用椭圆的定义解题

用椭圆的定义解题

舒云水

椭圆的定义是椭圆最本质属性的反映，用椭圆定义解决一些数学题，十分简捷明快﹒

1.求离心率

例 1 过椭圆22221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ︒∠=，则椭圆的离心率为

A B .3 C .12 D .13 解析：根据椭圆定义知122PF PF a +=，在12Rt PF F 中，由1260F PF ︒∠=，得212PF PF =﹒从而132PF a =，123PF a =，243PF a =﹒利用勾股定理得2221122PF F F PF +=，即()2

2224233a c a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭﹒由此得

e 3

c a ==﹒选B ﹒ 点评 本题运用椭圆定义和直角 12PF F 的边角关系，转化为a 和

c 的关系，从而得到要求的离心率﹒

2.求轨迹方程

例 2 动圆与定圆224320x y y ++-=内切且过圆内的一个定点(02)A ，，求动圆圆心P 的轨迹方程﹒

解析：由题设条件知：动圆与定圆内切，又由于动圆过定点A ，于是必有动圆圆心P 到定点A 与到定圆圆心的距离之和等于定圆半径，根据椭圆定义知动圆圆心P 的轨迹为椭圆﹒

由224320x y y ++-=得：22(2)36x y ++=，圆心B 为(0,2)-，半径为6﹒设动点(,)P x y ，动圆半径为PA ，由于动圆与定圆内切，所以PA +

PB =6，因此动圆圆心P 到两定点(02)A ，

，B (0,2)-的距离之和为6﹒根据椭圆定义知：点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆且26a =，24c =﹒

∴3a =，2c =，∴25b =﹒ ∴动圆圆心的轨迹方程为22159

x y +=﹒ 点评：根据圆的有关知识发现6PA PB +=是解决本题的关键，再根据椭圆的定义易知点P 的轨迹为椭圆﹒

3.求最值

例 3 已知(4,0)A ，(2,2)B 是椭圆221259

x y +=内的点，M 是椭圆上的动点，求MA MB +的最大值与最小值﹒

解析：由于(4,0)A 是椭圆的一个焦点，设(4,0)A '-是椭圆的另一个焦点，根据椭圆定义得：

10MA MA '+=﹒ ∴MA MB +=10MA MB '-+10MB MA '=+-﹒

分别延长线段A B '、BA '交椭圆于N 、P 两点，根据三角形两边之差小于第三边的知识知：

当M 在点N 处时，MB MA '-取最小值A B '-=- 当

M 在点P 处时，MB MA '-取最大值A B '=

即：MB MA '-≤-≤﹒

∴

101010MB MA '-≤+-≤+

即MA MB +的最大值为10+10-

点评：综合运用椭圆的定义及三角形有关知识求出最大值、最小值﹒

练习：1.已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点﹒如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是

.A 圆 .B 椭圆 .C 双曲线的一支 .D 抛物线

2.已知椭圆22221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1(,0)F c -、 2(,0)F c ，若椭圆上存在点P 使1221

sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围是 ﹒

3.已知(1,2)A -是椭圆2212516

x y +=内的点，1F 、2F 分别是左、右焦点，M 是椭圆上的一个动点，求2MA MF -的最大值和最小值﹒

答案：1.A ；2.1,1)；3.-﹒