逻辑学 第五讲：复合命题与命题公式

第二节：复合命题的几种基本形式 及其推理
• • • • • 联言命题及其推理 选言命题及其推理 假言命题及其推理 负命题及其推理 等值命题及其推理
一，联言命题及其推理
• 联言命题：其联结词为联言联结词的复合命题。我们 通常用“并且（ ）”作为支命题与支命题之间的联 结词。“并且”也叫做“合取”，因此联言命题也称 之为合取命题。 • • • • • • 在自然语言表达中，联言联结词有多种表达形式： “又 又 ” “不但 而且 ” “既 又 ” “并且”、“和”、“与” “、” “，” “；”
• 我们可以用将“p←q”形式的必要条件命题 表示为形式为“qp”的充分条件命题： • p←qqp • 只有有犯罪动机，才是犯罪嫌疑人。 • 如果是犯罪嫌疑人，那么有犯罪动机。
←有如下推理规则：
（1）否定前件规则： p←q p q （p←q） p q （2）肯定后件规则： p←q q P （p←q）qP
• 否定一个命题得到的就是负命题。 • 并非所有金属都是固体。 • 并非所有文学家都是大学毕业的。 • 表达负命题的自然语言联结词还有：“并无 之事”、“不 是”、“不 ”等 。 • 负命题的联结词是通常是“并非”，我们称其为否定联结 词，用符号“”（ 读作：并非）表示。 • 负命题的逻辑形式是： p。很显然， “”是一个一 元联结词。
pq p
pq p
• 创造型人才有开阔的思路，有创新的能 力；所以，创造型人才有开阔的思路， 也有创新的能力。（合取引入规则） • 贡献是才能的函数，才能是贡献的一个 变量；所以，才能是贡献的一个变量。 （合取消去规则）
二，选言命题及其推理
• 选言命题：其联结词为选言联结词的复合命题。 • 在自然语言中，选言联结词有多种表达形式： “ 或者 ” “ 要么 ” • 胜者或因其强，或因其指挥无误。 • 事物矛盾表现的形态不外两类，要么是对抗性的，要么是 非对抗性的。
2，不相容选言命题及其推理
• • • • 不相容选言命题是指其支命题不可能同真的选言命题。 把一个硬币抛下去，当它落地时要么正面朝上要么反面朝上。 人的思想，要么是唯物主义的，要么是唯心主义的。 不相容选言命题的逻辑涵义是：各支命题描述的现象情况有且 只有一种存在。因此，一个相容选言命题是真的，当且仅当它 的支命题只有一个真。 p q pq
p T T F F
q T F T F
pq
T F
F T
• 充要条件假言命题的逻辑性质： 当 p 与 q 真值相同时， pq为真。
• 在命题逻辑中与pq有关的两条规则：
• （1）等值引入规则：pqqp pq • （2）等值消去规则： pq pq、 pq qp
四，负命题及其推理
• 充分条件假言命题的逻辑性质：一个充分条件命题是假的 ，当且仅当，它的前件真而后件假。
“”有如下规则：
（1）蕴涵消去规则（MP）（分离规则或肯定前件规则）： pq p q
（pq）pq 如果他在学习中不刻苦钻研，就不能取得好成绩； 自以为聪明的人不刻苦钻研； 所以，这样的人不能取得好成绩。
第一节：复合命题概述
• 一，复合命题的定义及逻辑结构
• 定义：所谓复合命题就是由命题构成的命题。 • 如果天在下雨，那么地是湿的。 • • • • （1）如果李司是犯罪嫌疑人，那么李司有犯罪动机。 （2）或者李司是犯罪嫌疑人，或者李司有犯罪动机。 （3）王武的计算机配置合理并且价格低廉。 （4）王武的计算机配置合理当且仅当它的价格低廉。
二，复合命题的逻辑特征
• 复合命题的真假是由支命题的真假决定的。支命题之间的 逻辑关联就表现为一种支命题的真假对整个复合命题真假 的制约关系。
