频域抽样定理
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k 0
零点：z
e
j
2 N
r，r
0,1,...,
N
1
极点：z
e
j 2 N
k，
0
(N -1)阶
4、用频域采样 X (k) 表示 X (e j ) 的内插公式
N 1
X (e j ) X (z) ze j X (k )k (e j )
k 0
k (e j ) k (z)
( k 2 )
ze j
3、用频域采样 X (k)表示 X (z) 的内插公式
M点有限长序列x(n)，频域N点等间隔抽样，且 NM
M 1
N 1
X (z) x(n)zn x(n)zn
n0
n0
N 1 1 n0 N
N 1 k 0
X
(k
)WN
nk
z
n
1 N
N 1 k 0
X
(
k
)
N 1
WN
n0
nk
z
n
第六节 频域抽样定理
1、频域抽样定理要研究的问题
M点
xM (n)
序列傅立叶变换
X (e j )
=？
单位圆上取N点 （频域采样）
离散傅立叶反变换
xN (n)
X (k )
N点
2、由频域抽样恢复序列
一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为
X ( Z )
x(n)Z n
n
由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也
k 0 m
m
x(m)[ 1 N
N 1
W (mn N
)
k
]
k 0
x(n rN )
r
1
N
N 1
W (mn)k N
k 0
1 0
m n rN 其它m
r为任意整数
可见，由 X~ (k)得到的周期序列 x~N (n)是非
周期序列x(n)的周期延拓。其周期为频域抽样点 数N。
所以：时域抽样造成频域周期延拓 同样，频域抽样造成时域周期延拓
x(n)为无限长序列—混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M
1) N≥M ，不失真 2) N<M， 混叠失真
频率采样定理
若序列长度为M，则只有当频域采样点数:
时，才有
NM
xN (n)RN (n) IDFS[ X (k)]RN (n) x(n)
即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号x(n) ，否则产生时域混叠现象。
1Baidu NhomakorabeaN
N 1 k 0
X
(k
)
1 WN Nk 1 WNk
zN z 1
1 zN N
N 1 X (k ) k0 1 WNk z1
内插公式：X (z)
1 zN N
N 1 X (k ) k0 1 WNk z1
内插函数：k (z)
1 N
1
1
zN WNk z
1
则内插公式简化为：
N 1
X (z) X (k)k (z)
即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位
圆上N等份抽样,就得到 X~ (k )
X~ (k)
X(Z)
z
W
N
k
x(n)W
nk N
n
对 X~ (k )进行反变换,并令其为 x~N (n),则
xN (n)
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
1 N
N 1
[ x(m)WNmk ]WNnk
1 N
sin
N
2
N
k
sin
2
N
k
j k ( N 1) j N 1
eN e 2
N
内插函数：
( )
1
sin
N
2
e
j
N 1 2
N
sin
2
零点：z
e
j
2 N
r，r
0,1,...,
N
1
极点：z
e
j 2 N
k，
0
(N -1)阶
4、用频域采样 X (k) 表示 X (e j ) 的内插公式
N 1
X (e j ) X (z) ze j X (k )k (e j )
k 0
k (e j ) k (z)
( k 2 )
ze j
3、用频域采样 X (k)表示 X (z) 的内插公式
M点有限长序列x(n)，频域N点等间隔抽样，且 NM
M 1
N 1
X (z) x(n)zn x(n)zn
n0
n0
N 1 1 n0 N
N 1 k 0
X
(k
)WN
nk
z
n
1 N
N 1 k 0
X
(
k
)
N 1
WN
n0
nk
z
n
第六节 频域抽样定理
1、频域抽样定理要研究的问题
M点
xM (n)
序列傅立叶变换
X (e j )
=？
单位圆上取N点 （频域采样）
离散傅立叶反变换
xN (n)
X (k )
N点
2、由频域抽样恢复序列
一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为
X ( Z )
x(n)Z n
n
由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也
k 0 m
m
x(m)[ 1 N
N 1
W (mn N
)
k
]
k 0
x(n rN )
r
1
N
N 1
W (mn)k N
k 0
1 0
m n rN 其它m
r为任意整数
可见，由 X~ (k)得到的周期序列 x~N (n)是非
周期序列x(n)的周期延拓。其周期为频域抽样点 数N。
所以：时域抽样造成频域周期延拓 同样，频域抽样造成时域周期延拓
x(n)为无限长序列—混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M
1) N≥M ，不失真 2) N<M， 混叠失真
频率采样定理
若序列长度为M，则只有当频域采样点数:
时，才有
NM
xN (n)RN (n) IDFS[ X (k)]RN (n) x(n)
即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号x(n) ，否则产生时域混叠现象。
1Baidu NhomakorabeaN
N 1 k 0
X
(k
)
1 WN Nk 1 WNk
zN z 1
1 zN N
N 1 X (k ) k0 1 WNk z1
内插公式：X (z)
1 zN N
N 1 X (k ) k0 1 WNk z1
内插函数：k (z)
1 N
1
1
zN WNk z
1
则内插公式简化为：
N 1
X (z) X (k)k (z)
即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位
圆上N等份抽样,就得到 X~ (k )
X~ (k)
X(Z)
z
W
N
k
x(n)W
nk N
n
对 X~ (k )进行反变换,并令其为 x~N (n),则
xN (n)
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
1 N
N 1
[ x(m)WNmk ]WNnk
1 N
sin
N
2
N
k
sin
2
N
k
j k ( N 1) j N 1
eN e 2
N
内插函数：
( )
1
sin
N
2
e
j
N 1 2
N
sin
2