－ 26
[对点训练]
3．双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那
么该双曲线的离心率是
()
A．2
B. 3
C. 2
解析：双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线方程为
3 D.2
y＝±bax，依题意有ba·－ba＝－1，故ba22＝1，
所以c2－a2a2＝1，即 e2＝2，所以双曲线的离心率 e＝ 2.
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∵2|BF|＝|AF|＋|CF|， ∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. 又∵|AA′|＝x1＋p2，|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2， ∴2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2⇒2x2＝x1＋x3， ∴选 A. 答案：A
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2．若点 M(2，1)，点 C 是椭圆1x62＋y72＝1 的右焦点，点 A 是 椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
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对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题 的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如： (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题
时，常用定义结合解三角形的知识来解决． (2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距
离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意 义去解决．总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用， 要注意灵活运用．
三点，F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( ) A．x1，x2，x3 成等差数列 B．y1，y2，y3 成等差数列 C．x1，x3，x2 成等差数列 D．y1，y3，y2 成等差数列 解析：如图，过 A、B、C 分别作准线的 垂线，垂足分别为 A′，B′，C′， 由抛物线定义得， |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
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(2)由已知，得 a2＝16，b2＝9，c2＝25， 所以 a＝4，c＝5. 由于点 M 在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|， 则 M 在右支上， 根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8， 又|MF1|＝5|MF2|，所以|MF1|＝10，|MF2|＝2， 而|F1F2|＝2c＝10，
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解析：(1)设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)， 因为 AB 过 F1 且 A，B 在椭圆上，如图， 则△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16， ∴a＝4. 又离心率 e＝ac＝ 22，∴c＝2 2，∴b2＝a2－c2＝8， ∴椭圆 C 的方程为1x62＋y82＝1.
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Hale Waihona Puke 则△MF1F2 为等腰三角形，取 MF2 中点为 N， 则 F1N⊥MF2，且|F1N|＝ 102－12＝3 11， 从而 S△MF1F2＝12×2×3 11＝3 11. 答案：(1)1x62＋y82＝1 (2)3 11
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[对点训练] 1．抛物线 y2＝2px(p＞0)上有 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)
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[典例 2] 已知椭圆3xm22＋5yn22＝1 和双曲线2xm22－3yn22＝1 有公
共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
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A．x＝±
15 2y
B．y＝±
15 2x
C．x＝± 43y
D．y＝± 43x
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解析：由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上， ∴椭圆焦点(± 3m2－5n2，0)， 双曲线焦点(± 2m2＋3n2，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，即|m|＝2 2|n|. 又双曲线渐近线为 y＝± 62·|m||n|·x， 将|m|＝2 2|n|代入上式，得 y＝±43x. 答案：D
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[典例 1] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原 点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的方 程为________． (2)若 F1，F2 是双曲线1x62－y92＝1 的左、右焦点，点 M 在 双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2 的面积等于 ________．
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1．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、 对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、 准线、渐近线以及几何元素 a，b，c，e 之间的关系等．
2．求离心率的值或取值范围的主要方法有： (1)定义法：利用 a，b，c 之间的关系以及 e＝ac，知道 a， b，c 中任意两个可求 e. (2)方程法：建立 a 与 c 的齐次关系式，可求离心率 e. (3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平 面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立 参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系， 使问题更形象、直观．
答案：选 C
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4．椭圆xa22＋y52＝1(a 为定值，且 a＞ 5)的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A、B，△FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆的另一个焦点为 F′，则 △FAB 的周长|FA|＋|AB|＋|FB|≤|FA| ＋|F′A|＋|FB|＋|F′B|＝4a. 所以 4a＝12，a＝3，e＝ a2a－5＝23. 答案：23
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[典例 3] 已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为 π
F1，F2，若椭圆上存在一点 P，使得∠F1PF2＝ 3 ，求椭 圆离心率 e 的范围．
π 解：△F1PF2 中，∠F1PF2＝ 3 ，由椭圆定义及余弦定理，
π 得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 3 ＝(|PF1|＋ |PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即 4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|. 故 4a2－4c2＝3|PF1||PF2|≤3|PF1|＋2 |PF2|2＝3a2，由此可 得离心率 e∈12，1.
解析：设点 B 为椭圆的左焦点，则 B (－3，0)，点 M(2，1)在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而 a＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26， 所以(|AM|＋|AC|)min＝8－ 26. 答案：8－ 26