• 一种复合命题的支命题之间具有怎样的逻辑关联是由复合 命题的联结词决定。 • 我们把一种形式的复合命题其支命题的真假对复合命题真 假的制约情况列出来，就得到一张表，把它叫做该种形式 复合命题的真值表。
F F
T F
T T
T F
T F
T F
• 根据的逻辑涵义，有以下推导规则：
pq P（q） q （ p ）
pq P （ q ） q（p）
三，假言命题及其推理
• 假 言 命 题 是 由 “ 如 果 那 么 ” 、 “ 只 有 才”、“当且仅当”等联结词联结支命题而 构成的复合命题。
• 所以，必要条件假言命题的逻辑涵义是：前件假时后件必假 ，而前件真则后件可以真可以假。 • 必要条件假言命题的逻辑形式是： • p←q（←读作：逆蕴涵）
p T T F F
q T F T F
p←q T T F T
必要条件假言命题的逻辑性质：一个必要条件命题是假的， 当且仅当，它的前件假而后件真。
逆蕴涵与蕴涵
• 如果复合命题始终为真，这样的公式叫做重言式，也称为永真式。 p p（读作：p析取非p） • 如果复合命题始终为假，这样的公式叫做矛盾式，也称为永假式。 p p（读作：p并且非p） • 如果复合命题真、假均有，这样的公式叫做协调式。 pq（读作：p析取q） • 如果组成复合命题的支命题真假值相同，或者复合命题之间真假值相 同，则叫重言等值式。 pp（读作：p等值p） pq pq（读作：“p析取q ”等值“非p蕴涵q”） • 命题逻辑中有五个最基本的逻辑联结词： （合取）、（析取）、（蕴涵）、（等值）、（并非）
一个演绎推理只有遵守了推理规则，它才是有效的；这个推 理没有遵守推理规则，所以，这个推理不是有效的。
只有搞好了党风，才能转变社会风气；转变了社会党风，所 以，党风建设卓有成效。
（三）充分必要条件假言命题及其推理
• 充分必要条件假言命题是用“当且仅当”作为联结词联结 前后件而够成的假言命题。 • 一个三角形是等边的，当且仅当它是等角的。 • 逻辑形式：pq（读作：当且仅当）
如果天在下雨，那么地是湿的。 前件 后件
只有认真改革教学，才会提高教学质量。
• 根据联结词的不同，假言命题可以分为充分条件的，必要 条件的和充分必要条件的三种，相应地有三种假言推理。
（一）充分条件假言命题及其推理
• 充分条件假言命题就是用“如果 那么”等联 结词联结前、后件形成的假言命题。 • 充分条件联结词的汉语表达形式有：“如果 那么 ” 、 “ 若 则 ”、“一旦 就 ” 等等。 • 如果天在下雨，那么地是湿的。 • 一旦张珊年满18岁，她就有选举权。 • 这样没法完成教学任务，如果只抓教学不抓教，就否定了 教师的主导作用。 • 不入虎穴，焉得虎子。
• 值得指出，运用负命题的性质，我们可以做到两点： • 第一，弄清楚关于几个基本逻辑联结项的负命题的等值命 题，即： • （pq） p q（德摩根律1） • （pq） p q（德摩根律2） • （p←q） pq • （pq）（p q）（pq） • 第二，通过运算，判定复合命题之间是否等值。 • pq与p q，可以运算为： • （pq）p q • （p q） pq
• 充分条件命题的逻辑形式是： pq（读作：蕴涵） • 描述了事件p与事件q之间有充分条件联系，如果有p必有q ，而无p有无q不确定。 • 如果天在下雨，那么地是湿的。
• 所以，充分条件命题的逻辑涵义是：前件真后件必真，前 件假则后件可以真也可以假。 • 如果水分充足，那么水稻长得好。
• 充分条件命题的逻辑特征用真值表表示如下： p T T F F q T F T F pq T F T T
（2）蕴涵否后规则（MT）：
pq q p （pq） q p
如果是高水平的领导，那么就懂得现代管理原理；林星不 懂现代管理原理，所以，林星不是高水平的领导。
（二）必要条件假言命题及其推理
