子午线收敛角的计算

子午线收敛角的计算探讨

摘要：利用给定的高斯坐标值（x,y）可以通过公式2,3得到其大地经纬度（B,L）, 得到（B,L）经过不同展开次数的子午线收敛角公式就可得到子午线收敛角。关键字：子午线坐标正算（反算）大地坐标投影长度比

引言：为了求取子午线收敛角，我们可以有多种方法。我们可以“ 1954年北京坐

标系”和“ 80国家坐标系”的坐标转化为大地坐标L、B｛（x，y）—＞（B，L）｝，然后利用L, B就可以求取子午线收敛角。

在测量工作中，经常需要进行正算、反算、换带和子午线收敛角的计算工作。如图1所示，以椭球面上一点P为起点的任一大地线的方向角a可定义为过点P的大地平行线方向顺时针到该大地线切线方向的角度。显然它与以子午线方向为起始方向

的大地方位角A是不相同的，其间的差异即为点P上的大地平行线与子午线之问的夹角y，可称为大地坐标系中点P上的子午线收敛角，显然就有：丫=A- a + S

X/K

，a =A- 丫+ 8

式中丫为子午线收敛角，3为坐标方位角，A为大地方位角，为曲率

改正。

正文：

一、通过“ 1954年北京坐标系”或“ 1980西安坐标系”的坐标转化为不同大地坐

标L、B o

1.对于54和80参心坐标系统而言，其坐标系特点比较如下表格。对于求解大

地纬度B，大地经度L需要迭代计算，可以用以下公式直接编写程序求解L、B,理论计算结果2,数值结果2：

............................................................................................... .2 x = X+ -—77sin B cosB + .......

2

y - IN CQ^B+—ATcos3 By. -f3 +7?a）十........

b

..... (3)

央子午线的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB,n =e' cosB。

L-L0若以度为单位，则p =57.295779513;

L-L0若以分为单位，则p =3437.7467708;

L-L0若以秒为单位，贝心=206264.80625

上式中，我们利用（x,y）就可以得到（B,L）

54年北京坐标系克拉索夫斯基椭球；

参心坐标系

长半轴a=6378245m ;

短半轴扁率a =1 :

298.3。

大地原点在原苏联

的普尔科沃

采用多点定位法进

行椭球定位

80年西安坐标系椭球面与似大地水

准面密合得最佳；参

心坐标系

长半轴a=637814m ; 短

半轴

b=6356755.29m ;

扁率a =1 : 298.257 ;

大地原点在陕西省

泾阳县永乐镇；椭球

短轴平行于地球地

轴

起始子午面平行于

格林威治天文台平

均子午面

、利用B、L进行高斯投影平面的坐标的计算的变形分析

首先由于利用高斯投影得到的结果会有投影变形，变形结果如下

1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m：

式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长, 为计算点P点与中

上式中，

! = L _ 込、订二护cos2B ?f = tail B

用平面坐标表示的高斯投影长度比m

2 y 2R

24R4

从上式可以发现不同的位置投影长度比m不同，而在同一点处与方向无关。这符合正形投影特点。当y=0; m=1，中央子午线投影长度变形为零。并随其y的变化而变化。因而高斯投影得到极大的应用。

三、子午线收敛角的求取

2.、当带入克拉索夫斯基椭球参数进行七次展开，得如下计算公式：

/ = cos B Z + 寺8用B * 1 + 3rf+ 2才）Z3■+

电colR < tW+15^ 一15")尸 +

^cos7B • f(17- 26? +2z4)Z T +CX 厂)

上式中，t=tanB , n =e/'cos2B, B为纬度，I经差。如果将其参数数值带入，可得结果请参见［2］第

191页

3、在工程控制测量上我们一般利用如下公式：

/ = sin B * Z + -^-sin Bcos^B * （1 + 3扌+ 2孑）尸+

書sinBcos4B • (2 —严)F + 0(P)

通过参考文献［1］我们发现公式5得到的结果足以达到精度要求。

当得到B、L,就可以并进行公式5就可以得到其子午线收敛角了。

四、结果分析

我们选取东西跨度为41公里、南北跨度21公里范围内均匀分布的38个1980 西安坐标系的控制点。

五、总结

通过结算我们发现可以通过多种方法进行求解子午线收敛角，利用不同的测量精度要求可以进行不同的处理方法（改变展开参数次数），可以大大减少处理速度，提高精度，并可以满足其精度要求。

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扩曲曲将（x.y ）结果带入，利用编写程序进行带入结果可得

子午线收敛角有正负之分。以网格北相对于真北的方向进行判断。，在中央子午线以东，网格北都在真北以东，可称为东收敛角，收敛角为正值；在中央子午线以西，网格北都

在真北以西，可称为西收敛角，收敛角为负值。得到结果；