自考初等数论试题及答案

初等数论考试试卷 1

一、单项选择题（每题3分，共18分） 1、 如果 ba

, ab ，则（）. A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n

, 5n

，则 15 （

） n .

A 整除

B 不整除

C 等于

D 不一定 3、 在整数中正素数的个数（

）.

A 有1个

B 有限多

C 无限多

D 不一定 4、 如果

a b （modm ）

, c

是任意整数贝V

5、 如果(),则不定方程ax by c

有解.

A

(a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a

6、 整数5874192能被()整除.

A 3

B 3 与 9

C 9

D 3 或 9 二、填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（ ）•

2、 同余式ax b 0（modm ）

有解的充分必要条件是（）.

3、 如果

a,b

是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.

4、 如果p

是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（）. 5、 a,b

的公倍数是它们最小公倍数的

（）.

6、如果a

,b 是两个正整数，则存在（）整数q ,r

,使a bq r

,0 r b .

三、计算题（每题8分，共32分） 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144

. 3、 解同余式

12x 15 0（mod45）

.

429

4、 求563

,其中563是素数.（8 分） 四、证明题（第 1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分）

2

3

n n

n 1证明对于任意整数n ,数3

2

6是整数.

2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被

5整除.

A ac bc(modm)

B

a b C ac bc(mod m)

D ab

3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和

试卷1答案

一、单项选择题（每题3分，共18分）

1、D.

2、A

3、C

4、A

5、A

6、B

二、填空题（每题3分，共18分）

1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）

2、同余式ax b 0（mod m）有解的充分必要条件是（（a，m）b）.

3、如果a,b是两个正整数，则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为（卡］）.

4、如果p是素数,a是任意一个整数，则a被p整除或者（与p互素）.

5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的（倍数）.

6、如果a,b是两个正整数，则存在（唯一）整数q,r,使a bq r, 0 r b .

三、计算题（每题8分，共32分）

1、求[136,221,391]=? （ 8 分）

解[136,221,391]

=[[136,221],391]

136

221 … ,391

=[ 17 ]

=[1768,391] ------ （4 分）

1768 391

= 17

=104 391

=40664. -------- （ 4 分）

2、求解不定方程9x 21y 144.（ 8 分）

解：因为（9, 21） =3, 3144，所以有解；-------------------------- （2分）化简得3x 7y 48 ；----------- （1分）考虑3x 7y 1，有 x 2,y 1，----------- （2 分）所以原方程的特解为x 96, y 48，----------- （ 1分）因此，所求的解是x 96 7t, y 48 3t,t Z。----------- （2 分）3、解同余式12x 15°（m od45）. （8 分）

解因为（12,45）=3|5,所以同余式有解，而且解的个数为3. ----------- （ 1分）又同余式等价于4x 5 0（mod15）,即4x 5 15y. ------ （ 1 分）我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是（10,3）, --- （2分）

即定理4.1中的X o 10

因此同余式的3个解为

x 10(mod 45)

429

4、求563 ,其中563是素数.（8 分）

429

解把563看成Jacobi符号，我们有

(1 分) (1 分)

10 45

—(mod 45)

25(mod 45)

(1 分)

10 2 45

,5

40(mod 45)

(1 分)

429 429 1 563 1

(1) 2. 2563 563 429

563 134 2 67 429 429 429 429

4292 1

(1) 8

67

429 _______ （3 分）

四、证明题（第 1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分）

2

3

n n n 1、证明对于任意整数 n ，数空

2

6

是整数• （10分）

2

3

n

牛殳 f （2 3n n 2

） - n （n 1）（n 2）

证明因为

326

=6

=6

, -一- （ 3分） 而且两个连续整数的乘积是 2的倍数,3个连续整数的乘积是 3的倍数，----- （2分） 并且（2,3）=1, -----

（ 1 分）

所以从

2n （n 1）（n

2）

和

3n （n 1）（n

2）

有

6n （n 1）（n 2）

,----- （3 分）

2 3

n n n

即3

2 6是整数.

----- （1分）

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被

5整除.（11分）

3

3

2

证明因为（n °

n 3n 3n

〔，

------- （ 3 分）

2

所以只需证明3n 3n 1 （mod 5）.

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2 构成，

2

所以这只需将n=0, ± 1, ± 2代入3n 3n 1分别得值1，7，1，19，7.

2

对于模5, 3n 3n 1的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余，

2

所以 3n 3n 1 （mod 5） ---- （ 7 分）

所以相邻两个整数的立方之差不能被

5整除。

---- （1分）

3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和

.（11分）

证明设n

是正数，并且

n 1（mod 4）

,

------ （ 3 分）

67 429 67 1 429 1

(1)2

429 "67 429 "67 27 67 27 167 1

(1)2

67 27 67 27

(2 分)

13 27

27 113 1 1) 2

27 13

1

13

即429是563的平方剩余

(2 分)