• 必要条件假言命题是以“只有 才 ”联结前、后件而构成的复合命题。 • 表达这种命题的自然语言还有“不 不 ”、“仅当 才 ”、 “除非 不（才） ”等等。 • 只有有犯罪动机，才是犯罪嫌疑人。 • 庄稼长得好，除非肥料充足。 • 必要条件假言命题描述的是两个事件之间的必要条件联系。 事件p与事件q之间有必要条件联系，如果没有p就没有q，而 有p时有无q不确定。
• • • •
菊花可以观赏，并且菊花可以入药。 王芳芳既聪明，又好学。 李桐不但学习优秀，而且品行优秀。 联言命题的逻辑形式：“pq”（读作：p并且q） p T T F F q T F T F pq T F F F
• 联言命题的逻辑特征：一个联言命题是真的，当且仅当它 的每一个支命题都是真的。 • 联言命题的逻辑性质：所有的支命题为真，联言命题为真 ；反之，联言命题真，其支命题都是真的。 • 根据的逻辑性质，可以有如下的推导规则： 1 ，合取引入规则（ + ）： p q p q p，qpq 2，合取消去规则（-）：
• 的真值表如下：
p T F p
F T
• 负命题的逻辑性质是：它与原命题（支命 题）的真、假相反。
• p p，相应地可以有如下推导规则： • （1）双重否定引入规则（ +）： p p p p • （2）双重否定消去规则（ ）： p p pp
第五讲 复合命题与命题公式
目标：
• 本章开始进入现代逻辑的讨论。 • 本章要明确什么是复合命题，复 合命题的几种基本形式以及各自 的逻辑性质及其有关的简单推理 公式，在此基础上理解命题公式 的初始符号以及形成规则，掌握 什么是重言式、矛盾式、协调式。
• • • • •
第一节：复合命题概述 第二节：复合命题的几种基本形式及其推理 第三节：命题公式 第四节：复合命题的相互转换及其推理 第五节：归谬赋值法及真值表的作用
• 根据的表达的涵义，可以有以下推导规则： （ 1 ）析取消去规则（ - ）： （ 2 ）析取引入规则（ + ）： p q p q （否定肯定式） P pq
（附加律）
这些作品，或者在思想性方面有缺点，或者在艺术性方面 有缺点；它们不是在思想性方面有缺点，所以，它们是在 艺术性方面有缺点。
• 支命题必须通过联结词的组合作用才能构成复合命题。
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如果天在下雨，那么得是湿的。（pq） 天在下雨并且地是湿的。（pq） 天在下雨或者地是湿的。（pq） 天在下雨当且仅当地是湿的。（pq） 支命题相同，但由于联结词不同，它们有完全不同形式。
如果天在下雨，那么地是湿的。 如果李司是犯罪嫌疑人，那么李司有犯罪动机。 如果王武的计算机配置合理，那么它的价格低廉。 支命题不相同，但由于有相同的联结词，所以它们有相同 的逻辑形式（pq） 。 • 复合命题的两个基本构成要素：支命题和联结词
T T F F
T F T F
F T T F
补充
补充
• 一个具体的选言命题究竟是相容的还是不相容的，我们只能 从其命题的内容上区分。 • “ pq ” =df （ pq ） （ pq ）（ =df 读作：定义为） ，或者说是：“pq”（pq） （pq） p T T （pq） T F F T q pq T T pq F T （pq） （pq） F T
1，相容选言命题及其推理
• 相容选言命题是其支பைடு நூலகம்题可以同时为真的选言命题。 • 我们用“”表示相容选言的联结词： • 相容选言命题的逻辑形式：“ p q ”（读作：“ p 或者 q”）
p
T T F F
q
T F T F
pq
T T T F
• 相容联结词表达的涵义是：各支命题描述的现象情况至少 有一种存在。因此，一个相容选言命题是真的，当且仅当 它的支命题至少有一个真。